Skip to content

Mathematics chapter 1: Rational and Irrational Numbers

মূলদ ও অমূলদ সংখ্যা

  • Mathematics
  • Textbook pages 1-17
  • 1 source
  • 27,703 characters of context

Textbook (verbatim transcription): Rational and Irrational Numbers

Verbatim transcription of the printed NCTB textbook pages.

Contents24
  1. ১·১ বর্গ ও বর্গমূল
  2. ১·২ পূর্ণবর্গ সংখ্যা
  3. বর্গসংখ্যার ধর্ম
  4. লক্ষণীয়-
  5. বর্গমূলের চিহ্ন
  6. মৌলিক গুণনীয়কের সাহায্যে বর্গমূল নির্ণয়
  7. ১·৩ ভাগের সাহায্যে বর্গমূল নির্ণয়
  8. বর্গসংখ্যা ও বর্গমূল সম্বন্ধে উল্লেখ্য বিষয়
  9. বর্গ ও বর্গমূল সংশ্লিষ্ট সমস্যা
  10. অনুশীলনী ১·১
  11. ১·৪ দশমিক ভগ্নাংশের বর্গমূল নির্ণয়
  12. বর্গমূল করার নিয়ম
  13. বর্গমূলের আসন্ন মান নির্ণয়
  14. ১·৫ পূর্ণবর্গ ভগ্নাংশ
  15. ১·৬ ভগ্নাংশের বর্গমূল
  16. ১·৭ মূলদ ও অমূলদ সংখ্যা
  17. ১·৮ সংখ্যারেখায় মূলদ ও অমূলদ সংখ্যাকে প্রকাশ
  18. সংখ্যারেখায় মূলদ সংখ্যা
  19. সংখ্যারেখায় অমূলদ সংখ্যা
  20. অনুশীলনী ১·২
  21. নমুনা প্রশ্ন
  22. বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  23. সৃজনশীল প্রশ্ন
  24. সংক্ষিপ্ত-উত্তর প্রশ্ন

Printed page 1

প্রথম অধ্যায়

মূলদ ও অমূলদ সংখ্যা

বৈচিত্র্যময় প্রকৃতির এই বৈচিত্র্য আমরা গণনা ও সংখ্যার সাহায্যে উপলব্ধি করি। পূর্ববর্তী শ্রেণিতে আমরা স্বাভাবিক সংখ্যা, পূর্ণসংখ্যা ও ভগ্নাংশ সম্পর্কে ধারণা পেয়েছি যা মূলদ সংখ্যা হিসেবে পরিচিত। এ সংখ্যাগুলোকে দুটি পূর্ণসংখ্যার অনুপাতে প্রকাশ করা যায়। সংখ্যাজগতে কিছু সংখ্যা রয়েছে যেগুলো দুটি পূর্ণসংখ্যার অনুপাতে প্রকাশ করা যায় না। এগুলো অমূলদ সংখ্যা নামে পরিচিত। এ অধ্যায়ে আমরা অমূলদ সংখ্যার সাথে পরিচিত হয়ে এদের প্রয়োগ সম্পর্কে আলোচনা করব।

অধ্যায় শেষে শিক্ষার্থীরা—

  • সংখ্যার বর্গ ও বর্গমূল ব্যাখ্যা করতে পারবে;
  • উৎপাদক ও ভাগ প্রক্রিয়ার মাধ্যমে বর্গমূল নির্ণয় করতে পারবে;
  • সংখ্যার বর্গমূল নির্ণয় পদ্ধতিগুলো প্রয়োগ করে বাস্তব জীবনে সমস্যার সমাধান করতে পারবে;
  • মূলদ ও অমূলদ সংখ্যা শনাক্ত করতে পারবে;
  • সংখ্যারেখায় মূলদ ও অমূলদ সংখ্যার অবস্থান দেখাতে পারবে।

১·১ বর্গ ও বর্গমূল

বর্গ একটি আয়ত, যার বাহুগুলো পরস্পর সমান। বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য 'ক' একক হলে বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হবে (ক×ক)(ক \times ক) বর্গ একক বা ক২ক^২ বর্গ একক। বিপরীতভাবে, বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ক২ক^২ বর্গ একক হলে, এর প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য হবে 'ক' একক।

Figure

বর্ণনা: একটি বর্গাকার ক্ষেত্রের মধ্যে ৩টি সারিতে ৩টি করে সমান দূরত্বে সাজানো ৯টি কালো বৃত্তাকার মার্বেল।

