Mathematics chapter 6: Algebraic Fractions

ষষ্ঠ অধ্যায়

বীজগণিতীয় ভগ্নাংশ

ভগ্নাংশ অর্থ ভাঙা অংশ। আমরা দৈনন্দিন জীবনে একটি সম্পূর্ণ জিনিসের সাথে এর অংশও ব্যবহার করি। তাই ভগ্নাংশ, গণিতের একটি অপরিহার্য বিষয়। পাটিগণিতীয় ভগ্নাংশের মতো বীজগণিতীয় ভগ্নাংশেও লঘুকরণ ও সাধারণ হরবিশিষ্টকরণ গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা রাখে। পাটিগণিতীয় ভগ্নাংশের অনেক জটিল সমস্যা বীজগণিতীয় ভগ্নাংশের মাধ্যমে সহজে সমাধান করা যায়। কাজেই শিক্ষার্থীদের বীজগণিতীয় ভগ্নাংশ সম্পর্কে সুস্পষ্ট ধারণা থাকা প্রয়োজন। এ অধ্যায়ে বীজগণিতীয় ভগ্নাংশের লঘুকরণ, সাধারণ হরবিশিষ্টকরণ এবং যোগ ও বিয়োগ উপস্থাপন করা হয়েছে।

অধ্যায় শেষে শিক্ষার্থীরা —

• বীজগণিতীয় ভগ্নাংশ কী তা ব্যাখ্যা করতে পারবে;
• বীজগণিতীয় ভগ্নাংশের লঘুকরণ ও সাধারণ হরবিশিষ্টকরণ করতে পারবে;
• বীজগণিতীয় ভগ্নাংশের যোগ, বিয়োগ ও সরলীকরণ করতে পারবে।

৬·১ ভগ্নাংশ

আবির একটি আপেল সমান দুইভাগে ভাগ করে এক ভাগ তার ভাই কবিরকে দিল। তাহলে দুই ভাইয়ের প্রত্যেকে পেল আপেলটির অর্ধেক, অর্থাৎ $\dfrac{1}{2}$ অংশ। এই $\dfrac{1}{2}$ একটি ভগ্নাংশ।

Figure

লেবেল: সম্পূর্ণ অংশ, $\dfrac{1}{2}$, $\dfrac{1}{2}$ বর্ণনা: বামে একটি সম্পূর্ণ আপেল, নিচে লেবেল 'সম্পূর্ণ অংশ'। ডানে আপেলটিকে কেটে সমান দুই ভাগ করা হয়েছে, প্রতিটির নিচে $\dfrac{1}{2}$ লেখা।

আবার ধরা যাক, টিনা একটি বৃত্তের 4 ভাগের 3 ভাগ কালো রং করল। তাহলে, তার রং করা হলো সম্পূর্ণ বৃত্তটির $\dfrac{3}{4}$ অংশ। এখানে $\dfrac{1}{2}$, $\dfrac{3}{4}$ এগুলো পাটিগণিতীয় ভগ্নাংশ যাদের লব 1, 3 এবং হর 2, 4। যদি কোনো ভগ্নাংশের শুধু লব বা শুধু হর বা লব ও হর উভয়কে বীজগণিতীয় প্রতীক বা রাশি দ্বারা প্রকাশ করা হয়, তবে তা হবে বীজগণিতীয় ভগ্নাংশ। যেমন, $\dfrac{a}{4}, \dfrac{5}{b}, \dfrac{a}{b}, \dfrac{2a}{a+b}, \dfrac{a}{5x}, \dfrac{x}{x+1}, \dfrac{2x+1}{x-3}$, ইত্যাদি বীজগণিতীয় ভগ্নাংশ।

Figure

বর্ণনা: একটি বৃত্তকে সমান ৪টি ভাগে ভাগ করা হয়েছে, যার মধ্যে ৩টি ভাগ ধূসর রঙে ভরাট এবং ১টি ভাগ সাদা।

