Mathematics chapter 2: Ratio and Percentage

দ্বিতীয় অধ্যায়

অনুপাত ও শতকরা

প্রতিদিনের কাজকর্মে আমরা অনেক জিনিসের মধ্যে কোন না কোনভাবে তুলনা করে থাকি। যেমন, দুইজন বন্ধুর মধ্যে কার উচ্চতা বেশি অথবা কোন কেককে ভাগ করার সময় পুরো কেকের কত অংশ কে পাবে বা একজন আরেকজনের থেকে কত গুণ বেশি পেল তা হিসাব করতে আমরা তুলনা করে থাকি। একাধিক বস্তুর মধ্যে তুলনাকে সহজে বুঝতে অনুপাত ও শতকরা পদ্ধতি দুইটি ব্যবহার করা হয়। তাই অনুপাত ও শতকরা সম্পর্কে ভালোভাবে ধারণা রাখা খুব জরুরি।

এছাড়াও শতকরা ও ভগ্নাংশের মধ্যে একটা সম্পর্ক আছে। এই অধ্যায়ে এসব বিষয় নিয়ে আলোচনা করা হবে।

অধ্যায় শেষে শিক্ষার্থীরা –

• অনুপাত কী তা ব্যাখ্যা করতে পারবে।
• সরল অনুপাত সংক্রান্ত সমস্যা সমাধান করতে পারবে।
• শতকরাকে সাধারণ ভগ্নাংশে, ভগ্নাংশকে শতকরায় প্রকাশ করতে পারবে।
• অনুপাতকে শতকরায় প্রকাশ করতে পারবে এবং শতকরাকে অনুপাতে প্রকাশ করতে পারবে।
• ঐকিক নিয়ম ও শতকরা হিসাবের পদ্ধতি বর্ণনা করতে পারবে।
• ঐকিক নিয়ম ও শতকরা হিসাবের সাহায্যে সময় ও কাজ, সময় ও খাদ্য, সময় ও দূরত্ব বিষয়ক গাণিতিক সমস্যা সমাধান করতে পারবে।

২·১ অনুপাত

দৈনন্দিন জীবনে আমরা প্রায়শই একই ধরনের দুইটি জিনিস তুলনা করে থাকি। যেমন, নাবিলের উচ্চতা ১৫০ সে.মি. ও তার বোনের উচ্চতা ১৪০ সে.মি. হলে, আমরা বলতে পারি, নাবিলের উচ্চতা তার বোনের চেয়ে $(১৫০ – ১৪০)$ সে.মি. বা ১০ সে.মি. বেশি। এভাবে পার্থক্য বের করেও তুলনা করা যায়।

Printed page 39

আবার, আমরা যদি দুইটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের তুলনা করতে চাই তাহলে ক্ষেত্রফলের পার্থক্য দিয়ে তুলনা সঠিক হয় না। বরং একটি বর্গক্ষেত্র অপরটির তুলনায় কতগুণ বড় বা ছোট তা থেকে ক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সঠিক তুলনা করা যায়। একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলকে অপরটির ক্ষেত্রফল দিয়ে ভাগ করে এই তুলনা করা হয়। এই ভাগের মাধ্যমে তুলনাকে অনুপাত বলা হয়। ‘:’ চিহ্নটি অনুপাতের গাণিতিক প্রতীক।

Figure

লেবেল: ২ সে.মি., ২ সে.মি., ৩ সে.মি., ৩ সে.মি. বর্ণনা: পাশাপাশি দুটি বর্গক্ষেত্র আঁকা। বামের বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য ২ সে.মি. এবং ডানের বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য ৩ সে.মি. নির্দেশ করা হয়েছে।

যেমন, বর্গক্ষেত্র দুইটির ক্ষেত্রফল ৪ বর্গ সে.মি. ও ৯ বর্গ সে.মি. হলে, তাদের অনুপাত হবে