চিত্রে, ৯টি মার্বেলকে বর্গাকারে সাজানো হয়েছে। সমান দূরত্বে প্রতিটি সারিতে ৩টি করে ৩টি সারিতে মার্বেল সাজানো আছে এবং মোট মার্বেলের সংখ্যা ৩×৩=৩২=৯৩ \times ৩ = ৩^২ = ৯। এখানে, প্রত্যেক সারিতে মার্বেলের সংখ্যা এবং সারির সংখ্যা সমান। তাই চিত্রটি বর্গাকৃতির হয়েছে। ফলে ৩ এর বর্গ ৯ এবং ৯ এর বর্গমূল ৩।

∴\therefore কোনো সংখ্যাকে সেই সংখ্যা দ্বারা গুণ করলে যে গুণফল পাওয়া যায়, তা ঐ সংখ্যার বর্গ এবং সংখ্যাটি গুণফলের বর্গমূল।

৪=২×২=২২=৪ (২ এর বর্গ ৪)৪ = ২ \times ২ = ২^২ = ৪ \text{ (২ এর বর্গ ৪)} ৪ এর বর্গমূল ২৪ \text{ এর বর্গমূল } ২

Printed page 2

১·২ পূর্ণবর্গ সংখ্যা

নিচের সারণিটি লক্ষ করি :

বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য (মি.)বর্গের ক্ষেত্রফল (মি২\text{মি}^২)
১১×১=১=১২১ \times ১ = ১ = ১^২
২২×২=৪=২২২ \times ২ = ৪ = ২^২
৩৩×৩=৯=৩২৩ \times ৩ = ৯ = ৩^২
৫৫×৫=২৫=৫২৫ \times ৫ = ২৫ = ৫^২
৭৭×৭=৪৯=৭২৭ \times ৭ = ৪৯ = ৭^২
aaa×a=a2a \times a = a^2

১, ৪, ৯, ২৫, ৪৯ সংখ্যাগুলোর বৈশিষ্ট্য হলো যে, এগুলোকে অন্য কোনো পূর্ণসংখ্যার বর্গ হিসেবে প্রকাশ করা যায়। ১, ৪, ৯, ২৫, ৪৯ সংখ্যাগুলো পূর্ণ বর্গসংখ্যা। পূর্ণবর্গ সংখ্যার বর্গমূল একটি স্বাভাবিক সংখ্যা। যেমন: ২১ এর বর্গ ২১২২১^২ বা ৪৪১ একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা এবং ৪৪১ এর বর্গমূল ২১ একটি স্বাভাবিক সংখ্যা।

সাধারণভাবে একটি স্বাভাবিক সংখ্যা mm কে যদি অন্য একটি স্বাভাবিক সংখ্যা nn এর বর্গ (n2n^2) আকারে প্রকাশ করা যায় তবে mm বর্গসংখ্যা। mm কে পূর্ণবর্গসংখ্যা বলা হয়।

বর্গসংখ্যার ধর্ম

নিচের সারণিতে ১ থেকে ২০ সংখ্যার বর্গসংখ্যা দেওয়া হয়েছে। খালি ঘরগুলো পূরণ কর।

সংখ্যাবর্গসংখ্যাসংখ্যাবর্গসংখ্যাসংখ্যাবর্গসংখ্যাসংখ্যাবর্গসংখ্যা
১১৬৩৬১১১২১১৬২৫৬
২৪৭□\square১২□\square১৭২৮৯
৩৯৮৬৪১৩১৬৯১৮৩২৪
৪□\square৯৮১১৪১৯৬১৯৩৬১
৫২৫১০□\square১৫□\square২০□\square

সারণিভুক্ত বর্গসংখ্যাগুলোর এককের ঘরের অঙ্কগুলো ভালোভাবে পর্যবেক্ষণ করি। লক্ষ করি যে, এ সংখ্যাগুলোর একক স্থানীয় অঙ্ক ০, ১, ৪, ৫, ৬ বা ৯। কোনো বর্গসংখ্যার একক স্থানে ২, ৩, ৭, বা ৮ অঙ্কটি নেই।

