Primary Mathematics chapter 7: Average

অধ্যায় ৭: গড়

আবির, লতা, আয়ান ও সুমির কাছে যথাক্রমে ১৮টি, ২২টি, ২৮টি ও ১৬টি মার্বেল আছে। সবাইকে সমান সংখ্যক মার্বেল দিতে চাইলে প্রত্যেকে কতটি করে মার্বেল পাবে?

সবগুলো মার্বেল প্রথমে একত্র করতে পারি।

Figure

লেবেল: আবির, ১৮ টি মার্বেল, লতা, ২২ টি মার্বেল, আয়ান, ২৮ টি মার্বেল, সুমি, ১৬ টি মার্বেল, সবগুলো মার্বেল একত্রে বর্ণনা: চারটি বয়ামে যথাক্রমে আবির (১৮টি), লতা (২২টি), আয়ান (২৮টি) ও সুমি (১৬টি)-র মার্বেল রাখা আছে। একটি তীরচিহ্ন দিয়ে সবগুলো মার্বেল একটি বড় বয়ামে একত্র করার প্রক্রিয়া দেখানো হয়েছে।

সবগুলো মার্বেল একত্র করলে আমরা পাই $\square + \square + \square + \square = \square$ টি মার্বেল

তাহলে প্রত্যেকে পাবে $\square \div 8 = \square$ টি মার্বেল

যেহেতু ৪ জনকে সমান সংখ্যক মার্বেল দিতে হবে তাই মোট মার্বেলের সংখ্যাকে ৪ দিয়ে ভাগ করতে পারি।

সমজাতীয় উপাত্তের মানগুলোর যোগফলকে উপাত্তের সংখ্যা দ্বারা ভাগ করলে ‘গড়’ পাওয়া যাবে।

গড় = সমজাতীয় উপাত্তের মানগুলোর যোগফল $\div$ উপাত্তের সংখ্যা

Printed page 106

১. খালি ঘর পূরণ করি।

(১) ৫, ৮, ৬, ৯, ৬ ও ৮-এর গড়
$৫ + ৮+ ৬ + ৯ + ৬ + ৮ = ৪২$
গড় = $৪২ \div ৬ = \square$

(২) ৭, ৯, ৫, ০, ৫, ১১, ৬, ১২, ও ৮-এর গড়
$৭ + ৯ + ৫ + ০ + ৫ + ১১ + ৬ + ১২ + ৮ = \square$
গড় = $\square \div ৯ = \square$

(৩) ১২, ১০, ৮, ৭, ১৫, ১৩, ৯, ১৯ ও ১৫-এর গড়
$১২ + ১০ + ৮ + ৭ + ১৫ + ১৩ + ৯ + ১৯ + ১৫ = \square$
গড় = $\square \div \square = \square$

১. নিচের সংখ্যাগুলোর গড় নির্ণয় করি।
(১) ৪, ৩, ৭, ৫, ৩
(২) ২, ৩, ৫, ৮, ৪, ২, ৫, ২, ৪, ৩, ৭
(৩) ৮, ৯, ১২, ১১, ৭, ১০
(৪) ১৭, ১৬, ২০, ১৯, ১৫, ২১

২. ৩টি ঝুড়ির আমের সংখ্যার গড় ২৫, প্রথম ২টি ঝুড়িতে আম রয়েছে ১৮টি এবং ২১টি, তৃতীয় ঝুড়ির আমের সংখ্যা কত?

৩টি ঝুড়ির মোট আমের সংখ্যা থেকে ২টি ঝুড়ির মোট আমের সংখ্যা বাদ দিলে তৃতীয় ঝুড়ির আমের সংখ্যা জানা যাবে।

Figure

বর্ণনা: তিনটি ঝুড়ি পাশাপাশি রাখা আছে, প্রতিটি ঝুড়িতে আম রাখা আছে।

ধাপ-১ : প্রথমে ৩টি ঝুড়ির মোট আমের সংখ্যা বের করতে হবে।
৩টি ঝুড়ির মোট আমের সংখ্যা = $\boxed{২৫} \times \boxed{৩} = \square$ টি

ধাপ-২ : এরপর ২টি ঝুড়ির মোট আমের সংখ্যা বের করতে হবে।
২টি ঝুড়ির মোট আমের সংখ্যা = $\square + \square = \square$ টি