Printed page 90

৬·২ সমতুল ভগ্নাংশ

লক্ষ করি, দুটি সমান বর্গাকার ক্ষেত্রের ১নং চিত্রে দুই ভাগের এক ভাগ, অর্থাৎ $\dfrac{1}{2}$ অংশ কালো রং করা হয়েছে এবং ২নং চিত্রে চার ভাগের দুই ভাগ, অর্থাৎ $\dfrac{2}{4}$ অংশ কালো রং করা হয়েছে। কিন্তু দেখা যায়, দুই চিত্রের মোট কালো রং করা অংশ সমান।

Figure

লেবেল: ১নং চিত্র, ২নং চিত্র বর্ণনা: দুটি বর্গাকার চিত্র। ১নং চিত্রে বর্গটিকে সমান দুই ভাগে ভাগ করে উপরের অর্ধেকে তির্যক রেখা টেনে চিহ্নিত করা হয়েছে। ২নং চিত্রে বর্গটিকে চারটি সমান ভাগে ভাগ করে উপরের দুটি ভাগে তির্যক রেখা টেনে চিহ্নিত করা হয়েছে।

অতএব, আমরা লিখতে পারি, $\dfrac{1}{2} = \dfrac{1 \times 2}{2 \times 2} = \dfrac{2}{4}$ ; আবার, $\dfrac{1}{2} = \dfrac{1 \times 3}{2 \times 3} = \dfrac{3}{6}$

এভাবে, $\dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{5}{10} = .........$, এগুলো পরস্পর সমতুল ভগ্নাংশ।

একইভাবে বীজগণিতীয় ভগ্নাংশের ক্ষেত্রে, $\dfrac{a}{b} = \dfrac{a \times c}{b \times c} = \dfrac{ac}{bc}$ [লব ও হরকে $c$ দ্বারা গুণ করে, $c \ne 0$]

আবার, $\dfrac{ac}{bc} = \dfrac{ac \div c}{bc \div c} = \dfrac{a}{b}$ [লব ও হরকে $c$ দ্বারা ভাগ করে, $c \ne 0$]

$\therefore \dfrac{a}{b}$ এবং $\dfrac{ac}{bc}$ পরস্পর সমতুল ভগ্নাংশ।

লক্ষ্যণীয় যে, কোনো ভগ্নাংশের লব ও হরকে শূন্য ছাড়া একই রাশি দ্বারা গুণ বা ভাগ করলে, ভগ্নাংশের মানের কোনো পরিবর্তন হয় না।

কাজ : $\dfrac{2}{5}$ এবং $\dfrac{a}{x}$ এর প্রতিটির তিনটি করে সমতুল ভগ্নাংশ লেখো।

৬·৩ ভগ্নাংশের লঘুকরণ

কোনো ভগ্নাংশের লঘুকরণের অর্থ হলো ভগ্নাংশটিকে লঘিষ্ট আকারে পরিণত করা। এ জন্য লব ও হরকে এদের সাধারণ গুণনীয়ক বা উৎপাদক দ্বারা ভাগ করা হয়। কোনো ভগ্নাংশের লব ও হরের মধ্যে কোনো সাধারণ গুণনীয়ক বা উৎপাদক না থাকলে এরূপ ভগ্নাংশকে লঘিষ্ট আকারের ভগ্নাংশ বলা হয়।

উদাহরণ ১। $\dfrac{4a^2bc}{6ab^2c}$ কে লঘুকরণ কর।

সমাধান : $\dfrac{4a^2bc}{6ab^2c} = \dfrac{2 \times 2 \times a \times a \times b \times c}{2 \times 3 \times a \times b \times b \times c} = \dfrac{2a}{3b}$

Printed page 91

ভগ্নাংশের লঘুকরণের মাধ্যমে নিচের খালি ঘরগুলো পূরণ করো (দুটি করে দেখানো হলো) :

বিকল্প পদ্ধতি : $\dfrac{4a^2bc}{6ab^2c} = \dfrac{2abc \times 2a}{2abc \times 3b} = \dfrac{2a}{3b}$ [লব ও হরের গ.সা.গু. $2abc$ ]