$\dfrac{৪}{৯} = ৪ : ৯$ বা $\dfrac{৯}{৪} = ৯ : ৪$। অনুপাত একটি ভগ্নাংশ।

নিচের উদাহরণগুলো লক্ষ করি :

Figure

বর্ণনা: একটি আয়তাকার চিত্র সমান ৭টি ভাগে বিভক্ত, যার প্রথম ২টি ভাগ সাদা এবং বাকি ৫টি ভাগ রঙ করা।

(ক) আয়তাকার চিত্রটির সমান ৭ ভাগের ২ ভাগ সাদা ও ৫ ভাগ কালো। সাদা ও কালো রঙ করা অংশের পরিমাণের অনুপাত ২ : ৫। ২ : ৫ অনুপাতের ২ হলো পূর্ব রাশি এবং ৫ হলো উত্তর রাশি।

(খ) শওকতের ওজন ৩০ কেজি এবং তার পিতার ওজন ৬০ কেজি। শওকতের চেয়ে তার পিতার ওজন কতগুণ বেশি?

$\text{পিতা ও শওকতের ওজনের অনুপাত} = \dfrac{৬০}{৩০} = \dfrac{২}{১}$ [লব ও হরকে ৩০ দ্বারা ভাগ করে] $= ২ : ১$

এখানে পিতার ওজন শওকতের ওজনের চেয়ে $\dfrac{২}{১}$ বা ২ গুণ বেশি।

(গ) একটি শ্রেণিতে ছাত্র ও ছাত্রী সংখ্যা যথাক্রমে ৫০ জন ও ৪০ জন।

$\text{এখানে ছাত্র ও ছাত্রীর সংখ্যার অনুপাত} = \dfrac{৫০}{৪০} = \dfrac{৫}{৪}$ [লব ও হরকে ১০ দ্বারা ভাগ করে] $= ৫ : ৪$

একটি শিশুর বয়সের সাথে অন্য একটি শিশুর ওজন কি তুলনা করা যাবে? তা কখনোই করা যাবে না। তুলনার বিষয় দুইটি সমজাতীয় হতে হবে। আবার মনে করি, একটি শিশুর বয়স ৬ বছর এবং অন্য একটি

Printed page 40

শিশুর বয়স ৯ বছর ৬ মাস। সমজাতীয় হলেও এ ক্ষেত্রে দুইজনের বয়স সরাসরি তুলনা করা যাবে না।

তুলনার বিষয় দুইটি একই একক বিশিষ্ট হতে হবে। এক্ষেত্রে দুইজনের বয়সকেই বছরে অথবা মাসে রূপান্তর করে নিতে হবে। এখানে, ৬ বছর $= ৬ \times ১২ \text{ মাস} = ৭২ \text{ মাস}$ ($\because ১ \text{ বছর} = ১২ \text{ মাস}$) এবং ৯ বছর ৬ মাস $= (৯ \times ১২ + ৬) \text{ মাস} = ১১৪ \text{ মাস}$।

শিশু দুইটির বয়সের অনুপাত ৭২ : ১১৪ বা ১২ : ১৯।

মনে করি, ভাইয়ের বয়স ৩ বছর ও বোনের বয়স ৬ মাস। তাদের বয়সের অনুপাত বের করতে হবে। ভাইয়ের বয়স ৩ বছর $= ৩৬ \text{ মাস}$ [$\because ১ \text{ বছর} = ১২ \text{ মাস}$] বোনের বয়স ৬ মাস

$\therefore \text{ভাই ও বোনের বয়সের অনুপাত } = \dfrac{৩৬ \text{ মাস}}{৬ \text{ মাস}} \text{ বা } \dfrac{৩৬}{৬} \text{ বা } \dfrac{৬}{১}$ [লব ও হরকে ৬ দ্বারা ভাগ করে] $= ৬ : ১$

• লক্ষ করি, ভিন্ন ভিন্ন এককে তুলনা করা যায় না। তুলনা করতে হলে এককগুলোকে এক জাতীয় করতে হবে। যেমন উপরের উদাহরণটিতে বছরকে মাসে রূপান্তর করা হয়েছে।

