Primary Mathematics chapter 5: Decimal Fractions

অধ্যায় ৫: দশমিক ভগ্নাংশ

একটি পড়ার টেবিলের দৈর্ঘ্য ১ মিটার ৩০ সেমি। টেবিলটির দৈর্ঘ্য কত মিটার?

Figure

বর্ণনা: একটি পড়ার টেবিল এবং টেবিলের ডানপাশে দুজন শিক্ষার্থী।

১ সেমি = $\dfrac{১}{১০০}$ মিটার তাহলে, ৩০ সেমি = $\dfrac{৩০}{১০০}$ মিটার

৪র্থ শ্রেণিতে আমরা জেনেছি, $\dfrac{১}{১০} = ০.১$ বা এক দশমাংশ।

Figure: দশমাংশ ও শতাংশ নির্দেশক গ্রিড

লেবেল: ০.১, ০.০১ বর্ণনা: বামে একটি আয়তাকার গ্রিড ১০টি সমান অংশে বিভক্ত যার ১টি অংশ কমলা রঙ করা, নিচে ০.১। ডানে একটি ১০×১০ গ্রিডের ১০০টি ঘরের মধ্যে ১টি ঘর কমলা রঙ করা, বামে ০.০১।

তাহলে $\dfrac{১}{১০০} = ০.০১$ বা এক শতাংশ। অর্থাৎ, ৩০ সেমি = $\dfrac{৩০}{১০০}$ মি = $০.৩$ মি টেবিলটির দৈর্ঘ্য = ১ মি + $০.৩$ মি = $১.৩$ মি।

১ রং করা অংশ সাধারণ ও দশমিক ভগ্নাংশে লিখি।

Figure: রং করা গ্রিড

লেবেল: (ক), (খ), (গ) বর্ণনা: তিনটি ১০×১০ গ্রিড। (ক) প্রথম গ্রিডে কিছু ঘর লাল রঙ করা। (খ) দ্বিতীয় গ্রিডে কিছু ঘর হালকা নীল রঙ করা। (গ) তৃতীয় গ্রিডে কিছু ঘর গাঢ় নীল রঙ করা।

Printed page 64

নিচের রং করা অংশকে কীভাবে প্রকাশ করা যায়?

Figure: ভগ্নাংশের স্থানীয় মানের সম্পর্ক

লেবেল: ১, ১০ গুণ, ১০০ গুণ, ১০০০ গুণ, $\dfrac{১}{১০}$ ভাগ, $\dfrac{১}{১০০}$ ভাগ, $\dfrac{১}{১০০০}$ ভাগ, ০.১, ০.০১, ০.০০১ বর্ণনা: ১, দশমাংশ (০.১), শতাংশ (০.০১), এবং সহস্রাংশ (০.০০১) নির্দেশক চারটি চিত্রের পারস্পরিক ১০ গুণ, ১০০ গুণ, ১০০০ গুণ এবং $\dfrac{১}{১০}$ ভাগ, $\dfrac{১}{১০০}$ ভাগ, $\dfrac{১}{১০০০}$ ভাগের সম্পর্ক তীরচিহ্ন দিয়ে দেখানো হয়েছে। শেষ চিত্রে ১টি ছোট ঘরকে বিবর্ধিত (জুম) করে ১০ ভাগের ১ ভাগ রঙ করা দেখানো হয়েছে।

(১) $\dfrac{১}{১০} =$ এক দশমাংশ $= ০.১$

(২) $\dfrac{১}{১০০} = \square = \square$

(৩) $\dfrac{১}{১০০০} = \square = \square$

১.২৩৫ দশমিক ভগ্নাংশের বিভিন্ন স্থানের নাম কী?

১ মিতুর বাবা বাজার থেকে ২৫০ গ্রাম আদা, ১০০ গ্রাম জিরা, ৫০০ গ্রাম পেঁয়াজ এবং ৩৭৫ গ্রাম রসুন কিনে আনলেন। তিনি বাজার থেকে কত কেজি জিনিস ক্রয় করলেন?

তিনি ক্রয় করলেন = ২৫০ গ্রাম + ১০০ গ্রাম + ৫০০ গ্রাম + ৩৭৫ গ্রাম = ১২২৫ গ্রাম

১ গ্রাম $= \dfrac{১}{১০০০}$ কেজি

তাহলে, $\dfrac{১}{১০০০} = ০.০০১$ বা এক সহস্রাংশ।

তাহলে, ১২২৫ গ্রাম $= ১০০০ \text{ গ্রাম} + ২২৫ \text{ গ্রাম}$ $= \dfrac{১০০০}{১০০০} \text{ কেজি} + \dfrac{২২৫}{১০০০} \text{ কেজি}$ $= ১ \text{ কেজি} + ০.২২৫ \text{ কেজি} = ১.২২৫ \text{ কেজি।}$

তিনি ১.২২৫ কেজি জিনিস ক্রয় করলেন।

Printed page 65

২ কতগুলো ১, ০.১, ০.০১ এবং ০.০০১ নিয়ে নিচের সংখ্যাগুলো গঠিত?

