Higher Mathematics chapter 1: Set and Function

অধ্যায় ১

সেট ও ফাংশন (Set and Function)

সেটের ধারণা ও ব্যবহার গণিতে বিশেষ গুরুত্বপূর্ণ। এ জন্য অষ্টম ও নবম-দশম শ্রেণির গণিত বইতে সেট সম্পর্কে আলোচনা করা হয়েছে। এ অধ্যায়ে তার বিস্তৃতি হিসেবে আরও আলোচনা করা হলো।

এ অধ্যায় শেষে শিক্ষার্থীরা -

▶ সার্বিক সেট, উপসেট, পূরক সেট ও শক্তি সেট গঠন করতে পারবে;

▶ বিভিন্ন সেটের সংযোগ, ছেদ ও অন্তর নির্ণয় করতে পারবে;

▶ সেট প্রক্রিয়ার ধর্মাবলির যৌক্তিক প্রমাণ করতে পারবে;

▶ সমতুল সেট বর্ণনা করতে পারবে এবং এর মাধ্যমে অসীম সেটের ধারণা ব্যাখ্যা করতে পারবে;

▶ সেটের সংযোগের শক্তি সেট নির্ণয়ের সূত্র ব্যাখ্যা করতে পারবে এবং ভেনচিত্র ও উদাহরণের সাহায্যে তা যাচাই করতে পারবে;

▶ সেট প্রক্রিয়া প্রয়োগ করে জীবনভিত্তিক সমস্যা সমাধান করতে পারবে;

▶ সেটের সাহায্যে অন্বয় ও ফাংশন এর ধারণা ব্যাখ্যা করতে পারবে;

▶ ফাংশনের ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় করতে পারবে;

▶ এক-এক ফাংশন, সার্বিক ফাংশন এবং এক-এক ও সার্বিক ফাংশন উদাহরণের সাহায্যে ব্যাখ্যা করতে পারবে;

▶ বিপরীত ফাংশন ব্যাখ্যা করতে পারবে;

▶ লেখচিত্রের সাহায্যে কোন অন্বয় ফাংশন কিনা তা যাচাই করতে পারবে;

▶ অন্বয় ও ফাংশনের লেখচিত্র অঙ্কন করতে পারবে।

সেট (Set)

বাস্তব বা চিন্তা জগতের বস্তুর যেকোনো সুনির্ধারিত সংগ্রহকে সেট বলা হয়। যেমন, $S = \{1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100\}$ তালিকাটি 10 থেকে বড় নয় এমন স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সেট। সেটকে এভাবে তালিকার সাহায্যে বর্ণনা করাকে তালিকা পদ্ধতি(Tabular form) বলা হয়। যে সকল বস্তু নিয়ে সেট গঠিত এদের প্রত্যেককে ঐ সেটের উপাদান বলা হয়। $x, A$ সেটের উপাদান হলে লেখা হয় $x \in A$ এবং $x, A$ সেটের উপাদান না হলে লেখা হয় $x \notin A$। উপরিউক্ত সেট $S$ কে লেখা যায়

Printed page 2

$S = \{x : x, 100 \text{ থেকে বড় নয় এমন পূর্ণবর্গ সংখ্যা}\}$। এই পদ্ধতিকে সেট গঠন পদ্ধতি (Set builder method) বলা হয়।

কাজ: উপরের আলোচনায় ক) $S$ যে সেট তা ব্যাখ্যা করো। খ) $S$ কে অন্যভাবে প্রকাশ করো।

সার্বিক সেট (Universal Set)

মনে করি

$S = \{x : x \text{ ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা এবং } 5x \leq 16\}$

$T = \{x : x \text{ ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা এবং } x^2 < 20\}$

$P = \{x : x \text{ ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা এবং } \sqrt{x} \leq 2\}$

এই সেট তিনটির উপাদানসমূহ $U = \{x : x \text{ ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা}\}$ সেটটির উপাদান নিয়ে গঠিত। $U$ কে $S, T, P$ সেটের জন্য সার্বিক সেট বিবেচনা করা যায়।

সেটসংক্রান্ত কোনো আলোচনায় একটি নির্দিষ্ট সেটকে সার্বিক সেট বলা হয়, যদি আলোচনাধীন সকল সেটের উপাদানসমূহ ঐ নির্দিষ্ট সেটের অন্তর্ভুক্ত হয়।

কয়েকটি বিশেষ সংখ্যা সেট

$N = \{1, 2, 3, \cdots\}$ অর্থাৎ সকল স্বাভাবিক সংখ্যা বা ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার সেট।

$Z = \{\cdots, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \cdots\}$ অর্থাৎ সকল পূর্ণসংখ্যার সেট।

$Q = \{x : x = \dfrac{p}{q}, \text{ যেখানে } p \text{ যেকোনো পূর্ণসংখ্যা এবং } q \text{ যেকোনো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা}\}$ অর্থাৎ সকল মূলদ সংখ্যার সেট।

