Primary Mathematics chapter 10: Geometry

জ্যামিতি

কোণ পরিমাপ

কোণ কী এবং কীভাবে কোণ উৎপন্ন হয়?

১. নিচের ছবিগুলোতে কোনো কোণা বা কোণ রয়েছে কি না তা খুঁজে বের করি।

Figure

বর্ণনা: তিনটি ঘর। প্রথম ঘরে একটি লাল বৃত্তাকার দেয়াল-ঘড়ি; ঘড়ির কাঁটা দুটি কোণ তৈরি করেছে। দ্বিতীয় ঘরে একটি টেবিল, দুটি জানালা, একটি বাড়ি ও কয়েকটি বই। তৃতীয় ঘরে একটি রিকশা।

২. একটি গোলাকার কাগজ ও একটি বর্গাকার কাগজ নিই এবং এদেরকে একে অপরের উপর ঘুরিয়ে বিভিন্ন কোণ তৈরি করি।

Figure

বর্ণনা: তিনটি ধাপ, তীর দিয়ে যুক্ত। প্রথম ধাপে একটি হলুদ বর্গাকার কাগজ ও একটি নীল গোলাকার কাগজ পাশাপাশি, বর্গাকারটিতে একটি রেখা আঁকা। দ্বিতীয় ধাপে গোলাকার কাগজটি বর্গাকারের উপর রাখা। তৃতীয় ধাপে বর্গাকারের ভেতর থেকে নীল একটি কোণাকার অংশ দেখা যাচ্ছে।

চিত্রানুযায়ী, গোলাকার কাগজটির মধ্যবিন্দু ও বর্গাকার কাগজটির মাঝামাঝি পর্যন্ত কাটি।

চিত্রানুযায়ী, বর্গাকার কাগজের মাঝে বৃত্তাকার কাগজটি প্রবেশ করাই এবং ঘুরিয়ে বিভিন্ন আকারের কোণ তৈরি করি।

Printed page 144

Figure

লেবেল: ১, ২, ৩, ৪ বর্ণনা: চারটি ধাপে হলুদ বর্গাকার কাগজের উপর নীল অংশ ঘোরানো হচ্ছে। প্রথম ধাপে কেবল একটি রেখা, দ্বিতীয় ধাপে রেখাটি ঘুরে সামান্য কোণ, তৃতীয় ধাপে আরও বেশি ঘুরে সমকোণ, চতুর্থ ধাপে তার চেয়েও বড়ো কোণ দেখানো হয়েছে। নিচে প্রতিটি ধাপের রেখা বা কোণের আলাদা চিত্র রয়েছে।

কোণগুলোকে ক, খ, গ দ্বারা নামকরণ করে একসঙ্গে সাজালে পাই

Figure

লেবেল: ক, খ, গ বর্ণনা: চারটি কোণ পাশাপাশি। প্রতিটিতে একটি অনুভূমিক রেখার বাঁ প্রান্তে ক, ডান প্রান্তে গ এবং উপরের প্রান্তে খ লেখা; প্রতিটি কোণের শীর্ষে একটি বক্ররেখার চিহ্ন রয়েছে। তৃতীয় চিত্রে খ-রেখাটি উল্লম্ব।

১. উপরের নিয়মে কাগজ ব্যবহার করে আর কিছু কোণ তৈরি করি ও চিত্র আঁকি।

কোনো কোণের আকৃতি ওই কোণ উৎপন্নকারী রেখা দুইটির দৈর্ঘ্যের সঙ্গে সম্পর্কিত নয় বরং রেখাদ্বয় কতখানি খোলা বা দূরে তার উপর নির্ভরশীল।

আমরা কি কোণের আকৃতিকে সংখ্যায় প্রকাশ করতে পারি?

■ কোণের আকৃতি পরিমাপের একক হলো ডিগ্রি এবং একে ‘$^\circ$’ দ্বারা প্রকাশ করা হয়। কোণের আকৃতিই কোণের পরিমাপ নির্দেশ করে।

Printed page 145

কীভাবে কোণ পরিমাপ করা যায়?