(১) ১.৪৬৯ $\qquad$ (২) ৩.৮২৫ $\qquad$ (৩) ০.০১৭

ফাঁকা ঘরগুলো পূরণ করি

১ নিচের প্রশ্নগুলোর উত্তর লিখি।

(১) একশত পঞ্চান্নটি ০.০১ নিয়ে গঠিত সংখ্যাটি কত? $\square$

(২) একশত পঞ্চান্নটি ০.০০১ নিয়ে গঠিত সংখ্যাটি কত? $\square$

(৩) কতটি ০.০১ নিয়ে ৬.৮২ গঠিত? $\square$

(৪) কতটি ০.০০১ নিয়ে ৬.৮২ গঠিত? $\square$

২ সংখ্যারেখার ক থেকে ছ পর্যন্ত স্থানগুলো কোন কোন সংখ্যাকে প্রকাশ করে? ফাঁকা স্থানে লিখি।

Figure: সংখ্যারেখা ১

লেবেল: ৭.২, ৭.৩, ৭.৪, ৭.৫, ক, খ, গ বর্ণনা: একটি সংখ্যারেখায় ৭.২, ৭.৩, ৭.৪, ৭.৫ চিহ্নিত করা আছে এবং প্রতিটির মাঝে ১০টি করে ভাগ রয়েছে। তীরচিহ্ন দিয়ে ক, খ, গ তিনটি বিন্দু নির্দেশ করা হয়েছে।

ক = $\square$ $\qquad$ খ = $\square$ $\qquad$ গ = $\square$

Figure: সংখ্যারেখা ২

লেবেল: ০, ০.০১, ০.০২, ০.০৩, ০.০৪, ঘ, ঙ, চ, ছ বর্ণনা: একটি সংখ্যারেখায় ০, ০.০১, ০.০২, ০.০৩, ০.০৪ চিহ্নিত এবং প্রতিটির মাঝে ১০টি করে ছোট ভাগ রয়েছে। তীরচিহ্ন দিয়ে ঘ, ঙ, চ, ছ চারটি বিন্দু নির্দেশ করা হয়েছে।

ঘ = $\square$ $\qquad$ ঙ = $\square$ $\qquad$ চ = $\square$ $\qquad$ ছ = $\square$

Printed page 66

৩ নিচের সংখ্যাগুলোকে সংখ্যারেখায় উপস্থাপন করি।

$০.০০১, \qquad ০.০১৫, \qquad ০.০২৭, \qquad ০.০৩৪,$

Figure: সংখ্যারেখা

লেবেল: ০, ০.০১, ০.০২, ০.০৩, ০.০৪ বর্ণনা: একটি সংখ্যারেখা যেখানে ০ থেকে ০.০৪ পর্যন্ত দাগাঙ্কিত এবং প্রতিটি ঘরের মাঝে ১০টি করে ছোট ভাগ রয়েছে।

১ নিচের ছবিতে দেখানো পানির পরিমাণকে কীভাবে প্রকাশ করতে পারি?

Figure: পানির পরিমাপক পাত্র

লেবেল: ১ লি, ১ লি, ০.৩, ০.৪, ০.০১ বর্ণনা: ১ লিটার ধারণক্ষমতার দুটি পাত্র। প্রথমটি ১ লিটার পর্যন্ত পূর্ণ, দ্বিতীয়টিতে ০.৩ ও ০.৪ লিটারের মাঝে পানি রয়েছে। বিবর্ধক কাচ দিয়ে ০.৩ ও ০.৪ এর মাঝের অংশ ১০ ভাগে ভাগ করে ০.০১ এর ৬ দাগ পর্যন্ত পানি নির্দেশ করা হয়েছে।

০.১কে আরও ১০টি সমানভাগে ভাগ করব। আর, ১ লিটারের $\dfrac{১}{১০}$ অংশ = ০.১ লিটার (শূন্য দশমিক এক লিটার)

তাহলে, ০.১ লিটারের $\dfrac{১}{১০}$ অংশ = ০.০১ লিটার (শূন্য দশমিক শূন্য এক লিটার ) এবং ০.০১ লিটার হলো ১ লিটারের $\dfrac{১}{১০০}$ অংশ। এখানে, ছবিতে ৬টি ০.০১ লিটার রয়েছে।

