Mathematics chapter 8: Information and Data

অষ্টম অধ্যায়

তথ্য ও উপাত্ত

আমরা যে পৃথিবীতে বসবাস করছি, তা অসংখ্য তথ্য উপাত্তে ভরপুর। তাই বর্তমান সময়কে তথ্যপ্রযুক্তির যুগ বলা হয়। তথ্যপ্রযুক্তির যুগে বাস করে কীভাবে তথ্যকে ব্যবহার করতে হয় এবং তথ্য ও উপাত্ত থেকে কীভাবে সিদ্ধান্ত নিতে হয় তা জানা প্রত্যেক মানুষের জন্য গুরুত্বপূর্ণ এবং অপরিহার্য। এ সকল দিক বিবেচনা করে এই অধ্যায়ে তথ্য উপাত্তকে সাজিয়ে তা থেকে গুরুত্বপূর্ণ সিদ্ধান্ত নেয়ার জন্য ব্যবহৃত বিভিন্ন পদ্ধতি নিয়ে আলোচনা করা হয়েছে। একই সাথে কিভাবে তথ্য ও উপাত্তকে ব্যবহার করতে হয় সেই দিক নিয়েও আলোচনা করা হয়েছে। এই অধ্যায়ের আলোচিত বিষয়গুলো সম্পর্কে সঠিকভাবে আয়ত্ত করতে পারলে অনেক বাস্তব সমস্যার সমাধান করা সহজ হয়ে যাবে।

অধ্যায় শেষে শিক্ষার্থীরা –

• তথ্য ও উপাত্ত কী তা ব্যাখ্যা করতে পারবে।
• শ্রেণি ব্যবধান না করে অবিন্যস্ত উপাত্তের গড়, মধ্যক ও প্রচুরক নির্ণয় করতে পারবে।
• রেখাচিত্র অঙ্কন করতে পারবে।
• অঙ্কিত রেখাচিত্র বর্ণনা করতে পারবে।

৮·১ তথ্য

তথ্যনির্ভর বিশ্বে প্রতিনিয়ত আমরা বিভিন্ন তথ্যের সম্মুখীন হই এবং এর বহুল ব্যবহার দেখতে পাই। প্রতিদিন শিক্ষক অধ্যয়নরত শিক্ষার্থীদের হাজিরা রাখেন। প্রতি পরীক্ষার শেষে শিক্ষার্থীদের প্রাপ্ত নম্বর সংরক্ষণ করেন এবং এর উপর ভিত্তি করে শিক্ষার্থীদের দুর্বলতা চিহ্নিত করেন। একই সাথে তা দূরীকরণের জন্য প্রয়োজনীয় ব্যবস্থা নেন। এছাড়া আমরা দৈনিক পত্রিকা, রেডিও, টেলিভিশন ইত্যাদি গণমাধ্যম থেকে আবহাওয়া, খেলাধুলা, বাজারদর ইত্যাদি সম্পর্কে বিভিন্ন তথ্য পেয়ে থাকি।

কোনো বিদ্যালয়ের ৬ষ্ঠ শ্রেণির গণিতে ৬০ এর অধিক নম্বর প্রাপ্ত ১০ জন এবং ৬০ এর কম নম্বর প্রাপ্ত ১০ জন শিক্ষার্থীর তথ্য নিচে দেওয়া হলো :

৬০ এর অধিক নম্বর প্রাপ্তদের তালিকা

৬০ এর কম নম্বর প্রাপ্তদের তালিকা

Printed page 138

এই তুলনামূলক তালিকা থেকে শিক্ষার্থীদের কম নম্বর প্রাপ্তির কারণ বিশ্লেষণ করে প্রয়োজন অনুযায়ী পদক্ষেপ গ্রহণ করা যায়। সুতরাং বিভিন্ন বিষয় বা ঘটনার সংখ্যাসূচক তথ্য কীভাবে পাওয়া যায় এবং কীভাবে প্রয়োগ করতে হয় সে সম্বন্ধে পরিষ্কার ধারণা থাকা প্রয়োজন।

তালিকায় যে বেশি নম্বর ও কম নম্বর দেখানো হয়েছে তা হলো সংখ্যাভিত্তিক তথ্য।

তালিকায় যে দুইটি সংখ্যাসূচক তথ্য দেওয়া হয়েছে তার প্রত্যেকটি এক একটি পরিসংখ্যান অর্থাৎ, ছাত্রদের প্রাপ্ত নম্বর ৯০, ৮০, ৭৫, ৭০ একটি পরিসংখ্যান। অনুরূপভাবে, প্রাপ্ত নম্বর ৫০, ৪৫, ৪০, ৩৫ আর একটি পরিসংখ্যান।

