Primary Mathematics chapter 9: Geometry

অধ্যায় ৯: জ্যামিতি

ট্রাপিজিয়াম ও সামান্তরিক

নিচের আয়তাকার ও ত্রিভুজাকার আকৃতির ফ্রেমগুলো একটি অন্যটির উপর বসিয়ে আমরা কত ধরনের চতুর্ভুজ তৈরি করতে পারি?

Figure

লেবেল: আয়ত ১, আয়ত ২, ত্রিভুজ ১, ত্রিভুজ ২ বর্ণনা: চারটি ফ্রেম—নীল রঙের আয়ত ১, সবুজ রঙের আয়ত ২, হলুদ রঙের ত্রিভুজ ১ এবং গোলাপি রঙের ত্রিভুজ ২।

১ চিত্রানুযায়ী আমরা যেকোনো দুইটি ফ্রেমকে একটির উপর অপরটি রেখে পেন্সিল দিয়ে বিভিন্ন ধরনের চতুর্ভুজ আঁকি।

Figure

লেবেল: ক), খ), গ), ঘ), ঙ), চ), আয়ত ১, আয়ত ২, ত্রিভুজ ১, ত্রিভুজ ২, ক, খ, গ, ঘ, ঙ, চ বর্ণনা: ফ্রেম দুটিকে একটির ওপর অপরটি রেখে চতুর্ভুজ আঁকার ছয়টি বিন্যাস ক) থেকে চ) দেখানো হয়েছে। নিচে গঠিত চতুর্ভুজগুলোর রূপরেখা ক, খ, গ, ঘ, ঙ এবং চ দেওয়া আছে।

Printed page 150

সমান্তরাল বাহুর ভিত্তিতে উল্লেখিত চতুর্ভুজগুলো থেকে দুইটি দল তৈরি করি।

২ উল্লেখিত ৬টি চতুর্ভুজের মধ্যে কি কোনো আয়ত আছে? যদি থাকে, তবে কেন সেটি আয়ত তার কারণ ব্যাখ্যা করি।

আমরা চতুর্থ শ্রেণিতে বর্গ ও আয়ত সম্পর্কে শিখেছি। উপরের চতুর্ভুজগুলোর মধ্যে কোনটি আয়ত?

চতুর্ভুজ ‘ঙ’-এর বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান ও সমান্তরাল। এছাড়া, এর প্রতিটি কোণ এক সমকোণ। তাই চতুর্ভুজ ‘ঙ’ একটি আয়ত।

এখানে কিছু চতুর্ভুজের এক জোড়া বাহু পরস্পর সমান্তরাল। আবার কিছু চতুর্ভুজের দুই জোড়া বাহু পরস্পর সমান্তরাল।

Figure

লেবেল: চতুর্ভুজের এক জোড়া বাহু পরস্পর সমান্তরাল, চতুর্ভুজের দুই জোড়া বাহু পরস্পর সমান্তরাল, ক, চ, ঙ, ঘ, খ, ট্রাপিজিয়াম, সামান্তরিক, ট্রাপিজিয়াম বর্ণনা: সমান্তরাল বাহুর সংখ্যার ভিত্তিতে চতুর্ভুজগুলোর বিভাজন প্রদর্শনকারী একটি সারণি। বাম পাশে 'চতুর্ভুজের এক জোড়া বাহু পরস্পর সমান্তরাল' ঘরে ক ও চ চতুর্ভুজ এবং গ্রিডে আঁকা ট্রাপিজিয়াম রয়েছে। ডান পাশে 'চতুর্ভুজের দুই জোড়া বাহু পরস্পর সমান্তরাল' ঘরে ঙ, ঘ ও খ চতুর্ভুজ এবং গ্রিডে আঁকা সামান্তরিক রয়েছে। নিচে উভয় স্তম্ভকে অন্তর্ভুক্ত করে 'ট্রাপিজিয়াম' লেখা রয়েছে।

