Mathematics chapter 10: Congruence and Similarity

দশম অধ্যায়

সর্বসমতা ও সদৃশতা

আমাদের চারদিকে বিভিন্ন আকৃতি ও আকারের বস্তু দেখতে পাই। এদের কিছু হুবহু সমান, আবার কিছু দেখতে একই রকম, কিন্তু সমান নয়। তোমাদের শ্রেণির শিক্ষার্থীদের প্রত্যেকের গণিত পাঠ্যপুস্তকটি আকৃতি, আকার ও ওজনে একই, সেগুলো সবদিক দিয়ে সমান বা সর্বসম। আবার একটি গাছের পাতাগুলোর আকৃতি একই হলেও আকারে ভিন্ন, পাতাগুলো দেখতে এক রকম বা সদৃশ। ফটোগ্রাফির দোকানে যখন আমরা মূলকপির অতিরিক্ত কপি চাই তা মূলকপির হুবহু সমান, বড়ো বা ছোটো করে চাইতে পারি। কপিটি যদি মূলকপির সমান হয় সেক্ষেত্রে কপি দুটি সর্বসম। কপিটি যদি মূলকপির চেয়ে বড়ো বা ছোটো হয় সেক্ষেত্রে কপি দুটি সদৃশ। এই অধ্যায়ে আমরা অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ এই দুই জ্যামিতিক ধারণা নিয়ে আলোচনা করব। আমরা আপাতত সমতলীয় ক্ষেত্রের সর্বসমতা ও সদৃশতা বিবেচনা করব।

অধ্যায় শেষে শিক্ষার্থীরা –

• বিভিন্ন জ্যামিতিক আকার ও আকৃতি হতে সর্বসম এবং সদৃশ আকার ও আকৃতি চিহ্নিত করতে পারবে;
• সর্বসমতা ও সদৃশতার মধ্যে পার্থক্য করতে পারবে;
• ত্রিভুজের সর্বসমতা প্রমাণ করতে পারবে;
• ত্রিভুজ ও চতুর্ভুজের সদৃশতা ব্যাখ্যা করতে পারবে;
• সর্বসমতা ও সদৃশতার বৈশিষ্ট্যের ভিত্তিতে সহজ সমস্যার সমাধান করতে পারবে।

১০·১ সর্বসমতা

নিচের সমতলীয় চিত্র দুটি দেখতে একই আকৃতি ও আকারের। চিত্র দুটি সর্বসম কিনা নিশ্চিত হওয়ার জন্য উপরিপাতন পদ্ধতি গ্রহণ করা যায়। এ পদ্ধতিতে প্রথম চিত্রের একটি অনুরূপ কপি করে দ্বিতীয়টির উপর রাখি। যদি চিত্রগুলো পরস্পরকে সম্পূর্ণরূপে আবৃত করে, তবে এরা সর্বসম। চিত্র $F_1$ ও চিত্র $F_2$ সর্বসম হলে, আমরা $F_1 \cong F_2$ দ্বারা প্রকাশ করি।

Figure

লেবেল: $\text{F}_1$, (I), $\text{F}_2$, (II) বর্ণনা: দুটি সমতলীয় ক্ষেত্র; বামে (I) নং চিত্র $\text{F}_1$ এবং ডানে (II) নং চিত্র $\text{F}_2$, যাদের আকার ও আকৃতি হুবহু একই।

দুটি রেখাংশ কখন সর্বসম হবে? চিত্রে দুই জোড়া রেখাংশ আঁকা হয়েছে। উপরিপাতন পদ্ধতিতে $AB$ এর অনুরূপ কপি $CD$ এর উপর রেখে দেখি যে, $AB$ রেখাংশ $CD$ রেখাংশকে ঢেকে দিয়েছে এবং $A$ ও $B$ বিন্দু যথাক্রমে $C$ ও $D$ বিন্দুর উপর পতিত হয়েছে। সুতরাং রেখাংশ দুটি সর্বসম। একই কাজ

Printed page 146

দ্বিতীয় জোড়া সরলরেখার জন্য করে দেখি যে, রেখাংশ দুটি সর্বসম নয়। লক্ষ করি, কেবল প্রথম জোড়া রেখাংশের দৈর্ঘ্য সমান।

Figure

লেবেল: A, B, C, D, (I), R, Q, R, S, (II) বর্ণনা: দুটি জোড়া রেখাংশ; (I) চিত্রে রেখাংশ $AB$ ও $CD$, যাদের দৈর্ঘ্য সমান; (II) চিত্রে অসমান দৈর্ঘ্যের দুটি রেখাংশ $RQ$ ও $RS$।

দুটি রেখাংশের দৈর্ঘ্য সমান হলে রেখাংশ দুটি সর্বসম। আবার বিপরীতভাবে, দুটি রেখাংশ সর্বসম হলে এদের দৈর্ঘ্য সমান।

