Mathematics chapter 9: Triangle

নবম অধ্যায়

ত্রিভুজ

আমরা জেনেছি, তিনটি রেখাংশ দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের সীমারেখাকে ত্রিভুজ বলা হয় এবং রেখাংশগুলোকে ত্রিভুজের বাহু বলে। যেকোনো দুটি বাহুর সাধারণ বিন্দুকে শীর্ষবিন্দু বলা হয়। দুটি বাহু শীর্ষবিন্দুতে যে কোণ উৎপন্ন করে তা ত্রিভুজের একটি কোণ। ত্রিভুজের তিনটি বাহু ও তিনটি কোণ আছে। বাহুভেদে ত্রিভুজ তিন প্রকার: সমবাহু, সমদ্বিবাহু ও বিষমবাহু। আবার কোণভেদেও ত্রিভুজ তিন প্রকার: সূক্ষ্মকোণী, স্থূলকোণী ও সমকোণী। ত্রিভুজের বাহু তিনটির দৈর্ঘ্যের সমষ্টিকে ত্রিভুজের পরিসীমা বলা হয়। এর আলোকে ত্রিভুজের অন্যান্য বৈশিষ্ট্য এবং ত্রিভুজ সংক্রান্ত মৌলিক উপপাদ্য ও অঙ্কন বিষয়ে আলোচনা করা হয়েছে।

অধ্যায় শেষে শিক্ষার্থীরা – ➢ ত্রিভুজের অন্তঃস্থ ও বহিঃস্থ কোণ বর্ণনা করতে পারবে; ➢ ত্রিভুজের মৌলিক উপপাদ্যগুলো প্রমাণ করতে পারবে; ➢ বিভিন্ন শর্তসাপেক্ষে ত্রিভুজ আঁকতে পারবে; ➢ ত্রিভুজের বাহু ও কোণের পারস্পরিক সম্পর্ক ব্যবহার করে জীবনভিত্তিক সমস্যার সমাধান করতে পারবে; ➢ ত্রিভুজক্ষেত্রের ভূমি ও উচ্চতা মেপে ক্ষেত্রফল পরিমাপ করতে পারবে।

৯·১ ত্রিভুজের মধ্যমা

পাশের চিত্রে, $ABC$ একটি ত্রিভুজ। $A, B, C$ ত্রিভুজটির তিনটি শীর্ষবিন্দু। $AB, BC, CA$ ত্রিভুজটির তিনটি বাহু এবং $\angle A, \angle B, \angle C$ তিনটি কোণ। ত্রিভুজটির যেকোনো একটি বাহু $BC$ এর মধ্যবিন্দু $D$ নির্ণয় করি এবং $D$ হতে বিপরীত শীর্ষবিন্দু $A$ পর্যন্ত রেখাংশ আঁকি। $AD$, $ABC$ ত্রিভুজের একটি মধ্যমা।

Figure

লেবেল: A, B, C, D বর্ণনা: একটি ত্রিভুজ $ABC$। ভূমি $BC$ এর মধ্যবিন্দু $D$ নির্ণয়ের জন্য উল্লম্ব ড্যাশ রেখা ও বৃত্তচাপ দেখানো হয়েছে, এবং $BD$ ও $DC$ সমান নির্দেশক চিহ্ন রয়েছে। শীর্ষবিন্দু $A$ ও মধ্যবিন্দু $D$ রেখাংশ দ্বারা যুক্ত।

ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু থেকে বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দু পর্যন্ত অঙ্কিত রেখাংশ মধ্যমা।

Printed page 128

৯·২ ত্রিভুজের উচ্চতা

পাশের চিত্রে, $ABC$ একটি ত্রিভুজ। $A$ শীর্ষবিন্দু হতে বিপরীত বাহু $BC$ এর লম্ব দূরত্বই ত্রিভুজের উচ্চতা। $A$ হতে $BC$ এর উপর লম্ব $AM$ অঙ্কন করি। $AM$, $ABC$ ত্রিভুজের উচ্চতা। এভাবে প্রত্যেক শীর্ষবিন্দু হতে ত্রিভুজের উচ্চতা নির্ণয় করা যায়।

Figure

লেবেল: A, B, C, M বর্ণনা: একটি ত্রিভুজ $ABC$। শীর্ষবিন্দু $A$ হতে বিপরীত বাহু $BC$-এর ওপর অঙ্কিত লম্ব রেখাংশ $AM$ ড্যাশযুক্ত রেখায় দেখানো হয়েছে এবং $M$ বিন্দুতে সমকোণ চিহ্ন আঁকা রয়েছে।

