Mathematics chapter 6: Basic Concepts of Geometry

ষষ্ঠ অধ্যায়

জ্যামিতির মৌলিক ধারণা

‘জ্যা’ অর্থ ভূমি, ‘মিতি’ অর্থ পরিমাপ। ভূমির পরিমাপ সম্পর্কে আলোচনা থেকেই জ্যামিতির উদ্ভব। খ্রিষ্টপূর্ব ৩০০ অব্দে গ্রিক পণ্ডিত ইউক্লিড ধারাবাহিকভাবে তার Elements পুস্তকের ১৩টি খণ্ডে জ্যামিতিক পরিমাপ পদ্ধতির সংজ্ঞা ও প্রক্রিয়াসমূহ লিপিবদ্ধ করেন। কিছু মৌলিক ধারণা বা স্বতঃসিদ্ধের ওপর নির্ভর করে জ্যামিতিক অঙ্কন ও যুক্তি দ্বারা অঙ্কনের নির্ভুলতা প্রমাণ ইউক্লিডীয় জ্যামিতির মূল প্রতিপাদ্য বিষয়। বর্তমানে জ্যামিতির বহুমাত্রিক বিস্তৃতি ঘটেছে।

অধ্যায় শেষে শিক্ষার্থীরা —

• জ্যামিতির কিছু মৌলিক ধারণা যেমন : স্থান, তল, রেখা ও বিন্দু ইত্যাদি ব্যাখ্যা করতে পারবে।
• সরলরেখা, রেখাংশ ও রশ্মির মধ্যে পার্থক্য নির্ণয় করতে পারবে।
• বিভিন্ন ধরনের কোণগুলোর মধ্যকার সম্পর্ক ব্যাখ্যা করতে পারবে।
• সমান্তরাল সরলরেখা বর্ণনা করতে পারবে।
• দুইটি সমান্তরাল সরলরেখা ও একটি ছেদক দ্বারা উৎপন্ন কোণগুলো বর্ণনা করতে পারবে।
• বিভিন্ন ধরনের ত্রিভুজ (বাহুভেদে ও কোণভেদে) ব্যাখ্যা করতে পারবে।
• বিভিন্ন ধরনের চতুর্ভুজ চিহ্নিত করতে পারবে।

৬·১ স্থান, তল, রেখা ও বিন্দু

পাশের ছবিটি একটি ইটের ছবি। ইটটি কিছু জায়গা দখল করে আছে। এভাবেই প্রত্যেক বস্তুই কিছু জায়গা দখল করে থাকে। যে বস্তুর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও বেধ বা উচ্চতা আছে, তাকে ঘনবস্তু বলে। যেমন, ইট, বই, ম্যাচবক্স, কাঠের টুকরা ইত্যাদি। স্থান বলতে আমরা কোনো নির্দিষ্ট আকারের বস্তু যতটুকু জায়গা দখল করে তা বুঝি।

Figure

লেবেল: ইট বর্ণনা: একটি আয়তাকার ঘনবস্তু বা ইটের ত্রিমাত্রিক চিত্র।

আবার বিভিন্ন বস্তুর উপরিভাগ থেকে আমরা তলের ধারণা পাই। যেমন ইট, টেবিলের উপরিভাগ, কাগজের পৃষ্ঠা। ইটটির ছয়টি পৃষ্ঠ আছে। প্রত্যেক পৃষ্ঠই এক-একটি তল নির্দেশ করে। এর একটি তল যেখানে অপর একটি তলের সাথে মিশেছে, সেখানে একটি ধার বা কিনারা উৎপন্ন হয়েছে। এই ধার বা কিনারা হচ্ছে রেখার একটি অংশের প্রতিরূপ। এরূপ তিনটি রেখা ইটের এক কোনায় এসে মিশেছে। এই কোনাগুলোতে এমন ক্ষুদ্রস্থানের সৃষ্টি হয়েছে, যার শুধু অবস্থান আছে।