ট্রাপিজিয়ামের এক জোড়া বাহু পরস্পর সমান্তরাল এবং সামান্তরিকের দুই জোড়া বাহু পরস্পর সমান্তরাল।

সকল সামান্তরিকই ট্রাপিজিয়াম।

Printed page 151

১ নিচের আকৃতিগুলো থেকে ট্রাপিজিয়াম ও সামান্তরিক খুঁজে বের করি এবং কারণ ব্যাখ্যা করি।

Figure

লেবেল: (ক), (খ), (গ), (ঘ), (ঙ), (চ) বর্ণনা: একটি গ্রিডের ওপর ছয়টি চতুর্ভুজ (ক) থেকে (চ) আঁকা আছে।

৩ নিচের সামান্তরিকগুলোর বাহুর দৈর্ঘ্য ও কোণগুলো পরিমাপ করি। আমরা সামান্তরিকের বাহু ও কোণগুলোর কি কোনো বৈশিষ্ট্য খুঁজে পাই?

Figure

বর্ণনা: সবুজ সীমানাযুক্ত দুটি সামান্তরিকের রূপরেখা।

(১) পরস্পর বিপরীত বাহুর দৈর্ঘ্য [ ]

(২) পরস্পর বিপরীত কোণ [ ]

সামান্তরিকের ● বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান। ● বিপরীত কোণগুলো পরস্পর সমান।

২ নিচের সামান্তরিকগুলোর বাহুর দৈর্ঘ্য ও কোণের পরিমাপ নির্ণয় করি।

(১) কখ = ----------- সেমি

(২) খগ = -----------সেমি

(৩) $\angle$খ = -------$^\circ$

(৪) $\angle$গ = -------$^\circ$

Figure

লেবেল: ক, খ, গ, ঘ, ৪ সেমি, ২ সেমি, ১০০°, ৮০° বর্ণনা: সামান্তরিক কখগঘ; যার বাহু কঘ = ৪ সেমি, ঘগ = ২ সেমি, কোণ ক = ১০০° এবং কোণ ঘ = ৮০° চিহ্নিত।

Printed page 152

(৫) চছ = -----------সেমি

(৬) ছজ = -----------সেমি

(৭) $\angle$ছ = -------$^\circ$

(৮) $\angle$জ = -------$^\circ$

Figure

লেবেল: চ, ছ, জ, ঝ, ৪০°, ১৪০°, ৩ সেমি, ৬ সেমি বর্ণনা: সামান্তরিক চছজঝ; যার বাহু চঝ = ৩ সেমি, ঝজ = ৬ সেমি, কোণ চ = ৪০° এবং কোণ ঝ = ১৪০° চিহ্নিত।

৪ নিচের সামান্তরিকের মতো সামান্তরিক খাতায় আঁকি।

যেভাবে সামান্তরিক আঁকব।

[১] স্কেলের সাহায্যে ৪ সেমি দৈর্ঘ্যের একটি রেখা আঁকি।

[২] চাঁদা ব্যবহার করে ৬০° কোণ আঁকি।

[৩] ত্রিকোণীসেট ব্যবহার করে ২য় ধাপে অঙ্কিত রেখার সমান্তরাল রেখা আঁকি।

Figure

লেবেল: ৪ সেমি, ৪ সেমি, ৩ সেমি, ৩ সেমি, ৬০° বর্ণনা: একটি সামান্তরিকের রূপরেখা; যার ভূমি ও শীর্ষবাহু ৪ সেমি, দুই বিপরীত পার্শ্ববাহু ৩ সেমি এবং নিচের বাম কোণটি ৬০° নির্দেশিত।

ত্রিকোণীসেট ব্যবহার করে আমরা নিচে দেখানো ছবির মতো সমান্তরাল রেখা আঁকতে পারি।

Figure

বর্ণনা: দুটি ত্রিকোণীসেট ব্যবহার করে সমান্তরাল রেখা আঁকার চারটি ধারাবাহিক ধাপের চিত্র।

