Mathematics chapter 5: Simple Equations

পঞ্চম অধ্যায়

সরল সমীকরণ

আমরা চতুর্থ অধ্যায়ে বীজগণিতীয় প্রতীক ও চলক সম্পর্কে ধারণা পেয়েছি এবং এগুলোর সাহায্যে কীভাবে বীজগণিতীয় রাশি গঠন করা হয় তা জেনেছি। এখন আমরা বীজগণিতীয় রাশির মাধ্যমে সমীকরণ গঠন করা শিখব। গাণিতিক সমস্যা সমাধানে সমীকরণের ভূমিকা গুরুত্বপূর্ণ। শিক্ষার্থীদের জন্য বাস্তবভিত্তিক সমস্যা সমাধানে সমীকরণ গঠন ও সমাধান সম্পর্কে জ্ঞান অর্জন অবশ্য প্রয়োজন। এ অধ্যায়ে সমীকরণভিত্তিক বিষয়বস্তু উপস্থাপন করা হয়েছে।

অধ্যায় শেষে শিক্ষার্থীরা—

• সমীকরণ কী তা ব্যাখ্যা করতে পারবে।
• সরল সমীকরণ ব্যাখ্যা করতে পারবে এবং তা সমাধান করতে পারবে।
• বাস্তব সমস্যার ভিত্তিতে সমীকরণ গঠন করতে পারবে এবং তা সমাধান করতে পারবে।

৫·১ সমীকরণ

একজন দোকানদার দাঁড়িপাল্লার বাম পাল্লায় ৫ কেজি ওজনের একটি বাটখারা ও ডান পাল্লায় কিছু আলু দিলেন। পাল্লা দুইটির জিনিসের ওজন কি সমান হয়েছে ? এখানে আলুর ওজন কত তা নির্দিষ্টভাবে বলা সম্ভব নয়; এটি অজানা বা অজ্ঞাত।

Figure: চিত্র

লেবেল: 5kg, আলু বর্ণনা: একটি দাঁড়িপাল্লার বাম পাল্লায় 5kg ওজনের বাটখারা এবং ডান পাল্লায় কিছু আলু রাখা হয়েছে। বাম পাল্লাটি নিচে ঝুঁকে আছে এবং ডান পাল্লাটি উপরে উঠে আছে।

এবার দোকানদার ডান পাল্লায় আলুর সাথে 1 কেজি ওজনের একটি বাটখারা দেওয়ায় দুই পাল্লার জিনিসের ওজন সমান হয়েছে। আলুর অজানা ওজন $x$ কেজি ধরা হলে, ডান পাল্লায় বাটখারাসহ জিনিসের মোট ওজন হবে $(x + 1)$ কেজি। অতএব, আমরা লিখতে পারি, $x + 1 = 5$ ; এটি একটি সমীকরণ।

Figure: চিত্র

লেবেল: 5kg, 1kg বর্ণনা: দাঁড়িপাল্লাটি আনুভূমিক ও সাম্যাবস্থায় রয়েছে। বাম পাল্লায় 5kg বাটখারা এবং ডান পাল্লায় আলুর সাথে 1kg বাটখারা রয়েছে।

$x + 1 = 5$ একটি গাণিতিক খোলা বাক্য ও একটি সমতা। সমান চিহ্ন সংবলিত গাণিতিক খোলা বাক্যকে সমীকরণ বলা হয়। এখানে অজানা বা অজ্ঞাত রাশি $x$ কে চল বা চলক বলা হয়।

প্রধানত ইংরেজি বর্ণমালার ছোট হাতের অক্ষর $x, y, z$ চলক হিসেবে ব্যবহৃত হয়।

Printed page 96

সুতরাং, আমরা বলতে পারি, অজানা বা অজ্ঞাত রাশি বা চলক, প্রক্রিয়া চিহ্ন এবং সমান চিহ্ন সংবলিত গাণিতিক বাক্য হলো সমীকরণ।

