Primary Mathematics chapter 3: Multiples and Factors

অধ্যায় ৩: গুণিতক ও গুণনীয়ক

গুণিতক

লিরা নানা বাড়ি থেকে অনেকগুলো লিচু নিয়ে এসেছে। সে তার বন্ধুদের ৪টি করে লিচু দিতে চায়। সে বাসা থেকে কতগুলো লিচু নিবে?

তার বন্ধুর সংখ্যা ৩ জন হলে ১২টি, ৪ জন হলে ১৬টি, ৫ জন হলে ২০টি লিচু লাগবে।

নিচের ছক পূরণ করি এবং আলোচনা করি লিরার কয়টি লিচু লাগতে পারে।

লিরা তার প্রত্যেক বন্ধুকে ৪টি করে লিচু দিলে তাকে ৪, ৮, ১২, ১৬, ২০, .... সংখ্যক লিচু নিতে হবে।

৪, ৮, ১২, ১৬, ২০, ২৪, ... সংখ্যাগুলো ৪ এর গুণিতক। অর্থাৎ ৪কে পূর্ণ সংখ্যা দিয়ে গুণ করলে যে যে সংখ্যা পাওয়া যায় সেই সংখ্যাগুলো ৪ এর গুণিতক।

কোনো সংখ্যার গুণিতক হলো ঐ সংখ্যার সাথে যেকোনো পূর্ণ সংখ্যার গুণফল।

যদি লিরা তার প্রত্যেক বন্ধুকে ৩টি করে লিচু দিতো তাহলে তার কয়টি লিচু লাগত?

ছক পূরণ করে দেখি।

৩টি করে লিচু দিলে তাকে ৩, ৬, ৯, ১২, ১৫, ১৮, ২১, ... সংখ্যক লিচু দিতে হবে।

৩, ৬, ৯, ১২, ১৫, ১৮, ২১, ২৪, .... সংখ্যাগুলো ৩ এর গুণিতক।

১. ৫, ৭, ৮ ও ৯ এর ১০টি করে গুণিতক নির্ণয় করি।

Printed page 32

১. নিচের ৩ ও ৪ এর গুণিতকগুলোর সারি ভালোভাবে লক্ষ করি এবং কোন গুণিতকগুলো একই তা $\bigcirc$ দ্বারা চিহ্নিত করি।

৩ এর গুণিতক ৩, ৬, ৯, ১২, ১৫, ১৮, ২১, ২৪, ...., .... ৪ এর গুণিতক ৪, ৮, ১২, ১৬, ২০, ২৪, ২৮, ৩২, ...., .... ৩ ও ৪ এর সাধারণ গুণিতক হলো [ ], [ ]

Figure: ৩ ও ৪ এর গুণিতক

লেবেল: ৩ এর গুণিতক, ৪ এর গুণিতক, ৩, ৬, ৯, ১৫, ১৮, ২১,, ১২, ২৪, ৪, ৮, ১৬, ২০, ২৮, ৩২ বর্ণনা: দুটি পরস্পরছেদী বৃত্ত। বাঁয়ের বৃত্তটি ৩ এর গুণিতক এবং ডানেরটি ৪ এর গুণিতক নির্দেশ করে। বৃত্ত দুটির সাধারণ ছেদ অংশে ১২ এবং ২৪ অবস্থিত।

যেসব সংখ্যা ৩ ও ৪ উভয়েরই গুণিতক সেইসব সংখ্যাকে ৩ ও ৪ এর সাধারণ গুণিতক বলে।

৩ ও ৪ এর সাধারণ গুণিতকগুলো হলো ১২, ২৪, ৩৬,.....

২টি সংখ্যার সাধারণ গুণিতক অনেকগুলো হতে পারে।

২. নিচের সারি দুইটি থেকে ৪ ও ৬ এর সাধারণ গুণিতকগুলো $\bigcirc$ দ্বারা চিহ্নিত করি এবং সাধারণ গুণিতকগুলো নির্ণয় করি।

৪ এর গুণিতক

৬ এর গুণিতক

Figure: ৪ ও ৬ এর সাধারণ গুণিতক

লেবেল: ৪ এর গুণিতক, ৬ এর গুণিতক, ৪ ও ৬ এর সাধারণ গুণিতক বর্ণনা: দুটি পরস্পরছেদী খালি বৃত্ত। বাঁয়ে ৪ এর গুণিতক ও ডানে ৬ এর গুণিতক লেখা। তাদের সাধারণ ছেদ অংশ থেকে নিচে একটি তীরচিহ্ন নেমে এসেছে, যার নিচে লেখা '৪ ও ৬ এর সাধারণ গুণিতক'।