ধাপ-৩ : এবার ৩টি ঝুড়ির মোট আমের সংখ্যা থেকে ২টি ঝুড়ির মোট আমের সংখ্যা বিয়োগ দিতে হবে।
তাহলে তৃতীয় ঝুড়িতে আমের সংখ্যা = $\square - \square = \square$ টি

একটি গাণিতিক বাক্য লিখেও এটি করা যায়।

গাণিতিক বাক্যটি হবে $(২৫ \times ৩) - (১৮ + ২১) = \square$ টি

Printed page 107

৩. লতিফের বাবা এক সপ্তাহে প্রতিদিন কত মিটার হেঁটেছেন তার একটি তালিকা নিচে দেওয়া হলো। লতিফের বাবা গড়ে প্রতিদিন কত মিটার হেঁটেছেন?

এখানে প্রথমে পুরো সপ্তাহে মোট কত মিটার হেঁটেছেন, তা বের করতে হবে। এরপর যেহেতু এক সপ্তাহ = ৭ দিন তাই মোট দূরত্বকে ৭ দিয়ে ভাগ দিলে প্রতিদিনের গড় পাওয়া যাবে।

ধাপ-১ : প্রথমে পুরো সপ্তাহের মোট দূরত্ব বের করি।
পুরো সপ্তাহে লতিফের বাবা মোট হেঁটেছেন—
$\square + \square + \square + \square + \square + \square + \square = \square$ মিটার

ধাপ-২ : যেহেতু ১ সপ্তাহ = ৭ দিন, তাই মোট দূরত্বকে ৭ দিয়ে ভাগ দেই।
সুতরাং লতিফের বাবা গড়ে প্রতিদিন হেঁটেছেন $\square \div \square = \square$ মিটার

১. ৭টি সংখ্যার গড় ৪০। এর সাথে ৩টি সংখ্যা যোগ করা হলো। সংখ্যা ৩টির গড় ২১। তাহলে ১০টি সংখ্যার গড় কত?

২. ১১ জন লোকের গড় ওজন ৭০ কেজি।
ক) ১১ জন লোকের মোট ওজন কত?
খ) তাদের মধ্য থেকে ৯০ কেজি ওজনের একজন লোক চলে গেলে বাকি লোকদের গড় ওজন কত?

Printed page 108

8. ডান পাশের চিত্র অনুযায়ী ক, খ এবং গ ৩টি গ্লাসে যথাক্রমে ১০০ মিলি, ৮০ মিলি এবং ১৫০ মিলি শরবত রাখা আছে। প্রতিটি গ্লাসে গড়ে কী পরিমাণ শরবত আছে?

Figure

লেবেল: (ক), (খ), (গ) বর্ণনা: তিনটি কাচের গ্লাসে বিভিন্ন পরিমাপে শরবত রাখা আছে। গ্লাসগুলোর নিচে যথাক্রমে (ক), (খ) ও (গ) লেখা।

গ্লাস গ-এর শরবত গ্লাস ক ও খ’তে ঢালি যতক্ষণ পর্যন্ত ৩টি গ্লাসের শরবতের পরিমাণ সমান না হয়।

Figure

বর্ণনা: তীরচিহ্ন দিয়ে শরবত সমবণ্টনের চিত্র। প্রথমে তিনটি স্তম্ভে অসমান উচ্চতায় তরল দেখানো হয়েছে, যা ঢেলে মাঝের একটি বড় পাত্রে রাখা হয় এবং সেখান থেকে পুনরায় তিনটি স্তম্ভে সমান উচ্চতায় ভাগ করে দেখানো হয়েছে।

আমি ৩টি গ্লাসের সব শরবত ১টি পাত্রে রাখব এবং তা ৩টি গ্লাসে সমান ভাগে ভাগ করে দেব।

আমরা যদি ৩টি গ্লাসের শরবত একসঙ্গে করি, তাহলে সম্পূর্ণ শরবত হবে
$\square + \square + \square = \square$ (মিলি)
সুতরাং প্রতি গ্লাসে রাখা শরবতের পরিমাণ হবে $\square \div \square = \square$ (মিলি)
অর্থাৎ ৩টি গ্লাসের প্রতিটি গ্লাসে শরবতের গড় পরিমাণ হবে $\square$ মিলি

৩. নিচে ২০২৩ সালের ঢাকা শহরের সর্বোচ্চ তাপমাত্রার একটি তালিকা রয়েছে। চলো তালিকাটি থেকে ঐ বছরের গড় তাপমাত্রা বের করি।

Printed page 109

৫. আমাদের শ্রেণিতে ৩০ জন শিক্ষার্থীর বয়সের গড় ১০ বছর, যদি শফিক স্যারের বয়স যোগ করি তবে বয়সের গড় হয় ১১ বছর। এবার চলো আমাদের শফিক স্যারের বয়স নির্ণয় করি।

কিন্তু কীভাবে নির্ণয় করব?