কোণ পরিমাপের জন্য আমরা চাঁদা ব্যবহার করি।

Figure

লেবেল: ১° (১ ডিগ্রি), ৯০° = সমকোণ বর্ণনা: একটি চাঁদার উপর একটি গোলাপি রেখা, যা একটি কোণ তৈরি করে; রেখার পাশে দুটি লাল তীর চিহ্নিত। ডানপাশে দুটি বাক্সে যথাক্রমে ১° (১ ডিগ্রি) ও ৯০° = সমকোণ লেখা।

চলো, আমরা ৯০° সমান ও তার চেয়ে ছোটো কিছু কোণ সম্পর্কে ধারণা নিই।

Figure

লেবেল: ৯০° এর সমান, ৯০°(সমকোণ), ৯০° এর $\dfrac{১}{২}$, ৪৫°, ৯০° এর $\dfrac{২}{৩}$, ৬০°, ৯০° এর $\dfrac{১}{৩}$, ৩০° বর্ণনা: চারটি সারিতে চাঁদা এবং তার ডানে একটি করে কোণ। প্রথম সারিতে চাঁদার উল্লম্ব রেখা ও সমকোণ, যার নিচে বর্গাকার চিহ্ন। দ্বিতীয় সারিতে চাঁদার ৪৫° রেখা ও ৪৫° কোণ (হলুদ চাপ)। তৃতীয় সারিতে ৬০° কোণ (নীল চাপ)। চতুর্থ সারিতে ৩০° কোণ (গোলাপি চাপ)।

৯০° অপেক্ষা ছোটো কোণকে সূক্ষ্মকোণ বলে।

Printed page 146

চলো, আমরা ৯০° কোণের চেয়ে বড়ো কোণের ধারণা নিই।

Figure

লেবেল: ১১০° বর্ণনা: একটি চাঁদা, তার উপর দুটি রেখা; একটি গোলাপি রেখা চাঁদার কেন্দ্র থেকে উপরে বাঁ দিকে গেছে। ডানপাশে একটি কোণ, যার বাহু একটি উল্লম্ব ও ডানদিকে একটি অনুভূমিক রেখা; কোণটির মান ১১০° লেখা।

৯০° চেয়ে বড়ো ও ১৮০° চেয়ে ছোটো কোণকে স্থূলকোণ বলে।

১. চাঁদার সাহায্যে কোণ ‘ক’ পরিমাপ করি।

Figure

লেবেল: ক, খ, গ বর্ণনা: একটি কোণ; শীর্ষবিন্দু ক, অনুভূমিক বাহু ক থেকে খ পর্যন্ত, তির্যক বাহু ক থেকে গ পর্যন্ত। কোণের ভেতরে একটি চাপ চিহ্নিত।

ক কোণকে $\angle \text{ক}$ বা $\angle \text{খকগ}$ রূপে লেখা যায় এবং কোণ খকগ পড়া যায়।

[১] চাঁদার কেন্দ্রবিন্দুকে ক শীর্ষবিন্দুতে স্থাপন করি। [২] খক বাহুকে চাঁদার $০^\circ$ এর সঙ্গে মিলাই। [৩] কগ বাহু চাঁদার যে দাগটির সঙ্গে মিলিত হয় তার মানটিই হলো কোণের পরিমাণ।

Figure

লেবেল: ক, খ, গ, ১, ২, ৩ বর্ণনা: একটি চাঁদা অনুভূমিক রেখার উপর রাখা; তার কেন্দ্র ক-তে, বাঁ দিকে ০° রেখায় খ লেখা, ডানদিকে ১৮০° রেখায় ২ চিহ্নিত এবং গ-বাহু একটি তির্যক রেখা যা চাঁদার ৩ চিহ্নিত দাগের সঙ্গে মিলিত।

কোণ ক-এর পরিমাপ $৫০^\circ$ ($\angle \text{ক} = ৫০^\circ$ বা $\angle \text{খকগ} = ৫০^\circ$)।

