Mathematics chapter 2: Proportion, Profit and Loss

দ্বিতীয় অধ্যায়

সমানুপাত ও লাভ-ক্ষতি

আমরা প্রতিদিন এমন অনেক সমস্যার মুখোমুখি হই, যেগুলো অনুপাত ও সমানুপাতের ধারণা ব্যবহার করে সহজেই সমাধান করা যায়। তাই শিক্ষার্থীদের অনুপাত ও সমানুপাতের ধারণা ও এর প্রয়োগের দক্ষতা অর্জন করা দরকার। একইভাবে, আমাদের দৈনন্দিন জীবনে অনেকখানি জায়গা জুড়ে আছে লেনদেন আর যার সাথে জড়িত লাভ-ক্ষতি। এ কারণে লাভ-ক্ষতি সম্পর্কে শিক্ষার্থীদের পরিষ্কার ধারণা থাকা প্রয়োজন। তাই এ অধ্যায়ে অনুপাত-সমানুপাত ও লাভ-ক্ষতি সম্পর্কিত বিষয় আলোচনা করা হয়েছে।

অধ্যায় শেষে শিক্ষার্থীরা –

• বহুরাশিক ও ধারাবাহিক অনুপাত ব্যাখ্যা করতে পারবে;
• সমানুপাতের ধারণা ব্যাখ্যা করতে পারবে;
• সমানুপাত সংক্রান্ত সমস্যা সমাধান করতে পারবে;
• লাভ-ক্ষতি কী তা ব্যাখ্যা করতে পারবে;
• লাভ-ক্ষতি সংক্রান্ত সমস্যার সমাধান করতে পারবে;
• কর, ভ্যাট, কমিশন ও মুদ্রাবিনিময় সংক্রান্ত দৈনন্দিন জীবনের সমস্যা সমাধান করতে পারবে;
• ঐকিক ও অনুপাত ব্যবহার করে বাস্তব জীবনে সময় ও কাজ, নল ও চৌবাচ্চা, সময় ও দূরত্ব এবং নৌকা ও স্রোত বিষয়ক সমস্যা সমাধান করতে পারবে।

২·১ বহুরাশিক অনুপাত ও ধারাবাহিক অনুপাত

বহুরাশিক অনুপাত : মনে করি, একটি বাক্সের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে ৮ সে.মি., ৫ সে.মি. ও ৬ সে.মি. দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতার অনুপাত = ৮ : ৫ : ৬ সংক্ষেপে, দৈর্ঘ্য : প্রস্থ : উচ্চতা = ৮ : ৫ : ৬ এখানে তিনটি রাশির অনুপাত উপস্থাপন করা হয়েছে। এরূপ তিন বা ততোধিক রাশির অনুপাতকে বহুরাশিক অনুপাত বলে।

ধারাবাহিক অনুপাত : মনে করি, পুত্র ও পিতার বয়সের অনুপাত = ১৫ : ৪১ (পূর্ব রাশি: উত্তর রাশি) এবং পিতা ও দাদার বয়সের অনুপাত = ৪১ : ৬৫ দুটি অনুপাতকে একত্র করে পাই, পুত্রের বয়স : পিতার বয়স : দাদার বয়স = ১৫ : ৪১ : ৬৫ । এ ধরনের অনুপাতকে ধারাবাহিক অনুপাত বলে। এখানে লক্ষণীয় যে, প্রথম অনুপাতের উত্তর রাশি ও দ্বিতীয় অনুপাতের পূর্ব রাশি সমান। প্রথম অনুপাতের উত্তর রাশি ও দ্বিতীয় অনুপাতের পূর্ব রাশি সমান না হলে তাদেরকে সমান করে ধারাবাহিক অনুপাত বের করতে হয়।

দুটি অনুপাতকে ধারাবাহিক অনুপাতে রূপান্তরের জন্য প্রথম অনুপাতের উত্তর রাশি দ্বারা দ্বিতীয় অনুপাতের উভয় রাশিকে গুণ করতে হবে এবং দ্বিতীয় অনুপাতের পূর্ব রাশি দ্বারা প্রথম অনুপাতের উভয় রাশিকে গুণ করতে হবে।