দুইটি সমজাতীয় রাশির একটি অপরটির তুলনায় কতগুণ বা কত অংশ তা একটি ভগ্নাংশ দ্বারা প্রকাশ করা যায়। এই ভগ্নাংশটিকে রাশি দুইটির অনুপাত বলে। রাশি দুইটি সমজাতীয় বলে অনুপাতের কোনো একক নেই।

কাজ : ১। তোমার খাতা ও বইয়ের সংখ্যার অনুপাত নির্ণয় কর। ২। তোমার শ্রেণির গণিত বইয়ের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত নির্ণয় কর। ৩। তোমার শ্রেণির টেবিলের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত নির্ণয় কর।

২·২ বিভিন্ন অনুপাত

সমতুল অনুপাত কোনো অনুপাতের পূর্ব ও উত্তর রাশিকে শূন্য (০) ব্যতীত কোনো সংখ্যা দ্বারা গুণ বা ভাগ করলে অনুপাতের মানের কোনো পরিবর্তন হয় না। এরূপ অনুপাতকে সমতুল অনুপাত বলা হয়।

যেমন, $২ : ৫ = \dfrac{২}{৫} = \dfrac{২ \times ২}{৫ \times ২} = \dfrac{৪}{১০} = ৪ : ১০$

$\therefore ২ : ৫$ ও $৪ : ১০$ সমতুল অনুপাত।

Printed page 41

কোনো অনুপাতের অসংখ্য সমতুল অনুপাত রয়েছে। যেমন, ২ : ৩, ৪ : ৬, ৬ : ৯ ও ৮ : ১২ সমতুল অনুপাত। আবার, $১ : ২ = ৫ : \ \square\$ হলে, এখানে শূন্যস্থানে ১০ বসালে অনুপাতটি সমতুল অনুপাত হবে।

লক্ষ্য করি :

• একটি অনুপাতের রাশি দুইটিকে তাদের গ.সা.গু. দ্বারা ভাগ করে অনুপাতটিকে সরলীকরণ করা যায়।
• অনুপাতের পূর্ব রাশি ও উত্তর রাশির সমষ্টি দ্বারা তাদেরকে ভাগ করে প্রত্যেকের অংশ নির্ণয় করা যায়।

উদাহরণ ১। জেসমিন ও আবিদার বর্তমান বয়সের অনুপাত ৩:২ এবং আবিদা ও আনিকার বর্তমান বয়সের অনুপাত ৫:১। আনিকার বর্তমান বযস ৩ বছর ৬ মাস। (ক) উদ্দীপকের প্রথম অনুপাতকে শতকরায় প্রকাশ কর। (খ) ৫ বছর পর আবিদার বয়স কত হবে? (গ) আনিকার বর্তমান বয়স জেসমিনের বর্তমান বয়সের শতকরা কত ভাগ?

সমাধান : (ক) উদ্দীপকের প্রথম অনুপাত $= ৩:২$ $= \dfrac{৩}{২}$ $= \dfrac{৩ \times ১০০}{২ \times ১০০}$ $= \left(\dfrac{৩ \times ১০০}{২}\right)\%$ $= ১৫০\%$

(খ) আবিদার বর্তমান বয়স : আনিকার বর্তমান বয়স$= ৫:১$ অর্থাৎ, আবিদার বর্তমান বয়স, আনিকার বর্তমান বয়সের ৫ গুণ

আনিকার বর্তমান বয়স $= ৩ \text{ বছর } ৬ \text{ মাস}$ $= (৩ \times ১২ + ৬) \text{ মাস } [\because ১\text{বছর} = ১২ \text{ মাস}]$ $= (৩৬ + ৬) \text{ মাস}$ $= ৪২ \text{ মাস}$

সুতরাং আবিদার বর্তমান বয়স $= (৪২ \times ৫) \text{ মাস}$ $= ২১০ \text{ মাস}$ $= \dfrac{২১০}{১২} \text{ বছর } [\because ১২ \text{ মাস}=১\text{বছর}]$