Printed page 107

এ ধরনের ক্ষুদ্রাতিক্ষুদ্র স্থানই আমাদেরকে বিন্দুর ধারণা দেয়। পেন্সিলের সরু মাথা দিয়ে কাগজে ফোঁটা দিলে একে বিন্দুর প্রতিকৃতি বলে ধরা হয়। বিন্দু কেবল অবস্থান নির্দেশ করে। বিন্দুকে $A, B, P, Q$ এর ন্যায় একটি অক্ষর দ্বারা নির্দেশ করা হয়।

Figure

বর্ণনা: একটি পেনসিল কম্পাস, একটি পেনসিল ও একটি সুই-এর চিত্র।

৬·২ রেখা, রেখাংশ ও রশ্মি

কাগজের উপর $A$ ও $B$ দ্বারা নির্দেশিত দুইটি বিন্দু বিবেচনা করি। বিন্দু দুইটির উপর একটি স্কেল রেখে $A$ থেকে $B$ পর্যন্ত দাগ টানি। $AB$ একটি সরলরেখার অংশের প্রতিরূপ অর্থাৎ $AB$ একটি রেখাংশ। রেখাংশটিকে উভয় দিকে একই বরাবর যতদূর খুশি বাড়ালেই একটি সরলরেখার প্রতিরূপ পাওয়া যায়। রেখার নির্দিষ্ট প্রান্তবিন্দু বা দৈর্ঘ্য নেই। কিন্তু রেখাংশের নির্দিষ্ট প্রান্তবিন্দু ও দৈর্ঘ্য আছে।

Figure

লেবেল: A, B বর্ণনা: একটি রেখাংশ যার দুই প্রান্তে $A$ ও $B$ বিন্দু নির্দেশিত।

Figure

লেবেল: A, B বর্ণনা: উভয় দিকে তীরচিহ্নযুক্ত একটি সরলরেখা, যার ওপর $A$ ও $B$ বিন্দু নির্দেশিত।

$AB$ সরলরেখা। সরলরেখার কোনো প্রস্থ নেই।

Figure

লেবেল: A, B বর্ণনা: $A$ প্রান্তবিন্দু থেকে $B$ বিন্দুর দিকে তীরচিহ্নযুক্ত একটি রশ্মি।

চিত্রে $A$ থেকে $B$ এর দিকে রেখাটির সীমাহীন অংশ একটি রশ্মি। একে $AB$ রশ্মি বলা হয়।

Printed page 108

বিন্দু, রেখা, তল সম্পর্কিত কয়েকটি প্রয়োজনীয় ধারণা বা স্বতঃসিদ্ধ

(১) দুইটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে একটি এবং কেবলমাত্র একটি সরলরেখা আঁকা যায়।

(২) যেসব বিন্দু একই সরলরেখায় অবস্থান করে, তাদেরকে সমরেখ বিন্দু বলা হয়।

(৩) একটি রেখাংশের দৈর্ঘ্যই তার প্রান্ত বিন্দুদ্বয়ের দূরত্ব।

(৪) প্রান্তবিন্দুদ্বয় ছাড়া রেখাংশের অন্য যেকোনো বিন্দুকে ঐ রেখাংশের অন্তঃস্থ বিন্দু বলা হয়।

$PR$ রেখাংশের অন্তঃস্থ কোনো বিন্দু $Q$ হলে, $PQ + QR = PR$ হবে।

Figure

লেবেল: P, Q, R বর্ণনা: $PR$ রেখাংশের মধ্যে $Q$ একটি অন্তঃস্থ বিন্দু নির্দেশিত।

(৫) একই সমতলে দুইটি রেখা একটি এবং কেবলমাত্র একটি বিন্দুতে পরস্পরকে ছেদ করতে পারে।

(৬) যদি দুইটি বিন্দু একই সমতলে অবস্থান করে, তবে তাদের সংযোগরেখা সম্পূর্ণভাবে ঐ তলেই অবস্থান করে।

কাজ :

১। চিত্রে কয়টি রশ্মি রয়েছে ?

