Primary Mathematics chapter 9: Fractions

ভগ্নাংশ

একটি রুটি আছে। রুটিটি কীভাবে ভাগ করলে রেজা ও মিনা দুজনেই সমান পরিমাণ পাবে?

Figure

লেবেল: আমি কি এভাবে ভাগ করতে পারি? বর্ণনা: একটি রুটি উল্লম্ব ড্যাশ-রেখা বরাবর ভাগ করে নিচে দুটি টুকরা দেখানো হয়েছে; ভাগ দুটি অসমান আকারের।

Figure

লেবেল: এখানে দুইটি ভাগ সমান হয়নি। আমরা রুটিটি সমান দুই ভাগে ভাগ করব। বর্ণনা: একটি রুটি মাঝ বরাবর উল্লম্ব ড্যাশ-রেখা বরাবর সমান দুই ভাগে ভাগ করে নিচে দুটি টুকরা দেখানো হয়েছে।

১. পাশের আকৃতির দুইটি কাগজকে সমান দুই টুকরা করি।

(১)

Figure

বর্ণনা: বাম পাশে একটি সবুজ বর্গাকার কাগজ। প্রথম সারিতে বর্গক্ষেত্রটি উল্লম্ব ড্যাশ-রেখা বরাবর ভাঁজ করা হয়েছে, পরে ভাঁজ করা অংশ উপরে রেখে দুটি টুকরা দেখানো হয়েছে। দ্বিতীয় সারিতে বর্গক্ষেত্রটি অনুভূমিক ড্যাশ-রেখা বরাবর ভাঁজ করা হয়েছে। তৃতীয় সারিতে বর্গক্ষেত্রটি কর্ণ বরাবর ভাঁজ করে ত্রিভুজ দেখানো হয়েছে।

(২)

Figure

বর্ণনা: বাম পাশে একটি হলুদ বৃত্ত। প্রথম সারিতে বৃত্তটি অনুভূমিক ড্যাশ-রেখা বরাবর ভাগ করে অর্ধবৃত্ত দেখানো হয়েছে। দ্বিতীয় সারিতে বৃত্তটি উল্লম্ব ড্যাশ-রেখা বরাবর ভাগ করে দুটি অর্ধবৃত্ত দেখানো হয়েছে।

Printed page 92

২. একটি কাগজের ফিতাকে সমান দুই ভাগে ভাগ করি।

Figure

বর্ণনা: তিনটি হলুদ কাগজের ফিতা উপর-নিচে সাজানো। প্রথম ফিতা সম্পূর্ণ রঙিন; দ্বিতীয় ফিতার বাম অর্ধেক রঙিন, ডান অর্ধেক সাদা; তৃতীয় ফিতার বাম অর্ধেক রঙিন।

যখন আমরা একটি বস্তুকে সমান ২ অংশে ভাগ করি, তখন প্রত্যেক অংশকে অর্ধেক বা দুই ভাগের এক ভাগ বলি এবং লিখি $\dfrac{1}{2}$ ।

Figure

লেবেল: অর্ধেক বা দুই ভাগের এক ভাগ, $\dfrac{1}{2}$ বর্ণনা: একটি বক্সে $\dfrac{1}{2}$ লেখা এবং নিচে লেখা অর্ধেক বা দুই ভাগের এক ভাগ।

১. কোন টুকরাটি ক এর $\dfrac{1}{2}$ ?

Figure

লেবেল: ক বর্ণনা: ক-চিহ্নিত অংশে চারটি গোলাপি আয়তক্ষেত্রের সারি রয়েছে, প্রতিটি সারি সমান সংখ্যক অংশে বিভক্ত: প্রথম সারি চার অংশে, দ্বিতীয় সারি তিন অংশে রঙিন, তৃতীয় সারি দুই অংশে রঙিন, চতুর্থ সারি এক অংশে রঙিন। প্রতিটি সারির রঙিন অংশগুলো বাম দিক থেকে শুরু হয়েছে।