একটি সমীকরণের দুইটি পক্ষ থাকে। সমান ($=$) চিহ্নের বাম পাশের রাশিকে বামপক্ষ এবং ডান পাশের রাশিকে ডানপক্ষ বলা হয়।

কাজ : তোমরা প্রত্যেকে $y$ সংবলিত পাঁচটি এবং $z$ সংবলিত পাঁচটি সমীকরণ লেখ।

৫·২ সরল সমীকরণ

অজ্ঞাত রাশির বা চলকের একঘাতবিশিষ্ট সমীকরণকে সরল সমীকরণ বলে। $x+1=5$, $2x-1=3$, $2y+3=y-5$, $2z-1=0$ এগুলো এক চলকবিশিষ্ট একঘাত সমীকরণ বা সরল সমীকরণ।

$x+y=3$, $2x=y-5$ এগুলো দুই চলকবিশিষ্ট সরল সমীকরণ। এ অধ্যায়ে আমরা শুধু এক চলকবিশিষ্ট সরল সমীকরণ নিয়ে আলোচনা করব।

৫·৩ সরল সমীকরণের সমাধান

একটি সমীকরণ থেকে এর চলকটির মান নির্ণয় করার প্রক্রিয়াকে বলা হয় সমীকরণের সমাধান। চলকের মানকে বলা হয় সমীকরণটির মূল। এই মূল দ্বারা সমীকরণটি সিদ্ধ হয়। অর্থাৎ, সমীকরণটির দুই পক্ষ সমান হয়। সমাধানে চলকটিকে সাধারণত বামপক্ষে রাখা হয়।

সমীকরণ সমাধানের জন্য নিম্নলিখিত স্বতঃসিদ্ধগুলো ব্যবহৃত হয় : স্বতঃসিদ্ধগুলোর উদাহরণে ব্যবহৃত $a, b, c$ যেকোনো ধনাত্মক বা ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা বা ভগ্নাংশ হতে পারে।

(১) পরস্পর সমান রাশির প্রত্যেকটির সাথে একই রাশি যোগ করলে যোগফলগুলো পরস্পর সমান হয়। যেমন, $a=b$ হলে, $a+c=b+c$। এখানে উভয়পক্ষে $c$ যোগ করা হয়েছে।

(২) পরস্পর সমান রাশির প্রত্যেকটি থেকে একই রাশি বিয়োগ করলে বিয়োগফলগুলো পরস্পর সমান হয়। যেমন, $a=b$ হলে, $a-c=b-c$। এখানে উভয়পক্ষ থেকে $c$ বিয়োগ করা হয়েছে।

(৩) পরস্পর সমান রাশির প্রত্যেকটিকে একই রাশি দ্বারা গুণ করলে গুণফলগুলো পরস্পর সমান হয়। যেমন, $a=b$ হলে, $ac=bc$ বা $ca=cb$। এখানে উভয়পক্ষকে $c$ দ্বারা গুণ করা হয়েছে।

(৪) পরস্পর সমান রাশির প্রত্যেকটিকে অশূন্য একই রাশি দ্বারা ভাগ করলে ভাগফলগুলো পরস্পর সমান হয়। যেমন, $a=b$ হলে, $\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{c}$। এখানে উভয়পক্ষকে $c$ দ্বারা ভাগ করা হয়েছে, $c \neq 0$।

উল্লিখিত স্বতঃসিদ্ধগুলো প্রধানত সমীকরণের সমাধানে সরলীকরণের জন্য ব্যবহৃত হয়।

Printed page 97

উদাহরণস্বরূপ, $2x - 1 = 5$ সমীকরণটি সমাধান করে $x$ এর মান নির্ণয় করি। এখানে বামপক্ষের রাশিতে শুধু $x$ রাখা প্রয়োজন। এ জন্য প্রথমে বামপক্ষ থেকে $-1$ সরাতে হবে। তারপর $x$ এর সহগ 1 করতে হবে, অর্থাৎ $x$ এর সহগ 2 সরাতে হবে। এখন, বামপক্ষ থেকে $-1$ সরাতে হলে, এর সাথে 1 যোগ করতে হবে। কিন্তু শুধু একপক্ষে যোগ করা যায় না, উভয়পক্ষে যোগ করতে হয়। তা না হলে, উভয়পক্ষ সমান থাকে না।

