Mathematics chapter 3: Integers

তৃতীয় অধ্যায়

পূর্ণসংখ্যা

আদিম মানুষ পশুপালন এবং খাদ্য সামগ্রীর হিসাব রাখার জন্য পাথর, কাঠি ইত্যাদি ব্যবহার করত। এসব উপকরণ দিয়ে হিসাব রাখা কষ্টকর বিধায় গুনে পাওয়া সংখ্যাকে লিখে রাখার জন্য নানা রকম প্রতীকের প্রয়োজন দেখা দেয়। সেখান থেকেই প্রতীকের মাধ্যমে সংখ্যা গণনা করা শুরু হয় এবং বর্তমান সংখ্যা পদ্ধতি বিকাশ লাভ করে। ০ থেকে ৯ পর্যন্ত অঙ্কগুলোকে ব্যবহার করে সব সংখ্যাকেই লিখে ফেলা যায়। এই অধ্যায়ে আমরা ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যার ধারণা পাব। একই সাথে সংখ্যারেখায় পূর্ণসংখ্যা স্থাপন, তাদের মধ্যে তুলনা এবং যোগ ও বিয়োগ প্রক্রিয়া নিয়ে আলোচনা করব।

অধ্যায় শেষে শিক্ষার্থীরা —

• পূর্ণ সংখ্যার বৈশিষ্ট্য ব্যাখ্যা করতে পারবে।
• পূর্ণ সংখ্যা শনাক্ত করতে পারবে।
• সংখ্যারেখায় পূর্ণসংখ্যার অবস্থান দেখাতে পারবে এবং ছোট-বড় সংখ্যা তুলনা করতে পারবে।
• চিহ্নযুক্ত সংখ্যার যোগ, বিয়োগ করতে পারবে এবং সংখ্যারেখার সাহায্যে দেখাতে পারবে।

৩·১ ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যার ধারণা

তমা ও সালমা খেলার জন্য সমদূরবর্তী $25$টি বিন্দু $0$ থেকে $25$ পর্যন্ত সংখ্যা দ্বারা চিহ্নিত একটি স্কেল নিল। শুরুতে $0$ (শূন্য) চিহ্নের উপর তারা তাদের গুটি দুইটি রাখলো। লাল ও নীল রঙের দুইটি ছক্কা একটি ব্যাগে রাখা হলো। খেলার নিয়মানুসারে, একজন একটি ছক্কা উঠিয়ে নিক্ষেপ করবে, তারপর নিক্ষেপ করা ছক্কাটি ব্যাগে রেখে দ্বিতীয় জন একটি ছক্কা উঠাবে। নিক্ষেপ করা ছক্কাটি লাল হলে যে সংখ্যাটি উঠবে তার গুটি তত ঘর ডানদিকে সরবে। আবার ছক্কাটি নীল হলে যে সংখ্যাটি উঠবে তার গুটি তত ঘর বামদিকে সরবে। কিন্তু প্রশ্ন হলো $0$ চিহ্নের বামে কোনো ঘর নেই। এমতাবস্থায়, নীল রঙের ছক্কা নিক্ষেপ করার পর তারা গুটি সরাবে কোন দিকে?

তমা ও সালমা তখন একই ধরনের নীল রঙের একটি স্কেল $0$ এর বামপাশে স্থাপন করে খেলাটি শেষ করলো। উল্লেখ্য, খেলাটি শেষ করার শর্ত ছিল যে, যার গুটি ডানদিকে $25$ পর্যন্ত আগে যাবে সে জয়ী হবে এবং যে বামদিকে $25$ পর্যন্ত যাবে সে খেলা হতে বাদ পড়বে।

Figure: চিত্র - ১

লেবেল: 0 1 2 3 4 5 6 22 23 24 25 বর্ণনা: একটি স্কেল যা সমান দূরত্বের ঘরগুলোতে বিভক্ত; 0 থেকে ডানদিকে 1, 2, 3, 4, 5, 6 এবং আরও ডানে 22, 23, 24, 25 সংখ্যা দ্বারা চিহ্নিত দাগ কাটা রয়েছে।

