Primary Mathematics chapter 5: Mathematical Sentences

গাণিতিক বাক্য

গাণিতিক প্রতীক

আমাদের চেনা প্রতীকগুলো খুঁজে বের করি।

$+$ $\text{ক}$ $২$ $=$ $\times$

$( )$ $\nless$ $>$ $-$ $৯$

$\{ \}$ $<$ $\square$ $[ ]$ $\neq$

$০$ $১$ $\ngtr$ $৬$ $\div$

উপরের গাণিতিক প্রতীকগুলো লক্ষ করি। প্রতীকগুলোকে বিভিন্ন শ্রেণিতে বিন্যস্ত করতে চেষ্টা করি।

আমি বিভিন্ন প্রতীক খুঁজে পেয়েছি।

চলো, আমরা এগুলোর নাম জানতে চেষ্টা করি।

যে প্রতীকগুলো সংখ্যা লেখার জন্য ব্যবহার করা হয় সেগুলোকে বলা হয় সংখ্যা প্রতীক। $০, ১, ২, ৩, ৪, ৫, ৬, ৭, ৮, ৯$

যে প্রতীকগুলো চারটি প্রক্রিয়ার জন্য ব্যবহার করা হয় সেগুলোকে বলা হয় প্রক্রিয়া প্রতীক। $+$, $-$, $\times$ এবং $\div$

Printed page 68

যে প্রতীকগুলো সংখ্যার মধ্যকার পারস্পরিক সম্পর্ক বোঝাতে ব্যবহার করা হয় সেগুলোকে বলা হয় সম্পর্ক প্রতীক। $>$, $<$, $=$, $\ngtr$, $\nless$ এবং $\neq$

যে প্রতীকগুলো সংখ্যাগুলি মধ্যকার পারস্পরিক সম্পর্ক একত্রে বা আলাদা বোঝাতে ব্যবহৃত হয় সেগুলোকে বলা হয় বন্ধনী প্রতীক। $( )$, $\{ \}$, $[ ]$

যে আকৃতি বা অক্ষর দ্বারা অজানা সংখ্যাকে প্রকাশ করা হয়, তাকে অজানা প্রতীক বলা হয়। $\square$, $\bigcirc$, $\text{ক}$

সম্পর্ক প্রতীকগুলোর নামের ব্যাপারে খেয়াল রাখতে হবে।

১. রাতুলের কাছে ৪২ টাকা আছে। সে নিজের জন্য ১২ টাকা রেখে বাকি টাকা ৬ জনের মধ্যে সমানভাবে ভাগ করে দিলো। বিভিন্ন প্রতীক ব্যবহার করে এটি উপস্থাপন করি।

আমি এভাবে লিখেছি, $(৪২ - ১২) \div ৬$

এখানে, সংখ্যাগুলোকে প্রক্রিয়া প্রতীক ও বন্ধনী দ্বারা যুক্ত করা হয়েছে।

কতিপয় সংখ্যাকে প্রক্রিয়া প্রতীক ও প্রয়োজনে বন্ধনী দ্বারা যুক্ত করলে সংখ্যারাশি তৈরি হয়।

