Primary Mathematics chapter 6: Multiples and Factors

অধ্যায় ৬

গুণিতক ও গুণনীয়ক

গুণিতক

রিয়া, রনি ও রাইসা তিন ভাই-বোন। বাবা তাদের জন্য লিচু কিনবেন। তারা $৩$ জনে $১, ২, ৩, ৪, ৫, \ldots$টি করে লিচু নিলে কয়টি লিচু লাগবে?

Figure

লেবেল: হিসাব করে দেখি কতগুলো লিচু কিনলে ৩ জনে সমানভাবে ভাগ করে নিতে পারবে। বর্ণনা: একটি ছেলে বলছে; তার পাশে ছোট পাঠে একগুচ্ছ লাল লিচু দেখানো হয়েছে, কিছু লিচুর সঙ্গে সবুজ পাতা রয়েছে।

Figure

লেবেল: $৩$ জনে লিচু নিতে পারবে; $১ \times ৩ = ৩$; $৩$টি লিচু কিনলে প্রত্যেকে $১$টি করে পাবে; $২ \times ৩ = ৬$; $৬$টি লিচু কিনলে প্রত্যেকে $২$টি করে পাবে; $৩ \times ৩ = ৯$; $৯$টি লিচু কিনলে প্রত্যেকে $৩$টি করে পাবে; $৪ \times ৩ = ১২$; $১২$টি লিচু কিনলে প্রত্যেকে $৪$টি করে পাবে; $৫ \times ৩ = ১৫$; $১৫$টি লিচু কিনলে প্রত্যেকে $৫$টি করে পাবে; $\square \times ৩ = ১৮$; $১৮$টি লিচু কিনলে প্রত্যেকে $\square$টি করে পাবে। বর্ণনা: বাম দিকে একটি বাক্সে "৩ জনে লিচু নিতে পারবে" লেখা; বাক্স থেকে ছয়টি তির ডান দিকের ছয়টি সারির দিকে গেছে। প্রতিটি সারিতে একটি গুণ এবং তার পাশে ব্যাখ্যা লেখা; শেষ সারির দুটি ঘর ফাঁকা।

$৩$কে $১, ২, ৩, ৪, ৫. \ldots,$ দ্বারা গুণ করার ফলে $৩, ৬, ৯, ১২, ১৫, \ldots$ ইত্যাদি সংখ্যা পাই। $৩$কে কোনো পূর্ণ সংখ্যা দ্বারা গুণ করার ফলে যে সকল সংখ্যা পাওয়া যায় সেগুলো হলো $৩$ এর গুণিতক।

$৩, ৬, ৯, ১২, ১৫, \ldots$ ইত্যাদি সংখ্যাগুলো হলো $৩$ এর গুণিতক।

সাধারণত আমরা $০$ এর গুণিতক হিসাব করি না।

$১$. নিচের তালিকা থেকে $২$ ও $৩$ এর গুণিতকগুলোকে ○ দ্বারা চিহ্নিত করি।

$২$ এর গুণিতক

$৩$ এর গুণিতক

Printed page 82

১. একটি দোকানের তাকে কতগুলো চকোলেটের বাক্স আছে। বাক্সগুলোর প্রতিটির উচ্চতা $৪$ সেমি। বাক্সগুলোকে একটির উপর আরেকটি পরপর সাজালে উচ্চতার পরিমাপ অনুযায়ী যে সংখ্যাগুলো পাওয়া যাবে তা বের করি।

Figure

বর্ণনা: একটি গোলাপি রঙের চকোলেটের বাক্স, যা একাধিক স্তরে একটির উপর আরেকটি সাজানো; প্রতিটি স্তরে ছোট ছোট চকোলেট রয়েছে।

সংখ্যাগুলো $৪$ এর গুণিতক হবে।

এটি সহজ। চিত্রের বাক্সগুলোকে সাজালে $৪ \times ১ = ৪$, $৪ \times ২ = ৮$, $৪ \times ৩ = ১২$, $৪ \times ৪ = ১৬$, $৪ \times ৫ = ২০$ ও $৪ \times ৬ = ২৪$ পাওয়া যাবে।

২. কোনো সংখ্যার গুণিতক কীভাবে নির্ণয় করব?