২. ২ ও ৫ এর ২টি সাধারণ গুণিতক বের করি।

Printed page 33

৩. মিলির বাসায় ৩ জন অথবা ৫ জন বন্ধু বেড়াতে এলে তাকে কমপক্ষে কয়টি চকলেট কিনতে হবে যাতে সবাইকে সমানভাবে ভাগ করে দিতে পারে?

আমাদেরকে ৩ ও ৫ এর গুণিতক বের করতে হবে।

৩ এর গুণিতক ৩, ৬, ৯, ১২, ....., ....., ....., ....., ....., ....., ....., ....., ৫ এর গুণিতক ৫, ১০, ১৫, ২০, ....., ....., ....., ....., ....., ....., ৩ ও ৫ এর সাধারণ গুণিতক ....., .....,

৩ ও ৫ এর সবচেয়ে ছোটো (লঘিষ্ঠ) সাধারণ গুণিতক হলো... ৩ ও ৫ এর লসাগু হলো ........ অর্থাৎ মিলি কমপক্ষে ......টি চকলেট কিনলে তার ৩ জন অথবা ৫ জন বন্ধুকে সমানভাবে ভাগ করে দিতে পারবে।

Figure: ৩ ও ৫ এর সাধারণ গুণিতক

লেবেল: ৩ এর গুণিতক, ৫ এর গুণিতক, ৩, ৬, ৯, ১২, ১৮, ২১, ২৪,, ১৫, ৩০, ৫, ১০,, ২০, ২৫,, ৩ ও ৫ এর সাধারণ গুণিতক বর্ণনা: দুটি পরস্পরছেদী বৃত্ত। বাঁয়েরটিতে ৩ এর গুণিতক এবং ডানেরটিতে ৫ এর গুণিতক নির্দেশ করা হয়েছে। তাদের সাধারণ ছেদ অংশে ১৫ ও ৩০ অবস্থিত। নিচে লেখা '৩ ও ৫ এর সাধারণ গুণিতক'।

একে লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক বা সংক্ষেপে লসাগু বলে।

দুই বা ততোধিক সংখ্যার সাধারণ গুণিতকগুলোর মধ্যে সবচেয়ে ছোটো (লঘিষ্ঠ) সংখ্যাকে লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক বা লসাগু বলে।

৩. ৩ ও ৪ এর ১০টি করে গুণিতক লিখি।

(ক) ৩ ও ৪ এর ৩টি সাধারণ গুণিতক নির্ণয় করি। (খ) ৩ ও ৪ এর লসাগু নির্ণয় করি।

৪. লসাগু নির্ণয় করি।

(১) ৮ ও ১২ (২) ৯ ও ১২ (৩) ১২ ও ১৪ (৪) ৭ ও ৬ (৫) ১৫ ও ২০

৪. ৮ ও ৬ সংখ্যা দুইটি ব্যবহার করে লসাগু নির্ণয় সংক্রান্ত গল্প তৈরি করি।

আমার গল্পটি হলো, রাফি তার জন্মদিন উপলক্ষ্যে ৮ জন সহপাঠী ও পরিবারের ৬ জন সদস্যকে মিষ্টি খাওয়াতে চায়। প্রত্যেকের মধ্যে সমানভাবে ভাগ করে দেওয়ার জন্য রাফির সর্বনিম্ন কয়টি মিষ্টি কিনতে হবে? এবার তোমার গল্পটি বলো।

তোমার গল্পটি খুব ভালো হয়েছে। আমার গল্পটি হলো.....

Printed page 34

৫. ৬, ৮ ও ১২ এর লসাগু কীভাবে নির্ণয় করা যায়?

আমরা দুই সংখ্যার লসাগু নির্ণয় করা শিখেছি। তাহলে কীভাবে তিন সংখ্যার লসাগু নির্ণয় করব?

আমার মনে হয়, প্রথমে তিনটি সংখ্যার গুণিতক বের করতে হবে তারপর সাধারণ গুণিতক বের করতে হবে।

দেখি কীভাবে তিন সংখ্যার লসাগু নির্ণয় করা যায়।

৬, ৮ ও ১২ এর সাধারণ গুণিতক [ ], [ ], .....