Figure

লেবেল: T, N, B, A বর্ণনা: $T$ শীর্ষবিন্দুবিশিষ্ট একটি কোণ, যার একটি রশ্মি $T$ থেকে $A$-এর দিকে এবং অপর রশ্মিটি $T$ থেকে $N$ হয়ে $B$-এর দিকে তীরচিহ্নসহ প্রসারিত।

Figure

লেবেল: A, B, C, D, E, F, O বর্ণনা: একটি অনুভূমিক সরলরেখায় $A, B, D, E$ বিন্দু চিহ্নিত, যা দুইটি তীরচিহ্নযুক্ত তির্যক রেখা দ্বারা $B$ ও $E$ বিন্দুতে ছেদ করেছে। তির্যক রেখা দুইটিতে $C, O$ এবং $F$ বিন্দু নির্দেশিত।

২। রেখা, রেখাংশ ও রশ্মির মধ্যে পার্থক্য কী ? ছবি এঁকে রেখা, রেখাংশ ও রশ্মি দেখাও।

৩। একটি বাক্স এঁকে এর তল, রেখা, বিন্দুর প্রতিরূপ নির্দেশ কর।

৪। তোমার খাতায় দুইটি বিন্দু নিয়ে একটি সরলরেখা আঁক।

৬·৩ কোণ

একই সমতলে দুইটি রশ্মি একটি বিন্দুতে মিলিত হলে কোণ তৈরি হয়। রশ্মি দুইটিকে কোণের বাহু এবং তাদের সাধারণ বিন্দুকে শীর্ষবিন্দু বলে।

পাশের চিত্রে, $OP$ ও $OQ$ রশ্মিদ্বয় তাদের সাধারণ প্রান্তবিন্দু $O$ তে $\angle POQ$ উৎপন্ন করেছে। $O$ বিন্দুটি $\angle POQ$ এর শীর্ষবিন্দু।

Figure

লেবেল: O, P, Q বর্ণনা: $O$ শীর্ষবিন্দুবিশিষ্ট একটি কোণ, যার বাহুদ্বয় $OP$ ও $OQ$ রশ্মি এবং এদের মধ্যবর্তী কোণটি বৃত্তচাপ দিয়ে চিহ্নিত।

Printed page 109

সরল কোণ

চিত্রে, $AB$ একটি রশ্মি। $AB$ রশ্মির প্রান্তবিন্দু $A$ থেকে $AB$ এর বিপরীত দিকে $AC$ রশ্মি আঁকা হয়েছে। $AC$ কে $AB$ রশ্মির বিপরীত রশ্মি বলা হয়। $AC$ ও $AB$ রশ্মিদ্বয় তাদের সাধারণ প্রান্তবিন্দু $A$ তে $\angle BAC$ উৎপন্ন করেছে। $\angle BAC$ কে সরল কোণ বলে। সরল কোণের পরিমাপ ১৮০°।

Figure

লেবেল: A, B, C বর্ণনা: $A$ সাধারণ প্রান্তবিন্দু থেকে বিপরীত দিকে বিস্তৃত $AB$ ও $AC$ রশ্মি দ্বারা গঠিত একটি সরল কোণ।

দুইটি পরস্পর বিপরীত রশ্মি তাদের সাধারণ প্রান্তবিন্দুতে যে কোণ উৎপন্ন করে, তাকে সরল কোণ বলে।

