Mathematics chapter 5: Algebraic Formulae and Applications

পঞ্চম অধ্যায়

বীজগণিতীয় সূত্রাবলি ও প্রয়োগ

বীজগণিতীয় প্রতীক দ্বারা প্রকাশিত যেকোনো সাধারণ নিয়ম বা সিদ্ধান্তকে বীজগণিতীয় সূত্র বা সংক্ষেপে সূত্র বলা হয়। আমরা বিভিন্ন ক্ষেত্রে সূত্র ব্যবহার করে থাকি। এ অধ্যায়ে প্রথম চারটি সূত্র এবং এ চারটি সূত্রের সাহায্যে অনুসিদ্ধান্ত নির্ণয়ের পদ্ধতি দেখানো হয়েছে। এ ছাড়া বীজগণিতীয় সূত্র ও অনুসিদ্ধান্ত প্রয়োগ করে বীজগণিতীয় রাশির মান নির্ণয় ও উৎপাদকে বিশ্লেষণ উপস্থাপন করা হয়েছে। আবার বীজগণিতীয় রাশির সাহায্যে ভাজ্য, ভাজক, গুণনীয়ক, গুণিতক সম্পর্কে ধারণা দেওয়া হয়েছে এবং কীভাবে অনূর্ধ্ব তিনটি বীজগণিতীয় রাশির গ.সা.গু. ও ল.সা.গু. নির্ণয় করা যায় তা আলোচনা করা হয়েছে।

অধ্যায় শেষে শিক্ষার্থীরা – ➢ বর্গ নির্ণয়ে বীজগণিতীয় সূত্রের বর্ণনা ও প্রয়োগ করতে পারবে; ➢ বীজগণিতীয় সূত্র ও অনুসিদ্ধান্ত প্রয়োগ করে রাশির মান নির্ণয় করতে পারবে; ➢ বীজগণিতীয় সূত্র প্রয়োগ করে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে পারবে; ➢ গুণনীয়ক ও গুণিতক কী তা ব্যাখ্যা করতে পারবে; ➢ অনূর্ধ্ব তিনটি বীজগণিতীয় রাশির সাংখ্যিক সহগসহ গ.সা.গু. ও ল.সা.গু. নির্ণয় করতে পারবে।

৫·১ বীজগণিতীয় সূত্রাবলি

সূত্র ১। $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

প্রমাণ : $(a + b)^2$ এর অর্থ $(a + b)$ কে $(a + b)$ দ্বারা গুণ।

$\therefore (a + b)^2 = (a + b)(a + b)$ $= a(a + b) + b(a + b)$ [বহুপদী রাশিকে বহুপদী রাশি দ্বারা গুণ] $= a^2 + ab + ba + b^2$ $= a^2 + ab + ab + b^2$ $\therefore (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

দুটি রাশির যোগফলের বর্গ = ১ম রাশির বর্গ + ২ $\times$ ১ম রাশি $\times$ ২য় রাশি + ২য় রাশির বর্গ

Printed page 70

সূত্রটির জ্যামিতিক ব্যাখ্যা

$ABCD$ একটি বর্গক্ষেত্র যার $AB$ বাহু $= a + b$ $BC$ বাহু $= a + b$ $\therefore ABCD$ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $= (\text{বাহুর দৈর্ঘ্য})^2$ $= (a + b)^2$ বর্গক্ষেত্রটিকে $P, Q, R, S$ চারটি ভাগে ভাগ করা হয়েছে।

Figure

লেবেল: A, B, C, D, P, Q, R, S, a, b বর্ণনা: $ABCD$ একটি বর্গক্ষেত্র যার বাহুর দৈর্ঘ্য $a+b$। এটিকে চারটি অংশে ভাগ করা হয়েছে: বাহু $a$ বিশিষ্ট বর্গক্ষেত্র $P$, বাহু $a$ ও $b$ বিশিষ্ট আয়তক্ষেত্র $Q$, বাহু $a$ ও $b$ বিশিষ্ট আয়তক্ষেত্র $R$, এবং বাহু $b$ বিশিষ্ট বর্গক্ষেত্র $S$।