তাহলে, ছবিতে দেখানো পানির পরিমাণ

$= \square \text{ লিটার} + \dfrac{\square}{১০} \text{ লিটার} + \dfrac{\square}{১০০} \text{ লিটার}$

$= \square \text{ লিটার} + ১ \text{ লিটারের } \dfrac{১}{১০} \text{ অংশের } \square \text{ গুণ} + ১ \text{ লিটারের } \dfrac{১}{১০০} \text{ অংশের } \square \text{ গুণ}$

$= \square \text{ লিটার} + ০.১ \text{ লিটারের } \square \text{ গুণ} + ০.০১ \text{ লিটারের } \square \text{ গুণ}$

$= \square \text{ লিটার} + \square \text{ লিটার} + \square \text{ লিটার}$

$= (\square + \square + \square) \text{ লিটার}$

$= \square.\square\square \text{ লিটার}$

Printed page 67

১ আমরা ছবিতে দেখানো পানির পরিমাণকে কীভাবে লিখে প্রকাশ করতে পারি?

Figure

লেবেল: ১ লি, ০.৪, ০.৩৬, ০.৩৫, ০.৩, ০.৩৬, ০.৩৫, ০.৩৬, ০.৩৫ বর্ণনা: ১ লিটার পাত্রের পানির উচ্চতা ০.৩৫ ও ০.৩৬ লিটারের মাঝে। ক্রমান্বয়ে বিবর্ধন করে দেখা যায় ০.৩৫ ও ০.৩৬ এর মাঝে ১০টি ভাগের ৮ ভাগ পর্যন্ত পানি রয়েছে।

একটি ১ লিটার = $\square \ \square \ \square \ \square \ \square$ লিটার

তিনটি ০.১ লিটার = $\square \ \square \ \square \ \square \ \square$ লিটার

পাঁচটি ০.০১ লিটার = $\square \ \square \ \square \ \square \ \square$ লিটার

আটটি ০.০০১ লিটার = $\square \ \square \ \square \ \square \ \square$ লিটার

এক দশমিক তিন পাঁচ আট লিটার = $\square \ \square \ \square \ \square \ \square$ লিটার

আমরা দশমাংশ, শতাংশ এবং সহস্রাংশের ধারণা ব্যবহার করতে পারি।

১ ০.৮৪৯ কে স্থানীয় মানের ছকে লিখি ও পড়ি।

Printed page 68

সাধারণ ভগ্নাংশে রূপান্তর

দশমিক ভগ্নাংশকে কীভাবে সাধারণ ভগ্নাংশে রূপান্তর করতে পারি?

আমরা দশমাংশ, শতাংশ এবং সহস্রাংশের ধারণা ব্যবহার করতে পারি।

এসো আমরা ০.৩, ০.১৫, এবং ০.০০৮কে সাধারণ ভগ্নাংশে প্রকাশ করি।

$$\begin{aligned} ০.৩ &= \dfrac{\square}{১০} \\ ০.১৫ &= \dfrac{\square}{১০০} \\ ০.০০৮ &= \dfrac{\square}{১০০০} \end{aligned}$$

আমরা জানি,

$$\begin{aligned} ০.১ &= \dfrac{১}{১০} \\ ০.০১ &= \dfrac{১}{১০০} \\ ০.০০১ &= \dfrac{১}{১০০০} \end{aligned}$$

হরে ১০, ১০০, ১০০০ ইত্যাদি বসানোর মাধ্যমে দশমিক ভগ্নাংশকে সাধারণ ভগ্নাংশে প্রকাশ করি।

এরপর সম্ভব হলে, ভগ্নাংশগুলোকে তার লঘিষ্ট আকারে প্রকাশ করি।

$০.১৫ = \dfrac{\overset{৩}{\cancel{১৫}}}{\underset{২০}{\cancel{১০০}}} = \dfrac{৩}{২০}$

$০.০০৮ = \dfrac{\overset{১}{\cancel{\overset{২}{\cancel{৮}}}}}{\underset{\underset{১২৫}{\cancel{২৫০}}}{\cancel{১০০০}}} = \dfrac{১}{১২৫}$

১ নিচের দশমিক সংখ্যাগুলোকে সাধারণ ভগ্নাংশে রূপান্তর করি এবং সম্ভব হলে ভগ্নাংশকে তার লঘিষ্ঠ আকারে প্রকাশ করি।

(১) ০.০৪ $\qquad$ (২) ০.৩৫ $\qquad$ (৩) ০.৭৫ $\qquad$ (৪) ০.২৫

Printed page 69

দশমিক ভগ্নাংশে রূপান্তর

সাধারণ ভগ্নাংশকে কীভাবে দশমিক ভগ্নাংশে রূপান্তর করতে পারি?