Printed page 69

তাহলে $(৪২ - ১২) \div ৬$ একটি সংখ্যারাশি।

১. গাণিতিক প্রতীক ব্যবহার করে নিচের সংখ্যারাশিগুলো প্রকাশ করি।

(১) উনপঞ্চাশ ভাগ সাত

(২) নয় গুণ নয় যোগ উনিশ

(৩) পঁয়ত্রিশ থেকে পাঁচ বিয়োগ করে বিয়োগফলকে ছয় দিয়ে ভাগ

(৪) পঁচিশকে পাঁচ দ্বারা ভাগ করে পঞ্চান্ন থেকে বিয়োগ

(৫) পঞ্চান্নকে বারো দিয়ে গুণ করে পাঁচ দিয়ে ভাগ

২. খালিঘরে ‘$=$’ ও ‘$\neq$’ চিহ্ন বসাই ।

(১) $৪ \times ৫ \ \square \ ২০$

(২) $৩৬ \div ১২ \ \square \ ৪$

(৩) $১৪ \times ৩ \ \square \ ৩৯+২$

(৪) $৫৭ \div ৩ \ \square \ ২৩-২$

৩. খালিঘরে ‘$\nless$’ ও ‘$\ngtr$ ’ চিহ্ন বসাই।

(১) $৬৫ \ \square \ ৫৬+৭$

(২) $৩২ + ৮ \ \square \ ৫০$

(৩) $১৫ \times ৫ \ \square \ ৮৫$

(৪) $৯৪ \div ২ \ \square \ ৪৫$

৪. $\square$ কে অজানা সংখ্যা হিসেবে ব্যবহার করে নিচের বাক্যগুলো প্রকাশ করি।

(১) ৫০ থেকে কত বিয়োগ করলে বিয়োগফল ৩৫ হয়

(২) ৮ কে কত দ্বারা গুণ করলে গুণফল ৪৮ হয়

(৩) একটি সংখ্যার সাথে ১২ যোগ করলে যোগফল ১৮০ হয়

(৪) একটি সংখ্যাকে ১৫ দ্বারা গুণ করলে গুণফল ২৭০ হয়

Printed page 70

সংখ্যারাশি দুইটি আলাদাভাবে হিসাব করে যথাযথ সম্পর্ক প্রতীক ব্যবহার করে তুলনা করি।

১ম সংখ্যারাশি $(৪৮ - ৮) \div ৪$

২য় সংখ্যারাশি $৪৮ - (৮ \div ৪)$

আমি প্রথমটি হিসাব করে ১০ পেয়েছি।

আমি দ্বিতীয়টি হিসাব করে ৪৬ পেয়েছি।

$(৪৮ - ৮) \div ৪ \ \square \ ৪৮ - (৮ \div ৪)$

চলো, খালিঘরে সম্পর্ক প্রতীক বসাই।

আমি $\neq$ বসিয়েছি।

$(৪৮ - ৮) \div ৪ \neq ৪৮ - (৮ \div ৪)$

আমি $\ngtr$ বসিয়েছি। $(৪৮ - ৮) \div ৪ \ngtr ৪৮ - (৮ \div ৪)$

আমি $<$ বসিয়েছি। $(৪৮ - ৮) \div ৪ < ৪৮ - (৮ \div ৪)$

সম্পর্ক প্রতীক ব্যবহার করে দুইটি রাশির মাঝে সম্পর্ক স্থাপন করে গাণিতিক বাক্য তৈরি করা যায়।

১. খালিঘরে গাণিতিক বাক্যের বর্ণনা লিখি।

Printed page 71

১. ডানপক্ষ ও বামপক্ষ আলাদাভাবে হিসাব করে খালিঘরে প্রতীক বসাই।

(১) $৭ + ৩ \times ৬ \ \square \ (৭ + ৩) \times ৬$

(২) $৫২ - ১৫ + ১৩ \ \square \ ৫২ - (১৫ - ১৩)$

একটি গাণিতিক বাক্যে $+$, $-$, $\times$, $\div$ থাকলে, গুণ ও ভাগের কাজ আগে করতে হবে।

(১) [বামপক্ষ] [ডানপক্ষ]

এখানে $\square$ $\square$ $\square$

অতএব, $৭ + ৩ \times ৬ \ \square \ (৭ + ৩) \times ৬$

‘সুতরাং’ বা ‘অতএব’ বোঝাতে ‘$\therefore$’ প্রতীক ব্যবহার করা হয়।

(২) [বামপক্ষ] [ডানপক্ষ]

এখানে $\square$ $\square$ $\square$

$\therefore$ $৫২ - ১৫ + ১৩ \ \square \ ৫২ - (১৫ - ১৩)$

২. খালিঘরে যথাযথ সম্পর্ক প্রতীক বসাই।

(১) $১৪২ - ৬৫ \ \square \ ৫৭ + ১২$

(২) $৬৩ \div ৭ \times ৫ \ \square \ ৬৩ \times ৫ \div ৭$

Printed page 72

গাণিতিক বাক্য ‘সঠিক’ অথবা ‘ভুল’ কি না তা নির্ণয় করি।

১. নিচের গাণিতিক বাক্যগুলোর মধ্যে কোনটি সঠিক ও কোনটি ভুল?