Printed page 60

অপর একদিন খেলার জন্য তারা কোনো নীল স্কেল না পেয়ে দুইটি একই ধরনের স্কেল বিপরীত দিকে স্থাপন করলো। তারা একমত হলো যে, শূন্যের বামে অর্থাৎ, বামদিকের স্কেলের সংখ্যাগুলোর সাথে একটি চিহ্ন বসিয়ে নিতে হবে এবং এই চিহ্নটি হবে বিয়োগ চিহ্ন ‘–’। এতে বিয়োগ চিহ্নযুক্ত সংখ্যাগুলো শূন্যের চেয়ে ছোট বোঝাবে। এই সংখ্যাগুলো ঋণাত্মক সংখ্যা।

Figure: চিত্র - ২

লেবেল: -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 বর্ণনা: একটি স্কেল যাতে শূন্য বিন্দুর বামে -4, -3, -2, -1 এবং ডানে 1, 2, 3, 4 চিহ্নিত দাগ রয়েছে।

৩·২ ঋণাত্মক সংখ্যা লিখন পদ্ধতি

মনে করি, শিপন ও রাজু কোনো স্থানের শূন্য বিন্দু থেকে পরস্পর বিপরীত দিকে হাঁটা শুরু করলো। শূন্য বিন্দুর ডানদিকের ধাপকে ‘+’ চিহ্ন এবং বামদিকের ধাপকে ‘–’ চিহ্ন দ্বারা সূচিত করা হলো। শিপন যদি ডান দিকে $5$টি ধাপ অতিক্রম করে, তাহলে তার অবস্থানকে $+ 5$ দ্বারা এবং রাজু যদি বামদিকে $4$ টি ধাপ অতিক্রম করে, তাহলে তার অবস্থানকে $- 4$ দ্বারা চিহ্নিত করা হবে।

কাজ : নিচের প্রত্যেকটি ধাপকে অবস্থান অনুযায়ী ‘+’ বা ‘–’ চিহ্ন সহকারে লেখ : (ক) শূন্য বিন্দুর বামদিকে $4$ টি ধাপ (খ) শূন্য বিন্দুর ডানদিকে $7$ টি ধাপ (গ) শূন্য বিন্দুর ডানদিকে $11$ টি ধাপ (ঘ) শূন্য বিন্দুর বামদিকে $6$ টি ধাপ

৩·৩ সংখ্যার হ্রাস ও বৃদ্ধি

পূর্ববর্তী আলোচনা থেকে আমরা দেখতে পাই যে, গতিপথের ডানদিকে যদি সংখ্যাটি ধনাত্মক হয় তবে বামদিকে সংখ্যাটি ঋণাত্মক হবে। যদি কোনো সংখ্যা থেকে $1$ ধাপ ডানদিকে যাওয়া যায়, তবে ঐ সংখ্যার পরবর্তী সংখ্যাটি পাওয়া যাবে এবং যদি $1$ ধাপ বাম দিকে যাওয়া যায়, তবে পূর্ববর্তী সংখ্যাটি পাওয়া যাবে।

কাজ :

নিচের সংখ্যাগুলোর পরবর্তী সংখ্যাটি লেখ :

নিচের সংখ্যাগুলোর পূর্ববর্তী সংখ্যাটি লেখ :

Printed page 61

৩·৪ ঋণাত্মক সংখ্যার ব্যবহার

এ পর্যন্ত আমরা ঋণাত্মক সংখ্যার ধারণা পেয়েছি। বাস্তব জীবনে এগুলো কিভাবে ব্যবহার করা হয়, তা এখানে আলোচনা করা হলো :

[ আয়, ব্যয় ]   [ লাভ, ক্ষতি ]   [ বৃদ্ধি, হ্রাস ]

এগুলো আমাদের পরিচিত শব্দ। জোড়ার প্রথমটি দ্বিতীয়টির বিপরীত। আয়, লাভ ও বৃদ্ধি বলতে পরিমাণে বাড়ে। আবার ব্যয়, ক্ষতি ও হ্রাস বলতে পরিমাণে কমে।

$5$ টাকা আয়কে $+ 5$ টাকা দ্বারা চিহ্নিত করলে $7$ টাকা ব্যয়কে $- 7$ টাকা দ্বারা চিহ্নিত করা যায়। ঠিক এমনিভাবে $+ 6$ টাকা দ্বারা $6$ টাকা লাভ বোঝালে $- 4$ টাকা দ্বারা $4$ টাকা ক্ষতি বোঝানো যায়।

উপরের আলোচনা থেকে লক্ষ করি যে, একই জাতীয় কিন্তু বিপরীতমুখী দুইটি রাশির পার্থক্য বোঝাতে একটিকে $(+)$ চিহ্নযুক্ত ধরলে অপরটি $(-)$ চিহ্নযুক্ত হবে।

