Mathematics chapter 1: Natural Numbers and Fractions

প্রথম অধ্যায়

স্বাভাবিক সংখ্যা ও ভগ্নাংশ

প্রাচীন মানুষ বিভিন্ন বস্তু বা জিনিস গণনা করতে গিয়ে প্রথম সংখ্যার ধারণা পেয়েছিল। প্রথমদিকে কম সংখ্যক বস্তু গুনতে হতো। কিন্তু সভ্যতার বিকাশের সাথে সাথে বেশি সংখ্যক জিনিস হিসাবের প্রয়োজন দেখা দেয়। সেখান থেকেই নানারকম প্রতীক ও পদ্ধতির মাধ্যমে মানুষ গণনার আরো সহজ ও কার্যকর উপায় খুঁজে বের করে। যেহেতু এই সংখ্যাগুলো গণনার প্রয়োজনে সৃষ্টি হয়েছিল তাই এদেরকে গণনাকারী বা স্বাভাবিক সংখ্যা (Natural Number) বলা হয়। যেমনঃ ১, ২, ৩, ৪, ৫, ৬, ৭, ৮, ... ইত্যাদি।

প্রাচীনকালে মানুষ বিভিন্ন বস্তু বা জিনিস গণনা করতে গিয়ে যেসব সংখ্যা সৃষ্টি করেছিল তাদেরকে গণনাকারী বা স্বাভাবিক বা প্রাকৃতিক সংখ্যা বলা হয়। যেমনঃ ১, ২, ৩, ৪, ৫, ৬, ৭, ৮, ... ইত্যাদি।

অধ্যায় শেষে শিক্ষার্থীরা –

• অঙ্কপাতনের মাধ্যমে স্বাভাবিক সংখ্যা গঠন করতে পারবে।
• দেশীয় ও আন্তর্জাতিক রীতিতে অঙ্কপাতন করে স্বাভাবিক সংখ্যা পড়তে বা লিখতে পারবে।
• মৌলিক সংখ্যা, যৌগিক সংখ্যা ও সহ-মৌলিক সংখ্যা চিহ্নিত করতে পারবে।
• বিভাজ্যতা ব্যাখ্যা করতে পারবে।
• ২, ৩, ৪, ৫, ৯ দ্বারা বিভাজ্যতা যাচাই করতে পারবে।
• স্বাভাবিক সংখ্যা, ভগ্নাংশ ও দশমিক ভগ্নাংশের গ.সা.গু ও ল.সা.গু নির্ণয় করতে পারবে।
• ভগ্নাংশ ও দশমিক ভগ্নাংশের সরলীকরণ করে গাণিতিক সমস্যার সমাধান করতে পারবে।

১·১ অঙ্কপাতন

পাটিগণিতে দশটি প্রতীক দ্বারা সব সংখ্যাই প্রকাশ করা যায়। এ প্রতীকগুলো হলো : ১, ২, ৩, ৪, ৫, ৬, ৭, ৮, ৯, ০। এগুলোকে অঙ্কও বলা হয়। আবার এগুলো সংখ্যাও। শূন্য ব্যতীত বাকি সংখ্যাগুলো স্বাভাবিক সংখ্যা। এদের মধ্যে প্রথম নয়টি প্রতীককে সার্থক অঙ্ক এবং শেষেরটিকে শূন্য বলা হয়। সংখ্যাগুলোর স্বকীয় বা নিজস্ব মান যথাক্রমে এক, দুই, তিন, চার, পাঁচ, ছয়, সাত, আট, নয় ও শূন্য।

৯ অপেক্ষা বড় সব সংখ্যাই দুই বা ততোধিক অঙ্ক পাশাপাশি বসিয়ে লেখা হয়। কোনো সংখ্যা অঙ্ক দ্বারা লেখাকে অঙ্কপাতন বলে। অঙ্কপাতনে দশটি প্রতীকই ব্যবহার করা হয়। দশ-ভিত্তিক বলে সংখ্যা প্রকাশের রীতিকে দশমিক বা দশ-গুণোত্তর রীতি বলা হয়। এ রীতিতে কয়েকটি অঙ্ক পাশাপাশি বসিয়ে সংখ্যা লিখলে এর সর্বাপেক্ষা ডানদিকের অঙ্কটি তার স্বকীয় মান প্রকাশ করে। ডানদিক