Printed page 42

$= \dfrac{৩৫}{২} \text{ বছর}$ $= ১৭\dfrac{১}{২} \text{ বছর}$

$\therefore ৫ \text{ বছর পর আবিদার বয়স হবে} = (১৭\dfrac{১}{২} + ৫) \text{ বছর}$ $= ২২\dfrac{১}{২} \text{ বছর}$

(গ) জেসমিন ও আবিদার বর্তমান বয়সের অনুপাত $= ৩:২$ অর্থাৎ, জেসমিনের বর্তমান বয়স, আবিদার বর্তমান বয়সের $= \dfrac{৩}{২} \text{ গুণ}$ ‘খ’ হতে আবিদার বর্তমান বয়স $= ১৭\dfrac{১}{২} \text{ বছর}$ $\therefore \text{জেসমিনের বর্তমান বয়স} = ১৭\dfrac{১}{২} \times \dfrac{৩}{২} \text{ বছর}$ $= \left(\dfrac{৩৫}{২} \times \dfrac{৩}{২}\right) \text{ বছর}$ $= \dfrac{১০৫}{৪} = ২৬\dfrac{১}{৪} \text{ বছর}$

আনিকার বর্তমান বয়স $= ৩ \text{ বছর } ৬ \text{ মাস}$ $= ৩\dfrac{৬}{১২} \text{ বছর } [\because ১২ \text{ মাস}=১\text{বছর}]$ $= ৩\dfrac{১}{২} \text{ বছর}$ $= \dfrac{৭}{২} \text{ বছর}$

$\therefore \text{আনিকার বর্তমান বয়স জেসমিনের বর্তমান বয়সের}$ $= (\dfrac{৭}{২} \div ২৬\dfrac{১}{৪}) \text{ অংশ}$ $= (\dfrac{৭}{২} \times \dfrac{৪}{১০৫}) \text{ অংশ}$ $= \dfrac{২}{১৫} \text{ অংশ}$ $= (\dfrac{২ \times ১০০}{১৫})\%$ $= \dfrac{৪০}{৩}\%$ $= ১৩\dfrac{১}{৩}\%$

অতএব, আনিকার বর্তমান বয়স জেসমিনের বর্তমান বয়সের $১৩\dfrac{১}{৩}\%$

Printed page 43

উদাহরণ ২। ৫০০ টাকা দুইজন শ্রমিকের মাঝে ২ : ৩ অনুপাতে ভাগ করে দিতে হবে।

সমাধান : অনুপাতের পূর্ব রাশি ২ এবং উত্তর রাশি ৩। রাশি দুইটির সমষ্টি $= ২ + ৩ = ৫$।

$\therefore$ ১ম শ্রমিক পাবে, ৫০০ টাকার $\dfrac{২}{৫}$ অংশ $= ৫০০ \text{ টাকা} \times \dfrac{২}{৫} = ২০০ \text{ টাকা}$

এবং ২য় শ্রমিক পাবে, ৫০০ টাকার $\dfrac{৩}{৫} \text{ অংশ} = ৫০০ \text{ টাকা} \times \dfrac{৩}{৫} = ৩০০ \text{ টাকা}$

কাজ : ১। মামুনের বয়স ৪ বছর ও তার বোনের বয়স ৬ মাস হলে, তাদের বয়সের অনুপাত নির্ণয় কর। ২। সজল ও সুজনের উচ্চতা যথাক্রমে ১ মি. ৭৫ সে.মি. ও ১ মি. ৫০ সে.মি. হলে, তাদের উচ্চতার অনুপাত নির্ণয় কর।

সরল অনুপাত

অনুপাতে দুইটি রাশি থাকলে তাকে সরল অনুপাত বলে।

সরল অনুপাতের প্রথম রাশিকে পূর্ব রাশি এবং দ্বিতীয় রাশিকে উত্তর রাশি বলে। যেমন, ৩ : ৫ একটি সরল অনুপাত, এখানে ৩ হলো পূর্ব রাশি ও ৫ হলো উত্তর রাশি।