কোনো সংখ্যাকে পূর্ণ সংখ্যা দ্বারা গুণ করলে গুণফলই হবে ঐ সংখ্যার গুণিতক। কোন সংখ্যার গুণিতক অনির্দিষ্ট বা অসীম।

কোনো সংখ্যার গুণিতক বের করার জন্য ঐ সংখ্যাটিকে $১, ২, ৩, ৪, \ldots, \ldots$ ইত্যাদি সংখ্যা দ্বারা গুণ করতে হবে। গুণ করার পর প্রাপ্ত গুণফলগুলোই হবে উক্ত সংখ্যার গুণিতক।

২. নিচের সংখ্যা চার্টের $৫$ এর গুণিতকগুলো $\square$ এবং $৭$ এর গুণিতকগুলোকে $\bigcirc$ দ্বারা চিহ্নিত করি।

Printed page 83

৩. $৩, ৪, ও ৬$ এর প্রথম $১০$টি করে গুণিতক লিখি।

৪. রিয়াদ তাদের আমবাগানের $৮$টি গাছ থেকে যথাক্রমে $৮$টি, $১০$টি, $১২$টি, $১৬$টি, $২৪$টি, $২৮$টি, $৩২$টি ও $৩৬$টি করে আম পাড়ল। গাছ থেকে পাড়া আমের সংখ্যার মধ্যে $৮$ এর গুণিতকগুলো খালি ঘরে লিখি।

$\square$ , $\square$ , $\square$ , $\square$

৫. শ্রেণি মূল্যায়নে $৭$ জন শিক্ষার্থীর গণিত বিষয়ের নম্বর যথাক্রমে $১৫$, $৩৭$, $২৫$, $৩৬$, $৪০$, $১৮$ ও $৩০$। নম্বরগুলোর মধ্যে যেগুলো $৯$ এর গুণিতক তা নিচের খালিঘরে লিখি।

৬. নিচে $১০$ এর গুণিতকে গোল $\bigcirc$ চিহ্ন দিই।

৭. নিচের সংখ্যাগুলোতে $৪$ এর গুণিতকে $\bigcirc$ চিহ্ন, $৮$ এর গুণিতকে $\square$ চিহ্ন এবং $৯$ এর গুণিতকে $\triangle$ চিহ্ন দিই।

৮. শূন্যস্থানে সঠিক সংখ্যা বসাই।

(১) $৩ \times ৭ = ২১$, তাই $২১$ হলো … এবং … এর গুণিতক।

(২) $৮ \times ৯ = ৭২$, তাই … হলো $৮$ এবং … এর গুণিতক।

(৩) $৩ \times ৪ \times ৫ = ৬০$, তাই $৬০$ হলো ….., ….. এবং ….. এর গুণিতক।

(৪) $১৩$ সংখ্যাটি … এবং … এর গুণিতক।

Printed page 84

গুণনীয়ক

রুমির কাছে $৮$টি মিষ্টি আছে। মিষ্টিগুলো বন্ধুদের মধ্যে সমানভাবে ভাগ করে দিতে চায়। কোনো মিষ্টি অবশিষ্ট না রেখে সে কতজনকে দিতে পারবে?