Printed page 19

উদাহরণ ১। ৭ : ৫ এবং ৮ : ৯ দুটি অনুপাত। এদেরকে ধারাবাহিক অনুপাতে প্রকাশ কর।

সমাধান :

$\therefore$ অনুপাত দুটির ধারাবাহিক অনুপাত ৫৬ : ৪০ : ৪৫

কাজ :
নিচের অনুপাতগুলোকে ধারাবাহিক অনুপাতে প্রকাশ করো।
১। ১২ : ১৭ এবং ৫ : ১২    ৪। ৫ : ৮ এবং ১২ : ১৭
২। ২৩ : ১১ এবং ৭ : ১৩
৩। ১৯ : ২৫ এবং ৯ : ১৭

২·২ সমানুপাত

মনে করি, সোহাগ কোনো দোকান থেকে ১০ টাকা দিয়ে একটি চিপসের প্যাকেট এবং ২৫ টাকা দিয়ে ১ কেজি লবণ কিনল। এখানে লবণ ও চিপস্ এর দামের অনুপাত = ২৫ : ১০ বা ৫ : ২।

আবার, সোহাগদের শ্রেণিতে শিক্ষার্থীর সংখ্যা ৭০। এদের মধ্যে ছাত্র ৫০জন এবং ছাত্রী ২০জন। এখানে ছাত্র ও ছাত্রীসংখ্যার অনুপাত = ৫০ : ২০ বা ৫ : ২। উভয়ক্ষেত্রে অনুপাত দুটি সমান।

অতএব, আমরা বলতে পারি, ২৫ : ১০ = ৫০ : ২০। এই অনুপাতে ৪টি রাশি আছে। এই ৪টি রাশি একটি সমানুপাত তৈরি করেছে।

এর মধ্যে ১ম রাশি ২৫, ২য় রাশি ১০, ৩য় রাশি ৫০ এবং ৪র্থ রাশি ২০ হিসেবে বিবেচনা করলে আমরা লিখতে পারি,

১ম রাশি : ২য় রাশি = ৩য় রাশি : ৪র্থ রাশি

চারটি রাশির ১ম ও ২য় রাশির অনুপাত এবং ৩য় ও ৪র্থ রাশির অনুপাত পরস্পর সমান হলে, রাশি চারটি একটি সমানুপাত তৈরি করে। সমানুপাতের প্রত্যেক রাশিকে সমানুপাতী বলে।

Printed page 20

সমানুপাতের ১ম ও ২য় রাশি সমজাতীয় এবং ৩য় ও ৪র্থ রাশি সমজাতীয় হবে।
অর্থাৎ ৪ টি রাশি সমজাতীয় হওয়ার প্রয়োজন নেই। প্রত্যেক অনুপাতের রাশি দুইটি সমজাতীয় হলেই সমানুপাত তৈরি হয়।

সমানুপাতের ১ম ও ৪র্থ রাশিকে প্রান্তীয় রাশি এবং ২য় ও ৩য় রাশিকে মধ্য রাশি বলে। সমানুপাতে ‘=’ চিহ্নের পরিবর্তে ‘::’ চিহ্নও ব্যবহার করা হয়। অতএব আমরা লিখতে পারি, ২৫ : ১০ :: ৫০ : ২০ ।

Figure

লেবেল: প্রান্তিয় রাশি, মধ্য রাশি বর্ণনা: ২৫ : ১০ :: ৫০ : ২০ এর ওপরে চারটি রাশির প্রতিটির দিকে উপরের দিকে তীরচিহ্ন; ডানদিকে একটি তীর 'প্রান্তিয় রাশি' নির্দেশ করে; নিচে বন্ধনী দিয়ে ১০ ও ৫০ এর নিচে তীরচিহ্ন দিয়ে 'মধ্য রাশি' নির্দেশ করা হয়েছে।

