Mathematics chapter 7: Simple Equations

সপ্তম অধ্যায়

সরল সমীকরণ

আমরা ষষ্ঠ শ্রেণিতে সমীকরণ ও সরল সমীকরণ কী তা জেনেছি এবং বাস্তবভিত্তিক সমস্যা থেকে সমীকরণ গঠন করে তা সমাধান করতে শিখেছি। সপ্তম শ্রেণির এ অধ্যায়ে আমরা সমীকরণ সমাধানের কিছু বিধি ও এদের প্রয়োগ সম্পর্কে জানব এবং বাস্তব সমস্যার ভিত্তিতে সমীকরণ গঠন করে তা সমাধান করা শিখব। এ ছাড়াও এ অধ্যায়ে লেখচিত্র সম্পর্কে প্রাথমিক ধারণা দেওয়া হয়েছে এবং সমীকরণের সমাধান লেখচিত্রে দেখানো হয়েছে।

অধ্যায় শেষে শিক্ষার্থীরা –

• সমীকরণের পক্ষান্তরবিধি, বর্জনবিধি, আড়গুণনবিধি, প্রতিসাম্যবিধি ব্যাখ্যা করতে পারবে;
• সমীকরণের বিধিসমূহ প্রয়োগ করে সমীকরণ সমাধান করতে পারবে;
• সরল সমীকরণ গঠন ও সমাধান করতে পারবে;
• লেখচিত্র কী তা ব্যাখ্যা করতে পারবে;
• লেখচিত্রের অক্ষ ও সুবিধাজনক একক নিয়ে বিন্দুপাতন করতে পারবে;
• লেখচিত্রের সাহায্যে সমীকরণের সমাধান করতে পারবে।

৭·১ পূর্ব পাঠের পুনরালোচনা

(১) যোগের ও গুণের বিনিময়বিধি

$a, b$ এর যেকোনো মানের জন্য, $a + b = b + a$ এবং $ab = ba$

(২) গুণের বণ্টনবিধি

$a, b, c$ এর যেকোনো মানের জন্য, $a(b + c) = ab + ac$, $(b + c)a = ba + ca$

আমরা সমীকরণটি লক্ষ করি : $x + 3 = 7$।
(ক) সমীকরণটির অজ্ঞাত রাশি বা চলক কোনটি?
(থ) সমীকরণটির প্রক্রিয়া চিহ্ন কোনটি?
(গ) সমীকরণটি সরল সমীকরণ কি না?
(ঘ) সমীকরণটির মূল কত?

আমরা জানি চলক, প্রক্রিয়া চিহ্ন ও সমান চিহ্ন সংবলিত গাণিতিক বাক্যকে সমীকরণ বলে। আর চলকের এক ঘাত বিশিষ্ট সমীকরণকে সরল সমীকরণ বলে। সরল সমীকরণ এক বা একাধিক চলকবিশিষ্ট হতে পারে।
যেমন, $x + 3 = 7$, $2y - 1 = y + 3$, $3z - 5 = 0$, $4x + 3 = x - 1$,
$x + 4y - 1 = 0$, $2x - y + 1 = x + y$ ইত্যাদি, এগুলো সরল সমীকরণ।

Printed page 103

আমরা এ অধ্যায়ে শুধু এক চলকবিশিষ্ট সরল সমীকরণ নিয়ে আলোচনা করব।
সমীকরণ সমাধান করে চলকের যে মান পাওয়া যায়, একে সমীকরণটির মূল বলে। মূলটি দ্বারা সমীকরণটি সিদ্ধ হয়। অর্থাৎ, চলকটির ঐ মান সমীকরণে বসালে সমীকরণটির দুইপক্ষ সমান হয়।

সমীকরণ সমাধানের জন্য চারটি স্বতঃসিদ্ধ আছে, তা আমরা জানি। এগুলো হলো :

• পরস্পর সমান রাশির প্রত্যেকটির সাথে একই রাশি যোগ করলে যোগফলগুলো পরস্পর সমান হয়।
• পরস্পর সমান রাশির প্রত্যেকটি থেকে একই রাশি বিয়োগ করলে বিয়োগফলগুলো পরস্পর সমান হয়।
• পরস্পর সমান রাশির প্রত্যেকটিকে একই রাশি দ্বারা গুণ করলে গুণফলগুলো পরস্পর সমান হয়।
• পরস্পর সমান রাশির প্রত্যেকটিকে অশূন্য একই রাশি দ্বারা ভাগ করলে ভাগফলগুলো পরস্পর সমান হয়।

কাজ :
$2x - 1 = 0$ সমীকরণটির ঘাত কত? এর প্রক্রিয়া চিহ্ন কোনটি লিখ। সমীকরণটির মূল কত?

