Mathematics chapter 4: Multiplication and Division of Algebraic Expressions

চতুর্থ অধ্যায়

বীজগণিতীয় রাশির গুণ ও ভাগ

গণিতের চারটি মৌলিক প্রক্রিয়া হলো যোগ, বিয়োগ, গুণ ও ভাগ। বিয়োগ হচ্ছে যোগের বিপরীত প্রক্রিয়া আর ভাগ হচ্ছে গুণের বিপরীত প্রক্রিয়া। পাটিগণিতে কেবল ধনাত্মক চিহ্নযুক্ত সংখ্যা ব্যবহার করা হয়। কিন্তু বীজগণিতে ধনাত্মক ও ঋণাত্মক উভয় চিহ্নযুক্ত সংখ্যা এবং সংখ্যাসূচক প্রতীকও ব্যবহার করা হয়। আমরা ষষ্ঠ শ্রেণিতে চিহ্নযুক্ত রাশির যোগ-বিয়োগ এবং বীজগণিতীয় রাশির যোগ ও বিয়োগ সম্বন্ধে ধারণা পেয়েছি। এ অধ্যায়ে চিহ্নযুক্ত রাশির গুণ ও ভাগ এবং বীজগণিতীয় রাশির গুণ ও ভাগ প্রক্রিয়া সম্বন্ধে আলোচনা করা হয়েছে।

অধ্যায় শেষে শিক্ষার্থীরা —

• বীজগণিতীয় রাশির গুণ ও ভাগ করতে পারবে;
• বন্ধনী ব্যবহারের মাধ্যমে বীজগণিতীয় রাশির যোগ, বিয়োগ, গুণ ও ভাগ সংক্রান্ত দৈনন্দিন জীবনের সমস্যার সমাধান করতে পারবে।

৪·১ বীজগণিতীয় রাশির গুণ

গুণের বিনিময়বিধি

আমরা জানি, $2 \times 3 = 6$, আবার $3 \times 2 = 6$

$\therefore 2 \times 3 = 3 \times 2$, যা গুণের বিনিময়বিধি।

$a, b$ যেকোনো দুটি বীজগণিতীয় রাশি হলে, $a \times b = b \times a$ অর্থাৎ, গুণ্য ও গুণকের স্থান বিনিময় করলে, গুণফলের কোনো পরিবর্তন হয় না। যা গুণের বিনিময়বিধি।

গুণের সংযোগবিধি

$(2 \times 3) \times 4 = 6 \times 4 = 24$; আবার, $2 \times (3 \times 4) = 2 \times 12 = 24$

$\therefore (2 \times 3) \times 4 = 2 \times (3 \times 4)$, যা গুণের সংযোগবিধি।

$a, b, c$ যেকোনো তিনটি বীজগণিতীয় রাশির জন্য $(a \times b) \times c = a \times (b \times c)$, যা গুণের সংযোগবিধি।

গুণের সূচকবিধি

আমরা জানি, $a \times a = a^2$, $a \times a \times a = a^3$, $a \times a \times a \times a = a^4$

$\therefore a^2 \times a^4 = (a \times a) \times (a \times a \times a \times a) = a \times a \times a \times a \times a \times a = a^6 = a^{2+4}$

সাধারণভাবে, $a^m \times a^n = a^{m+n}$ যেখানে $m, n$ যেকোনো পূর্ণসংখ্যা। এই প্রক্রিয়াকে গুণের সূচকবিধি বলা হয়।

আবার, $(a^3)^2 = a^3 \times a^3 = a^6 = a^{3 \times 2} = a^6$

সাধারণভাবে, $(a^m)^n = a^{mn}$

Printed page 51

গুণের বণ্টন বিধি

আমরা জানি, $2(a+b) = (a+b) + (a+b) \ [\because 2x = x+x]$ $= (a+a) + (b+b)$ $= 2a + 2b$

আবার পাশের চিত্র হতে পাই,

Figure

লেবেল: A, F, D, B, a, E, b, C, 2 বর্ণনা: একটি আয়তক্ষেত্র ABCD, যা একটি উল্লম্ব রেখাংশ FE দ্বারা দুটি সংলগ্ন আয়তক্ষেত্র ABEF এবং ECDF-এ বিভক্ত। বাম পাশের ABEF-এর দৈর্ঘ্য BE = a ও প্রস্থ AB = 2; ডান পাশের ECDF-এর দৈর্ঘ্য EC = b ও প্রস্থ CD = 2।