দুইটি কোণ কখন সর্বসম হবে? চিত্রে $40^\circ$ দুইটি কোণ আঁকা হয়েছে। উপরিপাতন পদ্ধতি গ্রহণ করে প্রথম চিত্রের একটি অনুরূপ কপি করে দ্বিতীয়টির উপর রাখি। $B$ বিন্দু $Q$ বিন্দুর উপর এবং $BA$ রশ্মি $QP$ রশ্মির উপর পতিত হয়েছে। লক্ষ করি, কোণ দুটির পরিমাপ সমান বলে $BC$ রশ্মি $QR$ রশ্মির উপর পতিত হয়েছে। অর্থাৎ $\angle ABC \cong \angle PQR$

Figure

লেবেল: B, C, A, 40°, (I), Q, R, P, 40°, (II) বর্ণনা: দুটি $40^\circ$ কোণ; (I) চিত্রে $\angle ABC = 40^\circ$ এবং (II) চিত্রে $\angle PQR = 40^\circ$।

দুটি কোণের পরিমাপ সমান হলে কোণ দুটি সর্বসম। আবার বিপরীতভাবে, দুটি কোণ সর্বসম হলে এদের পরিমাপও সমান।

১০·২ ত্রিভুজের সর্বসমতা

একটি ত্রিভুজকে অপর একটি ত্রিভুজের উপর স্থাপন করলে যদি ত্রিভুজ দুটি সর্বতোভাবে মিলে যায়, তবে ত্রিভুজ দুটি সর্বসম হয়। সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু ও অনুরূপ কোণগুলো সমান। নিচের $\Delta ABC$ ও $\Delta DEF$ সর্বসম।

Figure

লেবেল: A, B, C, D, E, F বর্ণনা: দুটি ত্রিভুজ $\Delta ABC$ ও $\Delta DEF$; শীর্ষবিন্দু যথাক্রমে $A, B, C$ এবং $D, E, F$।

$\Delta ABC$ ও $\Delta DEF$ সর্বসম হলে এবং $A, B, C$ শীর্ষ যথাক্রমে $D, E, F$ শীর্ষের উপর পতিত হলে
$AB = DE, AC = DF, BC = EF$
$\angle A = \angle D, \angle B = \angle E, \angle C = \angle F$ হবে।
$\Delta ABC$ ও $\Delta DEF$ সর্বসম বোঝাতে $\Delta ABC \cong \Delta DEF$ লেখা হয়।
ত্রিভুজের সর্বসমতা প্রমাণের জন্য কী তথ্য প্রয়োজন? এ জন্য দলগতভাবে পরের পৃষ্ঠার কাজটি কর:

Printed page 147

কাজ

১। $\Delta ABC$ একটি ত্রিভুজ আঁকো যেন $AB = 5$ সে.মি., $BC = 6$ সে.মি.এবং $\angle B = 60^\circ$ হয়।
(ক) ত্রিভুজের তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য এবং অন্য কোণ দুটি পরিমাপ করো।
(খ) তোমাদের পরিমাপগুলো তুলনা করো। কী দেখতে পাচ্ছ?

উপপাদ্য ১ (বাহু-কোণ-বাহু উপপাদ্য)

যদি দুটি ত্রিভুজের একটির দুই বাহু যথাক্রমে অপরটির দুই বাহুর সমান হয় এবং বাহু দুটির অন্তর্ভুক্ত কোণ দুটি পরস্পর সমান হয়, তবে ত্রিভুজ দুটি সর্বসম হয়।

বিশেষ নির্বচন: মনে করি,
$\Delta ABC$ ও $\Delta DEF$ এ $AB = DE, AC = DF$
এবং অন্তর্ভুক্ত $\angle BAC =$ অন্তর্ভুক্ত $\angle EDF$
প্রমাণ করতে হবে যে, $\Delta ABC \cong \Delta DEF$

Figure

লেবেল: A, B, C, D, E, F বর্ণনা: দুটি ত্রিভুজ $\Delta ABC$ ও $\Delta DEF$; $AB$ ও $DE$ বাহুতে একটি করে দাগ ($|$), $AC$ ও $DF$ বাহুতে দুটি করে দাগ ($||$) এবং অন্তর্ভুক্ত কোণ $\angle BAC$ ও $\angle EDF$ কোণ-চিহ্নিত।

প্রমাণ

Printed page 148

উদাহরণ ১। চিত্রে, $AO = OB, CO = OD$
প্রমাণ কর যে, $\Delta AOD \cong \Delta BOC$
প্রমাণ : $\Delta AOD$ এবং $\Delta BOC$ এ
$AO = OB, CO = OD$ দেওয়া আছে
এবং তাদের অন্তর্ভুক্ত $\angle AOD =$ অন্তর্ভুক্ত $\angle BOC$
[বিপ্রতীপ কোণ পরস্পর সমান]।
$\therefore \Delta AOD \cong \Delta BOC$ [বাহু-কোণ-বাহু উপপাদ্য] (প্রমাণিত)