২. নিচের প্রত্যেক আকৃতির $\dfrac{1}{2}$ অংশ রং করি।

Figure

বর্ণনা: পাঁচটি রঙ-করা হবে এমন আকৃতি পাশাপাশি: বর্গক্ষেত্র (মাঝ বরাবর উল্লম্ব ড্যাশ-রেখা); বৃত্ত (মাঝ বরাবর অনুভূমিক ড্যাশ-রেখা); উল্টানো ত্রিভুজ (মাঝ বরাবর উল্লম্ব ড্যাশ-রেখা); আয়তক্ষেত্র (কর্ণ বরাবর ড্যাশ-রেখা); পঞ্চভুজের মতো আকৃতি (অসমান দৃশ্যমান রেখা, কোনো ভাগ-রেখা নেই)।

৩. দুইটি $\dfrac{1}{2}$ একত্রে রাখলে কী তৈরি হবে?

Figure

লেবেল: $\dfrac{1}{2}$, $\dfrac{1}{2}$, $\dfrac{1}{2}$, $\dfrac{1}{2}$; দুইটি $\dfrac{1}{2}$ একত্রে রাখলে; তৈরি হয় বর্ণনা: বাম পাশে একটি বাদামি বর্গক্ষেত্র উল্লম্ব ড্যাশ-রেখা বরাবর দুই ভাগে ভাগ করা, প্রতি ভাগে $\dfrac{1}{2}$ লেখা। মাঝখানে একটি হলুদ বৃত্ত উল্লম্ব ড্যাশ-রেখা বরাবর দুই ভাগে ভাগ করা, প্রতি ভাগে $\dfrac{1}{2}$ লেখা। তীর চিহ্ন দিয়ে ডান পাশের একটি বক্সে লেখা: দুইটি $\dfrac{1}{2}$ একত্রে রাখলে ... তৈরি হয়; বক্সের ফাঁকা ঘর উত্তর দেওয়ার জন্য।

Printed page 93

একটি কাগজকে ৪টি সমান অংশে ভাগ করা হয়েছে। প্রতিটি ভাগকে কী বলা হয়?

Figure

বর্ণনা: একটি বর্গাকার কাগজ দুটি ড্যাশ-রেখা দিয়ে চার সমান ভাগে ভাগ করা; উপরের বাম ভাগ কমলা রঙে রাঙানো।

যখন আমরা সমগ্র বা পূর্ণ কোনো কিছুর দুই অংশের ১টি নিই, আমরা এটি লিখি $\dfrac{1}{2}$ । তাই আমরা যদি সমান ৪ অংশে ভাগ করি এবং ১টি অংশ নিই, তবে লিখতে হবে $\dfrac{1}{4}$ ।

যখন আমরা একটি বস্তুকে সমান চার অংশে ভাগ করি, এই অংশগুলোর একটিকে এক চতুর্থাংশ বা চার ভাগের এক ভাগ বলি এবং লিখি $\dfrac{1}{4}$ ।

$\dfrac{1}{2}$ এবং $\dfrac{1}{4}$ এরূপ সংখ্যাকে ভগ্নাংশ বলে।

Figure

লেবেল: $\dfrac{1}{4}$; এক চতুর্থাংশ; বা; চার ভাগের এক ভাগ বর্ণনা: একটি বক্সে $\dfrac{1}{4}$ লেখা এবং নিচে লেখা এক চতুর্থাংশ, বা, চার ভাগের এক ভাগ।

১. নিচের প্রত্যেক আকৃতির $\dfrac{1}{4}$ অংশ রং করি।

Figure

বর্ণনা: চারটি আকৃতি পাশাপাশি: চার ভাগে বিভক্ত উল্লম্ব ও অনুভূমিক ড্যাশ-রেখাযুক্ত আয়তক্ষেত্র; চার ভাগে বিভক্ত উপবৃত্ত (অনুভূমিক ও উল্লম্ব ড্যাশ-রেখা); কর্ণ বরাবর ড্যাশ-রেখাযুক্ত বর্গক্ষেত্র; ত্রিভুজ-রেখা দিয়ে আঁকা আয়তক্ষেত্র।

