Mathematics chapter 4: Algebraic Expressions

চতুর্থ অধ্যায়

বীজগণিতীয় রাশি

পাটিগণিতে আমরা সংখ্যা ও সংখ্যার বৈশিষ্ট্য জেনে বিভিন্ন গাণিতিক সমস্যা সমাধান করেছি। জ্যামিতিতে বস্তুর আকৃতি সম্পর্কে জেনেছি। এবার আমরা গণিতের অন্যতম গুরুত্বপূর্ণ শাখা বীজগণিত সম্পর্কে জানবো। গণিতের এই শাখার বৈশিষ্ট্য হলো অক্ষর প্রতীকের প্রয়োগ। অক্ষর প্রতীক ব্যবহার করে আমরা নির্দিষ্ট কোনো সংখ্যার বদলে যেকোনো সংখ্যা বিবেচনা করতে পারি। দ্বিতীয়ত, অক্ষর অজানা পরিমাণের প্রতীক হিসেবে এবং সংখ্যার পরিবর্তে ব্যবহৃত হয় বিধায় সকল গাণিতিক প্রক্রিয়া মেনে বীজগণিতীয় রাশি গঠন করা হয়।

এ অধ্যায়ে বীজগণিতীয় প্রতীক, চলক, সহগ, সূচক, বীজগণিতীয় রাশি, বীজগণিতীয় রাশির যোগ ও বিয়োগ উপস্থাপন করা হয়েছে।

অধ্যায় শেষে শিক্ষার্থীরা –

• বীজগণিতীয় প্রতীক, চলক, সহগ, সূচক ব্যবহার করে গাণিতিক সমস্যা সমাধান করতে পারবে।
• বীজগণিতীয় রাশির সদৃশ ও বিসদৃশ পদ শনাক্ত করতে পারবে।
• এক বা একাধিক পদবিশিষ্ট বীজগণিতীয় রাশি বর্ণনা করতে পারবে।
• বীজগণিতীয় রাশির যোগ ও বিয়োগ করতে পারবে।

৪·১ বীজগণিতীয় প্রতীক, চলক, সহগ ও সূচক

বীজগণিতীয় প্রতীক পাটিগণিতে সংখ্যা প্রতীক বা অঙ্কগুলো ০, ১, ২, ৩, ৪, ৫, ৬, ৭, ৮, ৯। বীজগণিতে ব্যবহৃত সংখ্যা প্রতীক বা অঙ্কগুলো 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9। এ সব সংখ্যা প্রতীক দ্বারা যেকোনো সংখ্যা লেখা যায়। তবে, বীজগণিতে সংখ্যা প্রতীকের সাথে অক্ষর প্রতীকও ব্যবহার করা হয়। এটি বীজগণিতের মৌলিক বৈশিষ্ট্য। বীজগণিতে $a, b, c, ...... p, q, r, ...... x, y, z, ........$ ইত্যাদি অক্ষর দ্বারা জানা বা অজানা সংখ্যা বা রাশিকে প্রকাশ করা হয়।

Printed page 77

মনে করি, মলির কাছে কয়েকটি আম আছে। এখানে মলির কাছে কয়টি আম আছে তা নির্দিষ্ট করে বলা হয়নি। তার কাছে যেকোনো সংখ্যক আম থাকতে পারে। তবে বীজগণিতীয় প্রতীকের সাহায্যে বলা যায়, তার কাছে $x$ সংখ্যক আম আছে। $x$ এর মান 5 হলে, মলির কাছে 5টি আম আছে; $x$ এর মান 10 হলে, মলির কাছে 10টি আম আছে, ইত্যাদি।

চলক : অক্ষর প্রতীক $x$ এর মান 5 বা 10 বা অন্য কোনো সংখ্যা হতে পারে। বীজগণিতে এ ধরনের অজ্ঞাত রাশি বা অক্ষর প্রতীককে চলক বলে। অতএব, $x$ চলকের একটি উদাহরণ।

এখানে চলক হিসেবে $x$ প্রতীক ব্যবহার করা হয়েছে। $x$ প্রতীকের পরিবর্তে $y$ প্রতীক নয় কেন ? চলক হিসেবে $x$ এর পরিবর্তে $y$ বা অন্য কোনো প্রতীকও ব্যবহার করা যায়।

লক্ষ্য করি :

• চলক এমন একটি প্রতীক যার মানের পরিবর্তন হয়।
• চলকের মান নির্দিষ্ট নয়।
• চলক বিভিন্ন মান ধারণ করতে পারে।

