Mathematics chapter 7: Practical Geometry

সপ্তম অধ্যায়

ব্যবহারিক জ্যামিতি

আমরা আমাদের চারদিকে নানা আকৃতি ও আকারের জিনিস দেখি। এগুলোর কোনোটি বর্গাকার, কোনোটি আয়তাকার, আবার কোনোটি বৃত্তাকার। এই অধ্যায়ে আমরা এ সকল জিনিসের চিত্র আঁকতে শিখব।

এই অধ্যায় শেষে শিক্ষার্থীরা –

• একটি নির্দিষ্ট রেখাংশকে পরিমাপ করতে পারবে।
• প্রদত্ত তথ্য ব্যবহার করে রেখাংশ অঙ্কন করতে পারবে।
• বিভিন্ন মাপের কোণের চিত্র অঙ্কন করতে পারবে।

৭·১ রেখা

আমরা জ্যামিতিক অঙ্কনের জন্য কিছু যন্ত্র ব্যবহার করব। অঙ্কন কাজে সাধারণত নিচের যন্ত্রগুলো থাকে :

Printed page 125

Printed page 126

জ্যামিতিক চিত্র আঁকার সময় লক্ষ্য রাখবে : সরলরেখা সূক্ষ্মভাবে আঁকবে এবং বিন্দুসমূহ চিহ্নিত করবে। যন্ত্রের অগ্রভাগ যেন তীক্ষ্ণ এবং ধারগুলো মসৃণ থাকে। বাক্সে দুইটি সুচালো ধারযুক্ত পেন্সিল থাকবে, একটি পেন্সিল কম্পাসে এবং অন্যটি সাধারণ অঙ্কনের জন্য।

সম্পাদ্য ১ । নির্দিষ্ট দৈর্ঘ্যের রেখাংশ আঁকতে হবে।

মনে করি, আমাদের $4.7$ সেন্টিমিটার দৈর্ঘ্যের রেখাংশ আঁকতে হবে। রুলারের সাহায্যে $4.7$ সে.মি. দূরে দুইটি বিন্দু $A$ ও $B$ চিহ্নিত করি এবং সংযোগ রেখা আঁকি। নিচের ধাপগুলো অনুসরণ করে রুলারের ও কম্পাসের সাহায্যে নিখুঁতভাবে রেখাংশ আঁকা যায়।

১. একটি রেখাংশ আঁকি। এর উপর একটি বিন্দু $A$ নিই। ২. কাঁটা কম্পাসের একটি অগ্রভাগ রুলারের $0$ দাগে স্থাপন করি এবং প্রয়োজন মতো ফাঁক করে অপর কাঁটার অগ্রভাগ $4.7$ সে.মি. দাগে বসাই। ৩. কাঁটা কম্পাসটি সাবধানে তুলে নিয়ে $A$ বিন্দুতে বসিয়ে রেখাংশ বরাবর অপর কাঁটা দ্বারা $B$ বিন্দুকে চিহ্নিত করি। ৪. $AB$ রেখাংশের দৈর্ঘ্য $4.7$ সে.মি.।

Figure

লেবেল: 0, 1, 2, 3, 4, 4.7, 5, 4.7, A, B বর্ণনা: উপরে একটি রুলারের উপর কাঁটা কম্পাস স্থাপন করে 0 দাগ থেকে 4.7 দাগ পর্যন্ত দূরত্ব নেওয়া দেখানো হয়েছে। নিচে একটি সরলরেখায় A ও B বিন্দু চিহ্নিত করে 4.7 দৈর্ঘ্যের রেখাংশ দেখানো হয়েছে।

সম্পাদ্য ২ । প্রদত্ত রেখাংশের সমান করে রেখাংশ আঁকতে হবে।

রুলারের সাহায্যে : মনে করি $AB$ একটি রেখাংশ। $AB$ রেখাংশের সমান একটি রেখাংশ আঁকতে হবে। একটি সহজ পন্থা হলো রুলারের সাহায্যে $AB$ রেখাংশের দৈর্ঘ্য মাপা এবং পূর্বের ন্যায় নতুন রেখাংশ $CD$ আঁকা। এ পদ্ধতিতে সর্বদা সঠিক ফল পাওয়া যায় না।

রুলার ও কম্পাসের সাহায্যে – নিচের ধাপগুলো অনুসরণ করি : ১. $AB$ রেখাংশ আঁকি (সুবিধামতো দৈর্ঘ্য নিয়ে)। ২. পেন্সিল কম্পাসের কাঁটার দিক $A$ বিন্দুতে এবং পেন্সিলের দিক $B$ বিন্দুতে বসাই।