(১) $১৮ + ৯ = ২৭$

(২) $২৭ \div ৪ = ৮$

(৩) $১৪ \times ৩ < ৩৫ + ৪$

গাণিতিক বাক্যের বামপক্ষ ও ডানপক্ষ সতর্কতার সঙ্গে হিসাব করি ও তুলনা করি।

(১) [বামপক্ষ] [ডানপক্ষ]

∴ বাক্যটি সঠিক

কারণ $২৭$ সমান $২৭$

(২) [বামপক্ষ] [ডানপক্ষ]

∴ বাক্যটি $\square$

কারণ ভাগফল $\square$ ভাগশেষ $\square$ যা ৮ এর সমান নয়।

(৩) [বামপক্ষ] [ডানপক্ষ]

∴ বাক্যটি $\square$

কারণ $\square$

গাণিতিক বাক্য সঠিক বা ভুল হতে পারে।

১. নিচের গাণিতিক বাক্যগুলোর মধ্যে কোনটি সঠিক ও কোনটি ভুল?

(১) $৫৬ - ৭ = ৫০$

(২) $৭২ \div ৯ \ngtr ১০$

(৩) $১২ \times ৭ \neq ১৬৮ \div ২$

(৪) $৪৫ + ১৫ < ৬৫$

Printed page 73

$\square$ $+$ $৮ = ২১$ গাণিতিক বাক্যটি ‘সঠিক’ কি?

সমস্যাটি কিছুটা জটিল। তাই না?

[বামপক্ষ] [ডানপক্ষ]

$($ $\square$ $+$ $৮$ $)$ $($ $২১$ $)$ সঠিক বাক্য? ভুল বাক্য?

উপরের গাণিতিক বাক্যটিকে আমরা তাৎক্ষণিকভাবে সঠিক বা ভুল বলতে পারি না। এটি সঠিক হতে পারে আবার ভুলও হতে পারে।

বাক্যটি ‘সঠিক’ না ‘ভুল’, তা নির্ভর করে খালিঘরে কোন মান ব্যবহার করা হয় তার উপর।

এক্ষেত্রে, যদি খালি ঘরে $১৩$ বসানো হয় তবে গাণিতিক বাক্যটি সঠিক হবে। আর যদি অন্য সংখ্যা বসানো হয় তবে গাণিতিক বাক্যটি ভুল হবে।

$১৩ + ৮ = ২১$ সঠিক বাক্য

$১২ + ৮ = ২১$ ভুল বাক্য

$\square$ এ যেকোনো মান ব্যবহার করা যায়। বাক্যটি সঠিক নাকি ভুল তা নির্ভর করবে $\square$ এ কোন মান বসানো হলো তার উপর।

১. শফিকের কাছে কিছু এবং বীনার কাছে ৮টি বই আছে। দুইজনের কাছে মোট ১৮টি বই আছে।

শফিকের কাছে কতটি বই আছে তার জন্য একটি গাণিতিক বাক্য তৈরি করি।

মনে করি শফিকের বইয়ের সংখ্যা $\square$।

$\therefore$ গাণিতিক বাক্যটি হবে $\square$ $+$ $৮ = ১৮$

Printed page 74

আমরা খালিঘরে বিভিন্ন সংখ্যা বসিয়ে এটি নির্ণয় করতে পারি।

$৮ + ৮ = ১৮$ ✕

$৯ + ৮ = ১৮$ ✕

$১০ + ৮ = ১৮$ ✓

$১১ + ৮ = ১৮$ ✕

আমরা যোগ ও বিয়োগের মধ্যকার সম্পর্ক ব্যবহার করেও সমস্যাটির সমাধান করতে পারি। $\square$ $+ ৮ = ১৮$

$\square = ১৮ - ৮$

$\square = ১০$

১. $\square$ কে অজানা সংখ্যা হিসেবে ব্যবহার করে নিচের বিবরণের গাণিতিক বাক্য লিখি এবং $\square$ এর মান নির্ণয় করি।

(১) একটি সংখ্যার সঙ্গে ১২ যোগ করলে যোগফল ১৮০ হয়।

(২) একটি সংখ্যার সঙ্গে ১৫ গুণ করলে গুণফল ২৭০ হয়।

গাণিতিক বাক্য তৈরির খেলা

দুইজন করে দুইটি দল থাকবে। প্রত্যেক দলকে এক সেট কার্ড (৬টি সংখ্যা ও ৪টি প্রক্রিয়া প্রতীক) দেওয়া হবে। কার্ড ব্যবহার করে গাণিতিক বাক্য তৈরি করবে। গাণিতিক বাক্য তৈরিতে প্রত্যেক দলকে কমপক্ষে ৩টি প্রক্রিয়া প্রতীক ব্যবহার করতে হবে। যে দলের গাণিতিক বাক্যের মান বড়ো হবে সে দল বিজয়ী হবে।