$(+)$ চিহ্নযুক্ত রাশিকে ধনাত্মক রাশি বা ধন রাশি বলে এবং $(-)$ চিহ্নযুক্ত রাশিকে ঋণাত্মক রাশি বা ঋণ রাশি বলে। এ জন্য $(+)$ ও $(-)$ চিহ্নদ্বয়কে যথাক্রমে ধনাত্মক চিহ্ন ও ঋণাত্মক চিহ্ন বলে।

কাজ ১। নিচের শব্দযুগল সম্পর্কে ব্যাখ্যা দাও। [ জমা, খরচ ]   [ ভরা, খালি ]   [ নগদ, বাকি ]

৩·৫ পূর্ণসংখ্যা

মানুষের প্রয়োজনে প্রথমে $1, 2, 3, ......$ এ সংখ্যাগুলো আবিষ্কৃত হয়। এগুলোকে স্বাভাবিক সংখ্যা বা ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা বলে। স্বাভাবিক সংখ্যার সাথে $0$ নিয়ে আমরা পাই, $0, 1, 2, 3, ......$ এগুলোকে অঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা বলা হয়। আবার $........, -4, -3, -2, -1$ সংখ্যাগুলো ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা। অঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা ও ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা একত্র করলে আমরা পাই, $........, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, .......$ এই সংখ্যাগুলো পূর্ণসংখ্যা।

Printed page 62

নিচের চিত্রগুলোর সাহায্যে সংখ্যাগুলো প্রকাশ করা যেতে পারে :

Figure: চিত্র - ৩

লেবেল: স্বাভাবিক সংখ্যা, শূন্য, অঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা, ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা, পূর্ণসংখ্যা বর্ণনা: জ্যামিতিক ব্লকের মাধ্যমে সংখ্যার শ্রেণিবিভাগ দেখানো হয়েছে: একটি অবতল প্রান্তযুক্ত ব্লক নির্দেশ করে স্বাভাবিক সংখ্যা, একটি বৃত্ত নির্দেশ করে শূন্য; বৃত্ত এবং স্বাভাবিক সংখ্যার সমন্বিত ব্লক নির্দেশ করে অঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা; ডানপ্রান্তে খাঁজকাটা ব্লক নির্দেশ করে ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা; এবং এই সবগুলোকে একত্রিত করে তৈরি সম্পূর্ণ ব্লকটি নির্দেশ করে পূর্ণসংখ্যা।

৩·৬ সংখ্যারেখায় পূর্ণসংখ্যা স্থাপন (পূর্ণসংখ্যার অবস্থান নির্ণয়)

একটি সরলরেখা অঙ্কন করে তার উপরে একটি বিন্দু $0$ নিই। তাহলে, $0$ বিন্দুটি সরলরেখাটিকে দুইটি অংশে বিভক্ত করে। একটি অংশ ডানদিকে ও অপর অংশটি বামদিকে সীমাহীনভাবে বিস্তৃত। এর ডানদিককে ধনাত্মক ও বামদিককে ঋণাত্মক ধরা হয়।

এখন একটি নির্দিষ্ট দৈর্ঘ্যকে একক ধরে $0$ বিন্দু থেকে শুরু করে ডান দিকে ও বাম দিকে পর পর সমান দূরত্বে দাগ দিই। এখন $0$ বিন্দুর ডানদিকের দাগগুলোকে পর্যায়ক্রমে $+ 1, + 2, + 3, + 4 .........$ বা শুধুমাত্র $1, 2, 3, 4 .......$ লিখে এবং বাম দিকের দাগগুলোকে $- 1, - 2, - 3, - 4 .........$ লিখে চিহ্নিত করি।

এখন, সংখ্যারেখার উপর ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা $2$ স্থাপনের জন্য $0$ বিন্দুর ডানদিকে $2$ একক দূরের বিন্দুটিকে গাঢ় গোল চিহ্ন দ্বারা আবদ্ধ করি (চিত্র-৪)। তাহলে গোল চিহ্নিত বিন্দুটিই হবে $2$ এর অবস্থান।

Figure: চিত্র-৪

লেবেল: -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 বর্ণনা: একটি সংখ্যারেখা যার কেন্দ্রে 0 এবং দুই দিকে -8 থেকে 8 পর্যন্ত দাগ কাটা রয়েছে; ধনাত্মক বিন্দু 2-কে একটি গাঢ় বৃত্ত দিয়ে চিহ্নিত করা হয়েছে।