সন্নিহিত কোণ

পাশের চিত্রে, $A$ বিন্দুতে $\angle BAC$ ও $\angle CAD$ দুইটি কোণ উৎপন্ন হয়েছে। $A$ বিন্দু কোণ দুইটির শীর্ষবিন্দু। $\angle BAC$ ও $\angle CAD$ উৎপন্নকারী বাহুগুলোর মধ্যে $AC$ সাধারণ বাহু। কোণ দুইটি সাধারণ বাহু $AC$ এর বিপরীত পাশে অবস্থিত। $\angle BAC$ এবং $\angle CAD$ কে পরস্পর সন্নিহিত কোণ বলে।

Figure

লেবেল: A, B, C, D বর্ণনা: $A$ শীর্ষবিন্দু এবং $AC$ সাধারণ বাহুবিশিষ্ট দুইটি সন্নিহিত কোণ $\angle BAC$ ও $\angle CAD$।

যদি কোনো তলে দুইটি কোণের একই শীর্ষবিন্দু হয় এবং কোণদ্বয় সাধারণ বাহুর বিপরীত পাশে অবস্থান করে, তবে ঐ কোণদ্বয়কে সন্নিহিত কোণ বলে।

কাজ

১। কয়েকটি কোণের পরিমাপ দেওয়া হলো; চাঁদার সাহায্যে কোণগুলো আঁক : (ক) ৩০° (খ) ৪৫° (গ) ৬০° (ঘ) ৯০° (ঙ) ১২০° (চ) ১৮০°।

২। কোণের পরিমাপ করে শ্রেণিবিভাগ কর:

Figure

লেবেল: A, B, C, D, O বর্ণনা: $O$ বিন্দুতে মিলিত রশ্মিসমূহ, যেখানে তীরচিহ্নযুক্ত প্রান্তে $A, B, C, D$ নির্দেশিত।

Printed page 110

লম্ব, সমকোণ

চিত্রে, $BD$ রেখার $A$ বিন্দুতে $\angle BAC$ ও $\angle CAD$ দুইটি কোণ উৎপন্ন হয়েছে। $A$ বিন্দু কোণ দুইটির শীর্ষবিন্দু। $\angle BAC$ ও $\angle CAD$ কোণগুলোর মধ্যে $AC$ সাধারণ বাহু। কোণ দুইটি সাধারণ বাহু $AC$ এর দুই পাশে অবস্থিত। $\angle BAC$ এবং $\angle CAD$ পরস্পর সমান হলে, এদের প্রত্যেকটিকে সমকোণ বলে। আবার $AD$ ও $AC$ বাহুদ্বয় বা $AB$ ও $AC$ বাহুদ্বয়কে পরস্পরের উপর লম্ব বলে।

যদি একই রেখার উপর অবস্থিত দুইটি সন্নিহিত কোণ পরস্পর সমান হয়, তবে কোণ দুইটির প্রত্যেকটি সমকোণ। সমকোণের বাহু দুইটি পরস্পরের উপর লম্ব।

Figure

লেবেল: B, A, D, C বর্ণনা: $BD$ সরলরেখার $A$ বিন্দুতে $AC$ লম্বভাবে দণ্ডায়মান।

পূরক কোণ

পাশের চিত্রে, $\angle AOB$ একটি সমকোণ। $OC$ রশ্মি কোণটির বাহুদ্বয়ের মধ্যে অবস্থিত। ফলে $\angle AOC$ এবং $\angle COB$ এই দুইটি কোণ উৎপন্ন হলো। কোণ দুইটির যোগফল $\angle AOB$ এর সমান, অর্থাৎ ৯০°। $\angle AOC$ এবং $\angle COB$ কোণ দুইটির একটি অপরটির পূরক কোণ।

দুইটি কোণের যোগফল ৯০° হলে, কোণ দুইটির একটি অপরটির পূরক কোণ।

Figure

লেবেল: O, A, B, C বর্ণনা: সমকোণ $\angle AOB$-এর অভ্যন্তরে $OC$ রশ্মি অঙ্কিত, যা কোণটিকে $\angle AOC$ ও $\angle COB$-এ বিভক্ত করেছে।