Figure

লেবেল: ১৪, ৫, ২৮, ৪, ১২, ৭, , ×, ÷, + বর্ণনা: একটি সেট কার্ডের ছক। উপরের সারিতে ১৪, ৫, ২৮ এবং নিচের সারিতে ৪, ১২, ৭ লেখা ছয়টি সংখ্যা-কার্ড; নিচের সারিতে চারটি প্রক্রিয়া প্রতীক-কার্ড: ফাঁকা ঘর (), গুণ (×), ভাগ (÷) ও যোগ (+)।

Printed page 75

হিসাবের ধারাবাহিকতা

আমরা কীভাবে হিসাব করতে পারি?

১. প্রতিটি সিঞ্জাড়ার দাম ১০ টাকা এবং আমি ১২টি সিঞ্জাড়া কিনে দোকানিকে ২০০ টাকার একটি নোট দিলাম। আমি কত টাকা ফেরত পাব?

$২০০ - (১০ \times ১২)$ $= ২০০ - ১২০$ $= ৮০$ আমি এভাবে করেছি।

$২০০ - ১০ \times ১২$ $= ২০০ - ১২০$ $= ৮০$ আমি এভাবে করেছি।

একটি গাণিতিক বাক্যে যোগ অথবা বিয়োগ এবং গুণ অথবা ভাগ-সম্পর্কিত সমস্যা থাকলে প্রথমে গুণ অথবা ভাগ-এর সমাধান করতে হয়। এক্ষেত্রে বাম থেকে ডানে হিসাবটি করতে হয়।

এই নিয়মের জন্যে উপরের গাণিতিক বাক্য লেখার সময় ‘$( )$’ ব্যবহার করার প্রয়োজন নেই। আমরা উপরের গাণিতিক বাক্যগুলোকে নিম্নলিখিত উপায়ে লিখতে পারি।

$২০০ - (১০ \times ১২) \longrightarrow ২০০ - ১০ \times ১২$

১. একটি ইলিশ মাছের দাম $১২০০$ টাকা এবং এক জোড়া কবুতরের দাম $৩৩০$ টাকা। একটি ইলিশ মাছ এবং একটি কবুতর কিনলে আমার মোট কত টাকা খরচ হবে?

$\square + (\square \div \square)$

২. একটি বাঁধাকপির দাম $৪৫$ টাকা এবং একটি কুমড়ার দাম $৭৮$ টাকা হলে ২টি বাঁধাকপি এবং ৩টি কুমড়ার দাম কত হবে?

$(\square \times \square) + (\square \times \square)$

Printed page 76

২. এক জোড়া চারাগাছের দাম $১৩০$ টাকা। তুমি এগারো জোড়া চারাগাছ কিনে দোকানদারকে $১৫০০$ টাকা দিলে, দোকানদার তোমাকে কত টাকা ফেরত দিবে?

এক জোড়া সমান ২টি। প্রথমে ১১ জোড়ার দাম বের করতে হবে।

এই হিসাবটি করার জন্য প্রথমে গুণ করতে হবে এবং পরে বিয়োগ করতে হবে।

১ জোড়ার দাম $১৩০$ টাকা।

$১১$ জোড়ার দাম $\square \times \square$ $= \square$ টাকা

দোকানদার ফেরত দিবে $\square - \square$ $= \square$ টাকা

সমাধানের আরও উপায় চিন্তা করি।

গাণিতিক বাক্যটি হবে $\square$

৩. একটি তরমুজের দাম $৩৭৫$ টাকা এবং একটি পেঁপের দাম $১৫০$ টাকা। ২টি তরমুজ ও ৩টি পেঁপে কিনতে কত টাকা লাগবে?