উদাহরণ ২। $\dfrac{2a^2 + 3ab}{4a^2 - 9b^2}$ কে লঘিষ্ট আকারে পরিণত করো।

সমাধান : $\dfrac{2a^2 + 3ab}{4a^2 - 9b^2} = \dfrac{2a^2 + 3ab}{(2a)^2 - (3b)^2}$

$= \dfrac{a(2a + 3b)}{(2a + 3b)(2a - 3b)} = \dfrac{a}{2a - 3b} \quad [\because x^2 - y^2 = (x + y)(x - y)]$

উদাহরণ ৩। লঘুকরণ করো: $\dfrac{x^2 + 5x + 6}{x^2 + 3x + 2}$

সমাধান : $\dfrac{x^2 + 5x + 6}{x^2 + 3x + 2} = \dfrac{x^2 + 2x + 3x + 6}{x^2 + x + 2x + 2}$

$= \dfrac{x(x + 2) + 3(x + 2)}{x(x + 1) + 2(x + 1)} = \dfrac{(x + 2)(x + 3)}{(x + 1)(x + 2)} = \dfrac{x + 3}{x + 1}$

৬·৪ সাধারণ হরবিশিষ্ট ভগ্নাংশ

সাধারণ হরবিশিষ্ট ভগ্নাংশকে সমহরবিশিষ্ট ভগ্নাংশও বলে। এক্ষেত্রে প্রদত্ত ভগ্নাংশগুলোর হর সমান করতে হয়। $\dfrac{a}{2b}$ ও $\dfrac{m}{3n}$ ভগ্নাংশ দুটি বিবেচনা করি। ভগ্নাংশ দুইটির হর $2b$ এবং $3n$ এর ল.সা.গু. $6bn$।

অতএব, দুটি ভগ্নাংশেরই হর $6bn$ করতে হবে।

এখানে, $\dfrac{a}{2b} = \dfrac{a \times 3n}{2b \times 3n} \quad [\because 6bn \div 2b = 3n]$

$= \dfrac{3an}{6bn}$

Printed page 92

এবং $\dfrac{m}{3n} = \dfrac{m \times 2b}{3n \times 2b} \quad [\because 6bn \div 3n = 2b]$

$= \dfrac{2bm}{6bn}$ .

$\therefore$ সাধারণ হরবিশিষ্ট ভগ্নাংশ দুটি $\dfrac{3an}{6bn}, \dfrac{2bm}{6bn}$ .

সাধারণ হরবিশিষ্ট ভগ্নাংশে প্রকাশ করার নিয়ম

• ভগ্নাংশগুলোর হরের ল.সা.গু. বের করতে হয়।
• ল.সা.গু. কে প্রত্যেক ভগ্নাংশের হর দ্বারা ভাগ করে ভাগফল বের করতে হয়।
• প্রাপ্ত ভাগফল দ্বারা সংশ্লিষ্ট ভগ্নাংশের লব ও হরকে গুণ করতে হয়।

উদাহরণ ৪। সাধারণ হরবিশিষ্ট ভগ্নাংশে প্রকাশ করো: $\dfrac{a}{4x}, \dfrac{b}{2x^2}$

সমাধান : হর $4x$ এবং $2x^2$ এর ল.সা.গু. $4x^2$

$\therefore \dfrac{a}{4x} = \dfrac{a \times x}{4x \times x} \quad [\because 4x^2 \div 4x = x]$

$= \dfrac{ax}{4x^2}$

এবং $\dfrac{b}{2x^2} = \dfrac{b \times 2}{2x^2 \times 2} \quad [\because 4x^2 \div 2x^2 = 2]$

$= \dfrac{2b}{4x^2}$

$\therefore$ সাধারণ হরবিশিষ্ট ভগ্নাংশ দুইটি $\dfrac{ax}{4x^2}, \dfrac{2b}{4x^2}$

উদাহরণ ৫। সাধারণ হরবিশিষ্ট ভগ্নাংশে রূপান্তর করো: $\dfrac{2}{a^2 - 4}, \dfrac{5}{a^2 + 3a - 10}$