কাজ ১। কোনো সংখ্যার একক স্থানীয় অংক ০, ১, ৪, ৫, ৬, ৯ হলেই কি সংখ্যাটি বর্গসংখ্যা হবে? ২। নিচের সংখ্যাগুলোর কোনগুলো পূর্ণবর্গ সংখ্যা নির্ণয় কর। ২০৬২, ১০৫৭, ২৩৪৫৩, ৩৩৩৩৩, ১০৬৮, ৩৯৬৯, ১৪১৬১ ৩। পাঁচটি সংখ্যা লেখ যার একক স্থানের অঙ্ক দেখেই তা বর্গসংখ্যা নয় বলে সিদ্ধান্ত নেওয়া যায়।

Printed page 3

এবার সারণি থেকে একক স্থানে ১ রয়েছে এমন বর্গসংখ্যা নিই।

বর্গসংখ্যাসংখ্যা
১১
৮১৯
১২১১১
৩৬১১৯

কোন সংখ্যার একক স্থানীয় অঙ্ক ১ বা ৯ হলে, এর বর্গসংখ্যার একক স্থানীয় অঙ্ক ?\boxed{?} হবে

একইভাবে

বর্গসংখ্যাসংখ্যা
৯৩
৪৯৭
১৬৯১৩

কোন সংখ্যার একক স্থানীয় অঙ্ক ৩ বা ৭ হলে এর বর্গসংখ্যার একক স্থানে ?\boxed{?} হবে

এবং

বর্গসংখ্যাসংখ্যা
১৬৪
৩৬৬
১৯৬১৪
২৫৬১৬

কোন সংখ্যার একক স্থানীয় অঙ্ক ৪ বা ৬ হলে, এর বর্গসংখ্যার একক স্থানে ?\boxed{?} থাকবে

লক্ষণীয়-

  • যে সংখ্যার সর্ব ডানদিকের অঙ্ক অর্থাৎ একক স্থানীয় অঙ্ক ২ বা ৩ বা ৭ বা ৮, তা পূর্ণবর্গ নয়।
  • যে সংখ্যার শেষে বিজোড় সংখ্যক শূন্য (০) থাকে, ঐ সংখ্যা পূর্ণবর্গ নয়।
  • একক স্থানীয় অঙ্ক ১ বা ৪ বা ৫ বা ৬ বা ৯ হলে, ঐ সংখ্যা পূর্ণবর্গ হতে পারে। যেমন: ৮১, ৬৪, ২৫, ৩৬, ৪৯ ইত্যাদি বর্গসংখ্যা।
  • আবার সংখ্যার ডানদিকে জোড়সংখ্যক শূন্য, থাকলে ঐ সংখ্যা পূর্ণবর্গ হতে পারে। যেমন: ১০০, ৪৯০০ ইত্যাদি বর্গসংখ্যা।

কাজ ১। সারণি থেকে বর্গসংখ্যার একক স্থানে ৪ রয়েছে এরূপ সংখ্যার জন্য নিয়ম তৈরি কর। ২। নিচের সংখ্যাগুলোর বর্গসংখ্যার একক স্থানীয় অঙ্কটি কত হবে? ১২৭৩, ১৪২৬, ১৩৬৪৫, ৯৮৭৬৪৭৪, ৯৯৫৪৬০

Printed page 4

নিচে বর্গমূলসহ কয়েকটি পূর্ণ বর্গসংখ্যার তালিকা দেওয়া হলো:

বর্গসংখ্যাবর্গমূলবর্গসংখ্যাবর্গমূলবর্গসংখ্যাবর্গমূল
১১৬৪৮২২৫১৫
৪২৮১৯২৫৬১৬
৯৩১০০১০২৮৯১৭
১৬৪১২১১১৩২৪১৮
২৫৫১৪৪১২৩৬১১৯
৩৬৬১৬৯১৩৪০০২০
৪৯৭১৯৬১৪৪৪১২১

বর্গমূলের চিহ্ন

বর্গমূল প্রকাশের জন্য \sqrt{} চিহ্ন ব্যবহৃত হয়। ২৫ এর বর্গমূল বোঝাতে লেখা হয় ২৫\sqrt{২৫}। আমরা জানি, ৫×৫=২৫৫ \times ৫ = ২৫, কাজেই ২৫ এর বর্গমূল ৫ অর্থাৎ ২৫=৫\sqrt{২৫} = ৫।