Figure

লেবেল: $\dfrac{1}{4}$ (প্রতি অংশে) বর্ণনা: বাম পাশে একটি হলুদ বর্গক্ষেত্র চার ভাগে বিভক্ত, প্রতি ভাগে $\dfrac{1}{4}$ লেখা। মাঝখানে একটি গোলাপি উপবৃত্ত চার ভাগে বিভক্ত, প্রতি ভাগে $\dfrac{1}{4}$ লেখা। তীর চিহ্ন দিয়ে ডান পাশে একটি বক্সে লেখা: চারটি $\dfrac{1}{4}$ একত্রে রাখলে তৈরি হয়; বক্সে উত্তরের জন্য একটি ফাঁকা ঘর।

Printed page 94

Figure

বর্ণনা: তিনটি বক্সে দুটি করে আকৃতি। প্রথম বক্সে দুটি আয়তক্ষেত্র উল্লম্ব ড্যাশ-রেখা দিয়ে ভাগ করা; বাম আয়তক্ষেত্রের ডান অর্ধেক এবং ডান আয়তক্ষেত্রের উপরের বাম এক চতুর্থাংশ নীল রঙে রাঙানো। দ্বিতীয় বক্সে দুটি বৃত্ত চার ভাগে বিভক্ত; বাম বৃত্তের নিচের ডান এক ভাগ এবং ডান বৃত্তের ডান অর্ধেক নীল রঙে রাঙানো। তৃতীয় বক্সে দুটি রম্বস আকৃতি উল্লম্ব/অনুভূমিক ড্যাশ-রেখা দিয়ে ভাগ করা; বাম রম্বসের ডান অংশ এবং ডান রম্বসের উপরের ডান অংশ নীল রঙে রাঙানো।

২. উপরের চিত্র অনুযায়ী সঠিক উত্তরটিতে টিক ($\checkmark$) চিহ্ন দিই।

$\dfrac{1}{4}$ হলো $\dfrac{1}{2}$ এর থেকে বড়ো/সমান/ছোটো $\dfrac{1}{4}$ এর দুই টুকরা হলো $\dfrac{1}{2}$ এর থেকে বড়ো/সমান/ছোটো $\dfrac{1}{4}$ এর তিন টুকরা হলো $\dfrac{1}{2}$ এর থেকে বড়ো/সমান/ছোটো

৩. মিনা ডান পাশের চিত্রের গাঢ় রং করা

Figure

বর্ণনা: একটি বক্সে দুটি বর্গাকার আকৃতি। বাম আকৃতি উল্লম্ব ড্যাশ-রেখা দিয়ে দুই ভাগে ভাগ করা, ডান অংশ গাঢ় রঙে রাঙানো। ডান আকৃতি উল্লম্ব ও অনুভূমিক ড্যাশ-রেখা দিয়ে চার ভাগে ভাগ করা, উপরের বাম ভাগ গাঢ় রঙে রাঙানো।

অংশ তুলনা করে বলল $\dfrac{1}{4}$ থেকে $\dfrac{1}{2}$ ছোট। মিনার তুলনা কি সঠিক? কেন?

[উত্তরের জন্য ফাঁকা ঘর]

৪ ইচ্ছেমতো সমান আকৃতির দুইটি চিত্র আঁকি এবং একটির $\dfrac{1}{2}$ অংশ ও অন্যটির $\dfrac{1}{4}$ অংশ রং করি।

[উত্তরের জন্য ফাঁকা ঘর]

Printed page 95

আমরা কীভাবে ভগ্নাংশে প্রকাশ করতে পারি?

১ মিটার ফিতাকে সমান ৩ ভাগে ভাগ করি।

Figure

লেবেল: ১ মিটার; $\dfrac{1}{3}$ মিটার; $\dfrac{1}{3}$ মিটার; $\dfrac{1}{3}$ মিটার বর্ণনা: উপরে একটি ১ মিটার লম্বা হলুদ ফিতা তিন সমান ভাগে বিভক্ত, ওপরে বন্ধনী চিহ্ন দিয়ে ১ মিটার লেখা। নিচে প্রথম ভাগটি আলাদা করে দেখানো হয়েছে এবং প্রতিটি ভাগের নিচে $\dfrac{1}{3}$ মিটার লেখা।

Figure

বর্ণনা: একটি আলাদা বক্সে লেখা: ফিতার ভাগ করা প্রতিটি অংশকে ১ মিটারের এক তৃতীয়াংশ বলা হয়। এটি লেখা হয় $\dfrac{1}{3}$ মিটার।

১. রং করা অংশ কত লম্বা?