$ABEF$ আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল $= \text{দৈর্ঘ্য} \times \text{প্রস্থ} = BE \times AB = a \times 2 = 2 \times a = 2a$

আবার, $ECDF$ আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল $= \text{দৈর্ঘ্য} \times \text{প্রস্থ}$ $= EC \times CD = b \times 2 = 2 \times b = 2b$

$\therefore ABCD$ আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল $= ABEF \text{ আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল} + ECDF \text{ আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল}$ $= 2a + 2b$

আবার, $ABCD$ আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $= \text{দৈর্ঘ্য} \times \text{প্রস্থ}$ $= BC \times AB$ $= AB \times (BE + EC) \quad [\because \text{BC=BE+EC}]$ $= 2 \times (a + b) = 2(a + b)$

$\therefore 2(a + b) = 2a + 2b.$

$m(a+b+c+...........) = ma + mb + mc + ...........$ এই নিয়মকে গুণের বণ্টনবিধি বলা হয়।

৪·২ চিহ্নযুক্ত রাশির গুণ

আমরা জানি, 2 কে 4 বার নিলে $2 + 2 + 2 + 2 = 8 = 2 \times 4$ হয়। এখানে বলা যায় যে, 2 কে 4 দ্বারা গুণ করা হয়েছে।

অর্থাৎ, $2 \times 4 = 2 + 2 + 2 + 2 = 8$

যেকোনো বীজগণিতীয় রাশি $a$ ও $b$ এর জন্য

$a \times b = ab$ ...............(i)

Printed page 52

আবার, $(-2) \times 4 = (-2) + (-2) + (-2) + (-2) = -8 = -(2 \times 4)$

অর্থাৎ, $(-2) \times 4 = -(2 \times 4) = -8$

সাধারণভাবে, $(-a) \times b = -(a \times b) = -ab$ ...............(ii)

আবার, $a \times (-b) = (-b) \times a$, গুণের বিনিময়বিধি $= -(b \times a)$ $= -(a \times b)$ $= -ab$

অর্থাৎ, $a \times (-b) = -(a \times b) = -ab$ ...............(iii)

আবার, $(-a) \times (-b) = -\{(-a) \times b\} \quad [(iii) \text{ অনুযায়ী}]$ $= -\{-(a \times b)\} \quad [(ii) \text{ অনুযায়ী}]$ $= -(-ab)$ $= ab \quad [\because -x \text{ এর যোগাত্মক বিপরীত } x]$

অর্থাৎ, $(-a) \times (-b) = ab$ ...............(iv)

লক্ষ করি :

• একই চিহ্নযুক্ত দুটি রাশির গুণফল $(+)$ চিহ্নযুক্ত হবে।
• বিপরীত চিহ্নযুক্ত দুটি রাশির গুণফল $(-)$ চিহ্নযুক্ত হবে।

৪·৩ একপদী রাশিকে একপদী রাশি দ্বারা গুণ

দুটি একপদী রাশির গুণের ক্ষেত্রে তাদের সাংখ্যিক সহগদ্বয়কে চিহ্নযুক্ত সংখ্যার গুণের নিয়মে গুণ করতে হয়। উভয়পদে বিদ্যমান বীজগণিতীয় প্রতীকগুলোকে সূচক নিয়মে গুণ করে গুণফলে লিখতে হয়। অন্যান্য প্রতীকগুলো অপরিবর্তিত অবস্থায় গুণফলে নেওয়া হয়।

উদাহরণ ১। $5x^2y^4$ কে $3x^2y^3$ দ্বারা গুণ করো।

সমাধান : $5x^2y^4 \times 3x^2y^3$ $= (5 \times 3) \times (x^2 \times x^2) \times (y^4 \times y^3)$ $= 15x^4y^7$ [সূচক নিয়ম অনুযায়ী]

নির্ণেয় গুণফল $15x^4y^7$

উদাহরণ ২। $12a^2xy^2$ কে $-6ax^3b$ দ্বারা গুণ করো।

সমাধান : $12a^2xy^2 \times (-6ax^3b)$ $= 12 \times (-6) \times (a^2 \times a) \times b \times (x \times x^3) \times y^2$ $= -72a^3bx^4y^2$

নির্ণেয় গুণফল $-72a^3bx^4y^2$

Printed page 53

উদাহরণ ৩। $-7a^2b^4c$ কে $4a^2c^3d$ দ্বারা গুণ করো।

সমাধান : $(-7a^2b^4c) \times 4a^2c^3d$ $= (-7 \times 4) \times (a^2 \times a^2) \times b^4 \times (c \times c^3) \times d$ $= -28a^4b^4c^4d$