কাজ : কয়েকটি বর্গসংখ্যার বর্গমূলের তালিকা তৈরি কর।

মৌলিক গুণনীয়কের সাহায্যে বর্গমূল নির্ণয়

১৬ কে মৌলিক গুণনীয়কে বিশ্লেষণ করে পাই

২ & ১৬ \\ \cline{2-2} ২ & ৮ \\ \cline{2-2} ২ & ৪ \\ \cline{2-2} & ২ \end{array}$$ ১৬ $= ২ \times ২ \times ২ \times ২ = (২ \times ২) \times (২ \times ২)$ প্রতি জোড়া থেকে একটি করে গুণনীয়ক নিয়ে পাই, $২ \times ২ = ৪$ $\therefore$ ১৬ এর বর্গমূল $= \sqrt{১৬} = ৪$ আবার, ৩৬ কে মৌলিক গুণনীয়কে বিশ্লেষণ করে পাই, $$\begin{array}{r|l} ২ & ৩৬ \\ \cline{2-2} ২ & ১৮ \\ \cline{2-2} ৩ & ৯ \\ \cline{2-2} & ৩ \end{array}$$ ৩৬ $= ২ \times ২ \times ৩ \times ৩ = (২ \times ২) \times (৩ \times ৩)$ প্রতি জোড়া থেকে একটি করে গুণনীয়ক নিয়ে পাই, $২ \times ৩ = ৬$ $\therefore$ ৩৬ এর বর্গমূল $= \sqrt{৩৬} = ৬$ **লক্ষ করি :** মৌলিক গুণনীয়কের সাহায্যে কোনো পূর্ণ বর্গসংখ্যার বর্গমূল নির্ণয় করার সময় — - প্রথমে প্রদত্ত সংখ্যাটিকে মৌলিক গুণনীয়কে বিশ্লেষণ করতে হবে। - প্রতি জোড়া এক জাতীয় গুণনীয়ককে একসাথে পাশাপাশি লিখতে হবে। - প্রতি জোড়া এক জাতীয় গুণনীয়কের পরিবর্তে একটি করে গুণনীয়ক নিয়ে গুণ আকারে লিখতে হবে। - প্রাপ্ত গুণনীয়কগুলোর ধারাবাহিক গুণফল হবে নির্ণেয় বর্গমূল। <zn-page n="5"></zn-page> **উদাহরণ ১।** মৌলিক গুণনীয়কের সাহায্যে ৩১৩৬ এর বর্গমূল নির্ণয় করো। **সমাধান :** $$\begin{array}{r|l} ২ & ৩১৩৬ \\ \cline{2-2} ২ & ১৫৬৮ \\ \cline{2-2} ২ & ৭৮৪ \\ \cline{2-2} ২ & ৩৯২ \\ \cline{2-2} ২ & ১৯৬ \\ \cline{2-2} ২ & ৯৮ \\ \cline{2-2} ৭ & ৪৯ \\ \cline{2-2} & ৭ \end{array}$$ এখানে, ৩১৩৬ $= ২ \times ২ \times ২ \times ২ \times ২ \times ২ \times ৭ \times ৭$ $= (২ \times ২) \times (২ \times ২) \times (২ \times ২) \times (৭ \times ৭)$ $\therefore$ ৩১৩৬ এর বর্গমূল $= \sqrt{৩১৩৬} = ২ \times ২ \times ২ \times ৭ = ৫৬$ **কাজ :** গুণনীয়কের সাহায্যে ১০২৪ এবং ১৮৪৯ এর বর্গমূল নির্ণয় করো।

১·৩ ভাগের সাহায্যে বর্গমূল নির্ণয়

একটি উদাহরণ দিয়ে ভাগের সাহায্যে বর্গমূল নির্ণয়ের পদ্ধতি দেখানো হলো :
উদাহরণ ২। ভাগের সাহায্যে ২৩০৪ এর বর্গমূল নির্ণয় করো :
সমাধান :

(১) ২৩০৪ সংখ্যাটি লিখি
২৩ ০৪২৩ \ ০৪

(২) ডানদিক থেকে দুটি করে অঙ্ক নিয়ে জোড়া করি।
প্রত্যেক জোড়ার উপর রেখাচিহ্ন দিই :
২৩‾ ০৪‾\overline{২৩} \ \overline{০৪}

(৩) ভাগের সময় যেমন খাড়া দাগ দেওয়া হয়,
ডানপাশে তদ্রূপ একটি খাড়া দাগ দিই :
২৩‾ ০৪‾∣\overline{২৩} \ \overline{০৪} \mid