লঘু অনুপাত

সরল অনুপাতের পূর্ব রাশি, উত্তর রাশি থেকে ছোট হলে, তাকে লঘু অনুপাত বলে। যেমন, ৩ : ৫, ৪ : ৭ ইত্যাদি।

একটি বিদ্যালয়ের ৩য় শ্রেণির শিক্ষার্থীদের গড় বয়স ৮ বছর এবং ৫ম শ্রেণির শিক্ষার্থীদের গড় বয়স ১০ বছর। এখানে ৩য় ও ৫ম শ্রেণির শিক্ষার্থীদের গড় বয়সের অনুপাত ৮ : ১০ বা ৪ : ৫। এই অনুপাতটির পূর্ব রাশি, উত্তর রাশি অপেক্ষা ছোট হওয়ায় এটি একটি লঘু অনুপাত।

গুরু অনুপাত

কোনো সরল অনুপাতের পূর্ব রাশি, উত্তর রাশি থেকে বড় হলে, তাকে গুরু অনুপাত বলে। যেমন, ৫ : ৩, ৭ : ৪, ৬ : ৫ ইত্যাদি।

সাদিয়া ৩২ টাকা দিয়ে একটি বিস্কুটের প্যাকেট ও ২৫ টাকা দিয়ে একটি কোণ আইসক্রিম কিনলো। এখানে বিস্কুট ও আইসক্রিমের দামের অনুপাত হলো ৩২ : ২৫, এই অনুপাতটির পূর্ব রাশি ৩২ যা উত্তর রাশি ২৫ অপেক্ষা বড় হওয়ায় এটি একটি গুরু অনুপাত।

Printed page 44

একক অনুপাত

যে সরল অনুপাতের পূর্ব রাশি ও উত্তর রাশি সমান সে অনুপাতকে একক অনুপাত বলে। যেমন, আরিফ ১৫ টাকা দিয়ে একটি বলপেন ও ১৫ টাকা দিয়ে একটি খাতা কিনলো। এখানে বলপেন ও খাতা উভয়টির মূল্য সমান এবং মূল্যের অনুপাত ১৫ : ১৫ বা ১ : ১। অতএব, ইহা একক অনুপাত।

ব্যস্ত অনুপাত

সরল অনুপাতের পূর্ব রাশিকে উত্তর রাশি এবং উত্তর রাশিকে পূর্ব রাশি করে প্রাপ্ত অনুপাতকে পূর্বের অনুপাতের ব্যস্ত অনুপাত বলে।

যেমন, ১৩ : ৫ এর ব্যস্ত অনুপাত ৫ : ১৩।

মিশ্র অনুপাত

একাধিক সরল অনুপাতের পূর্ব রাশিগুলোর গুণফলকে পূর্ব রাশি এবং উত্তর রাশিগুলোর গুণফলকে উত্তর রাশি ধরে প্রাপ্ত অনুপাতকে মিশ্র অনুপাত বলে।

যেমন, ২ : ৩ এবং ৫ : ৭ সরল অনুপাতগুলোর মিশ্র অনুপাত হলো $(২ \times ৫) : (৩ \times ৭) = ১০ : ২১$।

উদাহরণ ৩। প্রদত্ত সরল অনুপাতগুলোর মিশ্র অনুপাত নির্ণয় কর: ৫ : ৭, ৪ : ৯, ৩ : ২।

সমাধান : অনুপাত তিনটির পূর্ব রাশিগুলোর গুণফল $৫ \times ৪ \times ৩ = ৬০$ এবং উত্তর রাশিগুলোর গুণফল $= ৭ \times ৯ \times ২ = ১২৬$ নির্ণেয় মিশ্র অনুপাত $= ৬০ : ১২৬ \text{ বা } ১০ : ২১$।