নির্ণেয় গুণফল $-28a^4b^4c^4d$

উদাহরণ ৪। $-5a^3bc^5$ কে $-4ab^5c^2$ দ্বারা গুণ করো।

সমাধান : $(-5a^3bc^5) \times (-4ab^5c^2)$ $= (-5) \times (-4) \times (a^3 \times a) \times (b \times b^5) \times (c^5 \times c^2)$ $= 20a^4b^6c^7$

নির্ণেয় গুণফল $20a^4b^6c^7$

কাজ : ১। গুণ করো। (ক) $7a^2b^5$ কে $8a^5b^2$ দ্বারা (খ) $-10x^3y^4z$ কে $3x^2y^5$ দ্বারা (গ) $9ab^2x^3y$ কে $-5xy^2$ দ্বারা (ঘ) $-8a^3x^4by^2$ কে $-4abxy$ দ্বারা

৪·৪ বহুপদী রাশিকে একপদী রাশি দ্বারা গুণ

একের অধিক পদযুক্ত বীজগণিতীয় রাশিই বহুপদী রাশি। যেমন, $5x^2y + 7xy^2$ একটি বহুপদী রাশি।

বহুপদী রাশিকে একপদী রাশি দ্বারা গুণ করতে হলে গুণের (প্রথম রাশি) প্রত্যেক পদকে গুণক (দ্বিতীয় রাশি) দ্বারা গুণ করতে হয়।

উদাহরণ ৫। $(5x^2y + 7xy^2)$ কে $5x^3y^3$ দ্বারা গুণ করো।

সমাধান : $(5x^2y + 7xy^2) \times 5x^3y^3$ $= (5x^2y \times 5x^3y^3) + (7xy^2 \times 5x^3y^3)$ \quad [বণ্টনবিধি অনুসারে] $= (5 \times 5) \times (x^2 \times x^3) \times (y \times y^3) + (7 \times 5) \times (x \times x^3) \times (y^2 \times y^3)$ $= 25x^5y^4 + 35x^4y^5$

নির্ণেয় গুণফল $25x^5y^4 + 35x^4y^5$

বিকল্প পদ্ধতি :

নির্ণেয় গুণফল $25x^5y^4 + 35x^4y^5$

উদাহরণ ৬। $2a^3 - b^3 + 3abc$ কে $a^4b^2$ দ্বারা গুণ করো।

সমাধান : $(2a^3 - b^3 + 3abc) \times a^4b^2$ $= (2a^3 \times a^4b^2) - (b^3 \times a^4b^2) + (3abc \times a^4b^2)$ $= 2a^7b^2 - a^4b^5 + 3a^5b^3c$

Printed page 54

বিকল্প পদ্ধতি :

নির্ণেয় গুণফল $2a^7b^2 - a^4b^5 + 3a^5b^3c$

উদাহরণ ৭। $-3x^2zy^3 + 4z^3xy^2 - 5y^4x^3z^2$ কে $-6x^2y^2z$ দ্বারা গুণ কর।

সমাধান : $(-3x^2zy^3 + 4z^3xy^2 - 5y^4x^3z^2) \times (-6x^2y^2z)$ $= (-3x^2zy^3) \times (-6x^2y^2z) + (4z^3xy^2) \times (-6x^2y^2z) - (5y^4x^3z^2) \times (-6x^2y^2z)$ $= \{(-3) \times (-6) \times x^2 \times x^2 \times y^3 \times y^2 \times z \times z\} + \{4 \times (-6) \times x \times x^2 \times y^2 \times y^2 \times z^3 \times z\}$ $\quad - \{5 \times (-6) \times x^3 \times x^2 \times y^4 \times y^2 \times z^2 \times z\}$ $= 18x^4y^5z^2 + (-24x^3y^4z^4) - (-30x^5y^6z^3)$ $= 18x^4y^5z^2 - 24x^3y^4z^4 + 30x^5y^6z^3$

নির্ণেয় গুণফল $18x^4y^5z^2 - 24x^3y^4z^4 + 30x^5y^6z^3$

কাজ : ১। প্রথম রাশিকে দ্বিতীয় রাশি দ্বারা গুণ কর : (ক) $5a^2 + 8b^2, 4ab$ (খ) $3p^2q + 6pq^3 + 10p^3q^5, 8p^3q^2$ (গ) $-2c^2d + 3d^3c - 5cd^2, -7c^3d^5$