এখানে $P$ ও $S$ বর্গক্ষেত্র এবং $Q$ ও $R$ আয়তক্ষেত্র। আমরা জানি, বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $= (\text{দৈর্ঘ্য})^2$ এবং আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য $\times$ প্রস্থ অতএব, $P$ এর ক্ষেত্রফল $= a \times a = a^2$ $Q$ এর ক্ষেত্রফল $= a \times b = ab$ $R$ এর ক্ষেত্রফল $= a \times b = ab$ $S$ এর ক্ষেত্রফল $= b \times b = b^2$ এখন, $ABCD$ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $= (P + Q + R + S)$ এর ক্ষেত্রফল

$\therefore (a + b)^2 = a^2 + ab + ab + b^2$ $= a^2 + 2ab + b^2$ $\therefore (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

অনুসিদ্ধান্ত ১। $a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab$

আমরা জানি, $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ বা, $(a + b)^2 - 2ab = a^2 + 2ab + b^2 - 2ab$ [উভয়পক্ষ থেকে $2ab$ বিয়োগ করে] বা, $(a + b)^2 - 2ab = a^2 + b^2$

$\therefore a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab$

উদাহরণ ১। $(m + n)$ এর বর্গ নির্ণয় কর। সমাধান : $(m+n)$ এর বর্গ $= (m + n)^2$ $= (m)^2 + 2 \times m \times n + (n)^2$ $= m^2 + 2mn + n^2$

উদাহরণ ২। $(3x + 4)$ এর বর্গ নির্ণয় কর। সমাধান : $(3x+4)$ এর বর্গ $= (3x + 4)^2$ $= (3x)^2 + 2 \times 3x \times 4 + (4)^2$ $= 9x^2 + 24x + 16$

Printed page 71

উদাহরণ ৩। $(2x + 3y)$ এর বর্গ নির্ণয় করো। সমাধান : $(2x + 3y)$ এর বর্গ $= (2x + 3y)^2$ $= (2x)^2 + 2 \times 2x \times 3y + (3y)^2$ $= 4x^2 + 12xy + 9y^2$

উদাহরণ ৪। বর্গের সূত্র প্রয়োগ করে $105$ এর বর্গ নির্ণয় করো। সমাধান : $(105)^2 = (100 + 5)^2$ $= (100)^2 + 2 \times 100 \times 5 + (5)^2$ $= 10000 + 1000 + 25$ $= 11025$

কাজ : সূত্রের সাহায্যে রাশিগুলোর বর্গ নির্ণয় করো। ১। $x + 2y$ ২। $3a + 5b$ ৩। $5 + 2a$ ৪। $15$ ৫। $103$

সূত্র ২। $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ প্রমাণ : $(a - b)^2$ এর অর্থ $(a - b)$ কে $(a - b)$ দ্বারা গুণ।

$\therefore (a - b)^2 = (a - b)(a - b)$ $= a(a - b) - b(a - b)$ $= a^2 - ab - ba + b^2$ $= a^2 - ab - ab + b^2$ $\therefore (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

দুটি রাশির বিয়োগফলের বর্গ = ১ম রাশির বর্গ – ২ $\times$ ১ম রাশি $\times$ ২য় রাশি + ২য় রাশির বর্গ

লক্ষ করি : দ্বিতীয় সূত্রটি প্রথম সূত্রের সাহায্যেও নির্ণয় করা যায়।

আমরা জানি, $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ এখন $(a - b)^2 = \{(a + (-b)\}^2 = a^2 + 2 \times a \times (-b) + (-b)^2$ [$b$ এর পরিবর্তে $-b$ বসিয়ে] $= a^2 - 2ab + b^2$

অনুসিদ্ধান্ত ২। $a^2 + b^2 = (a - b)^2 + 2ab$

আমরা জানি, $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ বা, $(a - b)^2 + 2ab = a^2 - 2ab + b^2 + 2ab$ [উভয়পক্ষে $2ab$ যোগ করে] বা, $(a - b)^2 + 2ab = a^2 + b^2$ $\therefore a^2 + b^2 = (a - b)^2 + 2ab$

Printed page 72

উদাহরণ ৫। $(p - q)$ এর বর্গ নির্ণয় করো। সমাধান : $(p+q)$ এর বর্গ $= (p - q)^2$ $= (p)^2 - 2 \times p \times q + (q)^2$ $= p^2 - 2pq + q^2$