(৪) বামদিক থেকে প্রথম জোড়াটি ২৩। এর পূর্ববর্তী বর্গসংখ্যাটি ১৬,
যার বর্গমূল ১৬\sqrt{১৬} বা ৪; খাড়া দাগের ডানপাশে ৪ লিখি।
এখন ২৩ এর ঠিক নিচে ১৬ লিখি :

\overline{২৩} \ \overline{০৪} & ৪ \\ ১৬ & \end{array}$$ (৫) এখন ২৩ থেকে ১৬ বিয়োগ করি : $$\begin{array}{l|l} \overline{২৩} \ \overline{০৪} & ৪ \\ ১৬ & \\ \hline \phantom{০}৭ & \end{array}$$ (৬) বিয়োগফল ৭ এর ডানে পরবর্তী জোড়া ০৪ বসাই। ৭০৪ এর বামদিকে খাড়া দাগ (ভাগের চিহ্ন) দিই : $$\begin{array}{r|l|l} & \overline{২৩} \ \overline{০৪} & ৪ \\ & ১৬ & \\ \hline \mid & \phantom{০}৭ \ ০৪ & \end{array}$$ <zn-page n="6"></zn-page> (৭) ভাগফলের ঘরের সংখ্যা ৪ এর দ্বিগুণ $৪ \times ২$ বা ৮ নিচের খাড়া দাগের বামপাশে বসাই। ৮ এবং খাড়া দাগের মধ্যে একটি অঙ্ক বসানোর মতো স্থান রাখি : $$\begin{array}{r|l|l} & \overline{২৩} \ \overline{০৪} & ৪ \\ & ১৬ & \\ \hline ৮ & \phantom{০}৭০৪ & \end{array}$$ (৮) এখন একটি এক অঙ্কের সংখ্যা খুঁজে বের করি যাকে ৮ এর ডানপাশে বসিয়ে প্রাপ্ত সংখ্যাকে ঐ সংখ্যাটি দ্বারা গুণ করে ৭০৪ এর সমান বা অনূর্ধ্ব ৭০৪ পাওয়া যায়। এক্ষেত্রে ৮ হবে। ৮ সংখ্যাটি ভাগফলেও ৪ এর ডানপাশে বসাই। $$\begin{array}{r|l|l} & \overline{২৩} \ \overline{০৪} & ৪৮ \\ & ১৬ & \\ \hline ৮৮ & \phantom{০}৭০৪ & \\ & \phantom{০}৭০৪ & \\ \hline & \phantom{৭০৪}০ & \end{array}$$ (৯) ভাগফলের স্থানে পাওয়া গেল ৪৮। এটিই নির্ণেয় বর্গমূল। $\therefore \sqrt{২৩০৪} = ৪৮$ লক্ষণীয় যে, ভাগের সাহায্যে বর্গমূল নির্ণয় করার সময় সংখ্যার ডান দিক থেকে জোড় করতে গিয়ে শেষ অঙ্কের জোড় না থাকলে, একে জোড়া ছাড়াই গণ্য করতে হবে। **উদাহরণ ৩।** ভাগের সাহায্যে ৩১৬৮৪ এর বর্গমূল নির্ণয় করো। **সমাধান :** $$\begin{array}{r|l|l} & ৩ \ \overline{১৬} \ \overline{৮৪} & ১৭৮ \\ & ১ & \\ \hline ২৭ & ২ ১৬ & \\ & ১৮৯ & \\ \hline ৩৪৮ & \phantom{০}২৭৮৪ & \\ & \phantom{০}২৭৮৪ & \\ \hline & \phantom{২৭৮৪}০ & \end{array}$$ $\therefore ৩১৬৮৪$ এর বর্গমূল $= \sqrt{৩১৬৮৪} = ১৭৮$ নির্ণেয় বর্গমূল ১৭৮। **কাজ : ১।** ভাগের সাহায্যে ১৪৪৪ এবং ১০৪০৪ এর বর্গমূল নির্ণয় কর। **২।** ৫২৯, ৩৯২৫, ৫০৪১ এবং ৪৪৮৯ সংখ্যাগুলোর বর্গমূল সংখ্যার একক স্থানীয় অঙ্ক নির্ণয় করো।

Loading the rest of the chapter…

Textbook content © National Curriculum and Textbook Board (NCTB), Bangladesh. Shown for study.

Trusted resources

Official links checked by the Zntext team. Part of the context pack.