Printed page 2

থেকে দ্বিতীয় অঙ্কটি এর স্বকীয় মানের দশগুণ অর্থাৎ তত দশক প্রকাশ করে। তৃতীয় অঙ্কটি এর দ্বিতীয় স্থানের মানের দশগুণ বা স্বকীয় মানের শতগুণ অর্থাৎ, তত শতক প্রকাশ করে। এরূপে কোনো অঙ্ক এক এক স্থান করে বামদিকে সরে গেলে তার মান উত্তরোত্তর দশগুণ করে বৃদ্ধি পায়। লক্ষ করি যে, কোনো সংখ্যায় ব্যবহৃত অঙ্কগুলোর মান তার অবস্থানের উপর নির্ভর করে। সংখ্যায় ব্যবহৃত কোনো অঙ্ক তার অবস্থানের জন্য যে সংখ্যা প্রকাশ করে, তাকে ঐ অঙ্কের স্থানীয় মান বলা হয়। যেমন, ৩৩৩ সংখ্যাটির সর্বডানের ৩ এর স্থানীয় মান ৩, ডানদিক থেকে দ্বিতীয় ও তৃতীয় স্থানে ৩ এর স্থানীয় মান যথাক্রমে ৩০ এবং ৩০০। তাহলে দেখা যাচ্ছে, একই অঙ্কের স্থান পরিবর্তনের ফলে স্থানীয় মানের পরিবর্তন হয়। কিন্তু তার নিজস্ব বা স্বকীয় মান একই থাকে।

অর্থাৎ, $৩৩৩ = ৩ \times ১০০ + ৩ \times ১০ + ৩$

১·২ দেশীয় সংখ্যাপঠন রীতি

আমরা পূর্ববর্তী শ্রেণিতে দেশীয় রীতি অনুযায়ী গণনা করতে শিখেছি। এ রীতিতে সংখ্যার ডানদিক থেকে প্রথম, দ্বিতীয় ও তৃতীয় স্থান যথাক্রমে একক, দশক ও শতক প্রকাশ করে। চতুর্থ, পঞ্চম, ষষ্ঠ, সপ্তম ও অষ্টম স্থানকে যথাক্রমে হাজার, অযুত, লক্ষ, নিযুত, কোটি বলা হয়।

এককের ঘরের অঙ্কগুলো কথায় লেখা বা পড়া হয় এক, দুই, তিন, চার ইত্যাদি। কিছু দুই অঙ্কের সংখ্যাগুলোর বিশেষ বিশেষ নাম রয়েছে। যেমন, ২৫, ৩৮, ৭১ পড়া হয় যথাক্রমে পঁচিশ, আটত্রিশ, একাত্তর। শতকের ঘরের ১, ২, ৩ ইত্যাদি অঙ্কগুলোকে যথাক্রমে একশ, দুইশ, তিনশ ইত্যাদি পড়া হয়। হাজারের ঘরের অঙ্কগুলোকে শতকের ঘরের মতো পড়তে হয়। যেমন, পাঁচ হাজার, সাত হাজার ইত্যাদি। অযুতের ঘরের অঙ্ককে অযুত হিসেবে পড়া হয় না। অযুত ও হাজারের ঘর মিলিয়ে যত হাজার হয় তত হাজার পড়া হয়। যেমন, অযুতের ঘরে ৭ এবং হাজারের ঘরে ৫ থাকলে দুই ঘরের অঙ্ক মিলিয়ে পাঁচাত্তর হাজার পড়তে হয়।

Printed page 3

নিযুত ও লক্ষের ঘর মিলিয়ে যত লক্ষ হয় তত লক্ষ হিসেবে পড়া হয়। যেমন, নিযুতের ঘরে ৮ এবং লক্ষের ঘরে ৩ থাকলে দুই ঘরের অঙ্ক মিলিয়ে তিরাশি লক্ষ পড়া হয়। কোটির ঘরের অঙ্ককে কোটি বলে পড়া হয়।

কোটির ঘরের বামদিকের সব ঘরের অঙ্কগুলোকে কোটির ঘরের সাথে মিলিয়ে যত কোটি হয় তত কোটি পড়া হয়।