Figure

লেবেল: D, B, O, A, C বর্ণনা: পরস্পরছেদী রেখাংশ $AB$ ও $CD$ বিন্দু $O$-তে ছেদ করেছে এবং $\Delta AOD$ ও $\Delta BOC$ ত্রিভুজদ্বয় গঠিত হয়েছে; $AO = OB$ একক দাগ ($|$) দ্বারা এবং $DO = CO$ দ্বৈত দাগ ($||$) দ্বারা চিহ্নিত।

উপপাদ্য ২

যদি কোনো ত্রিভুজের দুটি বাহু পরস্পর সমান হয়, তবে এদের বিপরীত কোণ দুটিও পরস্পর সমান হবে।

বিশেষ নির্বচন : মনে করি, $ABC$ ত্রিভুজে $AB = AC$।
প্রমাণ করতে হবে যে, $\angle ABC = \angle ACB$।
অঙ্কন : $\angle BAC$ এর সমদ্বিখণ্ডক $AD$ আঁকি যেন তা $BC$ কে $D$ বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রমাণ : $\Delta ABD$ এবং $\Delta ACD$ এ
(১) $AB = AC$ (প্রদত্ত)
(২) $AD$ সাধারণ বাহু এবং
(৩) অন্তর্ভুক্ত $\angle BAD =$ অন্তর্ভুক্ত $\angle CAD$ (অঙ্কনানুসারে)
সুতরাং, $\Delta ABD \cong \Delta ACD$ [বাহু-কোণ-বাহু উপপাদ্য]
$\therefore \angle ABD = \angle ACD$ অর্থাৎ, $\angle ABC = \angle ACB$ (প্রমাণিত)

Figure

লেবেল: A, B, D, C বর্ণনা: ত্রিভুজ $ABC$; বাহু $AB = AC$ এক দাগ ($|$) দ্বারা চিহ্নিত, $A$ শীর্ষ থেকে কোণের সমদ্বিখণ্ডক রেখা $AD$ বাহু $BC$-এর ওপর $D$ বিন্দুতে মিলিত হয়েছে এবং $\angle BAC$-এর সমদ্বিখণ্ডক চিহ্নিত।

অনুশীলনী ১০·১

১। চিত্রে, $CD$, $AB$ এর লম্ব সমদ্বিখণ্ডক,
প্রমাণ করো যে $\Delta ADC \cong \Delta BDC$

Figure

লেবেল: C, A, D, B বর্ণনা: ত্রিভুজ $ABC$; শীর্ষ $C$ থেকে ভূমি $AB$-এর মধ্যবিন্দু $D$-তে লম্ব $CD$; $AD$ ও $DB$ বাহুতে সমান দাগ ($|$) এবং $D$ বিন্দুতে সমকোণ চিহ্ন।

২। চিত্রে, $CD = CB$ এবং $\angle DCA = \angle BCA$
প্রমাণ করো যে, $AB = AD$

Figure

লেবেল: D, C, A, B বর্ণনা: চতুর্ভুজ $ABCD$ যেখানে কর্ণ $AC$; $CD$ ও $CB$ বাহুতে দ্বৈত দাগ ($||$) এবং $\angle DCA = \angle BCA$ কোণদ্বয় চিহ্নিত।

৩। চিত্রে, $\angle BAC = \angle ACD$ এবং $AB = DC$
প্রমাণ করো যে, $AD = BC$, $\angle CAD = \angle ACB$
এবং $\angle ADC = \angle ABC$

Figure

লেবেল: D, C, A, B বর্ণনা: চতুর্ভুজ $ABCD$ এবং কর্ণ $AC$।

৪। প্রমাণ করো যে, সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহু বাদে অপর বাহু উভয়দিকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ দুটি পরস্পর সমান।

Printed page 149

৫। চিত্রে, $AD = AE, BD = CE$
এবং $\angle AEC = \angle ADB$
প্রমাণ করো যে, $AB = AC$

Figure

লেবেল: E, B, A, C, D বর্ণনা: বিন্দু $A$ থেকে নির্গত দুটি রেখাংশ $AE$ ও $AD$; $AE$-এর উপর $B$ বিন্দু এবং $AD$-এর উপর $C$ বিন্দু অবস্থিত; রেখাংশ $BD$ ও $CE$ পরস্পরকে ছেদ করেছে।

৬। চিত্রে, $\Delta ABC$ এবং $\Delta DBC$ দুটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
প্রমাণ করো যে, $\Delta ABD \cong \Delta ACD$

Figure

লেবেল: A, B, D, C বর্ণনা: একই ভূমি $BC$-এর ওপর অবস্থিত দুটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ $\Delta ABC$ ও $\Delta DBC$, যেখানে শীর্ষদ্বয় $A$ ও $D$ যুক্ত।

৭। প্রমাণ করো যে, সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমির প্রান্তবিন্দু থেকে বিপরীত বাহুদ্বয়ের উপর অঙ্কিত মধ্যমাদ্বয় সমান।

৮। প্রমাণ করো যে, সমবাহু ত্রিভুজের কোণগুলো পরস্পর সমান।