উপাত্ত : পরিসংখ্যানে বর্ণিত সংখ্যাসূচক একটি তথ্য প্রাপ্ত বেশি নম্বরসমূহ। এগুলো হলো পরিসংখ্যানের উপাত্ত। অনুরূপভাবে, কম নম্বর প্রাপ্ত তথ্যও পরিসংখ্যানের উপাত্ত। পরিসংখ্যানে বর্ণিত তথ্যসমূহ যেসকল সংখ্যা দ্বারা প্রকাশ ও উপস্থাপন করা হয়, তা হচ্ছে পরিসংখ্যানের উপাত্ত।

তবে একটি মাত্র সংখ্যা দ্বারা প্রকাশিত উপাত্ত পরিসংখ্যান নয়। যেমন, রনির বয়স ৪৫ বছর, পরিসংখ্যান নয়।

৮·২ বিন্যস্ত ও অবিন্যস্ত উপাত্ত

ধরা যাক, কোনো বিদ্যালয়ের ৬ষ্ঠ শ্রেণিতে অধ্যয়নরত ২০ জন শিক্ষার্থীর ওজন (কেজিতে) নিম্নরূপ: ৫০, ৪০, ৪৫, ৪৭, ৫০, ৪২, ৪৪, ৪০, ৫০, ৫৫, ৪৪, ৫৫, ৫০, ৪৫, ৪০, ৪৫, ৪৭, ৫২, ৫৫, ৫৬। এখানে, উপস্থাপিত উপাত্তসমূহ অবিন্যস্তভাবে আছে। এই ধরনের উপাত্তসমূহকে অবিন্যস্ত উপাত্ত বলে। এ রকম অবিন্যস্ত উপাত্ত থেকে চাহিদামাফিক সিদ্ধান্ত নেওয়া খুবই কষ্টসাধ্য। কিন্তু উপাত্তসমূহ যদি মানের অধঃক্রমে বা ঊর্ধ্বক্রমে সাজানো যায় তাহলে প্রয়োজনীয় সিদ্ধান্ত সহজে নেওয়া যায়। সংগৃহীত উপাত্তসমূহ মানের ঊর্ধ্বক্রমে সাজালে হবে ৪০, ৪০, ৪০, ৪২, ৪৪, ৪৪, ৪৫, ৪৫, ৪৫, ৪৭, ৪৭, ৫০, ৫০, ৫০, ৫০, ৫২, ৫৫, ৫৫, ৫৫, ৫৬। এভাবে সাজানো উপাত্তসমূহকে বিন্যস্ত উপাত্ত বলে।

Printed page 139

উদাহরণ ১। ৬ষ্ঠ শ্রেণিতে অধ্যয়নরত শিক্ষার্থীদের মধ্যে সবচেয়ে লম্বা ১০ জনের উচ্চতার (সে.মি.তে) পরিসংখ্যান হলো : ১২৫, ১৩৫, ১৩০, ১৩৮, ১৩৭, ১৪২, ১৪৫, ১৫২, ১৫০, ১৪০।

(ক) উপরে বর্ণিত উপাত্তসমূহ বিন্যস্ত কর।

(খ) বর্ণিত উপাত্তসমূহ সারণিভুক্ত কর।

সমাধান : (ক) প্রদত্ত উপাত্তসমূহ মানের ঊর্ধ্বক্রমে বিন্যস্ত করা হলে হবে ১২৫, ১৩০, ১৩৫, ১৩৭, ১৩৮, ১৪০, ১৪২, ১৪৫, ১৫০, ১৫২।

(খ) সারণি

কাজ : ১। তোমাদের শ্রেণিতে অধ্যয়নরত শিক্ষার্থীদের ২০ জন করে নিয়ে ২/৩টি দল গঠন করে গণিতে প্রাপ্ত নম্বর সংগ্রহ ও বিন্যস্ত কর। ২। বিন্যস্ত উপাত্ত সারণিভুক্ত কর।

Printed page 140

উদাহরণ ২। কোনো একটি ক্রিকেট দলের ৫ জন বোলারের বল করার পরিসংখ্যান সারণিভুক্ত করে নিচে দেখানো হলো :

কাজ : ১। ক্রিকেট খেলার দুইটি স্কোর বোর্ডের নিচের তথ্য সারণিভুক্ত কর :

(ক) ৫ জন বোলারের নাম, ওভার, মেইডেন ওভার, প্রদত্ত রান, উইকেট প্রাপ্তি।

(খ) ৫ জন ব্যাটসম্যানের নাম, রান, বল মোকাবেলা করা, সময়কাল।

২। তোমাদের শ্রেণির যেকোনো ১০ জনের উচ্চতা, ওজন ও গণিতে প্রাপ্ত নম্বরের সংখ্যাভিত্তিক উপাত্ত সংগ্রহ করে বিন্যস্ত কর এবং বিন্যস্ত উপাত্তের সারণিভুক্ত করে দেখাও।