$\therefore \quad 2x - 1 = 5$ সমীকরণের উভয়পক্ষে 1 যোগ করি $2x - 1 + 1 = 5 + 1$ বা, $2x = 6.$

এখন, যেহেতু বামপক্ষে $x$ এর গুণক বা সহগ 2 সরাতে হবে, সুতরাং উভয়পক্ষে 2 দ্বারা ভাগ করতে হবে।

$\therefore$ আমরা লিখি $\dfrac{2x}{2} = \dfrac{6}{2}$ বা, $x = 3.$

$\therefore 2x - 1 = 5$ সমীকরণটি সমাধান করে $x$ এর মান 3 পেলাম। কিন্তু সমাধানটি শুদ্ধ হয়েছে কি না তা যাচাই করা দরকার। এটাকে বলে সমাধানের শুদ্ধি পরীক্ষা।

এ জন্য আমাদের $x$ এর প্রাপ্ত মান সমীকরণে বসিয়ে দেখতে হবে।

বামপক্ষ $= 2x - 1 = 2 \times 3 - 1 = 6 - 1 = 5 =$ ডানপক্ষ।

$\therefore$ সমাধান শুদ্ধ হয়েছে।

দুইপক্ষে চলক থাকলে, চলকের প্রাপ্ত মান দুইপক্ষেই পৃথকভাবে বসাতে হবে।

কাজ : তোমরা প্রত্যেকে স্বতঃসিদ্ধ চারটির প্রত্যেকটির একটি করে উদাহরণ লিখে সরল কর।

উদাহরণ ১। সমাধান কর ও সমাধানের শুদ্ধি পরীক্ষা কর : $x + 1 = 5$

সমাধান : $x + 1 = 5$ বা, $x + 1 - 1 = 5 - 1$ [উভয়পক্ষ থেকে 1 বিয়োগ করে] বা, $x = 4$

$\therefore$ সমাধান : $x = 4$

শুদ্ধি পরীক্ষা : $x + 1 = 5$ সমীকরণে $x$ এর পরিবর্তে 4 বসিয়ে, বামপক্ষ $= x + 1 = 4 + 1 = 5 =$ ডানপক্ষ।

$\therefore$ সমীকরণটির সমাধান শুদ্ধ হয়েছে।

Printed page 98

উদাহরণ ২। সমীকরণটির মূল নির্ণয় কর : $x - 3 = 7.$

সমাধান : $x - 3 = 7$ বা, $x - 3 + 3 = 7 + 3$ [উভয়পক্ষে 3 যোগ করে] বা, $x = 10$

$\therefore$ সমীকরণটির মূল 10

উদাহরণ ৩। সমাধান কর : $2z + 5 = 15.$

সমাধান : $2z + 5 = 15$ বা, $2z + 5 - 5 = 15 - 5$ [উভয়পক্ষ থেকে 5 বিয়োগ করে] বা, $2z = 10$ বা, $\dfrac{2z}{2} = \dfrac{10}{2}$ [উভয়পক্ষকে 2 দ্বারা ভাগ করে] বা, $z = 5$

$\therefore$ সমাধান : $z = 5.$

উদাহরণ ৪। সমাধান কর : $5 - x = 7.$

সমাধান : $5 - x = 7$ বা, $5 - x - 5 = 7 - 5$ [উভয়পক্ষ থেকে 5 বিয়োগ করে] বা, $-x = 2$ বা, $(-x) \times (-1) = 2 \times (-1)$ [উভয়পক্ষকে $(-1)$ দ্বারা গুণ করে] বা, $x = -2$