২টি তরমুজ ও ৩টি পেঁপে কিনতে লাগবে

$=\{(\square \times \square) + (\square \times \square)\}$ $= \square + \square$ $= \square$ টাকা

বন্ধনী থাকলে প্রথমে ১ম বন্ধনীর $( )$ কাজ এবং পরে ২য় বন্ধনীর $\{ \}$ কাজ করতে হবে।

Printed page 77

৪. মামুন সাহেবের মাসিক বেতন $৩০০০০$ টাকা। প্রতি মাসে তিনি $১৫০০০$ টাকা বাড়ি-ভাড়া এবং $১৪৫০০$ টাকা অন্যান্য জিনিস ক্রয়ে খরচ করেন। তিনি $৭$ মাসে কত টাকা জমা করেন?

বাড়ি-ভাড়া ও অন্যান্য জিনিস ক্রয়ে খরচ করেন $= \square + \square = \square$ টাকা।

এক মাসে জমা করেন $= \square - \square = \square$ টাকা।

$৭$ মাসে জমা করেন $= \square \times \square = \square$ টাকা।

বিকল্প সমাধান

$৭$ মাসে মোট জমা $= \{\square - (\square + \square)\} \times \square$ $= \{\square - \square\} \times \square$ $= \square \times \square$ $= \square$ $\therefore$ তিনি $৭$ মাসে $\square$ টাকা জমা করেন।

৫. এক ডজন কলা ও এক হালি ডিমের দাম একত্রে $১৯৬$ টাকা। $১$টি ডিমের দাম $১৩$ টাকা হলে $১$টি কলার দাম কত?

এক ডজন = ১২টি এবং এক হালি = ৪টি প্রথমে ১টি ডিমের দামের সঙ্গে ৪ গুণ করে ৪টি ডিমের দাম বের করতে হবে।

১২টি কলার দামকে ১২ দিয়ে ভাগ করে ১টি কলার দাম বের করব।

এরপর ১২টি কলা ও ৪টি ডিমের দাম থেকে ৪টি ডিমের দাম বিয়োগ করে ১২টি কলার দাম বের করব।

১টি ডিমের দাম ১৩ টাকা

৪টি ডিমের দাম $\square \times \square = \square$ টাকা ১২টি কলার দাম $\square - \square = \square$ টাকা ১টি কলার দাম $\square \div \square = \square$ টাকা

আমরা সমস্যাটি এভাবেও সমাধান করতে পারি।

১টি কলার দাম $\{\square - (\square \times \square)\} \div \square$ $= \{\square - \square\} \div \square$ $= \square \div \square$ $= \square$ ১টি কলার দাম $\square$ টাকা।

Printed page 78

৬. গিয়াস সাহেবের $৫৫০০$ টাকা ছিল। সেখান থেকে তিনি $১৫০০$ টাকা নিজের জন্য রেখে বাকি টাকা ২ সন্তানকে সমানভাবে ভাগ করে দিলেন। প্রত্যেক সন্তানকে তাদের মা আরও $১৮০০$ টাকা করে দিলে তাদের প্রত্যেকের কত টাকা হবে?

আমরা সমস্যাটি যেভাবে সমাধান করতে পারি।

গাণিতিক বাক্য $($ $\square - \square$ $) \div \square + \square$ $= \square \div \square + \square$ $= \square + \square$ $= \square$

$\therefore$ প্রত্যেকের $\square$ টাকা করে হবে।

৭. ঘূর্ণিঝড়ে ক্ষতিগ্রস্ত পরিবারকে সাহায্য করার জন্য $১৮৫$টি পরিবারের নিকট থেকে $২৫০$ টাকা করে তোলা হলো এবং $১০০০০$ টাকা সরকারি অনুদান পাওয়া গেল। মোট টাকা $৩০$টি পরিবারের মধ্যে সমানভাবে ভাগ করে দিলে প্রত্যেক পরিবার কত টাকা করে পাবে?

সমস্যাটি গাণিতিক বাক্যে সমাধান করি।

গাণিতিক বাক্য $\{(\square \times \square) + \square\} \div \square$ $= \{\square + \square\} \div \square$ $= \square \div \square = \square$

$\therefore$ প্রত্যেকে $\square$ টাকা করে পাবে।

৩. $(৩৬ - ১৮) \div ৩ + ৬$ গাণিতিক বাক্যটি দিয়ে একটি গল্প তৈরি করি।

৪. খালি ঘরে সংখ্যা বসিয়ে গাণিতিক বাক্য তৈরি করে গল্প লিখি।

$\{\square - (\square \times \square)\} \div \square = \square$

Printed page 79