(১)

Figure

লেবেল: ১ মিটার বর্ণনা: একটি ১ মিটার লম্বা ফিতা অসমান অংশে বিভক্ত দেখানো হয়েছে; বাম দিকের প্রথম অংশ কমলা রঙে রাঙানো এবং তার নিচে একটি বন্ধনী ও উত্তরের জন্য একটি ফাঁকা বক্স। বাক্সের পাশে লেখা: মিটার।

(২)

Figure

লেবেল: ১ মিটার বর্ণনা: একটি ১ মিটার লম্বা ফিতা পাঁচ ভাগে বিভক্ত; বাম দিকের প্রথম অংশ সবুজ রঙে রাঙানো এবং তার নিচে একটি বন্ধনী ও উত্তরের জন্য একটি ফাঁকা বক্স। বক্সের পাশে লেখা: মিটার।

২. $\dfrac{1}{3}$ অংশ রং করি।

Figure

বর্ণনা: তিনটি সমান ফাঁকা অংশে বিভক্ত একটি আয়তক্ষেত্র। নিচে একটি লাল ফিতা তিন ভাগে বিভক্ত, প্রতি ভাগের নিচে $\dfrac{1}{3}$ লেখা; ফিতার ওপরে ১ মিটার চিহ্নিত। নিচে একটি বন্ধনী ও উত্তরের জন্য ফাঁকা বক্স এবং পাশে লেখা: মিটার।

Figure

লেবেল: এখানে দুইটি $\dfrac{1}{3}$ আছে। কাজেই... বর্ণনা: একটি মেয়ের ছবি সহ একটি গোলাপি বক্স, যার ভেতরে লেখা: এখানে দুইটি $\dfrac{1}{3}$ আছে। কাজেই...

Figure

বর্ণনা: একটি বেগুনি বক্সে লেখা: ১ মিটারের সমান ৩ টুকরার ২টিকে ১ মিটারের দুই-তৃতীয়াংশ বলা হয়। এটিকে লেখা হয় $\dfrac{2}{3}$ মিটার।

Printed page 96

$\dfrac{3}{3}$ মিটার হচ্ছে ১ মিটারের সমতুল্য।

৩. রং করা অংশ কত লম্বা?

(১)

Figure

লেবেল: ১ মিটার বর্ণনা: একটি ১ মিটার লম্বা ফিতা পাঁচ ভাগে বিভক্ত; বাম দিকের প্রথম ভাগ সবুজ রঙে রাঙানো।

(২)

Figure

লেবেল: ১ মিটার বর্ণনা: একটি ১ মিটার লম্বা ফিতা চার ভাগে বিভক্ত; সব ভাগ কমলা রঙে রাঙানো।

৪. রং করি

(১) $\dfrac{3}{5}$ অংশ রং করি

Figure

বর্ণনা: পাঁচটি সমান ফাঁকা ঘরে বিভক্ত একটি আয়তক্ষেত্র।

(২) $\dfrac{7}{8}$ অংশ রং করি

Figure

বর্ণনা: আটটি সমান ফাঁকা ঘরে বিভক্ত একটি আয়তক্ষেত্র।

Figure

বর্ণনা: একটি গোলাপি বক্সে লেখা: $\dfrac{3}{5}$, $\dfrac{7}{8}$ কে ভগ্নাংশ বলা হয়। এখানে ৩ ও ৭ কে লব বলে এবং ৫ ও ৮ হর বলে।

Figure

লেবেল: ভগ্নাংশ; লব; ৩; হর; ৫ বর্ণনা: একটি বক্সে ভাগ-রেখার ওপরে লব ৩ এবং নিচে হর ৫ লেখা।