৮·৩ গড় (Mean)

কোনো পরিবারে বছরে ৪২০ কেজি চাল লাগে। প্রতিমাসে যে একই পরিমাণ চাল লাগে তা নয়। কোনো মাসে বেশি, আবার কোনো মাসে কম লাগে। কোন মাসে কতটুকু চাল খরচ হয়েছে তার সঠিক হিসাব জানতে হলে লিখিত হিসাব রাখতে হবে। এটা বেশ বিরক্তিকর। তাই আমরা প্রতিমাসে গড়ে কতটুকু চাল লাগে তার হিসাব জানতে চাই এবং জিজ্ঞেস করি গড়ে কী পরিমাণ চাল প্রয়োজন হয়? এ প্রশ্নের উত্তরে আমরা খুব সহজেই বলতে পারি, ($৪২০ \div ১২ = ৩৫$ কেজি) মাসে গড়ে ৩৫ কেজি চাল লাগে। এখানে আমরা মোট চালের পরিমাণকে বৎসরের মাসের সংখ্যা ১২ দিয়ে ভাগ করে চালের গড় পরিমাণ নির্ণয় করে থাকি। এভাবে আমাদের দৈনন্দিন জীবনে গড়ের ব্যাপক ব্যবহার হয়ে থাকে। যেমন, তোমাদের শ্রেণিতে অধ্যয়নরত সকল শিক্ষার্থী প্রতিদিন স্কুলে আসতে পারে না। উপস্থিতি সংখ্যা কোনো দিন বাড়ে আবার কোনো দিন উপস্থিতির সংখ্যা কমে। তাই আমরা জানতে চাই প্রতিদিন গড়ে কতজন শিক্ষার্থী উপস্থিত হয়? উত্তরে আমরা বলে থাকি, গড়ে ৮০ জন শিক্ষার্থী উপস্থিত হয়।

গড় : সংগৃহীত উপাত্তসমূহের সমষ্টিকে উপাত্তসমূহের সংখ্যা দিয়ে ভাগ করে গড় পাওয়া যায়।

$\text{অর্থাৎ, গড়} = \dfrac{\text{উপাত্তসমূহের সমষ্টি}}{\text{উপাত্তসমূহের সংখ্যা}} \text{ ।}$

Printed page 141

উদাহরণ ৩। ২৫ নম্বরের একটি প্রতিযোগিতামূলক গণিত পরীক্ষায় ১০ জন শিক্ষার্থীর প্রাপ্ত নম্বর ২০, ১৬, ২৪, ১৬, ১৬, ২০, ১৫, ১২, ১৬, ১৫। প্রতিযোগীদের প্রাপ্ত নম্বরের গড় নির্ণয় কর।

সমাধান : প্রাপ্ত নম্বরের গড় $= \dfrac{২০ + ১৬ + ২৪ + ১৬ + ১৬ + ২০ + ১৫ + ১২ + ১৬ + ১৫}{১০}$

$= \dfrac{১৭০}{১০} \text{ বা } ১৭$

নির্ণেয় গড় নম্বর ১৭

এভাবে আমরা বিভিন্নভাবে বিভিন্ন পরিসংখ্যানের গড় ব্যবহার করে থাকি। যেমন, রিশা পরপর ৫ দিন যথাক্রমে ৩ ঘণ্টা, ৪ ঘণ্টা, ৫ ঘণ্টা, ২ ঘণ্টা ও ৬ ঘণ্টা করে পড়ে। সেতু রিশাকে জিজ্ঞেস করে তুমি দিনে কত ঘণ্টা করে পড়? উত্তরে সে তার কোনদিনের পড়ার সময় বলবে? এক্ষেত্রে গড়ে সে প্রতিদিন কত ঘণ্টা করে পড়ে সেটা বলা হবে যুক্তিযুক্ত। তাই সে বলবে প্রতিদিন গড়ে $\dfrac{৩ + ৪ + ৫ + ২ + ৬}{৫}$ ঘণ্টা বা ৪ ঘণ্টা করে পড়ে।

এখানে যে গড় আমরা ব্যবহার করি তা গাণিতিক গড়।

তাই রিশার প্রতিদিন পড়ার গড় $= \dfrac{৩ + ৪ + ৫ + ২ + ৬}{৫} \text{ ঘণ্টা} = \dfrac{২০}{৫} \text{ ঘণ্টা} = ৪ \text{ ঘণ্টা}$