[৪] ২য় ও ৩য় ধাপের অঙ্কিত রেখাদ্বয়ে ৩ সেমি চিহ্নিত করি।

[৫] ৪র্থ ধাপে চিহ্নিত বিন্দুদ্বয় স্কেলের সাহায্যে সংযুক্ত করি।

Figure

লেবেল: ৫, ৪, ৪, ২, ১, ৩, ৩ সেমি, ৩ সেমি, ৪ সেমি, ৬০° বর্ণনা: সামান্তরিক অঙ্কনের পাঁচটি ধারাবাহিক ধাপ—১ (ভূমি ৪ সেমি), ২ (কোণ ৬০°), ৩ (সমান্তরাল রেখা), ৪ (৩ সেমি চিহ্নিতকরণ) এবং ৫ (শীর্ষবিন্দু সংযোগ)।

৩ নিচের সামান্তরিকগুলো আঁকি।

(ক) দৈর্ঘ্যে ৪ সেমি, প্রস্থ ২.৫ সেমি এবং একটি কোণ ৫৫°

(খ) দৈর্ঘ্যে ৫ সেমি, প্রস্থ ৩ সেমি এবং একটি কোণ ৭০°

(গ) প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য ৪ সেমি এবং একটি কোণ ৩৫°

Printed page 153

৫ ছবিতে কোনো ট্রাপিজিয়াম আছে কি না খুঁজি ও আঁকি।

Figure

বর্ণনা: একটি ঘরের ছবি, যার চালা ট্রাপিজিয়াম আকৃতির।

এখানে আমরা কয়েকটি ট্রাপিজিয়াম দেখতে পাচ্ছি।

এখানে ঘরের চালাটিও ট্রাপিজিয়াম আকৃতির।

চাঁদা ও পেন্সিল দিয়ে এটি আমরা কীভাবে আঁকতে পারি?

● গ্রিড পেপার বা সাদা কাগজে কখ রেখা (ভূমি) এঁকে চাঁদার সাহায্যে কখ রেখার দুইপাশে ৪৫° করে কোণ আঁকি।

● এবার কখ রেখার সমান্তরাল করে গঘ রেখা আঁকি। তাহলে একটি কখগঘ ট্রাপিজিয়াম অঙ্কিত হলো।

Figure: ট্রাপিজিয়াম আকৃতির ঘরের চালা

বর্ণনা: বামে ট্রাপিজিয়াম আকৃতির চালাবিশিষ্ট একটি ঘরের ছবি। ডানে গ্রিড পেপারের ওপর চাঁদা বসিয়ে দুই প্রান্তে ৪৫° কোণ পরিমাপের কৌশল দেখানো হয়েছে।

Figure

লেবেল: ক, খ, গ, ঘ, ৪৫°, ৪৫° বর্ণনা: গ্রিড পেপারের ওপর কখগঘ ট্রাপিজিয়াম; ভূমি কখ, শীর্ষ সমান্তরাল বাহু ঘগ, এবং ভূমি সংলগ্ন দুই কোণ ৪৫° ও ৪৫° চিহ্নিত।

৪ চিত্রে আমরা কী কী ধরনের চতুর্ভুজ দেখতে পাই?

Figure

বর্ণনা: কাঠের জানালার গ্রিল, যার মধ্যে বর্গাকার ফাঁক সাজানো।

Figure

বর্ণনা: রেলিংযুক্ত কাঠের সিঁড়ি।

Figure

বর্ণনা: রাস্তা ও বাড়িঘর সংবলিত একটি এলাকার মানচিত্র।

Printed page 154

রম্বস

নিচে দেখানো সমান আকৃতির আয়ত দুইটির একটিকে অন্যটির উপর বসিয়ে বিভিন্ন আকৃতির চতুর্ভুজ তৈরি করি। আমরা কোন আকৃতিগুলো পাই?