সমাধান : ১ম ভগ্নাংশের হর $= a^2 - 4 = (a + 2)(a - 2)$

২য় ভগ্নাংশের হর $= a^2 + 3a - 10 = a^2 - 2a + 5a - 10$

$= a(a - 2) + 5(a - 2) = (a - 2)(a + 5)$

হর দুইটির ল.সা.গু. $(a + 2)(a - 2)(a + 5)$

Printed page 93

এবার ভগ্নাংশগুলোকে সমহরবিশিষ্ট করি।

$\therefore \dfrac{2}{a^2 - 4} = \dfrac{2}{(a + 2)(a - 2)} = \dfrac{2 \times (a + 5)}{(a + 2)(a - 2) \times (a + 5)}$ [লব ও হরকে $(a + 5)$ দ্বারা গুণ করে]

$= \dfrac{2(a + 5)}{(a^2 - 4)(a + 5)}$

এবং $\dfrac{5}{a^2 + 3a - 10} = \dfrac{5}{(a - 2)(a + 5)} = \dfrac{5 \times (a + 2)}{(a - 2)(a + 5) \times (a + 2)}$ [লব ও হরকে $(a + 2)$ দ্বারা গুণ করে]

$= \dfrac{5(a + 2)}{(a^2 - 4)(a + 5)}$

$\therefore$ নির্ণেয় ভগ্নাংশ দুটি $\dfrac{2(a + 5)}{(a^2 - 4)(a + 5)}, \dfrac{5(a + 2)}{(a^2 - 4)(a + 5)}$

উদাহরণ ৬। সাধারণ হরবিশিষ্ট ভগ্নাংশে পরিণত করো।

$\dfrac{1}{x^2 + 3x}, \dfrac{2}{x^2 + 5x + 6}, \dfrac{3}{x^2 - x - 12}$

সমাধান : ১ম ভগ্নাংশের হর $= x^2 + 3x = x(x + 3)$

২য় ভগ্নাংশের হর $= x^2 + 5x + 6 = x^2 + 2x + 3x + 6$

$= x(x + 2) + 3(x + 2) = (x + 2)(x + 3)$

৩য় ভগ্নাংশের হর $= x^2 - x - 12 = x^2 + 3x - 4x - 12$

$= x(x + 3) - 4(x + 3) = (x + 3)(x - 4)$

হর তিনটির ল.সা.গু. $x(x + 2)(x + 3)(x - 4)$

এবার ভগ্নাংশগুলোকে সমহরবিশিষ্ট করি-

$\therefore$ ১ম ভগ্নাংশ $= \dfrac{1}{x^2 + 3x} = \dfrac{1 \times (x + 2)(x - 4)}{x(x + 3) \times (x + 2)(x - 4)} = \dfrac{(x + 2)(x - 4)}{x(x + 2)(x + 3)(x - 4)}$

Printed page 94

২য় ভগ্নাংশ $= \dfrac{2}{x^2 + 5x + 6} = \dfrac{2}{(x + 2)(x + 3)} = \dfrac{2 \times x(x - 4)}{(x + 2)(x + 3) \times x(x - 4)}$

$= \dfrac{2x(x - 4)}{x(x + 2)(x + 3)(x - 4)}$

৩য় ভগ্নাংশ $= \dfrac{3}{x^2 - x - 12} = \dfrac{3}{(x + 3)(x - 4)} = \dfrac{3 \times x(x + 2)}{(x + 3)(x - 4) \times x(x + 2)}$

$= \dfrac{3x(x + 2)}{x(x + 2)(x + 3)(x - 4)}$

$\therefore$ নির্ণেয় ভগ্নাংশ তিনটি যথাক্রমে

$\dfrac{(x + 2)(x - 4)}{x(x + 2)(x + 3)(x - 4)}, \dfrac{2x(x - 4)}{x(x + 2)(x + 3)(x - 4)}, \dfrac{3x(x + 2)}{x(x + 2)(x + 3)(x - 4)}$

কাজ :

১। রাশি তিনটির ল.সা.গু. নির্ণয় করো: $a^2 + 3a, a^2 + 5a + 6, a^2 - a - 12$

২। সাধারণ হরবিশিষ্ট ভগ্নাংশে প্রকাশ করো: $\dfrac{a}{2x}, \dfrac{b}{4y}$