আবার, ১ম রাশি : ২য় রাশি = ৩য় রাশি : ৪র্থ রাশি

$\text{বা, } \dfrac{\text{১ম রাশি}}{\text{২য় রাশি}} = \dfrac{\text{৩য় রাশি}}{\text{৪র্থ রাশি}} \quad \text{বা, ১ম রাশি} \times \text{৪র্থ রাশি} = \text{২য় রাশি} \times \text{৩য় রাশি}$

ত্রৈরাশিক

আমরা জানি, ১ম রাশি $\times$ ৪র্থ রাশি = ২য় রাশি $\times$ ৩য় রাশি
মনে করি,   ১ম, ২য় ও ৩য় রাশি যথাক্রমে ৯, ১৮, ২০।
   তবে,   ৯ $\times$ ৪র্থ রাশি = ১৮ $\times$ ২০
$\therefore \quad \text{৪র্থ রাশি} = \dfrac{\cancel{১৮}^২ \times ২০}{\cancel{৯}_১} = ৪০$
$\therefore \quad$ ৪র্থ রাশি $= ৪০$

এভাবে সমানুপাতের তিনটি রাশি জানা থাকলে ৪র্থ রাশি নির্ণয় করা যায়। এই ৪র্থ রাশি নির্ণয় করার পদ্ধতিকে ত্রৈরাশিক বলে।

লক্ষ করি,

• সমানুপাতের ১ম ও ৪র্থ রাশিকে প্রান্তীয় রাশি বলে ।
• সমানুপাতের ২য় ও ৩য় রাশিকে মধ্য রাশি বলে ।

উদাহরণ ২। ৩, ৬, ৭ এর ৪র্থ সমানুপাতী নির্ণয় কর।

সমাধান : এখানে ১ম রাশি ৩, ২য় রাশি ৬, ৩য় রাশি ৭
আমরা জানি, ১ম রাশি $\times$ ৪র্থ রাশি = ২য় রাশি $\times$ ৩য় রাশি
   ৩ $\times$ ৪র্থ রাশি = ৬ $\times$ ৭
$\text{বা, ৪র্থ রাশি } = \dfrac{\cancel{৬}^২ \times ৭}{\cancel{৩}_১} \quad \text{বা, } ১৪$

নির্ণেয় ৪র্থ সমানুপাতী ১৪

Printed page 21

উদাহরণ ৩। ৮, ৭ এবং ১৪ এর ৩য় রাশি নির্ণয় কর।

সমাধান : এখানে ১ম রাশি ৮, ২য় রাশি ৭ এবং ৪র্থ রাশি ১৪
আমরা জানি,   ১ম রাশি $\times$ ৪র্থ রাশি = ২য় রাশি $\times$ ৩য় রাশি
বা,    ৮ $\times$ ১৪ = ৭ $\times$ ৩য় রাশি

$\therefore \quad \text{৩য় রাশি} = \dfrac{৮ \times \cancel{১৪}^২}{\cancel{৭}_১}$
$= ১৬$

কাজ :
নিচের খালি ঘর পূরণ করো।
(ক) [   ] : ৯ :: ১৬ : ৮
(খ) ৯ : ১৮ :: ২৫ : [   ]

ক্রমিক সমানুপাত

মনে করি, ৫ টাকা, ১০ টাকা ও ২০ টাকা এই তিনটি রাশি দ্বারা ৫ : ১০ এবং ১০ : ২০ এই দুটি অনুপাত নেওয়া হলো। এখানে, ৫ : ১০ :: ১০ : ২০। এ ধরনের সমানুপাতকে ক্রমিক সমানুপাত বলে। ৫ টাকা, ১০ টাকা ও ২০ টাকাকে ক্রমিক সমানুপাতী বলে।

তিনটি রাশির ১ম ও ২য় রাশির অনুপাত এবং ২য় ও ৩য় রাশির অনুপাত পরস্পর সমান হলে, সমানুপাতটিকে ক্রমিক সমানুপাত বলে। রাশি তিনটিকে ক্রমিক সমানুপাতী বলে।