উদাহরণ ৬। $(5x - 3y)$ এর বর্গ নির্ণয় করো। সমাধান : $(5x+3y)$ এর বর্গ $=(5x - 3y)^2$ $= (5x)^2 - 2 \times 5x \times 3y + (3y)^2$ $= 25x^2 - 30xy + 9y^2$

উদাহরণ ৭। বর্গের সূত্র প্রয়োগ করে $98$ এর বর্গ নির্ণয় করো। সমাধান : $(98)^2 = (100 - 2)^2$ $= (100)^2 - 2 \times 100 \times 2 + (2)^2$ $= 10000 - 400 + 4$ $= 9604$

কাজ : সূত্রের সাহায্যে রাশিগুলোর বর্গ নির্ণয় করো। ১। $5x - 3$ ২। $ax - by$ ৩। $5x - 6$ ৪। $95$

প্রথম ও দ্বিতীয় সূত্রের আরও কয়েকটি অনুসিদ্ধান্ত :

অনুসিদ্ধান্ত ৩। $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ $= a^2+b^2-2ab+ 4ab$ $[\because +2ab = -2ab + 4ab]$ $= a^2-2ab+ b^2+4ab$ $=(a-b)^2+4ab$ $\therefore (a + b)^2 = (a - b)^2 + 4ab$

অনুসিদ্ধান্ত ৪। $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ $= a^2+b^2+2ab - 4ab$ $[\because -2ab = +2ab - 4ab]$ $= a^2+2ab+ b^2- 4ab$ $=(a+b)^2- 4ab$ $\therefore (a - b)^2 = (a + b)^2 - 4ab$

অনুসিদ্ধান্ত ৫। $(a + b)^2 + (a - b)^2 = (a^2 + 2ab + b^2) + (a^2 - 2ab + b^2)$ $= a^2 + 2ab + b^2 + a^2 - 2ab + b^2$ $= 2a^2 + 2b^2$ $= 2(a^2 + b^2)$ $\therefore (a + b)^2 + (a - b)^2 = 2(a^2 + b^2)$

অনুসিদ্ধান্ত ৬। $(a + b)^2 - (a - b)^2 = (a^2 + 2ab + b^2) - (a^2 - 2ab + b^2)$ $= a^2 + 2ab + b^2 - a^2 + 2ab - b^2$ $= 4ab$ $\therefore (a + b)^2 - (a - b)^2 = 4ab$

Printed page 73

উদাহরণ ৮। $a + b = 7$ এবং $ab = 9$ হলে, $a^2 + b^2$ এর মান নির্ণয় করো। সমাধান : আমরা জানি, $a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab$ $= (7)^2 - 2 \times 9$ $= 49 - 18$ $= 31$

উদাহরণ ৯। $a + b = 5$ এবং $ab = 6$ হলে, $(a - b)^2$ এর মান নির্ণয় করো। সমাধান : আমরা জানি, $(a - b)^2 = (a + b)^2 - 4ab$ $= (5)^2 - 4 \times 6$ $= 25 - 24$ $= 1$

উদাহরণ ১০। $p - \dfrac{1}{p} = 8$ হলে, প্রমাণ করো যে, $p^2 + \dfrac{1}{p^2} = 66$

সমাধান : $p^2 + \dfrac{1}{p^2} = \left(p - \dfrac{1}{p}\right)^2 + 2 \times p \times \dfrac{1}{p}$ $[\because a^2 + b^2 = (a - b)^2 + 2ab]$ $= (8)^2 + 2$ $= 64 + 2$ $= 66$ (প্রমাণিত)

বিকল্প পদ্ধতি : দেওয়া আছে, $p - \dfrac{1}{p} = 8$

$\therefore \left(p - \dfrac{1}{p}\right)^2 = (8)^2$ [উভয়পক্ষকে বর্গ করে]

বা, $p^2 - 2 \times p \times \dfrac{1}{p} + \left(\dfrac{1}{p}\right)^2 = 64$

বা, $p^2 - 2 + \dfrac{1}{p^2} = 64$

বা, $p^2 + \dfrac{1}{p^2} = 64 + 2$

$\therefore p^2 + \dfrac{1}{p^2} = 66$ (প্রমাণিত)