আবার, সংখ্যারেখার উপর ঋণাত্মক পূর্ণ সংখ্যা $- 6$ স্থাপনের জন্য $0$ বিন্দুর বামদিকে $6$ একক দূরের বিন্দুটিকে গাঢ় গোল চিহ্ন দ্বারা আবদ্ধ করি (চিত্র-৫)। তাহলে এই বিন্দুটিই হবে $- 6$ এর অবস্থান।

Figure: চিত্র-৫

লেবেল: -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 বর্ণনা: একটি সংখ্যারেখা যার কেন্দ্রে 0 এবং দুই দিকে -8 থেকে 8 পর্যন্ত দাগ কাটা রয়েছে; ঋণাত্মক বিন্দু -6-কে একটি গাঢ় বৃত্ত দিয়ে চিহ্নিত করা হয়েছে।

Printed page 63

৩·৭ পূর্ণসংখ্যার ক্রম

রমা ও রাণী যে গ্রামে বাস করে সেখানে সিঁড়ি বাঁধানো একটি পুকুর আছে। পুকুরের পাড় হতে নিচ তলা পর্যন্ত 10টি ধাপ আছে। একদিন তারা পুকুরপাড়ে গিয়ে দেখে যে পাড় হতে 5 ধাপ নিচে পানি আছে। বর্ষাকালে পানি কোথায় ওঠে তা দেখার জন্য তারা পানির বর্তমান স্তরকে 0 দ্বারা চিহ্নিত করলো। তারপর উপরের দিকে ধাপগুলোকে $1, 2, 3, 4, 5$ দ্বারা চিহ্নিত করলো। বর্ষাকালে বৃষ্টির পর তারা দেখলো যে পানির স্তর 3 ধাপ পর্যন্ত উপরে উঠেছে। বর্ষা চলে যাওয়ার কয়েক মাস পর দেখা গেল যে পানির স্তর 0 চিহ্নের 3 ধাপ নিচে নেমেছে। তাহলে নিচের ধাপগুলোকে কীভাবে চিহ্নিত করা যেতে পারে ?

যেহেতু পানি কমেছে, সেজন্য তারা নিচের দিকে ‘–’ বিয়োগ চিহ্নযুক্ত সংখ্যা বসানোর সিদ্ধান্ত নিল। সে অনুযায়ী 0 এর নিচের ধাপগুলোকে পরপর $- 1, - 2, - 3$ দ্বারা চিহ্নিত করলো। এর কিছুদিন পর পানি আরো 1 ধাপ নিচে নেমে গেল। তখন তারা ঐ ধাপকে $- 4$ দ্বারা চিহ্নিত করলো। তাহলে দেখা যাচ্ছে যে, $- 4 < - 3$ । অনুরূপভাবে বলা যায় যে, $- 5 < - 4$.

পুনরায় আমরা সংখ্যারেখায় পূর্ণসংখ্যা স্থাপন করি :

Figure: চিত্র-৬

লেবেল: -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 বর্ণনা: একটি সংখ্যারেখা যার কেন্দ্রে 0 এবং বামে -8 পর্যন্ত ও ডানে 7 পর্যন্ত সমান দূরত্বের দাগ কাটা রয়েছে।

আমরা জানি, $7 > 4$ এবং সংখ্যারেখায় আমরা দেখি যে, 4 এর ডানে 7 । অনুরূপভাবে, $4 > 0$ অর্থাৎ 0 এর ডানে 4 । আবার যেহেতু $- 3$ এর ডানে 0, সুতরাং $0 > - 3$ । অনুরূপভাবে, $- 8$ এর ডানে $- 3$ হওয়ায় $- 3 > - 8$ । এভাবে আমরা দেখতে পাই, সংখ্যারেখায় আমরা ডানদিকে গেলে সংখ্যার মান বৃদ্ধি পায় এবং বামদিকে গেলে হ্রাস পায়।

অতএব, $..... - 3 < - 2, - 2 < - 1, - 1 < 0, 0 < 1, 1 < 2, 2 < 3, ........$ অর্থাৎ পূর্ণসংখ্যাগুলোকে পর্যায়ক্রমে আমরা $......., - 5, - 4, - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, .......$ আকারে লিখতে পারি।

কাজ : ১। $- 5, 7, 8, - 3, - 1, 2, 1, 9$ সংখ্যাগুলোকে ক্রম অনুসারে লেখ।

Printed page 64