৭·২ সমীকরণের বিধিসমূহ

(১) পক্ষান্তরবিধি

Figure

লেবেল: সমীকরণ-১, $x - 5 = 3$, পরবর্তী ধাপ, (ক) $x - 5 + 5 = 3 + 5$ [স্বতঃসিদ্ধ (১)], (খ) $x = 3 + 5$ বর্ণনা: সমীকরণ-১ $x - 5 = 3$ থেকে তীরচিহ্ন দিয়ে পরবর্তী ধাপ হিসেবে দুটি শাখা দেখানো হয়েছে: ওপরের তীর নির্দেশ করে (ক) $x - 5 + 5 = 3 + 5$ [স্বতঃসিদ্ধ (১)] এবং নিচের তীর নির্দেশ করে (খ) $x = 3 + 5$।

Figure

লেবেল: সমীকরণ-২, $4x = 3x + 7$, পরবর্তী ধাপ, (ক) $4x - 3x = 3x + 7 - 3x$ [স্বতঃসিদ্ধ (২)], (খ) $4x - 3x = 7$ বর্ণনা: সমীকরণ-২ $4x = 3x + 7$ থেকে তীরচিহ্ন দিয়ে পরবর্তী ধাপ হিসেবে দুটি শাখা দেখানো হয়েছে: ওপরের তীর নির্দেশ করে (ক) $4x - 3x = 3x + 7 - 3x$ [স্বতঃসিদ্ধ (২)] এবং নিচের তীর নির্দেশ করে (খ) $4x - 3x = 7$।

সমীকরণ-১ এ (খ) এর ক্ষেত্রে 5 এর চিহ্ন পরিবর্তিত হয়ে বামপক্ষ থেকে ডানপক্ষে গেছে। সমীকরণ-২ এ (খ) এর ক্ষেত্রে $3x$ এর চিহ্ন পরিবর্তিত হয়ে ডানপক্ষ থেকে বামপক্ষে গেছে।

কোনো সমীকরণের যেকোনো পদকে এক পক্ষ থেকে চিহ্ন পরিবর্তন করে অপরপক্ষে সরাসরি স্থানান্তর করা যায়। এই স্থানান্তরকে বলে পক্ষান্তরবিধি।

উদাহরণ ১। সমাধান করো: $x + 3 = 9$
সমাধান : $x + 3 = 9$
বা, $x = 9 - 3$ [পক্ষান্তর করে]
বা, $x = 6$
$\therefore$ সমাধান : $x = 6$

Printed page 104

(২) বর্জনবিধি
$(a)$ যোগের বর্জনবিধি :

Figure

লেবেল: সমীকরণ-১, $2x + 3 = a + 3$, পরবর্তী ধাপ, (ক) $2x + 3 - 3 = a + 3 - 3$ [স্বতঃসিদ্ধ (২)], (খ) $2x = a$ বর্ণনা: সমীকরণ-১ $2x + 3 = a + 3$ থেকে দুটি তীরচিহ্ন পরবর্তী ধাপ নির্দেশ করে: ওপরে (ক) $2x + 3 - 3 = a + 3 - 3$ [স্বতঃসিদ্ধ (২)] এবং নিচে (খ) $2x = a$।

Figure

লেবেল: সমীকরণ-২, $7x - 5 = 2a - 5$, পরবর্তী ধাপ, (ক) $7x - 5 + 5 = 2a - 5 + 5$ [স্বতঃসিদ্ধ (১)], (খ) $7x = 2a$ বর্ণনা: সমীকরণ-২ $7x - 5 = 2a - 5$ থেকে দুটি তীরচিহ্ন পরবর্তী ধাপ নির্দেশ করে: ওপরে (ক) $7x - 5 + 5 = 2a - 5 + 5$ [স্বতঃসিদ্ধ (১)] এবং নিচে (খ) $7x = 2a$।