সম্পূরক কোণ

$AB$ একটি সরলরেখার $O$ অন্তঃস্থ একটি বিন্দু। $OC$ একটি রশ্মি যা $OA$ রশ্মি ও $OB$ রশ্মি থেকে ভিন্ন। এর ফলে $\angle AOC$ এবং $\angle COB$ এই দুইটি কোণ উৎপন্ন হলো। কোণ দুইটির যোগফল $\angle AOB$ কোণের সমান, অর্থাৎ ১৮০°, কেননা $\angle AOB$ একটি সরলকোণ।

আমরা বলি, $\angle AOC$ এবং $\angle COB$ কোণ দুইটির একটি অপরটির সম্পূরক কোণ, অথবা এরা পরস্পর সম্পূরক কোণ।

দুইটি কোণের যোগফল ১৮০° হলে, কোণ দুইটির একটি অপরটির সম্পূরক কোণ।

Figure

লেবেল: A, O, B, C বর্ণনা: $AB$ সরলরেখার ওপর $O$ বিন্দু থেকে $OC$ রশ্মি অঙ্কিত, ফলে সন্নিহিত কোণ $\angle AOC$ ও $\angle COB$ উৎপন্ন হয়েছে।

• দুইটি কোণের যোগফল ৯০° হলে, একটি অপরটির পূরক কোণ।
• দুইটি কোণের যোগফল ১৮০° হলে, কোণ দুইটির প্রত্যেকটি অপরটির সম্পূরক কোণ।
• দুইটি পরস্পর সম্পূরক কোণকে সন্নিহিত কোণ হিসেবে আঁকলে একটি সরলকোণ তৈরি হয়।

Printed page 111

বিপ্রতীপ কোণ

$AB$ এবং $CD$ দুইটি সরলরেখা। এরা পরস্পর $O$ বিন্দুতে ছেদ করেছে। ফলে $O$ বিন্দুতে $\angle AOC$, $\angle COB$, $\angle BOD$ এবং $\angle DOA$ চারটি কোণ উৎপন্ন হয়েছে। এদের প্রত্যেকের শীর্ষবিন্দু $O$। এদের মধ্যে $\angle BOD$ ও $\angle AOC$ কোণ দুইটির একটি অপরটির বিপ্রতীপ কোণ অথবা এরা পরস্পর বিপ্রতীপ কোণ। আবার, $\angle BOC$ ও $\angle DOA$ কোণ দুইটির একটি অপরটির বিপ্রতীপ কোণ অথবা এরা পরস্পর বিপ্রতীপ কোণ।

রশ্মি হিসেবে দেখলে, $OA$ ও $OB$ পরস্পর বিপরীত রশ্মি, কেননা $A, O, B$ বিন্দু তিনটি একই সরলরেখায় অবস্থিত। আবার $OC$ ও $OD$ পরস্পর বিপরীত রশ্মি। $O$ বিন্দুতে তৈরি চারটি কোণের যে কোনোটির বিপ্রতীপ কোণের বাহুদ্বয় মূল কোণের বাহুদ্বয়ের বিপরীত রশ্মিদ্বয়।

Figure

লেবেল: A, B, C, D, O বর্ণনা: $AB$ ও $CD$ সরলরেখাদ্বয় পরস্পর $O$ বিন্দুতে ছেদ করেছে।

• কোনো কোণের বাহুদ্বয়ের বিপরীত রশ্মিদ্বয় যে কোণ তৈরি করে তা ঐ কোণের বিপ্রতীপ কোণ।
• দুইটি সরলরেখা কোনো বিন্দুতে পরস্পরকে ছেদ করলে, ছেদ বিন্দুতে দুই জোড়া পরস্পর বিপ্রতীপ কোণ উৎপন্ন হয়।
• একজোড়া পরস্পর বিপ্রতীপ কোণের বাহুগুলো দুইটি পরস্পরছেদী সরলরেখা তৈরি করে, যাদের ছেদবিন্দু প্রদত্ত কোণ যুগলের সাধারণ শীর্ষবিন্দু।