কাজ : ১। ৪ : ৯ অনুপাতটিকে ব্যস্ত অনুপাতে রূপান্তর কর। ২। নিম্নের অনুপাতগুলোর পূর্ব রাশি ও উত্তর রাশি নির্ণয় কর । (ক) ৪ : ১১ $\quad$ (খ) ৭ : ৫ $\quad$ (গ) ১৯ : ২১। ৩। নিম্নের অনুপাতগুলোর মধ্যে কোনটি একক অনুপাত ? (ক) ২ : ৫ $\quad$ (খ) ৫ : ৭ $\quad$ (গ) ১১ : ১১। ৪। নিম্নের অনুপাতগুলোকে লঘু ও গুরু অনুপাতে ভাগ কর : (ক) ১৩ : ১৯ $\quad$ (খ) ৭ : ১২ $\quad$ (গ) ২৫ : ১৩ $\quad$ (ঘ) ২৭ : ৭ ৫। ২ : ৩ ও ৩ : ৪ অনুপাতদ্বয়ের মিশ্র অনুপাত নির্ণয় কর।

Printed page 45

উদাহরণ ৪। দুইটি সংখ্যার যোগফল ৩৬০। সংখ্যা দুইটির অনুপাত ৪ : ৫ হলে, সংখ্যা দুইটি নির্ণয় কর।

সমাধান : সংখ্যা দুইটির অনুপাত ৪ : ৫ অনুপাতটির পূর্ব ও উত্তর রাশির যোগফল $= ৪ + ৫ = ৯$।

$\text{প্রথম সংখ্যাটি } = ৩৬০ \text{ এর } \dfrac{৪}{৯} \text{ অংশ}$ $= ৩৬০ \times \dfrac{৪}{৯} = ১৬০$।

$\text{দ্বিতীয় সংখ্যাটি } = ৩৬০ \text{ এর } \dfrac{৫}{৯} \text{ অংশ}$ $= ৩৬০ \times \dfrac{৫}{৯} = ২০০$।

নির্ণেয় সংখ্যা দুইটি হলো ১৬০ ও ২০০।

উদাহরণ ৫। ৪০ কেজি মিশ্রণে বালি ও সিমেন্টের পরিমাণের অনুপাত ৪ : ১। মিশ্রণটির বালি ও সিমেন্টের পরিমাণ নির্ণয় কর।

সমাধান : মিশ্রণের পরিমাণ ৪০ কেজি। বালি ও সিমেন্টের অনুপাত ৪ : ১ এখানে, অনুপাতটির পূর্ব ও উত্তর রাশির যোগফল $= ৪ + ১ = ৫$।

$\therefore \text{বালির পরিমাণ } = ৪০ \text{ কেজির } \dfrac{৪}{৫} \text{ অংশ } = ৪০ \times \dfrac{৪}{৫} \text{ কেজি}$। $= ৩২ \text{ কেজি}$

$\text{সিমেন্টের পরিমাণ } = ৪০ \text{ কেজির } \dfrac{১}{৫} \text{ অংশ } = ৪০ \times \dfrac{১}{৫} \text{ কেজি}$। $= ৮ \text{ কেজি}$।

উদাহরণ ৬। একটি বিদ্যালয়ে ছাত্র ও ছাত্রীর সংখ্যার অনুপাত ৫ : ৭। ঐ বিদ্যালয়ে ছাত্রীসংখ্যা ৩৫০ জন হলে, ছাত্রের সংখ্যা কত ?

সমাধান : ছাত্রসংখ্যা : ছাত্রীসংখ্যা $= ৫ : ৭$ অর্থাৎ, ছাত্রের সংখ্যা ছাত্রীর সংখ্যার $\dfrac{৫}{৭} \text{ গুণ}$। দেওয়া আছে, ছাত্রীসংখ্যা ৩৫০ জন। $\therefore \text{ছাত্রের সংখ্যা } = ৩৫০ \times \dfrac{৫}{৭} \text{ জন}$

নির্ণেয় ছাত্রসংখ্যা ২৫০ জন।

Printed page 46