ক : খ :: খ : গ সমানুপাতটির তিনটি রাশি ক, খ, গ ক্রমিক সমানুপাতী হলে, $\dfrac{\text{ক}}{\text{খ}} = \dfrac{\text{খ}}{\text{গ}}$ বা $\text{ক} \times \text{গ} = (\text{খ})^২$ হবে।

অর্থাৎ, ১ম ও ৩য় রাশির গুণফল দ্বিতীয় রাশির বর্গের সমান।
লক্ষ করি :

• ২য় রাশিকে ১ম ও ৩য় রাশির মধ্য সমানুপাতী বা মধ্য রাশি বলে।
• ক্রমিক সমানুপাতের তিনটি রাশিই সমজাতীয়।

উদাহরণ ৪। একটি ক্রমিক সমানুপাতের ১ম ও ৩য় রাশি যথাক্রমে ৪ ও ১৬ হলে, মধ্য সমানুপাতী ও ক্রমিক সমানুপাত নির্ণয় কর।

সমাধান : আমরা জানি, ১ম রাশি $\times$ ৩য় রাশি = $(\text{২য় রাশি})^২$
এখানে, ১ম রাশি $= ৪$ এবং ৩য় রাশি $= ১৬$
$\therefore \quad ৪ \times ১৬ = (\text{মধ্য রাশি})^২$
অথবা,   $(\text{মধ্য রাশি})^২ = ৬৪$
$\therefore \quad \text{মধ্য রাশি} = \sqrt{৬৪} = ৮$
নির্ণেয় ক্রমিক সমানুপাত ৪ : ৮ :: ৮ : ১৬ এবং নির্ণেয় মধ্য সমানুপাতী ৮

Printed page 22

উদাহরণ ৫। ৫টি খাতার দাম ২০০ টাকা হলে, ৭টি খাতার দাম কত?

সমাধান : এখানে খাতার সংখ্যা বাড়লে দামও বাড়বে।
অর্থাৎ, খাতার সংখ্যার অনুপাত = খাতার দামের অনুপাত
   ৫ : ৭ = ২০০ টাকা : ৭টি খাতার দাম

$\text{বা, } \dfrac{৫}{৭} = \dfrac{\text{২০০ টাকা}}{\text{৭টি খাতার দাম}}$

$\text{বা, ৭টি খাতার দাম} = \dfrac{৭ \times \cancel{২০০}^{৪০}\text{ টাকা}}{\cancel{৫}_১} = ২৮০ \text{ টাকা।}$

উদাহরণ ৬। ১২জন লোক একটি কাজ ৯ দিনে করতে পারে। একই হারে কাজ করলে ১৮জনে কাজটি কত দিনে করতে পারবে?

সমাধান : লক্ষ করি, লোকসংখ্যা বাড়লে সময় কম লাগবে, আবার লোকসংখ্যা কমলে সময় বেশি লাগবে। লোকসংখ্যার সরল অনুপাত সময়ের ব্যস্ত অনুপাতের সমান হবে।

   ১২ : ১৮ = নির্ণেয় সময় : ৯ দিন

$\text{বা, } \dfrac{\cancel{১২}^২}{\cancel{১৮}_৩} = \dfrac{\text{নির্ণেয় সময়}}{\text{৯ দিন}}$

$\text{বা, নির্ণেয় সময় } = \dfrac{২ \times \cancel{৯}^৩}{\cancel{৩}_১} \text{ দিন} = ৬ \text{ দিন}$

সমানুপাতিক ভাগ

মনে করি, ৫০০ টাকা ৩ : ২ অনুপাতে বণ্টন করতে হবে।
এখানে ৩ : ২ অনুপাতের পূর্বরাশি ও উত্তর রাশির যোগফল = ৩+২ = ৫

$\therefore \quad \text{১ম ভাগ} = ৫০০ \text{ টাকার } \dfrac{৩}{৫} \text{ অংশ} = ৩০০ \text{ টাকা}$

$\text{এবং ২য় ভাগ} = ৫০০ \text{ টাকার } \dfrac{২}{৫} \text{ অংশ} = ২০০ \text{ টাকা।}$