$\therefore$ সমাধান : $x = -2$

উদাহরণ ৫। সমীকরণটির মূল নির্ণয় কর এবং সমাধানের শুদ্ধি পরীক্ষা কর : $5y - 2 = 3y + 8.$

সমাধান : $5y - 2 = 3y + 8$ বা, $5y - 2 + 2 = 3y + 8 + 2$ [উভয়পক্ষে 2 যোগ করে] বা, $5y = 3y + 10$ বা, $5y - 3y = 3y + 10 - 3y$ [উভয়পক্ষ থেকে $3y$ বিয়োগ করে] বা, $2y = 10$ বা, $\dfrac{2y}{2} = \dfrac{10}{2}$ [উভয়পক্ষকে 2 দ্বারা ভাগ করে] বা, $y = 5.$

$\therefore$ সমীকরণটির মূল 5

Printed page 99

শুদ্ধি পরীক্ষা : প্রদত্ত সমীকরণে $y$ এর পরিবর্তে 5 বসিয়ে পাই, বামপক্ষ $= 5y - 2 = 5 \times 5 - 2 = 25 - 2 = 23$ ডানপক্ষ $= 3y + 8 = 3 \times 5 + 8 = 15 + 8 = 23$

$\therefore$ বামপক্ষ $=$ ডানপক্ষ

$\therefore$ সমীকরণটির সমাধান শুদ্ধ হয়েছে।

কাজ ১। $2x + 5 = 9$ সমীকরণের সমাধান $x = 2$ । সমাধানের শুদ্ধি পরীক্ষা কর । ২। $3x - 8 = x + 2$ সমীকরণটির সমাধান কর ও সমাধানের শুদ্ধি পরীক্ষা কর ।

৫·৪ বাস্তব সমস্যার ভিত্তিতে সমীকরণ গঠন ও সমাধান

তোমার কাছে কিছু চকলেট আছে। তা থেকে তোমার বোন রিতাকে 3টি চকলেট দিলে, তোমার কাছে আর 7টি চকলেট থাকল। বলতে পারো, প্রথমে তোমার কাছে কয়টি চকলেট ছিল ? তোমার কাছে মোট কয়টি চকলেট ছিল তা অজানা। ধরি, তোমার কাছে $x$ টি চকলেট ছিল। তাহলে, তোমার বোন রিতাকে 3টি চকলেট দিলে তোমার মোট চকলেট থেকে 3টি চকলেট কমে যাবে। কাজেই, তোমার কাছে এখন থাকবে $(x - 3)$ টি চকলেট। কিন্তু প্রশ্নমতে, তোমার কাছে থাকবে 7টি চকলেট। অতএব, আমরা লিখতে পারি, $x - 3 = 7$ বা, $x - 3 + 3 = 7 + 3$ [উভয়পক্ষে 3 যোগ করে] বা, $x = 10$

$\therefore$ তোমার কাছে মোট 10টি চকলেট ছিল। এখানে গঠিত সমীকরণ $x - 3 = 7$ এবং সমীকরণটির সমাধান $x = 10.$

কাজ : ১। একটি আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য অপেক্ষা প্রস্থ 3 মিটার কম। প্রত্যেকে বাগানটির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ $x$ এর মাধ্যমে লেখ।

উদাহরণ ৬। কোন সংখ্যার দ্বিগুণের সাথে 5 যোগ করলে যোগফল 17 হবে ?