সমীকরণ-১ এ (খ) এর ক্ষেত্রে উভয়পক্ষ থেকে 3 বর্জন করা হয়েছে।
সমীকরণ-২ এ (খ) এর ক্ষেত্রে $- 5$ বর্জন করা হয়েছে।

কোনো সমীকরণের উভয়পক্ষ থেকে একই চিহ্নযুক্ত সদৃশ পদ সরাসরি বর্জন করা যায়। একে বলা হয় যোগের (বা বিয়োগের) বর্জনবিধি।

বিকল্প নিয়ম : $x + 3 = 9$
বা, $x + 3 - 3 = 9 - 3$ [উভয়পক্ষ থেকে 3 বিয়োগ করে]
বা, $x = 6$
$\therefore$ সমাধান : $x = 6$

$(b)$ গুণের বর্জনবিধি

Figure

লেবেল: সমীকরণ, $4(2x + 1) = 4(x - 2)$, পরবর্তী ধাপ, (ক) $\dfrac{4(2x + 1)}{4} = \dfrac{4(x - 2)}{4}$ [স্বতঃসিদ্ধ (৪)], (খ) $2x + 1 = x - 2$ বর্ণনা: সমীকরণ $4(2x + 1) = 4(x - 2)$ থেকে তীরচিহ্ন দিয়ে পরবর্তী ধাপ হিসেবে ওপরে (ক) $\dfrac{4(2x + 1)}{4} = \dfrac{4(x - 2)}{4}$ [স্বতঃসিদ্ধ (৪)] এবং নিচে (খ) $2x + 1 = x - 2$ দেখানো হয়েছে।

(খ) এর ক্ষেত্রে প্রদত্ত সমীকরণটির উভয়পক্ষ থেকে সাধারণ উৎপাদক সরাসরি বর্জন করা যায়।

কোনো সমীকরণের উভয়পক্ষ থেকে সাধারণ উৎপাদক সরাসরি বর্জন করা যায়। একে বলা হয় গুণের বর্জনবিধি।

উদাহরণ ২। সমাধান কর ও শুদ্ধি পরীক্ষা করো: $4y - 5 = 2y - 1$
সমাধান : $4y - 5 = 2y - 1$

Printed page 105

বা, $4y - 2y = -1 + 5$ [পক্ষান্তর করে]
বা, $2y = 4$
বা, $2y = 2 \times 2$
বা, $y = 2$ [উভয়পক্ষ থেকে সাধারণ উৎপাদক 2 বর্জন করে]
$\therefore$ সমাধান : $y = 2$

শুদ্ধি পরীক্ষা : প্রদত্ত সমীকরণে $y$ এর মান 2 বসিয়ে পাই,
বামপক্ষ $= 4y - 5 = 4 \times 2 - 5 = 8 - 5 = 3$
ডানপক্ষ $= 2y - 1 = 2 \times 2 - 1 = 4 - 1 = 3$
$\therefore$ বামপক্ষ $=$ ডানপক্ষ
$\therefore$ সমীকরণটির সমাধান শুদ্ধ হয়েছে।

(৩) আড়গুণনবিধি

Figure

লেবেল: সমীকরণ, $\dfrac{x}{2} = \dfrac{5}{3}$, পরবর্তী ধাপ, (ক) $\dfrac{x}{2} \times 6 = \dfrac{5}{3} \times 6$ [উভয়পক্ষকে হর 2 ও 3 এর ল.সা.গু. 6 দ্বারা গুণ করা হয়েছে], (খ) $3 \times x = 2 \times 5$ বর্ণনা: সমীকরণ $\dfrac{x}{2} = \dfrac{5}{3}$ থেকে দুটি তীরচিহ্ন পরবর্তী ধাপ নির্দেশ করে: ওপরে (ক) $\dfrac{x}{2} \times 6 = \dfrac{5}{3} \times 6$ [উভয়পক্ষকে হর 2 ও 3 এর ল.সা.গু. 6 দ্বারা গুণ করা হয়েছে] এবং নিচে (খ) $3 \times x = 2 \times 5$।

সমীকরণটির (খ) এর ক্ষেত্রে লিখতে পারি,

বামপক্ষের লব $\times$ ডানপক্ষের হর $=$ বামপক্ষের হর $\times$ ডানপক্ষের লব
একে বলা হয় আড়গুণনবিধি।