৬, ৮ ও ১২ এর লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক বা লসাগু [ ]

৫. লসাগু নির্ণয় করি।

(ক) ২, ৩, ৪ (খ) ৪, ৫, ৬ (গ) ৪, ৬, ৮ (ঘ) ৮, ১২, ১৬

৬. রেজা তার কক্ষের মেঝেতে বসানোর জন্য ৯ সেমি দৈর্ঘ্যের ও ৬ সেমি প্রস্থের টাইলস কিনল। টাইলসগুলো মেঝেতে বসিয়ে বর্গাকার ক্ষেত্র তৈরি করা হলো।

Figure: টাইলস বসিয়ে বর্গাকার ক্ষেত্র

লেবেল: ৯ সেমি, ৬ সেমি বর্ণনা: আয়তাকার খোপযুক্ত একটি গ্রিড। উপরে বাঁ দিকের একটি খোপ রঙিন করা যার দৈর্ঘ্য ৯ সেমি এবং প্রস্থ ৬ সেমি হিসেবে চিহ্নিত। ড্যাশযুক্ত রেখায় বড় গ্রিডটি বর্ধিত করা হয়েছে।

(ক) সবচেয়ে ছোটো বর্গাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য কত হবে? (খ) সবচেয়ে ছোটো বর্গাকার ক্ষেত্র তৈরি করার জন্য কয়টি টাইলস প্রয়োজন? (গ) দ্বিতীয় ক্ষুদ্রতম বর্গাকার ক্ষেত্র তৈরি করার জন্য কয়টি টাইলস প্রয়োজন?

টাইলসগুলো বসানোর সময় দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ কীভাবে পরিবর্তন হয় তা হিসাব করি।

৬. দুইটি ঘণ্টা একত্রে বাজার পর প্রথমটি ৫ মিনিট পরপর এবং অপরটি ৭ মিনিট পরপর বাজে। ঘণ্টা দুইটি সকাল ১০টায় একত্রে বাজার পর পরবর্তী সময়ে কখন আবার একসঙ্গে বাজবে?

Printed page 35

কীভাবে কোনো সংখ্যাকে মৌলিক গুণনীয়ক বা মৌলিক উৎপাদকে প্রকাশ করা যায়?

আমরা চতুর্থ শ্রেণিতে মৌলিক ও যৌগিক সংখ্যা সম্পর্কে জেনেছি।

সজিব তাদের বাগানের আমগাছগুলো থেকে আলাদাভাবে নিম্নরূপ সংখ্যক আম পাড়ল।

আমের সংখ্যা ব্যবহার করে নিচের ছক পূরণ করি।

সংখ্যাগুলোর মধ্যে কোনগুলো মৌলিক, কোনগুলো যৌগিক তা বের করি।

৭, ...., ...., ...., সংখ্যাগুলোর [ ] টি করে গুণনীয়ক রয়েছে তাই এগুলো মৌলিক সংখ্যা।

আমের সংখ্যাগুলোর মধ্যে মৌলিক সংখ্যা ছাড়া বাকি সকল সংখ্যা [ ] হবে যা একাধিক মৌলিক সংখ্যার গুণফলের সমান। উদাহরণস্বরূপ :

এই পদ্ধতিকে বলা হয় মৌলিক গুণনীয়ক বা মৌলিক উৎপাদকে প্রকাশ। এর প্রত্যেকটি গুণনীয়ককে বলা হয় মৌলিক গুণনীয়ক বা মৌলিক উৎপাদক।

১. নিচের সংখ্যাগুলোকে মৌলিক সংখ্যার গুণফল হিসেবে প্রকাশ করি।

(১) ১৮ (২) ২৭ (৩) ৩২ (৪) ৫৬

Printed page 36

মহাখালি বাস টার্মিনাল থেকে সকাল ৮টায় ময়মনসিংহ ও বগুড়াগামী দুইটি কোম্পানীর বাস একসঙ্গে ছাড়ল। ময়মনসিংহ ও বগুড়াগামী বাসগুলো যথাক্রমে ১২ মিনিট ও ১৫ মিনিট পরপর ছাড়ে। উক্ত দুইটি কোম্পানীর বাস ন্যূনতম কতক্ষণ পর আবার একসঙ্গে ছাড়বে?