৫. লবকে $\triangle$ এবং হরকে $\bigcirc$ করি।

যেমন $\dfrac{\triangle}{\bigcirc}$ = $\dfrac{1}{3}$

(১) $\dfrac{4}{5}$

(২) $\dfrac{1}{7}$

(৩) $\dfrac{5}{8}$

(৪) $\dfrac{7}{9}$

৬. একটি ভগ্নাংশ লিখি যার হর ৯ এবং লব ৫।

৭. নিচের চিত্র সম্পর্কিত প্রশ্নের উত্তর দিই।

Figure

লেবেল: ০; ১ মিটার বর্ণনা: একটি সবুজ ফিতা পাঁচ ভাগে বিভক্ত, তার নিচে একটি সংখ্যারেখা; রেখার ওপরে চারটি ফাঁকা বক্স উত্তরের জন্য; রেখার ডান প্রান্তে ১ মিটার লেখা।

Printed page 97

(১) খালিঘরে ভগ্নাংশ লিখি। (২) উপরের চিত্রের $\dfrac{1}{5}$ এর ৫ টুকরা কোথায়? (৩) কোনটি লম্বা $\dfrac{2}{5}$ মিটার নাকি $\dfrac{3}{5}$ মিটার?

৮. নিচের চিত্রের রং করা অংশ ভগ্নাংশে লিখি।

Figure

লেবেল: ০; ১ বর্ণনা: একটি সংখ্যারেখা $0$ থেকে $1$ পর্যন্ত আঁকা, সাত ভাগে বিভক্ত। রেখার ওপরে দুটি বার: উপরের ছোট বারটি সংখ্যারেখার প্রথম ভাগের মতো দৈর্ঘ্যের এবং হালকা কমলা রঙের; নিচের বড় বারটি সবুজ রঙের এবং প্রায় $\dfrac{4}{7}$ দৈর্ঘ্যের। ছোট বারের শেষ প্রান্ত থেকে ড্যাশ-রেখা নিচে সংখ্যারেখায় নামানো।

৯. নিচের ভগ্নাংশ তুলনা করি।

Figure

লেবেল: $\dfrac{1}{2}$; $\dfrac{2}{2}$; $\dfrac{1}{4}$; $\dfrac{2}{4}$; $\dfrac{3}{4}$; $\dfrac{4}{4}$ বর্ণনা: উপরে একটি হলুদ বার মাঝ বরাবর দুই ভাগে বিভক্ত; নিচে $\dfrac{1}{2}$ ও $\dfrac{2}{2}$ লেখা। তার নিচে একটি লাল বার চার ভাগে বিভক্ত; নিচে $\dfrac{1}{4}$, $\dfrac{2}{4}$, $\dfrac{3}{4}$ ও $\dfrac{4}{4}$ লেখা।

Figure

বর্ণনা: দুজন শিশুর ছবি সহ দুটি বক্সে কথা: বাম বক্সে লেখা: $\dfrac{1}{2}$ ও $\dfrac{2}{4}$ একই; ডান বক্সে লেখা: আবার $\dfrac{2}{2}$ ও $\dfrac{4}{4}$ একই এবং ১ এর সমান।

১. নিচের চিত্রগুলো ভালোভাবে লক্ষ করি এবং প্রাপ্ত তথ্য নিয়ে আলোচনা করি।

Figure

লেবেল: $\dfrac{1}{2}$; $\dfrac{\square}{4}$; $\dfrac{\square}{\square}$; $\dfrac{\square}{\square}$; $\dfrac{\square}{\square}$; ০; ১ বর্ণনা: পাঁচটি সমান দৈর্ঘ্যের আয়তক্ষেত্র একটির নিচে একটি, প্রতিটি আয়তক্ষেত্রের বাম দিকের অংশ নীল রঙে রাঙানো। প্রথম আয়তক্ষেত্রের অর্ধেক নীল; দ্বিতীয়টি চার ভাগে বিভক্ত, তিন ভাগে নীল; তৃতীয়টি তিনটি ভাগ-নীল; চতুর্থটি পাঁচ ভাগের চার ভাগ নীল; পঞ্চমটি পাঁচ ভাগ, তার মধ্যে পাঁচ ভাগ নীল (ডানে তিনটি ফাঁকা ঘর)। প্রতিটি আয়তক্ষেত্রের ডানে ভগ্নাংশ লেখার জন্য একটি ফাঁকা ঘর; নিচে একটি সংখ্যারেখা $0$ থেকে $1$।

Printed page 98

কোন ভগ্নাংশগুলো $\dfrac{1}{2}$ এর সমান?