Figure

লেবেল: A, B বর্ণনা: রেখাংশ AB-এর দৈর্ঘ্য বরাবর একটি পেন্সিল কম্পাস স্থাপন করা হয়েছে, যার কাঁটা A বিন্দুতে এবং পেন্সিল B বিন্দুতে অবস্থিত।

Printed page 127

৩. যেকোনো রশ্মি $CE$ নিই। $C$ কে কেন্দ্র করে কম্পাসের সাহায্যে $AB$ রেখাংশের সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্তচাপ আঁকি। বৃত্তচাপটি $CE$ কে $D$ বিন্দুতে ছেদ করে। $CD$ রেখাংশই $AB$ রেখাংশের সমান।

Figure

লেবেল: C, E, C, D, E বর্ণনা: ডানে একটি রশ্মি CE-এর প্রারম্ভিক বিন্দু C-তে কম্পাস বসানো হয়েছে। বাঁয়ে C বিন্দুকে কেন্দ্র করে বৃত্তচাপ এঁকে CE রশ্মিকে D বিন্দুতে ছেদ করা দেখানো হয়েছে, ফলে CD রেখাংশ নির্দিষ্ট হয়।

কাজ : ১। রুলারের সাহায্যে $7$ সে.মি. একটি রেখাংশ আঁক। এবার রুলার ও কম্পাসের সাহায্যে এই রেখাংশের সমান একটি রেখাংশ আঁক। অঙ্কিত রেখাংশ $7$ সে.মি. হয়েছে কিনা যাচাই কর।

সম্পাদ্য ৩ । একটি নির্দিষ্ট রেখাংশকে সমদ্বিখণ্ডিত করতে হবে।

মনে করি, $AB$ একটি নির্দিষ্ট রেখাংশ। একে সমদ্বিখণ্ডিত করতে হবে।

নিচের ধাপগুলো অনুসরণ করি :

১. $AB$ রেখাংশ আঁকি।

Figure

লেবেল: A, B বর্ণনা: একটি রেখাংশ AB যার দুই প্রান্তে A ও B বিন্দু চিহ্নিত।

২. $A$ কে কেন্দ্র করে $AB$ এর অর্ধেকের বেশি ব্যাসার্ধ নিয়ে $AB$ এর দুই পাশে দুইটি বৃত্তচাপ আঁকি।

Figure

লেবেল: A, B বর্ণনা: রেখাংশ AB-এর A বিন্দুতে কম্পাস বসিয়ে AB-এর অর্ধেকের বেশি ব্যাসার্ধ নিয়ে উপরে বৃত্তচাপ আঁকা হচ্ছে।

৩. $B$ কে কেন্দ্র করে একই ব্যাসার্ধ নিয়ে $AB$ এর উভয় পাশে দুইটি বৃত্তচাপ আঁকি। বৃত্তচাপগুলো পরস্পরকে $C$ ও $D$ বিন্দুতে ছেদ করেছে।

৪. $C$ ও $D$ যোগ করি। $CD$ রেখাংশ $AB$ রেখাংশকে $O$ বিন্দুতে ছেদ করে। $AB$ রেখাংশ $O$ বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত হয়েছে।

Figure

লেবেল: A, B, C, D, O বর্ণনা: রেখাংশ AB-এর উভয় পাশে A ও B বিন্দুকে কেন্দ্র করে আঁকা বৃত্তচাপগুলো ওপরে D বিন্দুতে এবং নিচে C বিন্দুতে পরস্পরকে ছেদ করেছে। C ও D বিন্দু সংযোগকারী ড্যাশড রেখাংশ CD রেখাংশ AB-কে O বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত করেছে।

Printed page 128

কাজ ১ । রুলারের সাহায্যে $7$ সে.মি. একটি রেখাংশ আঁক । রুলার ও কম্পাসের সাহায্যে এই রেখাংশকে সমদ্বিখণ্ডিত কর । দ্বিখণ্ডিত রেখাংশ দুইটি মেপে দেখ তারা সমান হয়েছে কিনা । ২ । রুলারের সাহায্যে $8$ সে.মি. একটি রেখাংশ আঁক । রুলার ও কম্পাসের সাহায্যে এই রেখাংশকে সমান চার ভাগে ভাগ কর ।