প্রক্রিয়া চিহ্ন : পূর্বে আমরা পাটিগণিতে যোগ, বিয়োগ, গুণ ও ভাগ সম্পর্কে জেনেছি। এগুলো যেসব চিহ্ন দিয়ে প্রকাশ করা হয়, তাদেরকে প্রক্রিয়া চিহ্ন বলা হয়।

ধরি, $x$ ও $y$ দুইটি চলক। তাহলে, $x$ প্লাস $y$ কে লেখা হয়, $x + y$ $x$ মাইনাস $y$ কে লেখা হয়, $x - y$ $x$ ইনটু $y$ কে লেখা হয়, $x \times y$, বা $x.y$, বা $xy$ $x$ ডিভিশন $y$ কে লেখা হয়, $x \div y$, বা $\dfrac{x}{y}$ $x$ ইনটু 3 কে লেখা হয়, $x \times 3$, বা $x.3$, বা $3x$; কিন্তু $x3$ লেখা হয় না।

সাধারণভাবে, গুণ (ইনটু) এর ক্ষেত্রে প্রথমে সংখ্যা প্রতীক ও পরে অক্ষর প্রতীক লেখা হয়। যেমন, $3x$, $5y$, $10a$ ইত্যাদি।

Printed page 78

বীজগণিতে দুইটি প্রতীক পাশাপাশি লিখলে এদের মধ্যে ‘$\times$’ চিহ্ন আছে ধরে নিতে হয়। যেমন, $a \times b = ab$, $a.b = ab$ ।

উদাহরণ ১। নিচের বীজগণিতীয় রাশি দ্বারা কী বোঝায় ?

(i) $8x$    (ii) $a + 5b$    (iii) $3x - 2$    (iv) $\dfrac{ax + by}{4}$ .

সমাধান : (i) $8x$ হচ্ছে $8 \times x$ বা, $x \times 8$ অর্থাৎ, $x$ এর 8 গুণ (ii) $a + 5b$ হচ্ছে $a$ এর সাথে $b$ এর 5 গুণের যোগ (iii) $3x - 2$ হচ্ছে $x$ এর 3 গুণ থেকে 2 বিয়োগ (iv) $\dfrac{ax + by}{4}$ হচ্ছে $a$ ও $x$ এর গুণফলের সাথে $b$ ও $y$ এর গুণফলের সমষ্টিকে 4 দিয়ে ভাগ।

উদাহরণ ২। $+$, $-$, $\times$, $\div$ চিহ্নের সাহায্যে লেখ : (i) $x$ এর পাঁচগুণ থেকে $y$ এর তিনগুণ বিয়োগ (ii) $a$ ও $b$ এর গুণফল এর সাথে $c$ এর দ্বিগুণ যোগ (iii) $x$ ও $y$ এর যোগফলকে $x$ থেকে $y$ এর বিয়োগফল দ্বারা ভাগ (iv) একটি সংখ্যার পাঁচগুণ থেকে অপর একটি সংখ্যার চারগুণ বিয়োগ।

সমাধান : (i) $x$ এর 5 গুণ $5x$ এবং $y$ এর 3 গুণ $3y$   নির্ণেয় বিয়োগ $= 5x - 3y$ .

(ii) $a$ ও $b$ এর গুণফল $ab$ এবং $c$ এর দ্বিগুণ $2c$   নির্ণেয় যোগ $= ab + 2c$ .

(iii) $x$ ও $y$ এর যোগফল $x + y$   এবং $x$ থেকে $y$ এর বিয়োগফল $x - y$   নির্ণেয় ভাগফল $= \dfrac{x + y}{x - y}$ .

(iv) মনে করি, একটি সংখ্যা $x$, যার 5 গুণ $5x$   এবং অপর একটি সংখ্যা $y$, যার 4 গুণ $4y$   নির্ণেয় বিয়োগ $= 5x - 4y$ .

Printed page 79

কাজ : ১। নিচের বীজগণিতীয় রাশি দ্বারা কী বোঝায় ?