$\dfrac{৩}{১০}$, $\dfrac{২৭}{১০০}$, $\dfrac{৩৪১}{১০০০}$ কে দশমিক ভগ্নাংশে প্রকাশ করি।

$\dfrac{৩}{১০} = ০.৩ \qquad \dfrac{২৭}{১০০} = ০.২৭ \qquad \dfrac{৩৪১}{১০০০} = ০.৩৪১$

এবার $\dfrac{৩}{৫}$, $\dfrac{৭}{২৫}$, $\dfrac{১৭৩}{৫০০}$ কে দশমিক ভগ্নাংশে প্রকাশ করি।

\begin{aligned} \dfrac{৩}{৫} &= \dfrac{৩ \times ২}{৫ \times ২} = \dfrac{৬}{১০} = ০.৬ \\[৪pt] \dfrac{৭}{২৫} &= \dfrac{৭ \times ৪}{২৫ \times ৪} = \dfrac{২৮}{১০০} = ০.২৮ \\[৪pt] \dfrac{১৭৩}{৫০০} &= \dfrac{১৭৩ \times ২}{৫০০ \times ২} = \dfrac{৩৪৬}{১০০০} = ০.৩৪৬ \end{aligned}

আমরা সমতুল ভগ্নাংশের ধারণা ব্যবহার করে হরকে ১০, ১০০, ১০০০ ইত্যাদিতে রূপান্তর করি। তারপর সহজেই সাধারণ ভগ্নাংশকে দশমিক ভগ্নাংশে প্রকাশ করতে পারি।

১ নিচের ভগ্নাংশগুলোকে দশমিক ভগ্নাংশে প্রকাশ করি।

(১) $\dfrac{৭}{২০} = \dfrac{৭ \times \square}{২০ \times \square} = \dfrac{\square}{\square} = \square$

(২) $\dfrac{১১}{২৫} = \dfrac{১১ \times \square}{২৫ \times \square} = \dfrac{\square}{\square} = \square$

(৩) $\dfrac{৩৭}{৫০} = \dfrac{৩৭ \times \square}{৫০ \times \square} = \dfrac{\square}{\square} = \square$

(৪) $\dfrac{১}{৪} = \dfrac{১ \times \square}{৪ \times \square} = \dfrac{\square}{\square} = \square$

Printed page 70

দশমিক ভগ্নাংশগুলোকে কীভাবে তুলনা করতে পারি?

চলো এই ১.২৩, ০.০১৫, এবং ০.৪৭৮ দশমিক সংখ্যাগুলোর মধ্যে ছোটো-বড়ো তুলনা করি।

$১.২৩ = \dfrac{১২৩}{১০০} = \dfrac{১২৩০}{১০০০} \qquad ০.০১৫ = \dfrac{১৫}{১০০০} \qquad ০.৪৭৮ = \dfrac{৪৭৮}{১০০০}$

যেহেতু, $\dfrac{১৫}{১০০০} < \dfrac{৪৭৮}{১০০০} < \dfrac{১২৩০}{১০০০}$ সুতরাং $০.০১৫ < ০.৪৭৮ < ১.২৩$

স্থানীয় মানের ধারণা ব্যবহার করে আরও সহজেই দশমিক সংখ্যার তুলনা করতে পারি। আমি প্রথমে সরাসরি নিচের মতো করে সংখ্যাগুলোকে ছকে লিখি।

এবার, দশমিক বিন্দু ছাড়া শুধু সংখ্যাগুলো পড়ি।

Printed page 71

১২৩০, ০০১৫ এবং ০৪৭৮ অর্থাৎ, ১২৩০, ১৫ এবং ৪৭৮ এই তিনটি সংখ্যা পেলাম।

যেহেতু ১৫ < ৪৭৮ < ১২৩০ সুতরাং ০.০১৫ < ০.৪৭৮ < ১.২৩

তাহলে আমরা এভাবেও দশমিক ভগ্নাংশগুলোর তুলনা করতে পারি।

১ স্থানীয় মানের ছকের মাধ্যমে 8.০৪৪, 8.৪৪, 8.৬ এবং ০.৪৮৯ তুলনা করি এবং সম্পর্ক প্রতীক ($<, >$) দিয়ে ছোটো থেকে বড়ো মানের ক্রমানুসারে সাজাই।

দশমিক বিন্দু না বসিয়ে

যেহেতু $\square < \square < \square < \square$

অতএব $\square < \square < \square < \square$

Printed page 72