৯·৩ ত্রিভুজের বহিঃস্থ ও অন্তঃস্থ কোণ

কোনো ত্রিভুজের একটি বাহু বর্ধিত করলে যে কোণ উৎপন্ন হয় তা ত্রিভুজটির একটি বহিঃস্থ কোণ। এই কোণের সন্নিহিত কোণটি ছাড়া ত্রিভুজের অপর দুটি কোণকে এই বহিঃস্থ কোণের বিপরীত অন্তঃস্থ কোণ বলা হয়। পাশের চিত্রে, $\Delta ABC$ এর $BC$ বাহুকে $D$ পর্যন্ত বর্ধিত করা হয়েছে। $\angle ACD$ ত্রিভুজটির একটি বহিঃস্থ কোণ। $\angle ABC, \angle BAC$ ও $\angle ACB$ ত্রিভুজটির তিনটি অন্তঃস্থ কোণ। $\angle ACB$ কে $\angle ACD$ এর পরিপ্রেক্ষিতে সন্নিহিত অন্তঃস্থ কোণ বলা হয়। $\angle ABC$ ও $\angle BAC$ এর প্রত্যেককে $\angle ACD$ এর বিপরীত অন্তঃস্থ কোণ বলা হয়।

Figure

লেবেল: A, B, C, D, বিপরীত অন্তঃস্থ কোণ, বহিঃস্থ কোণ, সন্নিহিত অন্তঃস্থ কোণ বর্ণনা: ত্রিভুজ $ABC$-এর বাহু $BC$-কে $D$ পর্যন্ত বর্ধিত করা হয়েছে। উৎপন্ন কোণ $\angle ACD$-কে "বহিঃস্থ কোণ", তার পাশের $\angle ACB$-কে "সন্নিহিত অন্তঃস্থ কোণ", এবং বিপরীত পাশের $\angle ABC$ ও $\angle BAC$-কে "বিপরীত অন্তঃস্থ কোণ" হিসেবে নির্দেশক তীর দিয়ে দেখানো হয়েছে।

কাজ

১। ত্রিভুজের কয়টি মধ্যমা? কয়টি উচ্চতা?
২। মধ্যমা ও উচ্চতা কি সর্বদাই ত্রিভুজের অভ্যন্তরে থাকবে?
৩। একটি ত্রিভুজ আঁকো, যার উচ্চতা ও মধ্যমা একই রেখাংশ।

৯·৪ ত্রিভুজের তিন কোণের যোগফল

কোণগুলোকে নিয়ে ত্রিভুজের একটি অসাধারণ ধর্ম রয়েছে। নিচের তিনটি কাজ করি এবং ফলাফল পর্যবেক্ষণ করি।

কাজ :

১। একটি ত্রিভুজ আঁকো। এর কোণ তিনটি কেটে চিত্র (ii) এর ন্যায় সাজাও। তিনটি কোণ মিলে এখন একটি কোণ হলো। কোণটি সরল কোণ এবং এর পরিমাপ ১৮০°। ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি ১৮০°।

Figure

লেবেল: (i), (ii), 1, 2, 3 বর্ণনা: চিত্র (i)-এ একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণ 1, 2, 3 চিহ্নিত। চিত্র (ii)-তে কোণ তিনটি কেটে পাশাপাশি একটি সরলরেখার ওপর স্থাপন করে দেখানো হয়েছে, যা একটি সরল কোণ তৈরি করেছে।

Printed page 129

২। একটি ত্রিভুজ আঁকো এবং এর অনুরূপ আরও দুটি ত্রিভুজ আঁক। ত্রিভুজ তিনটি চিত্রের মত করে সাজাও। কোণ তিনটি একত্রে সরল কোণ তৈরি করে কি?

Figure

লেবেল: A, B, C, 1, 2, 3 বর্ণনা: উপরে তিনটি অনুরূপ ত্রিভুজ, যার প্রথমটির শীর্ষবিন্দু A, B, C এবং প্রতিটির কোণ 1, 2, 3 চিহ্নিত। নিচে ত্রিভুজ তিনটি পাশাপাশি যুক্ত করে কোণ 1, 2, 3 একটি সরলরেখার ওপর সন্নিহিতভাবে স্থাপন করা হয়েছে।

৩। খাতায় তোমার পছন্দ মতো তিনটি ত্রিভুজ অঙ্কন করো। চাঁদার সাহায্যে প্রতিটি ত্রিভুজের কোণগুলো পরিমাপ করো। এবং নিচের সারণিটি পূরণ করো। (একটি করে দেখানো হলো)

প্রতিটি ক্ষেত্রে কোণ তিনটির যোগফল মোটামুটি 180° হয়েছে কি?

উপপাদ্য ১। ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি দুই সমকোণের সমান।

Figure

লেবেল: A, B, C, D, E, 1, 2, 3 বর্ণনা: দুটি চিত্র। প্রথম চিত্রে ত্রিভুজ $ABC$, যার কোণগুলো 1, 2, 3 চিহ্নিত। দ্বিতীয় চিত্রে বাহু $BC$-কে $D$ পর্যন্ত বর্ধিত করা হয়েছে এবং $C$ বিন্দু দিয়ে $BA$-এর সমান্তরাল রেখাংশ $CE$ আঁকা হয়েছে। কোণগুলো চিহ্নিত: $\angle A = 1$, $\angle B = 2$, $\angle ACB = 3$, $\angle ACE = 1$ এবং $\angle ECD = 2$।