১. নিচের কোণগুলো পরিমাপ করি।

Figure

লেবেল: ক, খ, গ, ঘ বর্ণনা: চারটি কোণ। ক-কোণের বাহু বাঁ দিকে ওপরে উঠেছে; খ-কোণ ডানদিকে নিচে নেমেছে; গ-কোণটি একটি সমকোণ (বর্গাকার চিহ্ন); ঘ-কোণের বাহু বাঁ দিকে ওপরে উঠে অনুভূমিক রেখার সঙ্গে একটি চাপ দ্বারা চিহ্নিত।

Printed page 147

২. আমরা কয়েকটি দলে মিলে গণিত পাঠ্যপুস্তক, ব্ল্যাকবোর্ড বা জানালার কোণগুলো চাঁদার সাহায্যে পরিমাপ করি এবং কোণগুলোর প্রত্যেকটি কত ডিগ্রি হয় তা পরিমাপ করে প্রকাশ করি।

৩. ঘর বা শ্রেণিকক্ষের দরজার চৌকাঠ বরাবর দরজা খোলা অবস্থায় মেঝেতে চক দিয়ে দাগ দিয়ে চৌকাঠের সঙ্গে কত ডিগ্রি কোণ উৎপন্ন হয় তা পরিমাপ করি।

Figure

বর্ণনা: একটি ঘরের ভেতর থেকে দেখা দরজা; দরজার চৌকাঠ ও একটি কাঠের পাল্লা খোলা অবস্থায় দেখানো হয়েছে, পাল্লাটি চৌকাঠ থেকে কিছুটা সরে আছে।

২. $৫০^\circ$ পরিমাপের একটি কোণ আঁকি।

১। ক খ সরল রেখা আঁকি।

Figure

লেবেল: ক, খ বর্ণনা: একটি অনুভূমিক রেখা; বাঁ প্রান্তে ক এবং ডান প্রান্তে খ লেখা। পাশে একটি লাল পেনসিল রয়েছে।

২। ক বিন্দুতে চাঁদার কেন্দ্রবিন্দু স্থাপন করি এবং ক খ রেখাকে $০^\circ$ বরাবর মিলাই।

Figure

লেবেল: ক, খ বর্ণনা: একটি চাঁদা, তার কেন্দ্র ক-তে এবং ০° রেখা ক খ রেখার উপর; ডান প্রান্তে খ লেখা।

৩। $৫০^\circ$ বরাবর একটি বিন্দু গ নিই।

Figure

লেবেল: ক, খ, গ বর্ণনা: একটি চাঁদা, তার কেন্দ্র ক-তে; কেন্দ্র থেকে একটি গোলাপি রেখা চাঁদার $৫০^\circ$ দাগের দিকে গেছে এবং তার শেষ প্রান্তে গ লেখা।

৪। চাঁদা সরিয়ে ফেলি এবং ক থেকে গ বিন্দু পর্যন্ত স্কেলের সাহায্যে একটি রেখা টানি।

৫। $\angle \text{খকগ} = ৫০^\circ$

Figure

লেবেল: ক, খ, গ বর্ণনা: ক শীর্ষবিন্দু থেকে একটি অনুভূমিক রেখা খ পর্যন্ত এবং একটি তির্যক রেখা গ পর্যন্ত; কোণের ভেতরে একটি চাপ চিহ্নিত।

Printed page 148

৩. নিচের ত্রিকোণী সেটের কোণগুলো পরিমাপ করি।

Figure

বর্ণনা: দুটি ত্রিকোণী সেট (স্কেল-সহ সেট স্কোয়ার)। বাঁ দিকের সেটে ডান দিকে স্কেলে 0 থেকে 17 পর্যন্ত সংখ্যা, বাঁ নিচের কোণে চাপ ও বাম উপরের কোণে সমকোণ চিহ্নিত; সেটের ভেতরে একটি সবুজ ত্রিভুজ-রেখা আঁকা। ডান দিকের সেটে স্কেলে 1 থেকে 17 পর্যন্ত সংখ্যা, ওপরের কোণে ও নিচের কোণে চাপ এবং নিচের ডান কোণে সমকোণ চিহ্নিত। মোট ছয়টি কোণের জন্য ছয়টি ফাঁকা বাক্স রয়েছে যেখানে মান লিখতে হবে।