চার বা ততোধিক অঙ্কে লিখিত সংখ্যা সহজে ও শুদ্ধভাবে পড়ার জন্য কমা (,) ব্যবহার করা যায়। এ ক্ষেত্রে, যেকোনো সংখ্যার ডানদিক থেকে তিন অঙ্ক পরে একটি কমা এবং এরপর দুই অঙ্ক পর পর কমা ব্যবহার করা যায়।

উদাহরণ ১। কমা বসিয়ে কথায় লেখ : ৯৮৭৫৪৭৩২১।

সমাধান : সংখ্যাটির ডান দিক থেকে তিন ঘর পরে কমা (,) ; এরপর দুই ঘর পর পর কমা (,) বসালে আমরা পাই, ৯৮,৭৫,৪৭,৩২১।

এখন কোটির ঘরের দুইটি অঙ্ক মিলিয়ে ৯৮, নিযুত ও লক্ষের ঘরের দুইটি অঙ্ক মিলিয়ে ৭৫, অযুত ও হাজারের ঘরের দুইটি অঙ্ক মিলিয়ে ৪৭, শতকের ঘরে ৩, দশকের ঘরে ২ এবং এককের ঘরে ১ অবস্থিত। সুতরাং সংখ্যাটিকে কথায় প্রকাশ করলে হয়ঃ আটানব্বই কোটি পাঁচাত্তর লক্ষ সাতচল্লিশ হাজার তিনশ একুশ।

উদাহরণ ২। অঙ্কে লেখ : সাত কোটি পাঁচ লক্ষ নব্বই হাজার সাত।

সমাধান :

কথায় প্রকাশিত সংখ্যাটি অঙ্কপাতনের পর দেখা যায় যে, নিযুত, শতক এবং দশকের ঘরে কোনো অঙ্ক নেই। এ খালি ঘরগুলোতে ০ বসিয়ে সংখ্যাটি পাওয়া যায়।

$\therefore$ সংখ্যাটি ৭,০৫,৯০,০০৭।

উদাহরণ ৩। সাত অঙ্কের বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যা লেখ।

সমাধান : এক অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা ৯। অঙ্কপাতনের যেকোনো অবস্থানে ৯ এর স্থানীয় মান বৃহত্তম হবে। সুতরাং, সাতটি ৯ পর পর লিখলেই সাত অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা পাওয়া যায়।

নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যাঃ ৯৯,৯৯,৯৯৯

আবার, ক্ষুদ্রতম অঙ্ক হলো ০। পর পর সাতটি শূন্য লিখলে সংখ্যাটি শূন্যই থাকে। সুতরাং, সর্ববামে সার্থক ক্ষুদ্রতম অঙ্ক ১ লিখে ডানে পর পর ছয়টি ০ বসালে ক্ষুদ্রতম সংখ্যা পাওয়া যাবে।

নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যাঃ ১০,০০,০০০

Printed page 4

উদাহরণ ৪। একই অঙ্ক মাত্র একবার ব্যবহার করে ৮, ০, ৭, ৫, ৩, ৪ অঙ্কগুলো দ্বারা ছয় অঙ্কের বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যা গঠন কর।

সমাধান : অঙ্কপাতনে যেকোনো অবস্থানে বৃহত্তর অঙ্কের স্থানীয় মান ক্ষুদ্রতর অঙ্কের স্থানীয় মান অপেক্ষা বড় হবে।

এখানে, $৮ > ৭ > ৫ > ৪ > ৩ > ০$

সুতরাং, বড় থেকে ছোট ক্রমে অঙ্কপাতন করলেই বৃহত্তম সংখ্যাটি পাওয়া যাবে।

$\therefore$ বৃহত্তম সংখ্যা ৮,৭৫,৪৩০।

আবার, $০ < ৩ < ৪ < ৫ < ৭ < ৮$

সংখ্যাটি ছোট থেকে বড় ক্রমে অঙ্কপাতন করলেই ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি পাওয়া যাবে। কিন্তু সর্ববামে ০ বসালে প্রাপ্ত সংখ্যাটি অর্থবোধক ছয় অঙ্কের সংখ্যা না হয়ে সংখ্যাটি পাঁচ অঙ্কের হবে। অতএব, ০ বাদে ক্ষুদ্রতম অঙ্কটি সর্ববামে লিখে শূন্যসহ অন্যান্য অঙ্কগুলো ছোট থেকে বড় ক্রমে লিখলে ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি পাওয়া যায়।