Figure

বর্ণনা: একটি খোলা বাক্সে অনেকগুলো লাল মিষ্টি রাখা আছে।

আমরা প্রথমে মিষ্টিগুলো একজনকে দেওয়ার মাধ্যমে সমাধান খোঁজার চেষ্টা করি। এরপর পর্যায়ক্রমে কতজনকে দেওয়া যাবে তা বের করি।

$৮$টি মিষ্টি $১$ জন, $২$ জন, $৪$ জন অথবা $৮$ জন বন্ধুকে সমানভাবে ভাগ করে দেওয়া যাবে।

$১$ জন বন্ধু হলে $৮$টি মিষ্টি দেওয়া যাবে।

$২$ জন বন্ধু হলে $৪$টি করে মিষ্টি দেওয়া যাবে।

$৬$ জন বন্ধু হলে $১$টি করে মিষ্টি দেওয়ার পর $২$টি অবশিষ্ট থাকবে।

$১, ২, ৪, ও ৮$ কে আমরা $৮$ এর গুণনীয়ক বা উৎপাদক বলি।

$৮$ কে $১, ২, ৪$ ও $৮$ দ্বারা নিঃশেষে ভাগ করা যায়।

১. গুণনীয়কগুলো খুঁজে বের করে ($\textcolor{red}{\surd}$) চিহ্ন দিই। আমি কী এবং কীভাবে খুঁজে পেয়েছি তা নিয়ে সহপাঠীদের সঙ্গে আলোচনা করি।

Printed page 85

২. বিভিন্নভাবে সাজানোর খেলা

শিক্ষক আমাদেরকে বিভিন্ন দলে ভাগ করে প্রতিটি দলকে ১২টি করে বোতলের ছিপি দিলেন। তিনি নির্দেশ দিলেন, ছিপিগুলোকে ইচ্ছেমতো এক বা একাধিক সারিতে এমনভাবে সাজাতে হবে যেন প্রতি সারিতে সমান সংখ্যক ছিপি থাকে এবং কোনো ছিপি অবশিষ্ট না থাকে।

নির্দেশনা অনুযায়ী ছিপিগুলো সাজাই।

Figure

লেবেল: $১২=২\times৬$, $১২=৩\times৪$, $১২=৪\times৩$, $১২=৬\times২$, $১২=১২\times১$, $১২=১\times১২$ বর্ণনা: একটি বৃত্তের ভেতরে ১২টি লাল ছিপি জড়ো করা আছে। বৃত্ত থেকে ছয়টি তীর ছয় দিকে বের হয়ে ছয়টি ভিন্ন সাজানোর দিকে যাচ্ছে; প্রতিটি সাজানোয় ছিপিগুলো সারি ও স্তম্ভে সাজানো, এবং প্রতিটির নিচে সংশ্লিষ্ট সমীকরণ লেখা আছে।

ছিপিগুলো সাজানোর মাধ্যমে আমরা পেলাম $\square$, $\square$, $\square$, $\square$, $\square$, ও $\square$ দ্বারা আমরা $১২$কে নিঃশেষে ভাগ করতে পারি। এই $৬$টি সংখ্যা $১২$ এর গুণনীয়ক।

Printed page 86

কোনো সংখ্যার গুণনীয়ক সংখ্যা নির্দিষ্ট।

আমি গুণিতক ও গুণনীয়কের মধ্যে একটা সম্পর্ক খুঁজে পেয়েছি। যেমন– $৩$ ও $৪$ হলো $১২$ এর গুণনীয়ক আবার $৩$ ও $৪$ এর গুণিতক হলো $১২$।

$১২=৪\times৩$

আমি গুণনীয়কগুলোর মাঝে সম্পর্ক খুঁজে পাই

Figure

লেবেল: $১$, $২$, $৩$, $৪$, $৬$, $১২$ বর্ণনা: ছয়টি সংখ্যা একটি সারিতে সাজানো। সংখ্যাগুলোর নিচে বাঁকানো তীরচিহ্ন দিয়ে সংখ্যাজোড় যুক্ত করা হয়েছে; সবচেয়ে বড় তীর $১$ থেকে $১২$ পর্যন্ত যাচ্ছে।

গুণনীয়কগুলোর মাঝে একটি জোড়া আছে যাদের গুণফল $১২$।

কোনো সংখ্যার গুণিতক গুণনীয়ক দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য।