মোট শিক্ষার্থী ৩০ জন।
আমাদের বয়সের গড় ১০ বছর।
আমাদের মোট বয়স হবে $\square \times \square = ৩০০$ বছর।
শফিক স্যারসহ আমরা $৩০ + ১ = ৩১$ জন। শফিক স্যারসহ আমাদের গড় বয়স ১১ বছর।
৩১ জনের মোট বয়স ৩১ $\times \square = \square$ বছর।
সুতরাং শফিক স্যারের বয়স হবে $\square - ৩০০ = \square$ বছর।

৬. একটি সপ্তাহে সোম, মঙ্গল ও বুধবারের গড় তাপমাত্রা ছিল ৩০° সেলসিয়াস (°সে)। আবার মঙ্গল, বুধ ও বৃহস্পতিবারের গড় তাপমাত্রা ছিল ৩৩°সে। বৃহস্পতিবারে ৩৫°সে তাপমাত্রা হলে সোমবারের তাপমাত্রা কত ছিল?

Figure

লেবেল: সোম, মঙ্গল, বুধ, বৃহস্পতি, ৯০° সে, ৯৯°সে, ৩৫°সে, মঙ্গল ও বুধ, সোম, মঙ্গল ও বুধ, সোম বর্ণনা: একটি তথ্যছক ও তীরচিহ্নের সাহায্যে তাপমাত্রা নির্ণয়ের ধাপ। ছকে সোম, মঙ্গল ও বুধের যৌথ ঘরে ৯০° সে এবং মঙ্গল, বুধ ও বৃহস্পতির যৌথ ঘরে ৯৯°সে দেখানো হয়েছে। বৃহস্পতিবারে ৩৫°সে বাদ দিয়ে মঙ্গল ও বুধের তাপমাত্রা নির্ণয় করা হয়। অতঃপর নীল রঙের তীরচিহ্ন নিচে নির্দেশ করে সোম, মঙ্গল ও বুধের ৯০°সে থেকে মঙ্গল ও বুধের তাপমাত্রা বিয়োগ করে সোমবারের তাপমাত্রা নির্ণয় দেখানো হয়েছে।

Printed page 110

৪. ১৫ জন লোকের গড় বয়স ৩৮ বছর। তাদের মধ্যে আবার ৩ জনের গড় বয়স ৫০ বছর। তাহলে বাকি ১২ জনের গড় বয়স কত হবে?

৫. জানুয়ারি মাসের কোনো এক সপ্তাহের প্রথম ২ দিনের গড় তাপমাত্রা ১৫.৫°সে। শেষের ৩ দিনের গড় তাপমাত্রা ১৭°সে। ঐ সপ্তাহের গড় তাপমাত্রা ১৮°সে হলে ঐ সপ্তাহের মাঝের ২ দিনের গড় তাপমাত্রা কত?

৬. একটি স্থানীয় কমিউনিটি ক্লিনিকে কোনো এক বছরের প্রতি মাসে রোগী উপস্থিতির তালিকা নিচে দেয়া হলো। ঐ বছরের প্রতি মাসে গড়ে কতজন রোগী সেবা গ্রহণ করে?

৭. গত সপ্তাহে আমাদের শ্রেণিতে মোট শিক্ষার্থীর উপস্থিতি নিচের ছকে তুলে সপ্তাহের গড় উপস্থিতি নির্ণয় করি।

Printed page 111

নিচে ৫ জন শিক্ষার্থীর উচ্চতা দেওয়া আছে। আমরা কীভাবে সহজে গড় উচ্চতা বের করতে পারি?

উচ্চতাগুলোর গড় হলো :
$(১৪৫ + ১৪৯ + ১৩৩ + ১৫২ + ১৪২) \div ৫ = ১৪৪.২$ সেমি
আমরা কি অন্য কোনো পদ্ধতিতে সহজে গড় নির্ণয় করতে পারি?