অতএব,   একটি অংশের পরিমাণ = প্রদত্ত রাশি $\times \dfrac{\text{ঐ অংশের আনুপাতিক সংখ্যা}}{\text{অনুপাতের পূর্ব ও উত্তর রাশির যোগফল}}$

এভাবে উপরের পদ্ধতিতে একটি রাশিকে বিভিন্ন ভাগে বিভক্ত করা যায়।

একটি প্রদত্ত রাশিকে একাধিক নির্দিষ্ট সংখ্যার অনুপাতে বিভক্ত করাকে সমানুপাতিক ভাগ বলে।

Printed page 23

উদাহরণ ৭। ২০ মিটার কাপড়কে তিন ভাইবোন আরিফ, আসিফ ও সাফার মধ্যে ৫ : ৩ : ২ অনুপাতে ভাগ করলে প্রত্যেকের কাপড়ের পরিমাণ কত?

সমাধান : কাপড়ের পরিমাণ = ২০ মিটার
   প্রদত্ত অনুপাত = ৫ : ৩ : ২
   অনুপাতের সংখ্যাগুলোর যোগফল = ৫ + ৩ + ২ = ১০

$\therefore \quad \text{আরিফের অংশ} = ২০ \text{ মিটারের } \dfrac{৫}{১০} \text{ অংশ} = ১০ \text{ মিটার}$
$\text{আসিফের অংশ} = ২০ \text{ মিটারের } \dfrac{৩}{১০} \text{ অংশ} = ৬ \text{ মিটার}$
$\text{এবং সাফার অংশ} = ২০ \text{ মিটারের } \dfrac{২}{১০} \text{ অংশ} = 8 \text{ মিটার}$

আরিফ, আসিফ ও সাফার কাপড়ের পরিমাণ যথাক্রমে ১০ মিটার, ৬ মিটার ও 8 মিটার।

কাজ
১। ক : খ = ৪ : ৫, খ : গ = ৭ : ৯ হলে, ক : খ : গ নির্ণয় করো।
২। ৪৮০০ টাকা আয়েশা, ফিরোজা ও খাদিজার মধ্যে ৪ : ৩ : ১ অনুপাতে ভাগ করে দিলে কে কত টাকা পাবে?
৩। তিনজন ছাত্রের মধ্যে ৫৭০ টাকা তাদের বয়সের অনুপাতে ভাগ করে দেওয়া হলো। তাদের বয়স যথাক্রমে ১০, ১৩ ও ১৫ বছর হলে, কে কত টাকা পাবে?

উদাহরণ ৮। হাসানের ও মাসুদের আয়ের অনুপাত ৪ : ৩। মাসুদ ও সাজিদের আয়ের অনুপাত ৫ : ৪। হাসানের আয় ১২০ টাকা হলে, সাজিদের আয় কত?

সমাধান : হাসান ও মাসুদের আয়ের অনুপাত $৪ : ৩ = \dfrac{৪}{৩} = \dfrac{৪ \times ৫}{৩ \times ৫} = \dfrac{২০}{১৫} = ২০ : ১৫$

$\text{মাসুদ ও সাজিদের আয়ের অনুপাত } \dfrac{৫}{৪} = \dfrac{৫ \times ৩}{৪ \times ৩} = \dfrac{১৫}{১২} = ১৫ : ১২$

হাসানের আয় : মাসুদের আয় : সাজিদের আয় = ২০ : ১৫ : ১২

$\therefore$ হাসানের আয় : সাজিদের আয় = ২০ : ১২

$\text{বা, } \dfrac{\text{হাসানের আয়}}{\text{সাজিদের আয়}} = \dfrac{২০}{১২}$

$\text{বা, সাজিদের আয়} = \dfrac{\text{হাসানের আয়} \times ১২}{২০} \text{ টাকা}$

$= \dfrac{\cancel{১২০}^৬ \times ১২}{\cancel{২০}_১} \text{ টাকা বা } ৭২ \text{ টাকা।}$

$\therefore$ সাজিদের আয় ৭২ টাকা

Printed page 24