$R = \{x : x \text{ বাস্তব সংখ্যা}\}$ অর্থাৎ সকল বাস্তব সংখ্যার সেট।

উপসেট (Subset)

$A$ ও $B$ সেট হলে $A$ কে $B$ এর উপসেট বলা হয় যদি ও কেবল যদি $A$ এর প্রত্যেক উপাদান $B$ এর উপাদান হয় এবং একে $A \subseteq B$ লিখে প্রকাশ করা হয়। যেমন $A = \{2, 3\}, B = \{2, 3, 5, 7\}$ এর উপসেট। $A, B$ এর উপসেট না হলে $A \not\subseteq B$ লেখা হয়। যেমন $A = \{1, 3\}, B = \{2, 3, 5, 7\}$ এর উপসেট নয়।

উদাহরণ ১. যদি $A = \{x : x \text{ ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা}\}$, $B = \{0\}$ এবং $X = \{x : x \text{ পূর্ণসংখ্যা}\}$ হয়, তবে $A, B$ এবং $X$ এর মধ্যে সম্পর্ক কী?

সমাধান: এখানে $A \subseteq X, \ B \subseteq X, \ B \not\subseteq A$।

Printed page 3

কাজ: মনে করো $X = \{x : x \text{ পূর্ণসংখ্যা}\}$।

ক) $X$ কে সার্বিক সেট ধরে, $X$ এর তিনটি উপসেট বর্ণনা করো।

খ) $X$ এর দুটি উপসেট বর্ণনা করো যাদের কোনোটিই অপরটির উপসেট নয়।

ফাঁকা সেট (Empty Set)

অনেক সময় এরূপ সেট বিবেচনা করতে হয় যাতে কোনো উপাদান থাকে না। এরূপ সেটকে ফাঁকা সেট বলা হয় এবং $\varnothing$ অথবা $\{\}$ লিখে প্রকাশ করা হয়।

উদাহরণ ২. $\{x : x \text{ বাস্তব সংখ্যা এবং } x^2 < 0\}$ একটি ফাঁকা সেট, কেননা কোনো বাস্তব সংখ্যার বর্গ ঋণাত্মক নয়।

উদাহরণ ৩. $F = \{x : x, 2014 \text{ সাল পর্যন্ত ফুটবলের বিশ্বকাপ বিজয়ী আফ্রিকার দেশ}\}$ একটি ফাঁকা সেট, কেননা আফ্রিকার কোনো দেশই 2014 সাল পর্যন্ত ফুটবলের বিশ্বকাপ জয় করতে পারেনি।

সেট সমতা (Equality of Sets)

$A$ ও $B$ সেট যদি এমন হয় যে এদের উপাদানগুলো একই তবে $A$ ও $B$ একই সেট এবং তা $A = B$ লিখে প্রকাশ করা হয়। যেমন $A = \{1, 2, 3, 4\}, \ B = \{1, 2, 2, 3, 4, 4, 4\}$। লক্ষ কর কোনো সেটে একই উপাদান বার বার থাকলেও সেটা একবার থাকার মতোই বিবেচনা করা হচ্ছে। $A = B$ হয় যদি ও কেবল যদি $A \subseteq B$ এবং $B \subseteq A$ হয়। সেট সমতা প্রমাণে এই তথ্য খুবই প্রয়োজনীয়।

প্রকৃত উপসেট (Proper Subset)

$A$ কে $B$ এর প্রকৃত উপসেট বলা হয় যদি ও কেবল যদি $A \subseteq B$ এবং $A \neq B$। অর্থাৎ $A$ এর প্রত্যেক উপাদান $B$ এরও উপাদান এবং $B$ তে অন্তত একটি উপাদান আছে যা $A$ তে নেই। যেমন $A = \{1, 2\}, \ B = \{1, 2, 3\}$। $A, B$ এর প্রকৃত উপসেট বুঝাতে $A \subset B$ লেখা হয়।

ক) যেকোনো সেট $A$ এর জন্য $A \subseteq A$। এর কারণ $x \in A \implies x \in A$।

খ) যেকোনো সেট $A$ এর জন্য $\varnothing \subseteq A$। এর কারণ $\varnothing \subseteq A$ না হলে $\varnothing$ তে একটি উপাদান $x$ আছে যা $A$ তে নাই। কিন্তু ইহা কখনই সত্য নয় কারণ $\varnothing$ ফাঁকা সেট। অতএব $\varnothing \subseteq A$। উল্লেখ্য ফাঁকা সেট বা $\varnothing$ যেকোনো সেটের প্রকৃত উপসেট।

সেটের অন্তর (Difference of Sets)

$A$ ও $B$ সেট হলে $A \setminus B$ সেটটি হচ্ছে $\{x : x \in A \text{ এবং } x \notin B\}$।

$A \setminus B$ কে $A$ বাদ $B$ সেট বলা হয় এবং $A$ এর যে সকল উপাদান $B$ তে আছে সেগুলো $A$ থেকে বর্জন করে $A \setminus B$ গঠন করা হয়। $A \setminus B \subseteq A$।