(i) $7x$    (ii) $5 - 4x$    (iii) $8x + 9$    (iv) $\dfrac{2}{x} + \dfrac{3}{y}$

২। $+$, $-$, $\times$, $\div$ চিহ্নের সাহায্যে লেখ : (i) $x$ এর দ্বিগুণ থেকে $y$ এর পাঁচগুণ বিয়োগ (ii) $x$ এর সাথে $y$ এর আটগুণ যোগ (iii) $x$ এর দ্বিগুণ থেকে $y$ এর তিনগুণ বিয়োগ (iv) $x$ কে 9 দ্বারা গুণ করে প্রাপ্ত গুণফল থেকে 4 বিয়োগ (v) একটি সংখ্যার দ্বিগুণ এর সাথে অপর একটি সংখ্যার তিনগুণ যোগ।

৪·২ বীজগণিতীয় রাশি ও পদ

$5x$, $2x + 3y$, $5x + 3y - z$, $3b \times c - y$, $5x \div 2y + 9x - y$ ইত্যাদি এক একটি বীজগণিতীয় রাশি। প্রক্রিয়া চিহ্ন ও সংখ্যাসূচক প্রতীক এর অর্থবোধক সংযোগ বা বিন্যাসকে বীজগণিতীয় রাশি বলা হয়। বীজগণিতীয় রাশির যে অংশ যোগ ($+$) ও বিয়োগ ($-$) চিহ্ন দ্বারা সংযুক্ত থাকে, এদের প্রত্যেকটিকে ঐ রাশির পদ বলা হয়। যেমন, $4x + 3y$ একটি রাশি। রাশিটিতে $4x$ ও $3y$ দুইটি পদ রয়েছে। এরা যোগ চিহ্ন দ্বারা যুক্ত। আবার, $5x + 3y \div c + 4b \times 2y$ রাশিতে $5x$, $3y \div c$, $4b \times 2y$ তিনটি পদ আছে। $4x$ একটি একপদী, $2x + 3y$ একটি দ্বিপদী, $a - 2b + 4c$ একটি ত্রিপদী রাশি।

কাজ : নিচের রাশিতে কয়টি পদ আছে এবং পদগুলো কী কী লেখ :   $3a \times b + 8y - 2x \div 3c + 5z$.

সহগ : কোনো একপদী রাশিতে চলকের সাথে যখন কোনো সংখ্যা গুণক হিসেবে যুক্ত থাকে, তখন ঐ গুণককে রাশিটির সাংখ্যিক সহগ বা সহগ বলে। যেমন, $3x, 5y, 8xy, 9a$ ইত্যাদি একপদী রাশি এবং $3, 5, 8, 9$ যথাক্রমে এদের সহগ।

একপদী রাশির সাথে যখন কোনো সংখ্যা গুণক হিসেবে যুক্ত থাকে না, তখন ঐ রাশির সহগ 1 ধরা হয়। যেমন, $a, b, x, y$ ইত্যাদি একপদী রাশি এবং প্রত্যেকটির সহগ 1; কারণ, $a = 1a$ বা $1 \times a$; $x = 1x$ বা $1 \times x$।

Printed page 80

যখন কোনো চলকের সাথে কোনো অক্ষর প্রতীক গুণক হিসেবে যুক্ত থাকে, তখন ঐ গুণককে রাশিটির আক্ষরিক সহগ বলে। যেমন, $ax$, $by$, $mz$ ইত্যাদি রাশিতে $ax = a \times x$, $by = b \times y$, $mz = m \times z$ যেখানে, $a, b$ ও $m$ কে যথাক্রমে $x, y$ ও $z$ এর আক্ষরিক সহগ বলা হয়। আবার, $3x + by$ রাশিতে $x$ এর সহগ 3 এবং $y$ এর সহগ $b$ ।

উদাহরণ ৩। সহগ নির্ণয় কর :

(i) $8x$    (ii) $7xy$    (iii) $\dfrac{3}{2}ab$    (iv) $axy$    (v) $-xyz$

সমাধান : (i) $8x = 8 \times x$         $\therefore x$ এর সহগ 8. (ii) $7xy = 7 \times xy$        $\therefore xy$ এর সহগ 7. (iii) $\dfrac{3}{2}ab = \dfrac{3}{2} \times ab$       $\therefore ab$ এর সহগ $\dfrac{3}{2}$ . (iv) $axy = 1 \times axy$       $\therefore axy$ এর সহগ 1. (v) $-xyz = -1 \times xyz$      $\therefore xyz$ এর সহগ $-1$.

উদাহরণ ৪। $x$ এর আক্ষরিক সহগ নির্ণয় কর :

(i) $bx$    (ii) $pqx$    (iii) $mx + c$    (iv) $ax - bz$.

সমাধান : (i) $bx = b \times x$          $\therefore x$ এর সহগ $b$ (ii) $pqx = pq \times x$        $\therefore x$ এর সহগ $pq$ (iii) $mx + c = m \times x + c$     $\therefore x$ এর সহগ $m$ (iv) $ax - bz = a \times x - bz$     $\therefore x$ এর সহগ $a$

উদাহরণ ৫। একটি কলমের দাম $x$ টাকা, একটি খাতার দাম $y$ টাকা এবং একটি ঘড়ির দাম $z$ টাকা হলে, নিচের প্রতীকগুলো দ্বারা কী বোঝায় ?