উদাহরণ ৩। সমাধান করো: $\dfrac{2z}{3} - \dfrac{z}{6} = -\dfrac{3}{4}$
সমাধান : $\dfrac{2z}{3} - \dfrac{z}{6} = -\dfrac{3}{4}$
বা, $\dfrac{4z - z}{6} = -\dfrac{3}{4}$ [বামপক্ষে হর 3, 6 এর ল.সা.গু. 6]
বা, $\dfrac{3z}{6} = -\dfrac{3}{4}$

Printed page 106

বা, $\dfrac{z}{2} = -\dfrac{3}{4}$
বা, $4 \times z = 2 \times (-3)$ [আড়গুণন করে]
বা, $2 \times 2z = 2 \times (-3)$
বা, $2z = -3$ [উভয়পক্ষ থেকে সাধারণ উৎপাদক 2 বর্জন করে]
বা, $\dfrac{2z}{2} = -\dfrac{3}{2}$ [উভয়পক্ষকে 2 দ্বারা ভাগ করে]
বা, $z = -\dfrac{3}{2}$
$\therefore$ সমাধান : $z = -\dfrac{3}{2}$

(৪) প্রতিসাম্যবিধি
সমীকরণ : $2x + 1 = 5x - 8$
বা, $5x - 8 = 2x + 1$

একই সাথে বামপক্ষের সবগুলো পদ ডানপক্ষে ও ডানপক্ষের সবগুলো পদ বামপক্ষে কোনো চিহ্ন পরিবর্তন না করে স্থানান্তর করা যায়। একে বলা হয় প্রতিসাম্যবিধি।

উল্লিখিত স্বতঃসিদ্ধসমূহ ও বিধিসমূহ প্রয়োগ করে একটি সমীকরণকে অপর একটি সহজ সমীকরণে রূপান্তর করে সবশেষে তা $x = a$ আকারে পাওয়া যায়। অর্থাৎ, চলক $x$ এর মান $a$ নির্ণয় করা হয়।

উদাহরণ ৪। সমাধান করো: $2(5 + x) = 16$
সমাধান : $2(5 + x) = 16$
বা, $2 \times 5 + 2 \times x = 16$ [বণ্টনবিধি অনুসারে]
বা, $10 + 2x = 16$
বা, $2x = 16 - 10$ [পক্ষান্তরবিধি]
বা, $2x = 6$
বা, $\dfrac{2x}{2} = \dfrac{6}{2}$ [গুণের বণ্টনবিধি]
বা, $x = 3$
$\therefore$ সমাধান $x = 3$

Printed page 107

উদাহরণ ৫। সমাধান করো: $\dfrac{3x + 7}{4} + \dfrac{5x - 4}{7} = x + 3\dfrac{1}{2}$
সমাধান : $\dfrac{3x + 7}{4} + \dfrac{5x - 4}{7} = x + 3\dfrac{1}{2}$
বা, $\dfrac{3x + 7}{4} + \dfrac{5x - 4}{7} - x = \dfrac{7}{2}$ [পক্ষান্তর করে]
বা, $\dfrac{7(3x + 7) + 4(5x - 4) - 28x}{28} = \dfrac{7}{2}$ [বামপক্ষে হর 4, 7 এর ল.সা.গু. 28]
বা, $\dfrac{21x + 49 + 20x - 16 - 28x}{28} = \dfrac{7}{2}$ [বণ্টনবিধি অনুসারে]
বা, $\dfrac{13x + 33}{28} = \dfrac{7}{2}$
বা, $28 \times \dfrac{13x + 33}{28} = 28 \times \dfrac{7}{2}$ [উভয়পক্ষকে 28 দ্বারা গুণ করে]
বা, $13x + 33 = 98$
বা, $13x = 98 - 33$
বা, $13x = 65$
বা, $\dfrac{13x}{13} = \dfrac{65}{13}$ [উভয়পক্ষকে 13 দ্বারা ভাগ করে]
বা, $x = 5$
$\therefore$ সমাধান : $x = 5$

কাজ : সমাধান করো।
১। $2x - 1 = 0$ $\quad$ ২। $\dfrac{x}{2} + 1 = 3$ $\quad$ ৩। $4(y - 3) = 8$