৪·৫ বহুপদী রাশিকে বহুপদী রাশি দ্বারা গুণ

• বহুপদী রাশিকে বহুপদী রাশি দ্বারা গুণ করতে হলে গুণ্যের প্রত্যেক পদকে গুণকের প্রত্যেক পদ দ্বারা আলাদা আলাদাভাবে গুণ করে সদৃশ পদগুলোকে নিচে নিচে সাজিয়ে লিখতে হয়।
• চিহ্নযুক্ত রাশির যোগের নিয়মে যোগ করতে হয়।
• বিসদৃশ পদ থাকলে সেগুলোকে পৃথকভাবে লিখতে হয় এবং গুণফলে বসাতে হয়।

উদাহরণ ৮। $3x + 2y$ কে $x + y$ দ্বারা গুণ করো।

সমাধান :

নির্ণেয় গুণফল $3x^2 + 5xy + 2y^2$

ব্যাখ্যা:

$(3x + 2y) \times (x + y) = 3x^2 + 5xy + 2y^2$

Printed page 55

গুণের নিয়ম :

• প্রথমে গুণ্যের প্রত্যেক পদকে গুণকের প্রথম পদ দ্বারা গুণ করে গুণফল লিখতে হবে।
• এরপর গুণ্যের প্রত্যেক পদকে গুণকের দ্বিতীয় পদ দ্বারা গুণ করে গুণফল বের করতে হবে। এ গুণফলকে এমনভাবে সাজিয়ে লিখতে হবে যেন উভয় গুণফলের সদৃশ পদগুলো নিচে নিচে পড়ে।
• প্রাপ্ত দুটি গুণফলের বীজগণিতীয় সমষ্টিই হলো নির্ণেয় গুণফল।

উদাহরণ ৯। $a^2 - 2ab + b^2$ কে $a - b$ দ্বারা গুণ করো।

সমাধান :

নির্ণেয় গুণফল $a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

উদাহরণ ১০। $2x^2 + 3x - 4$ কে $3x^2 - 4x - 5$ দ্বারা গুণ করো।

সমাধান :

নির্ণেয় গুণফল $6x^4 + x^3 - 34x^2 + x + 20$

কাজ : ১ম রাশিকে ২য় রাশি দ্বারা গুণ করো। (ক) $x + 7, \ x + 9$ (খ) $a^2 - ab + b^2, \ 3a + 4b$ (গ) $x^2 - x + 1, \ 1 + x + x^2$

Printed page 56

১০ (১)। $A = x^2 - xy + y^2$, $B = x^2 + xy + y^2$ এবং $C = x^4 + x^2y^2 + y^4$

ক) $A - B = \text{কত?}$

খ) $A$ ও $B$ এর গুণফল নির্ণয় করো।

গ) দেখাও যে, $(C \div A)/B = 1$

উত্তর: ক) $A - B$ $= (x^2 - xy + y^2) - (x^2 + xy + y^2)$ $= x^2 - xy + y^2 - x^2 - xy - y^2$ $= - 2xy \quad Ans.$

খ) $A$ ও $B$ এর গুণফল $= A \times B$ $= (x^2 - xy + y^2) \times (x^2 + xy + y^2)$ $= (x^2 + y^2 - xy)(x^2 + y^2 + xy)$ $= (x^2 + y^2)^2 - (xy)^2$ $= (x^2)^2 + 2.x^2.y^2 + (y^2)^2 - x^2y^2$ $= x^4 + 2x^2y^2 + y^4 - x^2y^2$ $= x^4 + x^2y^2 + y^4 \quad Ans.$

গ) বামপক্ষ $(C \div A)/B$ $= \{(x^4 + x^2y^2 + y^4) \div (x^2 - xy + y^2)\} / (x^2 + xy + y^2)$ $= \dfrac{x^4 + x^2y^2 + y^4}{x^2 - xy + y^2} \times \dfrac{1}{(x^2 + xy + y^2)}$ $= \dfrac{(x^2 + xy + y^2)(x^2 - xy + y^2)}{(x^2 - xy + y^2)} \times \dfrac{1}{(x^2 + xy + y^2)} \quad [\text{খ থেকে প্রাপ্ত}]$ $= 1$

অতএব, বামপক্ষ = ডানপক্ষ (দেখানো হলো)

Printed page 57