৭·২ লম্ব

আমরা জেনেছি যে, দুইটি পরস্পরচ্ছেদী সরলরেখা (বা রশ্মি বা রেখাংশ) পরস্পর লম্ব হবে যদি তাদের অন্তর্গত কোণগুলো সমকোণ হয় । তোমার বইয়ের ধার নির্দেশিত রেখাগুলো কোনাতে সমকোণে মিলিত হয়েছে ।

নিজে করি : এক টুকরো কাগজ মাঝ বরাবর ভাঁজ করি । ভাঁজ করা কাগজটি পুনরায় মাঝ বরাবর ভাঁজ করি । এবার কাগজের টুকরা খুলে দেখি ভাঁজ বরাবর দাগগুলো পরস্পর লম্ব ।

সম্পাদ্য ৪ । একটি সরলরেখার নির্দিষ্ট কোনো বিন্দুতে একটি লম্ব আঁকতে হবে ।

পদ্ধতি ১ । (ত্রিকোণী বা সেটস্কোয়ার ও রুলারের সাহায্যে)

নিচের ধাপগুলো অনুসরণ করি–

১ । মনে করি, $AB$ সরলরেখা রেখাটির ওপর একটি বিন্দু $P$ নিই ।

Figure

লেবেল: A, P, B বর্ণনা: একটি সরলরেখা AB-এর নিচে রুলার ধরা হয়েছে এবং রেখাটির ওপর একটি বিন্দু P চিহ্নিত করা হয়েছে।

২ । $AB$ রেখা বরাবর রুলারের একটি ধার স্থাপন করি এবং খাড়াভাবে ধরে রাখি ।

Figure

লেবেল: A, P, B বর্ণনা: সরলরেখা AB বরাবর রাখা রুলারের ওপর একটি ত্রিকোণী বসানো হয়েছে।

৩ । রুলার বরাবর ত্রিকোণীর একটি ধার এমনভাবে বসাই যেন এর সমকোণ সংলগ্ন কৌণিক বিন্দুটি $P$ বিন্দুর সাথে মিলে যায় ।

Figure

লেবেল: A, P, B বর্ণনা: ত্রিকোণীটিকে রুলার বরাবর সরিয়ে তার সমকোণ সংলগ্ন উলম্ব ধারটি P বিন্দুর সাথে মেলানো হয়েছে।

৪ । ত্রিকোণীটি খাড়াভাবে ধরে রেখে $PQ$ রেখাংশ আঁকি । $PQ$ রেখাংশ $AB$ রেখার ওপর লম্ব । $PQ \perp AB$ .

Figure

লেবেল: A, P, B, Q বর্ণনা: AB রেখার ওপর P বিন্দু থেকে খাড়াভাবে আঁকা ড্যাশড রেখাংশ PQ দেখানো হয়েছে, যা AB-এর ওপর লম্ব ($PQ \perp AB$)।

লক্ষ করি : লম্ব বুঝাতে $\perp$ চিহ্নটি ব্যবহার করা হয় ।

Printed page 129

কাজ : ১ । ত্রিকোণী ও রুলারের সাহায্যে রেখাংশের একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে লম্ব আঁক । এবার চাঁদার সাহায্যে যাচাই কর যে লম্ব রেখাটি ৯০ নির্দেশক দাগ বরাবর গিয়েছে ।

পদ্ধতি ২ । (রুলার-কম্পাস পদ্ধতি)

রুলার-কম্পাস পদ্ধতিতে নিচের ধাপগুলো অনুসরণ করে লম্ব আঁকা যায় ।

১ । মনে করি, $P$ একটি সরলরেখার উপর একটি বিন্দু ।

২ । $P$ কে কেন্দ্র করে সুবিধামতো ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্তচাপ আঁকি যা সরলরেখাকে যথাক্রমে $A$ ও $B$ বিন্দুতে ছেদ করে ।

Figure

লেবেল: A, P, B বর্ণনা: সরলরেখার ওপর P বিন্দুকে কেন্দ্র করে কম্পাস দিয়ে একটি অর্ধবৃত্তাকার চাপ আঁকা হয়েছে, যা সরলরেখাটিকে A ও B বিন্দুতে ছেদ করেছে।

৩ । $A$ ও $B$ কে কেন্দ্র করে $AB$ এর অর্ধেকের বেশি ব্যাসার্ধ নিয়ে $AB$ এর একই পাশে দুইটি বৃত্তচাপ আঁকি । বৃত্তচাপদ্বয় পরস্পরকে $Q$ বিন্দুতে ছেদ করে ।

Figure

লেবেল: A, P, B, Q বর্ণনা: A বিন্দুকে কেন্দ্র করে AB-এর অর্ধেকের বেশি ব্যাসার্ধ নিয়ে বৃত্তচাপের উপরে Q বিন্দুর কাছে বৃত্তচাপ আঁকা হচ্ছে।

৪ । $P, Q$ যোগ করি । $PQ$ রেখাংশ $AB$ রেখার উপর P বিন্দুতে লম্ব । $PQ \perp AB$ .