Figure

লেবেল: ক, খ, গ বর্ণনা: উপরে দুটি সমান আকারের আয়তাকার ফ্রেম (বেগুনি ও বাদামি)। নিচে একটির ওপর অপরটি ভিন্ন কোণে বসিয়ে তৈরি তিনটি চতুর্ভুজ ক, খ ও গ।

বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য পরিমাপ করি।

আকৃতিগুলোর প্রত্যেকটি বাহুর দৈর্ঘ্যই সমান। আবার, বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান্তরাল।

যে সামান্তরিকের প্রত্যেকটি বাহুর দৈর্ঘ্যই সমান, তাকে রম্বস বলে। বর্গ এক ধরনের রম্বস।

আমরা জেনেছি সকল সামান্তরিকই ট্রাপিজিয়াম। তাই, রম্বসও ট্রাপিজিয়াম।

Printed page 155

১ চিত্রের মতো একটি আয়ত আকৃতির কাগজকে চার ভাগে ভাঁজ করে দাগ বরাবর কাটলে কী ধরনের চতুর্ভুজ পাই?

Figure

বর্ণনা: উপরে চার ভাঁজ করা একটি আয়তাকার কাগজ দাগ বরাবর কাঁচি দিয়ে কাটার দৃশ্য এবং নিচে ভাঁজ খোলার পর প্রাপ্ত তিনটি রম্বসের চিত্র।

বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য পরিমাপ করি।

চতুর্ভুজের প্রত্যেকটি বাহুর দৈর্ঘ্য ................

চতুর্ভুজটি একটি .....................................

চলো, কোণগুলো মেপে দেখি।

বিপরীত কোণ দুইটি .................................

রম্বসের ● বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান্তরাল। ● বিপরীত কোণগুলো পরস্পর সমান।

১ একই মাপের রম্বস কেটে বিভিন্ন ডিজাইনের আকৃতি বানাই।

Figure

বর্ণনা: একই মাপের রম্বস সাজিয়ে তৈরি করা চারটি নকশা—চারটি রম্বসে তৈরি বড় রম্বস, তিনটি রম্বসে ত্রিমাত্রিক ঘনক রূপ, ছয়টি রম্বসে তারকাসদৃশ পুষ্পাকৃতি এবং চারটি রম্বসে ক্রস রূপ।

Printed page 156

চতুর্ভুজের কর্ণ

নিচের চতুর্ভুজগুলোর বিপরীত শীর্ষবিন্দুগুলো সংযোগ করে কী পাই?

Figure

বর্ণনা: গ্রিডের ওপর চারটি চতুর্ভুজ; যার প্রথমটিতে নীল রঙের ড্যাশযুক্ত রেখা দিয়ে বিপরীত শীর্ষবিন্দু সংযোগ করে কর্ণ নির্দেশ করা হয়েছে।

চতুর্ভুজের বিপরীত শীর্ষবিন্দু সংযোগ করলে কর্ণ পাই। একটি চতুর্ভুজের দুইটি কর্ণ রয়েছে, কিন্তু ত্রিভুজের কোনো কর্ণ নেই।

Figure

লেবেল: ক, খ, গ, ঘ বর্ণনা: চতুর্ভুজ কখগঘ; যার বিপরীত শীর্ষবিন্দুদ্বয় ক ও গ এবং খ ও ঘ নীল ড্যাশযুক্ত রেখা দিয়ে যুক্ত করে দুইটি কর্ণ দেখানো হয়েছে।

১ নিচের চতুর্ভুজগুলোতে কর্ণ আঁকি।

Figure

বর্ণনা: কর্ণ আঁকার অনুশীলনের জন্য চারটি চতুর্ভুজের চিত্র।

২ চতুর্ভুজ সম্পর্কে আমরা কী পেয়েছি তা সংক্ষেপে ছকের খালি ঘরগুলোতে লিখি।

Printed page 157

৩ নিচের চিত্রে বিভিন্ন বৈশিষ্ট্যের আলোকে চতুর্ভুজগুলোকে বৃত্তের ভিতরে সাজানো হয়েছে। চিত্রটি পর্যালোচনা করে নিচের শূন্যস্থান পূরণ করি।