উদাহরণ ৪. $A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ এবং $B = \{0, 2, 4, 6, 8, 10\}$ হলে $A \setminus B = \{1, 3, 5, 7, 9\}$।

Printed page 4

পূরক সেট (Complementary Set)

সার্বিক সেট $U$ এবং $A \subseteq U$ হলে $A$ এর পূরক সেট হচ্ছে $U \setminus A$।

অর্থাৎ $U \setminus A = \{x : x \in U \text{ এবং } x \notin A\}$।

সার্বিক সেট $U$ থেকে $A$ সেটের উপাদানগুলো বর্জন করলেই $A$ এর পূরক সেট পাওয়া যায় এবং তাকে $A'$ বা $A^c$ লিখে প্রকাশ করা হয়।

উদাহরণ ৫. যদি সার্বিক সেট $U$ সকল পূর্ণসংখ্যার সেট হয় এবং $A$ সকল ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যার সেট হয়, তবে ($U$ সাপেক্ষে) $A$ এর পূরক সেট $A'$ বা $A^c = \{0, 1, 2, 3, \cdots\}$।

শক্তি সেট (Power Set)

$A$ সেটের সকল উপসেটের সেটকে $A$ এর শক্তি সেট বলা হয় এবং $P(A)$ দ্বারা নির্দেশ করা হয়। উল্লেখ্য যে $\varnothing \subseteq A$। কাজেই $\varnothing, P(A)$ এরও উপাদান।

কাজ:

ক) $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ হলে নিচের সেটগুলো তালিকা পদ্ধতিতে লেখো:

(১) $A = \{x : x \in U, \ 5x > 37\}$

(২) $B = \{x : x \in U, \ x + 5 < 12\}$

(৩) $C = \{x : x \in U, \ 6 < 2x < 17\}$

(৪) $D = \{x : x \in U, x^2 < 37\}$

খ) $U = \{x : x \in Z^+, 1 \leq x \leq 20\}$ হলে নিচের সেটগুলো তালিকা পদ্ধতিতে লেখো:

(১) $A = \{x : x, 2 \text{ এর গুণিতক}\}$

(২) $B = \{x : x, 5 \text{ এর গুণিতক}\}$

(৩) $C = \{x : x, 10 \text{ এর গুণিতক}\}$

প্রদত্ত তথ্যের আলোকে $C \subset A, \ B \subset A, \ C \subset B$ এর কোনগুলো সত্য বা মিথ্যা বলো।

গ) যদি $A = \{a, b, c, d, e\}$ হয়, তবে $P(A)$ নির্ণয় করো।

উদাহরণ ৬. $A = \{a, b\}$ এবং $B = \{b, c\}$ হলে দেখাও যে, $P(A) \cup P(B) \subseteq P(A \cup B)$।

সমাধান: এখানে, $P(A) = \{\varnothing, \{a\}, \{b\}, \{a, b\}\}, \ P(B) = \{\varnothing, \{b\}, \{c\}, \{b, c\}\}$।

$\therefore \ P(A) \cup P(B) = \{\varnothing, \{a\}, \{b\}, \{c\}, \{a, b\}, \{b, c\}\}$।

$A \cup B = \{a, b, c\}, \ P(A \cup B) = \{\varnothing, \{a\}, \{b\}, \{c\}, \{a, b\}, \{a, c\}, \{b, c\}, \{a, b, c\}\}$।

সুতরাং, $P(A) \cup P(B) \subseteq P(A \cup B)$।

Printed page 5

কাজ:

ক) যদি $A = \{1,2,3\}, B = \{1,2\}, C = \{2,3\}$ এবং $D = \{1,3\}$ হয়, তবে দেখাও যে, $P(A) = \{A,B,C,D,\{1\},\{2\},\{3\},\varnothing\}$।

খ) যদি $A = \{1,2\}$ এবং $B = \{2,5\}$ হয়, তবে দেখাও যে, (১) $P(A)\cap P(B) = P(A\cap B)$, (২) $P(A)\cup P(B) \neq P(A\cup B)$।

ভেনচিত্র (Venn Diagram)

সেটসংক্রান্ত তথ্যাদি অনেক সময় চিত্রে প্রকাশ করা সুবিধাজনক। উদ্ভাবক John Venn (১৮৩৪ – ১৯২৩) এর নামানুসারে এরূপ চিত্রকে ভেনচিত্র বলা হয়। গণিত বইতে এ সম্পর্কে বিশদ আলোচনা করা হয়েছে।

উদাহরণ ৭. সার্বিক সেট $U$ এর সাপেক্ষে $A$ সেট এর পূরক সেট $A'$ এর চিত্ররূপ:

Figure

লেবেল: $U$, $A'$, $A$ বর্ণনা: একটি আয়তক্ষেত্র, যার কোণায় $U$ লেখা। আয়তক্ষেত্রের ভেতরে বাঁ দিকে $A'$ লেখা অংশ, এবং ডান দিকে একটি ধূসর বৃত্ত, যার মধ্যে $A$ লেখা।