সমস্যাটি সমাধানের জন্য আমরা ৪র্থ শ্রেণিতে শেখা কৌশল প্রয়োগ করতে পারি।

Figure: মৌলিক উৎপাদক গাছ

লেবেল: ১২, ২, ৬, ২, ৩, $১২ = ২ \times ২ \times ৩$, ১৫, ৩, ৫, $১৫ = ৩ \times ৫$ বর্ণনা: ১২ এবং ১৫ এর মৌলিক উৎপাদকের শাখা চিত্র। ১২ থেকে দুটি শাখা ২ ও ৬, এবং ৬ থেকে ২ ও ৩; নিচে লেখা $১২ = ২ \times ২ \times ৩$। ১৫ থেকে দুটি শাখা ৩ ও ৫; নিচে লেখা $১৫ = ৩ \times ৫$।

১২ ও ১৫ এর সাধারণ উৎপাদক ৩ ১২ ও ১৫ এর অন্যান্য উৎপাদকগুলো ২, ২ ও ৫ ১২ ও ১৫ এর লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক $৩ \times ২ \times ২ \times ৫ = ৬০$

৬০মিনিট বা ১ ঘণ্টা পর দুইটি বাস আবার একত্রে ছাড়বে। অর্থাৎ বাস দুইটি ৮টায় ছাড়ার পর আবার $(৮+১) = ৯$টায় একসঙ্গে ছাড়বে।

এখানে সবগুলো গুণনীয়ক মৌলিক সংখ্যা।

১. মৌলিক গুণনীয়কের সাহায্যে ৮ ও ১০ এর লসাগু নির্ণয় করি।

Figure: ৮ ও ১০ এর মৌলিক উৎপাদক গাছ

লেবেল: ৮, ২, ৪, ২, ২, $৮ =$ [ ] $\times$ [ ] $\times$ [ ], ১০, ২, ৫, $১০ =$ [ ] $\times$ [ ] বর্ণনা: ৮ এবং ১০ এর মৌলিক উৎপাদকের শাখা চিত্র। ৮ থেকে শাখা হয়ে ২ ও ৪, এবং ৪ থেকে ২ ও ২; নিচে খালি ঘরসহ গুণফল লেখার স্থান। ১০ থেকে শাখা হয়ে ২ ও ৫; নিচে খালি ঘরসহ গুণফল লেখার স্থান।

৮ ও ১০ এর সাধারণ গুণনীয়ক [ ] ৮ ও ১০ এর অন্যান্য গুণনীয়ক [ ], [ ], [ ] সুতরাং ৮ ও ১০ এর লসাগু [ ] $\times$ [ ] $\times$ [ ] $\times$ [ ] = [ ]

এভাবে মৌলিক উৎপাদক বের করে সাধারণ উৎপাদক ও অন্যান্য উৎপাদকগুলো গুণ করে খুব সহজেই লসাগু নির্ণয় করতে পারি।

Printed page 37

কোন কোন সংখ্যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য?

৪র্থ শ্রেণিতে আমরা ২, ৫ ও ১০ দ্বারা বিভাজ্যতা নির্ণয় করতে শিখেছি। চলো এবার ৩ দ্বারা বিভাজ্যতা নির্ণয় করি।

আমরা গুণিতক ও গুণনীয়ক নির্ণয় করতে শিখেছি। আমাদেরকে কেন বিভাজ্যতা নির্ণয় শিখতে হবে?

বিভাজ্যতার ধারণা ব্যবহার করে আমরা সহজেই কোনো সংখ্যার গুণনীয়ক বের করতে পারি। এছাড়াও বিভাজ্যতার ধারণা ব্যবহার করে আমরা সহজেই বুঝতে পারি কোনো সংখ্যার গুণিতক কী কী হবে এবং সংখ্যাটি কোন কোন সংখ্যার গুণিতক।

অর্থাৎ, ৩ এর সকল গুণিতকই ৩ দ্বারা বিভাজ্য। ৩ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা হলো ৩, ৬, ৯, ১২, ১৫, ১৮, ২১, ২৪,.....

বড়ো সংখ্যার ক্ষেত্রে আমরা কীভাবে বুঝব সংখ্যাটি ৩ দ্বারা বিভাজ্য কি না?