আমি একটি সহজ কৌশল জানি।

যেহেতু প্রত্যেকের উচ্চতার মান ১৩০ সেমি থেকে বড়ো, তাই আমি ১৩০ সেমি থেকে পার্থক্য নির্ণয় করেছি। মানের পার্থক্যগুলো হলো ১৫ সেমি, ১৯ সেমি, ৩ সেমি, ২২ সেমি ও ১২ সেমি। তারপর মানগুলোর গড় নির্ণয় করেছি।
$(১৫ + ১৯ + ৩ + ২২ + ১২) \div ৫ = ১৪.২$ সেমি
পরিশেষে, ১৩০ সেমি’র সঙ্গে ১৪.২ সেমি যোগ করেছি।
$১৩০ + ১৪.২ = ১৪৪.২$
সুতরাং উচ্চতাগুলোর গড় হলো ১৪৪.২ সেমি।

Figure

লেবেল: সেমি, ১৩০ বর্ণনা: শিক্ষার্থীদের উচ্চতা নির্দেশক পাঁচটি স্তম্ভের লেখচিত্র। ১৩০ সেমি উচ্চতায় একটি আনুভূমিক রেখা টানা হয়েছে; রেখার নিচের অংশ নীল এবং উপরের অংশ ধূসর রঙের স্তম্ভ দিয়ে অতিরিক্ত উচ্চতা নির্দেশ করা হয়েছে।

আমিও একই কৌশলে করেছি, তবে সর্বনিম্ন মান ১৩৩ সেমি থেকে পার্থক্য করেছি।

সর্বনিম্ন মান ১৩৩ সেমি থেকে মানের পার্থক্যগুলো হলো ১২ সেমি, ১৬ সেমি, ০ সেমি, ১৯ সেমি ও ৯ সেমি।
তারপর আমি মানগুলোর গড় নির্ণয় করেছি।
$(১২ + ১৬ + ০ + ১৯ + ৯) \div ৫ = ১১.২$ সেমি
পরিশেষে ১৩৩ সেমি’র সঙ্গে ১১.২ সেমি যোগ করেছি।
$১৩৩ + ১১.২ = ১৪৪.২$
অর্থাৎ উচ্চতাগুলোর গড় হলো ১৪৪.২ সেমি।

Figure

লেবেল: সেমি, ১৩৩ বর্ণনা: শিক্ষার্থীদের উচ্চতা নির্দেশক পাঁচটি স্তম্ভের লেখচিত্র। সর্বনিম্ন মান ১৩৩ সেমি বরাবর আনুভূমিক রেখা টানা হয়েছে। তৃতীয় শিক্ষার্থীর উচ্চতা ১৩৩ সেমি হওয়ায় সেই স্তম্ভের উপরে কোনো অতিরিক্ত ধূসর অংশ নেই, বাকি স্তম্ভগুলোর উপরের বাড়তি অংশ ধূসর রঙে দেখানো হয়েছে।

একটি বিষয় খেয়াল করেছ? গড়ের মান সব সময় মাঝের সংখ্যার কাছাকাছি থাকে।

Printed page 112

১. প্রথমে আমরা ৫ জন করে দলে বিভক্ত হব। এরপর আমরা নিজেদের উচ্চতা পরিমাপ করে নিচের তালিকা পূরণ করব এবং নিজেদের দলের গড় উচ্চতা নির্ণয় করব।

উচ্চতাগুলোর গড় হলো
সর্বনিম্ন মান = $\square$ সেমি
সর্বনিম্ন মান থেকে পার্থক্যগুলোর গড়
$(... + ... + ... + ... + ...) \div ... = \square$ সেমি
সুতরাং প্রকৃত গড় $\square + \square = \square$ সেমি

২. বাংলাদেশ ক্রিকেট দলের এক দিনের আন্তর্জাতিক ম্যাচে বিভিন্ন সময়ে ভারত ও শ্রীলংকার সঙ্গে করা দলীয় মোট রানের তালিকা নিচে দেয়া আছে।

এখন আমরা দুই দলের সঙ্গে বাংলাদেশ দলের দলীয় মোট রানের গড় নির্ণয় করতে চাই। নিচে রাফির কৌশলটি দেখি এবং সে কী ভুল করেছে তা খুঁজে বের করি।