কোণসমূহকে নিম্নরূপে শ্রেণিবিভাগ করা যায়।

Printed page 149

৪. পরিমাপ না করে $\angle \text{ক}$, $\angle \text{খ}$, $\angle \text{গ}$, $\angle \text{ঘ}$ এবং $\angle \text{ঙ}$ কোণগুলোর মান নির্ণয় করি।

Figure

লেবেল: ক, ৬০°, খ, গ, ঘ, ঙ, ৪০°, ২০° বর্ণনা: একটি ঘরের বাইরের রূপ: উপরে ছাদের মতো ত্রিভুজাকার অংশ, যার ভেতরে একটি ৬০° চিহ্নিত রেখা ও ক চিহ্নিত চাপ। নিচের অংশে একটি বর্গাকার দরজা ও তার পাশে একটি ছোটো বর্গাকার চিহ্ন এবং খ লেখা। ডান দিকে একটি আয়তক্ষেত্রের ভেতর দুটি রেখা পরস্পর ছেদ করে, যেখানে গ, ঘ, ঙ, ৪০° ও ২০° চিহ্নিত।

৪. ঘড়ির ঘণ্টা ও মিনিটের কাঁটা দ্বারা সৃষ্ট কোণগুলোর পরিমাপ করে বলি।

Figure

লেবেল: (১), (২), (৩), (৪) বর্ণনা: চারটি ঘড়ি পাশাপাশি, প্রতিটিতে ঘণ্টা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যে একটি নীল চাপ দ্বারা কোণ চিহ্নিত। (১) মিনিটের কাঁটা ১২ এ, ঘণ্টার কাঁটা ৩ এ; (২) মিনিটের কাঁটা ১২ এ, ঘণ্টার কাঁটা ২ ও ৩ এর মাঝে; (৩) মিনিটের কাঁটা ১২ এ, ঘণ্টার কাঁটা ৬ এ; (৪) একটি কাঁটা ৬ এর দিকে এবং অন্যটি ৪-৫ এর মাঝে।

৫. পেনসিল দিয়ে ছক কাগজে বিভিন্ন ধরনের কোণ এঁকে তা নামকরণ করি।

(যেমন– সমকোণ, সূক্ষ্মকোণ, স্থূলকোণ, সরলকোণ ইত্যাদি।)

Figure

বর্ণনা: খালি বর্গাকার ছক কাগজ (গ্রিড), কোণ আঁকার জন্য।

Printed page 150

লম্বরেখা

চলো, নিচের রাস্তাগুলো কীভাবে একটি অপরটির ওপর দিয়ে আড়াআড়িভাবে গেছে তা নিয়ে আলোচনা করি।

Figure

লেবেল: জ, ঝ, ঞ, ট, ঠ, ঙ, ক, চ, গ, খ, ঘ, ড, ছ, ট বর্ণনা: একটি শহরের মানচিত্র। উল্লম্ব রাস্তাগুলো উপরের দিকে জ, ঝ, ঞ, ট, ঠ লেখা; অনুভূমিক রাস্তাগুলো বাঁ দিকে ঙ ও চ, ডান দিকে ক ও ড লেখা। রাস্তাগুলোর ছেদবিন্দুতে গ, খ, ঘ ও ক চিহ্নিত বৃত্ত আঁকা। নীচে ছ ও ট লেখা।

১. ক, খ, গ ও ঘ-এর মধ্যে কোন কোন বিন্দুতে দুইটি রেখা পরস্পরের সাথে সমকোণে মিলিত হয়েছে?