Figure

লেবেল: চতুর্ভুজ, ট্রাপিজিয়াম, সামান্তরিক, রম্বস, আয়ত, বর্গ বর্ণনা: একটি ভেনচিত্র বা অন্তর্ভুক্তিমূলক বৃত্তাকার চিত্র; সবচেয়ে বাইরের বৃত্তটি চতুর্ভুজ, তার ভেতরে ট্রাপিজিয়াম, তার ভেতরে সামান্তরিক। সামান্তরিকের ভেতরে দুটি পরস্পরছেদী বৃত্তে রম্বস ও আয়ত রয়েছে এবং তাদের সাধারণ ছেদ অংশে একটি বর্গ ও 'বর্গ' লেবেল রয়েছে। প্রতিটি স্তরে সংশ্লিষ্ট জ্যামিতিক চিত্রগুলো আঁকা রয়েছে।

(১) চতুর্ভুজের এক জোড়া বিপরীত বাহু সমান্তরাল হলে তাকে ... ... ... ... ... ... ... ... ... বলে।

(২) চতুর্ভুজের দুই জোড়া বিপরীত বাহু সমান্তরাল হলে তাকে ... ... ... ... ... ... ... ... ... বলে।

(৩) যে সামান্তরিকের চারটি বাহুই সমান তাকে ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... বলে।

(৪) যে সামান্তরিকের চারটি কোণই সমকোণ তাকে ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... বলে।

(৫) রম্বসের একটি কোণ সমকোণ হলে তাকে ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...বলে।

(৬) আয়ত ও বর্গের মধ্যে মিল হলো এদের চারটি কোণ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...।

(৭) রম্বস ও বর্গের মধ্যে মিল হলো এদের চারটি ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... পরস্পর সমান।

(৮) রম্বস, বর্গ এবং আয়ত এদের সবগুলোই হলো এক ধরনের ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...।

(৯) আয়ত, বর্গ ও রম্বস হলো একধরনের ট্রাপিজিয়াম, কারণ এদের প্রত্যেকের অন্তত একজোড়া ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... বাহু আছে।

Printed page 158

১ চতুর্ভুজের বিভিন্ন বৈশিষ্ট্যের উপর ভিত্তি করে নিচের শূন্যস্থানগুলো পূরণ করি।

Figure

লেবেল: চতুর্ভুজ, ট্রাপিজিয়াম, সামান্তরিক, আয়ত, রম্বস, বর্গ বর্ণনা: চতুর্ভুজের শ্রেণিবিভাগের ফ্লোচার্ট। ওপর থেকে নিচে তীরচিহ্ন দিয়ে চতুর্ভুজ থেকে ট্রাপিজিয়াম, ট্রাপিজিয়াম থেকে সামান্তরিক, সামান্তরিক থেকে দুটি শাখায় আয়ত ও রম্বস, এবং সবশেষে উভয় শাখা মিলিত হয়ে বর্গ দেখানো হয়েছে। প্রতিটি আকৃতির পাশে শর্তযুক্ত শূন্যস্থান রয়েছে।

(১) একটি চতুর্ভুজকে ট্রাপিজিয়াম বলা যাবে যদি ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

(২) একটি ট্রাপিজিয়ামকে সামান্তরিক বলা যাবে যদি ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

(৩) একটি সামান্তরিককে আয়ত বলা যাবে যদি ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

(৪) একটি সামান্তরিককে রম্বস বলা যাবে যদি ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

(৫) একটি আয়তকে বর্গ বলা যাবে যদি ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

(৬) একটি রম্বসকে বর্গ বলা যাবে যদি ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

Printed page 159