(i) $5x$    (ii) $7y$    (iii) $2x + 5y$    (iv) $x + y + z$    (v) $4x + 3z$

সমাধান : (i) $5x$ দ্বারা 5টি কলমের দাম বোঝায়। (ii) $7y$ দ্বারা 7টি খাতার দাম বোঝায়।

Printed page 81

(iii) $2x + 5y$ দ্বারা 2টি কলমের দাম ও 5টি খাতার দামের সমষ্টি বোঝায়।

(iv) $x + y + z$ দ্বারা একটি কলমের দাম, একটি খাতার দাম ও একটি ঘড়ির দামের সমষ্টি বোঝায়।

(v) $4x + 3z$ দ্বারা 4টি কলমের দাম ও 3টি ঘড়ির দামের সমষ্টি বোঝায়।

উদাহরণ ৬। একটি গরুর দাম $x$ টাকা, একটি খাসির দাম $y$ টাকা হলে, (i) চারটি গরু ও ছয়টি খাসির মোট দাম কত ? (ii) সাতটি গরু ও পাঁচটি খাসির মোট দাম কত ?

সমাধান : (i) চারটি গরু ও ছয়টি খাসির মোট দাম $(4x + 6y)$ টাকা। (ii) সাতটি গরু ও পাঁচটি খাসির মোট দাম $(7x + 5y)$ টাকা।

উদাহরণ ৭ :। প্লাবন ছয়টি কলম ও তিনটি খাতা এবং শ্রাবণ চারটি কলম ও পাঁচটি খাতা ক্রয় করে। একটি কলমের মূল্য $x$ টাকা এবং একটি খাতার মূল্য $y$ টাকা। (ক) প্লাবনের মোট খরচ বীজগণিতীয় রাশির মাধ্যমে প্রকাশ কর? (খ) দুই জনের মোট খরচের পরিমান নির্ণয় কর। (গ) যদি $x=15$ হয় এবং $y=25$ হয় তবে প্লাবন ও শ্রাবণের খরচের অনুপাত নির্ণয় কর।

সমাধানঃ (ক) 1টি কলমের দাম $x$ টাকা অতএব 6টি কলমের দাম $6x$ টাকা আবার 1টি খাতার দাম $y$ টাকা অতএব 3টি খাতার দাম $3y$ টাকা অতএব প্লাবনের মোট খরচের বীজগণিতীয় রাশি $6x+3y$

(খ) ‘ক’ হতে প্রাপ্ত, প্লাবনের মোট খরচের বীজগনিতীয় রাশি $6x+3y$ 1টি কলমের দাম $x$ টাকা অতএব, 4টি কলমের দাম $4x$ টাকা আবার, 1টি খাতার দাম $y$ টাকা অতএব, 5টি খাতার দাম $5y$ টাকা অতএব, শ্রাবণের মোট খরচের বীজগণিতীয় রাশি $4x+5y$ সদৃশ পদগুলো নিচে নিচে সাজিয়ে পাই

দুইজনের মোট খরচের পরিমাণ $(10x+8y)$ টাকা।

Printed page 82

(গ) $x=15$ টাকা এবং $y=25$ টাকা   প্লাবনের মোট খরচের পরিমাণ $= 6x+3y$   $= (6.15+3.25)$ টাকা।   $= (90+75)$ টাকা   $= 165$ টাকা

শ্রাবণের মোট খরচের পরিমাণ $4x+5y$   $= (4.15+5.25)$ টাকা।   $= (60+125)$ টাকা   $= 185$ টাকা প্লাবন ও শ্রাবণের খরচের অনুপাত $= 165:185$   $= 33:37$

কাজ : ১। সহগ নির্ণয় কর : (ক) $6x$   (খ) $5xy$   (গ) $xyz$   (ঘ) $-\dfrac{1}{2}y$.

২। একটি খাতার দাম $x$ টাকা, একটি পেন্সিলের দাম $y$ টাকা ও একটি রাবারের দাম $z$ টাকা হলে, (ক) তিনটি খাতা ও পাঁচটি রাবারের মোট দাম কত ? (খ) চারটি খাতা, দুইটি পেন্সিল ও তিনটি রাবারের মোট দাম কত ? (গ) ছয়টি খাতা ও নয়টি পেন্সিলের মোট দাম কত ?

৩। সাংখ্যিক সহগবিশিষ্ট কয়েকটি বীজগণিতীয় রাশি লেখ।