চিত্রে কী কী ভগ্নাংশ রয়েছে যেগুলোর মান সমান?

যে ভগ্নাংশগুলোর মান সমান সেগুলোকে আমরা সমতুল ভগ্নাংশ বলি।

$\dfrac{1}{2}$ এর সমতুল ভগ্নাংশগুলো হলো $\dfrac{2}{4}$, $\dfrac{3}{6}$, $\dfrac{4}{8}$, $\dfrac{5}{10}$

২. $\dfrac{1}{2}$ এর সমতুল ভগ্নাংশ নির্ণয় করি।

Figure

বর্ণনা: একটি বক্সে লেখা: যদি আমরা লব ও হরকে ২ দ্বারা গুণ করি। আমরা পাই $\dfrac{1 \times 2}{2 \times 2} = \dfrac{2}{4}$।

$\dfrac{1 \times 3}{2 \times 3} = \dfrac{\square}{\square}$

$\dfrac{1 \times \square}{2 \times \square} = \dfrac{4}{8}$

$\dfrac{1 \times 5}{2 \times 5} = \dfrac{\square}{\square}$

কোনো ভগ্নাংশের লব ও হরকে একই সংখ্যা দ্বারা গুণ করলে যে ভগ্নাংশ পাওয়া যায়, তা পূর্বের ভগ্নাংশের সমতুল হয়।

আমরা কীভাবে সহজে সমতুল ভগ্নাংশ খুঁজে বের করব?

চলো খুঁজে দেখি।

আমরা $\dfrac{1}{2}$ ও $\dfrac{2}{4}$ সমতুল ভগ্নাংশ দুটি নিয়ে দেখি।

Figure

বর্ণনা: $\dfrac{1}{2}$ ও $\dfrac{2}{4}$ এর লব ও হর তির চিহ্ন দিয়ে আড়াআড়ি যুক্ত করা। নিচে দুটি সমীকরণ: $2 \times 2 = 4$ এবং $1 \times 4 = 4$; এদের ডানে একটি বন্ধনী চিহ্ন।

দুইটি ভগ্নাংশের লব ও হর পরস্পর গুণ করলে যদি গুণফল একই হয়, তবে ভগ্নাংশ দুটি সমতুল হবে।

Printed page 99

নিচের ভগ্নাংশের জোড়াগুলো যাচাই করি এবং সমতুল ভগ্নাংশ খুঁজে বের করি।

Figure

বর্ণনা: চারটি জোড়া ভগ্নাংশ, প্রতি জোড়ার মাঝে তির চিহ্ন দিয়ে আড়াআড়ি সংযোগ এবং প্রতিটি সংযোগের ডানে দুটি ফাঁকা বক্স। জোড়াগুলো: $\dfrac{2}{4}$ ও $\dfrac{3}{6}$; $\dfrac{3}{6}$ ও $\dfrac{4}{8}$; $\dfrac{3}{8}$ ও $\dfrac{5}{10}$; $\dfrac{4}{8}$ ও $\dfrac{5}{10}$।

১১ $\dfrac{1}{3}$ ও $\dfrac{1}{4}$ এর সমতুল ভগ্নাংশ নির্ণয় করি।

৩. খালিঘরে সমতুল ভগ্নাংশ লিখি।

৪. নিচের ভগ্নাংশ জোড়া সমতুল বা সমতুল নয়, তা নির্ণয় করি এবং টিক ($\checkmark$) চিহ্ন দিই।

১২ নিচের ভগ্নাংশ জোড়া তুলনা করি এবং প্রতীক ($>$, $<$) ব্যবহার করে ছোটো-বড়ো লিখি।

(ক) $\dfrac{1}{3}$ $\dfrac{2}{3}$ (খ) $\dfrac{2}{5}$ $\dfrac{4}{5}$ (গ) $\dfrac{7}{8}$ $\dfrac{5}{8}$ (ঘ) $1$ $\dfrac{6}{7}$

Figure

বর্ণনা: একটি গোলাপি বক্সে মেয়েটির ছবি সহ লেখা: এখানে প্রত্যেক জোড়া ভগ্নাংশের হর একই। তাই আমরা শুধু লব তুলনা করব। এটা সংখ্যার তুলনার মতোই।

Printed page 100