Figure

লেবেল: ক, খ, গ, ঘ বর্ণনা: চারটি বিবর্ধিত অংশ, প্রতিটিতে একটি বৃত্ত দিয়ে চিহ্নিত ছেদবিন্দু। ক-অংশে একটি অনুভূমিক ও একটি তির্যক রাস্তা; খ-অংশে একটি বাড়ির সামনে দুটি রাস্তা; গ-অংশে একটি উল্লম্ব ও একটি অনুভূমিক রাস্তা, পাশে একটি গাছ; ঘ-অংশে একটি উল্লম্ব ও একটি অনুভূমিক রাস্তা, নিচে একটি ভবন।

একটি রেখা অপর একটি রেখার উপর লম্ব হবে যখন এরা একে অপরকে সমকোণে ছেদ করে বা মিলিত হয়।

Figure

বর্ণনা: চারটি রেখার চিত্র। প্রথমটিতে একটি উল্লম্ব ও একটি অনুভূমিক রেখা সমকোণে ছেদ করেছে; দ্বিতীয়টিতে দুটি তির্যক রেখা সমকোণে ছেদ করেছে; তৃতীয়টিতে একটি উল্লম্ব রেখা একটি অনুভূমিক রেখার উপর সমকোণে মিলিত; চতুর্থটিতে একটি উল্লম্ব ও একটি অনুভূমিক রেখার মিলনস্থলে সমকোণ চিহ্নিত।

Printed page 151

২. চিত্রে আনুভূমিক রেখাটিকে আরও বাড়ানো হলে এই রেখা দুটি কীভাবে একটি আরেকটিকে ছেদ করবে?

Figure

বর্ণনা: একটি গোলাকার কোণযুক্ত আয়তাকার ঘরের ভেতর একটি অনুভূমিক রেখা ও তার ডানে একটি উল্লম্ব রেখা; উল্লম্ব রেখাটি অনুভূমিক রেখার সঙ্গে ছেদ করেনি।

আমার মনে হয়, শুধু লম্ব হবে।

Figure

বর্ণনা: বাঁ দিকে একটি অনুভূমিক রেখা, তার ডান প্রান্তে একটি বিন্দুরেখা (সম্প্রসারিত অংশ) এবং সেখানে একটি উল্লম্ব রেখা; ছেদবিন্দুতে সমকোণ চিহ্নিত।

১. মূল প্রশ্নে প্রদত্ত মানচিত্র থেকে আরও এক জোড়া লম্বরেখা খুঁজে বের করি।

২. নিচের ছবিগুলোর মধ্যে কোনটিতে লম্ব আছে?

Figure

লেবেল: ক, খ, গ বর্ণনা: তিনটি রেখাচিত্র। ক-তে একটি অনুভূমিক ও একটি উল্লম্ব রেখা মিলিত; খ-তে দুটি তির্যক রেখা পরস্পরকে ছেদ করেছে; গ-তে দুটি সমান্তরাল তির্যক রেখার একটি অন্যটির চেয়ে নিচে।

৩. লম্ব রেখা আছে পরিবেশের এমন বস্তুর কথা চিন্তা করি এবং বস্তুগুলোর নাম লিখি।

৩. চলো, নিচের মানচিত্র দুটিতে রাস্তাগুলো কীভাবে পাশাপাশি সাজানো আছে তা দেখি।

Figure: চিত্র-১

লেবেল: ঝ, ঞ, ঙ, ক, ছ, ঢ, চিত্র-১ বর্ণনা: একটি ছোটো মানচিত্র; উল্লম্ব রাস্তা ওপরে ঝ ও ঞ, অনুভূমিক রাস্তা বাঁ দিকে ঙ ও ডান দিকে ক, নিচে ছ ও ঢ লেখা; নিচের দিকে একটি বাড়ি আঁকা।

Figure: চিত্র-২

লেবেল: ঝ, ঙ, ক, গ, ঘ, ছ, চিত্র-২ বর্ণনা: একটি ছোটো মানচিত্র; ওপরে ঝ লেখা একটি উল্লম্ব রাস্তা, বাঁ দিকে ঙ ও ডান দিকে ক লেখা অনুভূমিক রাস্তা, বাঁ নিচে গ ও ডান নিচে ঘ লেখা; নিচে ছ লেখা একটি উল্লম্ব রাস্তা। ভেতরে একটি গাছ ও একটি বাড়ি আঁকা।

(ক) ১নং চিত্রে কোন রেখা দুটি পরস্পর লম্ব?

(খ) ২নং চিত্রে কোন রেখা দুটি সমান দূরে?

Printed page 152