অর্থাৎ, পড়ার সময়ের গাণিতিক গড় ৪ ঘণ্টা।

কাজ ১। তোমাদের শ্রেণির জন্য ১৫টি বই ১৫০০ টাকায় কেনা হয়েছে। প্রতিটি বইয়ের গড় মূল্য কত? ২। তোমাদের শ্রেণির ১০ জন শিক্ষার্থীর উচ্চতার মাপ (সেন্টিমিটারে) নাও ও উচ্চতার গড় নির্ণয় কর।

৮·৪ মধ্যক (Median)

গাণিতিক গড় দেখে সংগৃহীত উপাত্তের বৈশিষ্ট্য সম্বন্ধে নেওয়া সিদ্ধান্ত অনেক সময় বাস্তবতার সাথে মিলে না। যেমন, ৫ জন ছাত্রের প্রাপ্ত নম্বর ৪০, ৪০, ৫০, ৯০, ১০০। এদের গড় নম্বর ৬৪। কিন্তু এ নম্বরের সাথে বাস্তবতার মিল নেই। এসব ক্ষেত্রে মধ্যক ব্যবহার করা হয়। মধ্যক হলো সংগৃহীত উপাত্তের মধ্যম মান। যেমন, প্রদত্ত উপাত্তগুলোর মধ্যক হলো ৫০। প্রদত্ত উপাত্তসমূহ মানের ক্রমানুসারে (ঊর্ধ্বক্রম বা অধঃক্রম) সাজালে যে মান উপাত্তগুলোকে সমান দুইভাগে ভাগ করে তাকে মধ্যক বলে। যেমন, ১০, ৯, ১২, ৬, ১৫, ৭, ৮, ১৪, ১৩ সংখ্যাগুলোর মধ্যক কত? এখানে সংখ্যাগুলোকে মানের

ক্রমানুসারে সাজালে আমরা পাই,

Printed page 142

লক্ষ করলে দেখা যায়, এখানে মোট ৯টি সংখ্যা আছে। এদের মধ্যক ১০ যা ক্রমানুসারে সাজানোর ৫ম পদ।

$\text{অর্থাৎ, মধ্যক } = \dfrac{\text{৯ + ১}}{২} \text{ তম পদ বা ৫ম পদ ।}$

$\therefore \text{ মধ্যক } = \dfrac{\text{সংখ্যাগুলোর সংখ্যা + ১}}{২} \text{ , যদি উপাত্তের সংখ্যা বিজোড় হয় ।}$

সুতরাং উপাত্তের সংখ্যা যদি বিজোড় হয়, তবে মধ্যক হবে ক্রমানুসারে সাজানোর মধ্যম পদ।

এখন, প্রশ্ন হচ্ছে উপাত্তের সংখ্যা যদি জোড় হয় তবে মধ্যক কী হবে ? নিচের উদাহরণ লক্ষ করি :

৬, ৪, ৭, ৮, ৫, ১২, ১০, ১১, ১৪, ১৫ সংখ্যাগুলোর মধ্যক নির্ণয়ের জন্য মানের ক্রমানুসারে সাজালে আমরা পাই ৪, ৫, ৬, ৭, ৮, ১০, ১১, ১২, ১৪, ১৫। এক্ষেত্রে সংখ্যাগুলোকে সমান দুইভাগ করলে আমরা পাই,

প্রত্যেক ভাগে ৫টি করে সংখ্যা আছে। সুতরাং মধ্যক কত ? মধ্যক নির্ণয় করতে হলে আমরা নিচের নিয়মে দুইভাগ করে থাকি :

এখানে মধ্যক হবে ৮ ও ১০ এর গড়।

এখানে, সংখ্যাগুলোর সংখ্যা ১০ যা জোড় সংখ্যা এবং ৫ম ও ৬ষ্ঠ পদের বামে ও ডানে পদগুলোর সংখ্যা সমান।

$\text{সুতরাং, মধ্যক } = \dfrac{\text{৫ম ও ৬ষ্ঠ পদের যোগফল}}{২}$

$\therefore \text{ মধ্যক } = \dfrac{৮ + ১০}{২} = \dfrac{১৮}{২} = ৯ \text{ ।}$

কাজ : ১। তোমাদের শ্রেণির ১১ জন করে নিয়ে দল গঠন কর। নিজ নিজ দলের সদস্যদের বাংলা বিষয়ে শ্রেণি পরীক্ষায় প্রাপ্ত নম্বরের মধ্যক নির্ণয় কর। ২। ১২ জন করে নিয়ে দল কর এবং দলের সদস্যদের উচ্চতা মেপে প্রাপ্ত উপাত্তের মধ্যক নির্ণয় কর।

Printed page 143