সমাধান : ধরি, সংখ্যাটি $x$ সংখ্যাটির দ্বিগুণ করলে $2x$ হবে এবং এর সাথে 5 যোগ করলে হবে $2x + 5$

Printed page 100

প্রশ্নমতে, $2x + 5 = 17$ বা, $2x + 5 - 5 = 17 - 5$ [উভয়পক্ষ থেকে 5 বিয়োগ করে] বা, $2x = 12$ বা, $\dfrac{2x}{2} = \dfrac{12}{2}$ [উভয়পক্ষকে 2 দ্বারা ভাগ করে] বা, $x = 6$

$\therefore$ সংখ্যাটি 6

উদাহরণ ৭। দুইটি ক্রমিক স্বাভাবিক বিজোড় সংখ্যার যোগফল 16 হলে, সংখ্যা দুইটি নির্ণয় কর।

সমাধান : ধরি, ১ম বিজোড় সংখ্যা $x$ $\therefore \quad$ ২য় বিজোড় সংখ্যাটি হবে $x + 2$ প্রশ্ন অনুসারে, $x + x + 2 = 16$ বা, $2x + 2 = 16$ বা, $2x + 2 - 2 = 16 - 2$ [উভয়পক্ষ থেকে 2 বিয়োগ করে] বা, $2x = 14$ বা, $\dfrac{2x}{2} = \dfrac{14}{2}$ [উভয়পক্ষকে 2 দ্বারা ভাগ করে] বা, $x = 7$

$\therefore$ ১ম সংখ্যাটি 7 এবং ২য় সংখ্যাটি $x + 2 = 7 + 2 = 9$

$\therefore$ সংখ্যা দুইটি 7, 9

কাজ : ১। উদাহরণ ৭ এর আলোকে একটি সমস্যা তৈরি কর এবং সমাধান কর।

উদাহরণ ৮। $2 : 3$ অনুপাতের পূর্বরাশির সাথে কত যোগ করলে অনুপাতটি $5 : 1$ হবে ?

সমাধান : ধরি, অনুপাতটির পূর্ব রাশির সাথে $x$ যোগ করতে হবে। তখন অনুপাতটি হবে $(2 + x) : 3$

প্রশ্নমতে, $\dfrac{2 + x}{3} = \dfrac{5}{1}$ বা, $\dfrac{2 + x}{3} \times 3 = \dfrac{5}{1} \times 3$ [উভয়পক্ষকে 3 দ্বারা গুণ করে] বা, $2 + x = 15$ বা, $2 + x - 2 = 15 - 2$ [উভয়পক্ষ থেকে 2 বিয়োগ করে] বা, $x = 13$

$\therefore$ পূর্ব রাশির সাথে 13 যোগ করতে হবে।

Printed page 101

উদাহরণ ৯। মীনার কাছে 12টি মার্বেল ছিল। তা থেকে সে তার বন্ধু কনক চাকমাকে কিছু মার্বেল দেওয়ার পর তার কাছে 7টি মার্বেল থাকল। সে কনককে কয়টি মার্বেল দিল ?

সমাধান : ধরি, মীনা তার বন্ধু কনককে $x$ টি মার্বেল দিল। কাজেই, তার কাছে আর মার্বেল থাকে $(12 - x)$ টি। কিন্তু মীনার কাছে মার্বেল থাকে 7টি।

$\therefore 12 - x = 7$ বা, $12 - x - 12 = 7 - 12$ [উভয়পক্ষ থেকে 12 বিয়োগ করে] বা, $-x = -5$ বা, $(-1) \times (-x) = (-1) \times (-5)$ [উভয়পক্ষকে $(-1)$ দ্বারা গুণ করে] বা, $x = 5$

$\therefore$ মীনা কনক চাকমাকে 5টি মার্বেল দিল।

কাজ : ১। উদাহরণ ৯ এর আলোকে একটি সমস্যা তৈরি কর এবং সমাধান কর।

উদাহরণ ১০। সিহাব একটি দোকান থেকে 6টি কলম কিনে দোকানদারকে 50 টাকার একটি নোট দিল। দোকানদার তাকে 20 টাকা ফেরত দিলেন। সিহাব অন্য একটি দোকান থেকে প্রতিটি $y$ টাকা দামের 3 টি খাতা কিনল। তাহলে –

ক. প্রতিটি কলমের দাম $x$ টাকা ধরে একটি সমীকরণ গঠন কর। খ. প্রতিটি কলমের দাম নির্ণয় কর। গ. 3 টি খাতার দাম 6টি কলমের দামের সমান হলে, প্রতিটি খাতার দাম কত ?