$\therefore$ ক্ষুদ্রতম সংখ্যা ৩,০৪,৫৭৮।

১·৩ আন্তর্জাতিক গণনা পদ্ধতি

এ পদ্ধতিতে একক থেকে বিলিয়ন পর্যন্ত স্থানগুলো নিচের নিয়মে পর পর এভাবে সাজানো হয় :

একক, দশক ও শতকের ঘরের অঙ্কগুলো আমাদের দেশীয় রীতিতেই পড়ায় ও লেখায় প্রকাশ করা হয়। শতকের ঘরের বামদিকের ঘরটি হাজারের। হাজারের ঘরে অনূর্ধ্ব ৩ অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যা লেখা যায় এবং যে সংখ্যা লেখা হয় তত হাজার পড়া হয়। যেমন, উপরে প্রদত্ত ছকে হাজারের ঘরে লিখিত সংখ্যাটি একশ এগারো এবং পড়তে হয়, একশ এগারো হাজার। হাজারের ঘরের বামদিকের ঘর মিলিয়নের এবং এ ঘরে অনূর্ধ্ব তিন অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যা লেখা যায়। যে সংখ্যা লেখা হয় তত মিলিয়ন পড়া হয়। যেমন, ছকে লিখিত সংখ্যা হলো : একশ এগারো এবং পড়তে হয়, একশ এগারো মিলিয়ন। মিলিয়নের ঘরের বামের ঘর বিলিয়নের। এই ঘরেও যে সংখ্যা লেখা হয় তত বিলিয়নই পড়া হয়। যেমন, ছকে লিখিত সংখ্যা হল একশ এগারো এবং পড়তে হয়, একশ এগারো বিলিয়ন।

কোনো সংখ্যা শুদ্ধভাবে ও সহজে পড়ার জন্য যে রীতিতে ডানদিক থেকে তিন অঙ্ক পর পর কমা (,) বসানো হয়, তা আন্তর্জাতিক গণনা পদ্ধতি।

Printed page 5

১·৪ দেশীয় ও আন্তর্জাতিক গণনা রীতির পারস্পরিক সম্পর্ক

লক্ষ্য করি :

• মিলিয়নের ঘরে সর্বডানের ১ এর স্থানীয় মান ১ মিলিয়ন। দেশীয় রীতিতে এ ঘরটি হলো নিযুতের ঘর। অর্থাৎ, এ ঘরে ১ এর স্থানীয় মান ১ নিযুত বা ১০ লক্ষ।
• বিলিয়নের ঘরের সর্বডানের ১ এর স্থানীয় মান ১ বিলিয়ন। কিন্তু দেশীয় রীতিতে এ ঘরের ১ এর স্থানীয় মান ১০০ কোটি।

সুতরাং আমরা পাই,

১ মিলিয়ন = ১০ লক্ষ
১ বিলিয়ন = ১০০ কোটি

উদাহরণ ৫। আন্তর্জাতিক পদ্ধতিতে কথায় লেখ : ২০৪৩৪০৪৩২০০৪।

সমাধান : ডানদিক থেকে তিন অঙ্ক পর পর কমা বসিয়ে আমরা পাই, ২০৪,৩৪০,৪৩২,০০৪।
সুতরাং সংখ্যাটিকে কথায় প্রকাশ করলে হয় :
দুইশ চার বিলিয়ন তিনশ চল্লিশ মিলিয়ন চারশ বত্রিশ হাজার চার।

উদাহরণ ৬। (ক) ৫ মিলিয়নে কত লক্ষ?
(খ) ৫০০ কোটিতে কত বিলিয়ন?

সমাধান : (ক) ১ মিলিয়ন = ১০ লক্ষ
$\therefore$ ৫ মিলিয়ন = $(৫ \times ১০)$ লক্ষ = ৫০ লক্ষ।

(খ) ১০০ কোটি = ১ বিলিয়ন
$\therefore$ ১ কোটি = $(১ \div ১০০)$ বিলিয়ন
$\therefore$ ৫০০ কোটি = $(৫০০ \div ১০০)$ বিলিয়ন = ৫ বিলিয়ন

Printed page 6