কোনো সংখ্যায় ব্যবহৃত অঙ্কগুলোর যোগফল ৩ দ্বারা বিভাজ্য হলে সংখ্যাটি ৩ দ্বারা বিভাজ্য হবে।

১. ভিন্ন উপায়ে ৩ দ্বারা বিভাজ্যতা সম্পর্কে চিন্তা করি।

      ১  [ ]  ৬  ৩  [ ]   ----------------------৩ )   ৪   ৩   ৯  ০   ৫      ৩   ----------------------      ১   ৩      ১   ২   ----------------------         [ ]  ৯          ১   ৮   ----------------------              ১  ০                [ ]   ----------------------                 ১   ৫                 ১   ৫   ----------------------                     ০

৪ ৩ ৯ ০ ৫

এখানে দেখা যাচ্ছে সংখ্যাটিতে ৪, ৩, ৯, ০ এবং ৫ রয়েছে। প্রথমেই ৩ এর বিভাজ্য অঙ্কগুলো বাদ দেই। তারপর বাকি অঙ্কগুলোর যোগ করি। যোগফল ৯। ৯ সংখ্যাটি ৩ দ্বারা বিভাজ্য তাই সংখ্যাটি ৩ দ্বারা বিভাজ্য।

Printed page 38

১. ৪ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা খুঁজি।

৪ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা হলো ৪, ৮, ১২, ১৬, ২০, ২৪, ২৮, .....

যদি সংখ্যাটি ৩ অঙ্কের, ৪ অঙ্কের বা আরো বড়ো হয় তাহলে আমরা সংখ্যাটি ৪ দ্বারা বিভাজ্য কি না তা কীভাবে বুঝব?

১২৫ $\div$ ৪ $=$ ৩১ অবশিষ্ট [ ১ ] ৪ দ্বারা বিভাজ্য নয়
৩১২ $\div$ ৪ $=$ ৭৮ অবশিষ্ট [ ] ৪ দ্বারা [ ]
৪৬৪ $\div$ ৪ $=$ [ ] অবশিষ্ট [ ] ৪ দ্বারা [ ]
৫০৬ $\div$ ৪ $=$ ১২৬ অবশিষ্ট [ ] ৪ দ্বারা [ ]
৬০০ $\div$ ৪ $=$ [ ] অবশিষ্ট [ ] ৪ দ্বারা [ ]

দেখা যাচ্ছে যে সমস্ত সংখ্যার একক ও দশক স্থানের অঙ্ক দ্বারা গঠিত সংখ্যা ৪ দ্বারা বিভাজ্য সেই সমস্ত সংখ্যা ৪ দ্বারা বিভাজ্য।

যদি সংখ্যাটি বড়ো হয় অর্থাৎ ৪ অঙ্কের বা ৫ অঙ্কের হয় তাহলে কীভাবে বিভাজ্যতা নির্ণয় করব?

      ১  ৩  ৪  ৮  ৫   ------------------৪ )   ৫  ৩  ৯  ৪  ০      ৪   ------------------      ১  ৩      ১  ২   ------------------         ১  ৯         ১  ৬   ------------------            ৩  ৪            ৩  ২   ------------------               ২  ০               ২  ০   ------------------                  ০

      ১  ৭  ২  ৬   ---------------৪ )   ৬  ৯  ০  ৫      ৪   ---------------      ২  ৯      ২  ৮   ---------------         ১  ০            ৮   ---------------            ২  ৫            ২  ৪   ---------------               ১

যে সমস্ত সংখ্যার একক ও দশক স্থানের দুইটি অঙ্কই ০ অথবা একক ও দশক স্থানের অঙ্ক দ্বারা গঠিত সংখ্যা ৪ দ্বারা বিভাজ্য সেই সমস্ত সংখ্যা ৪ দ্বারা বিভাজ্য।

১. নিচের সংখ্যাগুলো ছকের শিরোনাম অনুযায়ী পূরণ করি।

২৫৫, ৩৪০৮, ৫৪২৭, ৬৮৭০, ৯৩২১, ৫৩২১২, ৬৮৪৩০০, ৯২৩৫০২, ৮৭৯৪২০, ১০৯৩২০০

Printed page 39

সবচেয়ে ছোটো কোন সংখ্যা ১২ ও ১৮ দ্বারা বিভাজ্য?

১. সাধারণ মৌলিক উৎপাদক দ্বারা ভাগ করি।
২. মৌলিক উৎপাদকগুলো গুণ করি $২ \times ৩ \times ২ \times ৩ = ৩৬$