Figure

লেবেল: A, P, B, Q বর্ণনা: সরলরেখা AB-এর ওপর P বিন্দু ও বৃত্তচাপদ্বয়ের ছেদবিন্দু Q যোগ করে উভয় দিকে তীরচিহ্নযুক্ত খাড়া ড্যাশড রেখা টানা হয়েছে, যা P বিন্দুতে AB-এর ওপর লম্ব ($PQ \perp AB$)।

Printed page 130

কাজ : ১ । $6.8$ সে.মি. দৈর্ঘ্যের রেখাংশের মধ্যবিন্দুতে রুলার-কম্পাসের সাহায্যে একটি নির্দিষ্ট লম্ব আঁক । ২ । $AB$ সরলরেখার $C$ বিন্দুতে $CD$ লম্ব আঁক । আবার $AB$ রেখার উপর অন্য একটি বিন্দু $E$ লও । এবার $E$ বিন্দুতে $AB$ রেখার উপর লম্ব আঁক । লম্ব দুইটি দেখতে কেমন?

পদ্ধতি ৩ । রুলার-কম্পাসের দ্বিতীয় পদ্ধতি :

রুলার-কম্পাসের সাহায্যে নিচের ধাপগুলো অনুসরণ করেও লম্ব আঁকা যায় ।

১ । মনে করি, $AB$ একটি সরলরেখা এবং এর উপর $P$ একটি বিন্দু ।

২ । $P$ কে কেন্দ্র করে সুবিধামতো ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্তচাপ আঁকি যা $AB$ কে $C$ বিন্দুতে ছেদ করে ।

Figure

লেবেল: A, P, C, B বর্ণনা: সরলরেখা AB-এর ওপর P বিন্দুতে কম্পাস বসিয়ে আঁকা বৃত্তচাপটি রেখাংশটিকে C বিন্দুতে ছেদ করেছে।

৩ । $C$ কে কেন্দ্র করে ঐ একই ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্তচাপ আঁকি যা আগের বৃত্তচাপকে $D$ বিন্দুতে ছেদ করে । আবার $D$ কে কেন্দ্র করে ঐ একই ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্তচাপ আঁকি যা প্রথমে আঁকা বৃত্তচাপকে $E$ বিন্দুতে ছেদ করে ।

Figure

লেবেল: A, P, C, B, E, D বর্ণনা: C বিন্দু থেকে একই ব্যাসার্ধ নিয়ে বৃত্তচাপের ওপর D বিন্দু এবং D বিন্দু থেকে একই ব্যাসার্ধ নিয়ে E বিন্দু চিহ্নিত করা হয়েছে।

৪ । $E$ ও $D$ কে কেন্দ্র করে ঐ একই ব্যাসার্ধ নিয়ে একই দিকে দুইটি বৃত্তচাপ আঁকি । বৃত্তচাপ দুইটি $Q$ বিন্দুতে ছেদ করে ।

৫ । $Q, P$ যোগ করি । $QP$ রেখাংশ $AB$ রেখার উপর $P$ বিন্দুতে লম্ব । $QP \perp AB$ ।

Figure

লেবেল: A, P, C, B, E, D, Q বর্ণনা: E ও D বিন্দুকে কেন্দ্র করে একই ব্যাসার্ধের বৃত্তচাপদ্বয় পরস্পরকে Q বিন্দুতে ছেদ করেছে। Q ও P যোগ করে লম্ব QP টানা হয়েছে, যা AB-এর ওপর P বিন্দুতে লম্ব ($QP \perp AB$)।

Printed page 131

কাজ : ১ । ৪ সে.মি. দৈর্ঘ্যের রেখাংশের মধ্যবিন্দুতে লম্ব আঁক । ২ । $AB$ সরলরেখার $C$ বিন্দুতে $CD$ লম্ব আঁক । আবার $CD$ রেখার উপর একটি বিন্দু $E$ লও । এবার $E$ বিন্দুতে $CD$ রেখার উপর লম্ব আঁক ।