লক্ষ্য করি : যেকোনো কোণ ও তার বিপ্রতীপ কোণের পরিমাপ সমান।

কাজ

১। পাশের চিত্রে নির্দেশিত কোণগুলো পরিমাপ কর।

Figure

লেবেল: A, B, C, D, E, F, O, a, b, c বর্ণনা: $O$ বিন্দুতে পরস্পরছেদী সরলরেখাসমূহ $AB, CD, EF$; যেখানে $\angle AOF = a$, $\angle BOE = b$, এবং $\angle COE = c$ চিহ্নিত রয়েছে।

Printed page 112

উপপাদ্য ১

একটি সরলরেখার একটি বিন্দুতে অপর একটি রশ্মি মিলিত হলে, যে দুইটি সন্নিহিত কোণ উৎপন্ন হয় তাদের সমষ্টি দুই সমকোণ।

মনে করি, $AB$ সরলরেখাটির $O$ বিন্দুতে $OC$ রশ্মির প্রান্তবিন্দু মিলিত হয়েছে। ফলে $\angle AOC$ ও $\angle COB$ দুইটি সন্নিহিত কোণ উৎপন্ন হলো। প্রমাণ করতে হবে যে, $\angle AOC + \angle COB =$ দুই সমকোণ।

Figure

লেবেল: A, O, B, C, D বর্ণনা: $AB$ সরলরেখার $O$ বিন্দুতে $OC$ রশ্মি এবং $DO$ লম্ব অঙ্কিত।

$AB$ রেখার উপর $DO$ লম্ব আঁকি।

$\angle AOC + \angle COB = \angle AOD + \angle DOC + \angle COB$

$= \angle AOD + \angle DOB$

[যেহেতু $\angle DOC + \angle COB = \angle DOB$]

$= ২$ সমকোণ

[যেহেতু $\angle AOD$ ও $\angle DOB$ এর প্রত্যেকে এক সমকোণ।]

[প্রমাণিত]

উপপাদ্য ২

দুইটি সরলরেখা পরস্পর ছেদ করলে, উৎপন্ন বিপ্রতীপ কোণগুলো পরস্পর সমান।

মনে করি, $AB$ ও $CD$ রেখাদ্বয় পরস্পর $O$ বিন্দুতে ছেদ করেছে। ফলে $O$ বিন্দুতে $\angle AOC$, $\angle COB$, $\angle BOD$, $\angle AOD$ কোণ উৎপন্ন হয়েছে। প্রমাণ করতে হবে যে, $\angle AOC =$ বিপ্রতীপ $\angle BOD$ এবং $\angle COB =$ বিপ্রতীপ $\angle AOD$ ।

Figure

লেবেল: A, B, C, D, O বর্ণনা: $AB$ ও $CD$ সরলরেখা পরস্পর $O$ বিন্দুতে ছেদ করেছে।

$OA$ রশ্মির $O$ বিন্দুতে $CD$ রেখা মিলিত হয়েছে।

$\angle AOC + \angle AOD = ১$ সরলকোণ $= ২$ সমকোণ। [উপপাদ্য ১]

আবার, $OD$ রশ্মির $O$ বিন্দুতে $AB$ রেখা মিলিত হয়েছে।

$\therefore \angle AOD + \angle BOD = ১$ সরলকোণ $= ২$ সমকোণ।

[উপপাদ্য ১]

সুতরাং $\angle AOC + \angle AOD = \angle AOD + \angle BOD$

$\therefore \angle AOC = \angle BOD$ [উভয় পক্ষ থেকে $\angle AOD$ বাদ দিয়ে]

অনুরূপে দেখানো যায়, $\angle COB = \angle AOD$ [প্রমাণিত]