সমাধান : ক. প্রতিটি কলমের দাম $x$ টাকা হলে, 6টি কলমের দাম $6x$ টাকা। আবার, 6টি কলমের মোট দাম $= (50 - 20)$ টাকা $= 30$ টাকা।

$\therefore 6 \times x = 30$ বা, $6x = 30$

খ. $\quad 6x = 30$ বা, $\dfrac{6x}{6} = \dfrac{30}{6}$ [উভয়পক্ষকে 6 দ্বারা ভাগ করে] বা, $x = 5$

$\therefore$ প্রতিটি কলমের দাম 5 টাকা।

Printed page 102

গ. 3 টি খাতার দাম $= 3 \times y$ টাকা $= 3y$ টাকা। আবার, 6টি কলমের দাম $= 6 \times 5$ টাকা $= 30$ টাকা। প্রশ্নমতে, $3y = 30$ বা, $\dfrac{3y}{3} = \dfrac{30}{3}$ [উভয়পক্ষকে 3 দ্বারা ভাগ করে] বা, $y = 10$

$\therefore$ প্রতিটি খাতার দাম 10 টাকা।

কাজ ১। উদাহরণ ১০ এর অনুরূপ একটি সমস্যা তৈরি করে সমাধান কর।

উদাহরণ ১১। কোন সংখ্যার চারগুণ থেকে 5 বিয়োগ করলে প্রাপ্ত বিয়োগফল সংখ্যাটির দ্বিগুণ অপেক্ষা 19 বেশি হয়। (ক) সংখ্যাটি $x$ হলে তথ্যের আলোকে সমীকরণ গঠন কর। (খ) সংখ্যাটি নির্ণয় কর। (গ) সংখ্যাটি তিনটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি হলে ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি নির্ণয় কর।

সমাধান : (ক) মনেকরি, সংখ্যাটি $x$ সংখ্যাটির চারগুণ থেকে 5 বিয়োগ করলে বিয়োগফল$= 4x - 5$ এবং সংখ্যাটির দ্বিগুণের সাথে 19 যোগ করলে যোগফল $= 2x + 19$ প্রশ্নমতে, $4x - 5 = 2x + 19$

(খ) ‘ক’ হতে পাই, $4x - 5 = 2x + 19$ বা, $4x - 5 + 5 = 2x + 19 + 5$ [উভয় পক্ষে 5 যোগ করে] বা, $4x = 2x + 24$ বা, $4x - 2x = 2x + 24 - 2x$ [উভয় পক্ষ হতে $2x$ বিয়োগ করে] বা, $2x = 24$ বা $\dfrac{2x}{2} = \dfrac{24}{2}$ [উভয় পক্ষকে 2 দ্বারা ভাগ করে] বা, $x = 12$ অতএব, সংখ্যাটি 12

(গ) ‘খ’ হতে প্রাপ্ত সংখ্যাটি 12 মনে করি, ১ম ক্রমিক সংখ্যাটি $y$ ২য় ক্রমিক সংখ্যাটি $y + 1$ ৩য় ক্রমিক সংখ্যাটি $y + 2$

Printed page 103

শর্তমতে, $y + (y + 1) + (y + 2) = 12$ বা, $y + y + 1 + y + 2 = 12$ বা, $3y + 3 = 12$ বা, $3y + 3 - 3 = 12 - 3$ [উভয় পক্ষ হতে 3 বিয়োগ করে] বা, $\dfrac{3y}{3} = \dfrac{9}{3}$ [উভয় পক্ষকে 3 দ্বারা ভাগ করে] বা, $y = 3$ অতএব, ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি 3