বিশেষ নির্বচন : মনে করি, $ABC$ একটি ত্রিভুজ।

প্রমাণ করতে হবে যে, $\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB =$ দুই সমকোণ।

অঙ্কন : $BC$ বাহুকে $D$ পর্যন্ত বর্ধিত করি এবং $BA$ রেখার সমান্তরাল করে $CE$ রেখা আঁকি।

Printed page 130

প্রমাণ :

অনুসিদ্ধান্ত ১। ত্রিভুজের একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয়, তা এর বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান।

অনুসিদ্ধান্ত ২। ত্রিভুজের একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয়, তা এর অন্তঃস্থ বিপরীত কোণ দুটির প্রত্যেকটি অপেক্ষা বৃহত্তর।

অনুসিদ্ধান্ত ৩। সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয় পরস্পর পূরক।

অনুসিদ্ধান্ত ৪। সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেকটি কোণের পরিমাপ $60^\circ$।

অনুশীলনী ৯·১

১। $\angle ABD, \angle CBD$ এবং $\angle BCD$ এর মান নির্ণয় করো।

Figure

লেবেল: A, B, C, D, 48° বর্ণনা: একটি সমকোণী ত্রিভুজ $ABC$, যার $\angle B$ সমকোণ। শীর্ষ $B$ থেকে অতিভুজ $AC$-এর ওপর লম্ব $BD$ টানা হয়েছে, এবং $D$ বিন্দুতে সমকোণ চিহ্নিত। $\angle A$ কোণের মান $48^\circ$ দেওয়া আছে।

২। একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুতে অবস্থিত কোণটির মান $50^\circ$। অবশিষ্ট কোণ দুটির মান নির্ণয় করো।

৩। প্রমাণ কর যে, চতুর্ভুজের চারটি কোণের সমষ্টি চার সমকোণের সমান।

৪। $\Delta ABC$-এর $AC \perp BC$; $E$, $AC$ এর বর্ধিতাংশের উপর যেকোনো বিন্দু এবং $ED \perp AB$

$ED$ এবং $BC$ পরস্পরকে $O$ বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করো যে, $\angle CEO = \angle DBO$

Printed page 131

৯·৫ ত্রিভুজের বাহু ও কোণের সম্পর্ক

পাশের চিত্রে ABC একটি ত্রিভুজ। ত্রিভুজটির তিনটি বাহু AB, BC, CA এবং তিনটি কোণ হলো $\angle ABC$ (সংক্ষেপে $\angle B$), $\angle BCA$ (সংক্ষেপে $\angle C$) এবং $\angle BAC$ (সংক্ষেপে $\angle A$)। সাধারণত $\angle A$, $\angle B$ ও $\angle C$ এর বিপরীত বাহুগুলোকে যথাক্রমে a, b ও c দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
$\therefore \text{BC}=\text{a}, \text{CA}=\text{b} \text{ এবং } \text{AB}=\text{c}$

ত্রিভুজের বাহু ও কোণের মধ্যে সম্পর্ক রয়েছে। বিষয়টি বোঝার জন্য নিচের কাজটি কর।

কাজ

১। যেকোনো একটি কোণ আঁকো। কোণটির শীর্ষবিন্দু থেকে উভয় বাহুতে সমান দূরত্বে দুটি বিন্দু চিহ্নিত কর। বিন্দু দুটি যুক্ত করো। একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ অঙ্কিত হলো। চাঁদার সাহায্যে ভূমি সংলগ্ন কোণ দুটি পরিমাপ কর। কোণ দুটি কি সমান?

যদি কোনো ত্রিভুজের দুটি বাহু পরস্পর সমান হয়, তবে এদের বিপরীত কোণ দুটিও পরস্পর সমান। পরবর্তী অধ্যায়ে এই প্রতিজ্ঞাটির যুক্তিমূলক প্রমাণ করা হবে। অর্থাৎ, $ABC$ ত্রিভুজে $AB = AC$ হলে, $\angle ABC = \angle ACB$ হবে। সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের এ বৈশিষ্ট্য বিভিন্ন যুক্তিমূলক প্রমাণে প্রয়োগ করা হয়।

Figure

লেবেল: A, B, C বর্ণনা: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ $ABC$, যার বাহু $AB$ ও $AC$-এ সমান নির্দেশক দাগ রয়েছে এবং ভূমি সংলগ্ন কোণদ্বয় $\angle B$ ও $\angle C$-এ $\times$ চিহ্ন দ্বারা সমান বোঝানো হয়েছে।

কাজ

১। যেকোনো তিনটি ত্রিভুজ আঁক। রুলারের সাহায্যে প্রতিটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য ও চাঁদার সাহায্যে তিনটি কোণ পরিমাপ কর এবং নিচের সারণিটি পূরণ কর।

প্রতিটি ক্ষেত্রে যেকোনো দুটি বাহু ও এদের বিপরীত কোণগুলো তুলনা কর। এ থেকে কী সিদ্ধান্তে উপনীত হওয়া যায়?