কাজ : ১। $a + b = 4$ এবং $ab = 2$ হলে, $(a - b)^2$ এর মান নির্ণয় কর। ২। $a - \dfrac{1}{a} = 5$ হলে, দেখাও যে, $a^2 + \dfrac{1}{a^2} = 27$

Printed page 74

উদাহরণ ১১। $(a + b + c)$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

সমাধান : ধরি, $a + b = p$ $\therefore (a + b + c)^2$ $=\{(a + b) + c\}^2$ $= (p + c)^2$ $= p^2 + 2pc + c^2$ $= (a + b)^2 + 2 \times (a + b) \times c + c^2$ [p- এর মান বসিয়ে পাই] $= a^2 + 2ab + b^2 + 2ac + 2bc + c^2$ $= a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$

বিকল্প সমাধান : $(a + b + c)^2$ $=\{(a + b) + c\}^2$ $= (a + b)^2 + 2 \times (a + b) \times c + c^2$ $= a^2 + 2ab + b^2 + 2ac + 2bc + c^2$ $= a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$ $= a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$

কাজ : ১। $a + b + c$ এর বর্গ নির্ণয় করো, যেখানে $(b + c) = m$ ২। $a + b + c$ এর বর্গ নির্ণয় করো, যেখানে $(a + c) = n$

উদাহরণ ১২। $(x + y - z)$ এর বর্গ নির্ণয় করো। সমাধান : ধরি, $x + y = m$ $\therefore (x + y - z)^2 = \{(x + y) - z\}^2$ $= (m - z)^2$ $= m^2 - 2mz + z^2$ $= (x + y)^2 - 2 \times (x + y) \times z + z^2$ [m-এর মান বসিয়ে] $= x^2 + 2xy + y^2 - 2xz - 2yz + z^2$ $= x^2 + y^2 + z^2 + 2xy - 2xz - 2yz$

উদাহরণ ১৩। $(3x - 2y + 5z)$ এর বর্গ নির্ণয় করো। সমাধান : $(3x - 2y + 5z)$ এর বর্গ $=\{(3x - 2y) + 5z\}^2$ $= (3x - 2y)^2 + 2 \times (3x - 2y) \times 5z + (5z)^2$ [$\because$ ১ম রাশি $3x - 2y$, ২য় রাশি$=5z$ ] $= (3x)^2 - 2 \times 3x \times 2y + (2y)^2 + 2 \times 5z(3x - 2y) + 25z^2$ $= 9x^2 - 12xy + 4y^2 + 30xz - 20yz + 25z^2$ $= 9x^2 + 4y^2 + 25z^2 - 12xy + 30xz - 20yz$

Printed page 75

উদাহরণ ১৪। সরল করো $(2x + 3y)^2 - 2(2x + 3y)(2x - 5y) + (2x - 5y)^2$ সমাধান : ধরি, $2x + 3y = a$ এবং $2x - 5y = b$ প্রদত্ত রাশি $= a^2 - 2ab + b^2$ $= (a - b)^2$ $=\{(2x + 3y) - (2x - 5y)\}^2$ [$a$ ও $b$ এর মান বসিয়ে] $=\{2x + 3y - 2x + 5y\}^2$ $= (8y)^2$ $= 64y^2$

উদাহরণ ১৫। $x = 7$ এবং $y = 6$ হলে, $16x^2 - 40xy + 25y^2$ এর মান নির্ণয় করো। সমাধান : প্রদত্ত রাশি $= 16x^2 - 40xy + 25y^2$ $= (4x)^2 - 2 \times 4x \times 5y + (5y)^2$ $= (4x - 5y)^2$ $= (4 \times 7 - 5 \times 6)^2$ [$x$ ও $y$ এর মান বসিয়ে] $= (28 - 30)^2$ $= (-2)^2$ $= (-2) \times (-2)$ $= 4$

কাজ : ১। $(3x - 2y - z)$ এর বর্গ নির্ণয় করো। ২। সরল কর : $(5a - 7b)^2 + 2(5a - 7b)(9b - 4a) + (9b - 4a)^2$ ৩। $x = 3$ হলে, $9x^2 - 24x + 16$ এর মান কত?