Higher Mathematics chapter 2: Algebraic Expression

অধ্যায় ২

বীজগাণিতিক রাশি

(Algebraic Expression)

বিভিন্ন প্রকারের বীজগাণিতিক রাশির সঙ্গে আমরা পরিচিত। এক বা একাধিক সংখ্যা ও সংখ্যা নির্দেশক প্রতীককে $+, -, \times, \div$, ঘাত বা মূলদ চিহ্নের যেকোনো একটি অথবা একাধিকের সাহায্যে অর্থবহভাবে সংযুক্ত করলে যে নতুন সংখ্যা নির্দেশক প্রতীকের সৃষ্টি হয়, একে বীজগাণিতিক রাশি (algebraic expression) বা সংক্ষেপে রাশি বলা হয়। যেমন, $2x, 2x+3ay, 6x+4y^2+a+\sqrt{z}$ ইত্যাদি প্রতিটিই এক একটি বীজগাণিতিক রাশি।

এ অধ্যায় শেষে শিক্ষার্থীরা -

• বহুপদীর ধারণা ব্যাখ্যা করতে পারবে;
• উদাহরণের সাহায্যে এক চলকবিশিষ্ট বহুপদী ব্যাখ্যা করতে পারবে;
• বহুপদীর গুণ ও ভাগ ব্যাখ্যা করতে পারবে;
• ভাগশেষ উপপাদ্য ও উৎপাদক উপপাদ্য ব্যাখ্যা এবং তা প্রয়োগ করে বহুপদীর উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে পারবে;
• সমমাত্রিক রাশি, প্রতিসম রাশি এবং চক্র-ক্রমিক রাশি ব্যাখ্যা করতে পারবে;
• সমমাত্রিক রাশি, প্রতিসম রাশি এবং চক্র-ক্রমিক রাশির উৎপাদক নির্ণয় করতে পারবে;
• মূলদ ভগ্নাংশকে আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশ করতে পারবে।

চলক, ধ্রুবক ও বহুপদী

যদি একটি প্রতীক একাধিক সদস্যবিশিষ্ট কোনো সংখ্যা সেটের যেকোনো অনির্ধারিত সদস্য নির্দেশ করে, তবে প্রতীকটিকে চলক বলা হয় এবং সেটটিকে এর ডোমেন বলা হয়। যদি প্রতীকটি একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা নির্দেশ করে, তবে একে ধ্রুবক বলা হয়। কোনো আলোচনায় একটি চলক এর ডোমেন থেকে যেকোনো মান গ্রহণ করতে পারে। কিন্তু একটি ধ্রুবকের মান কোনো আলোচনায় নির্দিষ্ট থাকে। বহুপদী বিশেষ ধরনের বীজগাণিতিক রাশি। এরূপ রাশিতে এক বা একাধিক পদ থাকে এবং পদগুলো এক বা একাধিক চলকের শুধু মাত্র অঋণাত্মক পূর্ণসাংখ্যিক ঘাত ও ধ্রুবকের গুণফল হয়।

Printed page 39

এক চলকের বহুপদী

মনে করি, $x$ একটি চলক। তাহলে, $(i)\ a$, $(ii)\ ax+b$, $(iii)\ ax^2+bx+c$, $(iv)\ ax^3+bx^2+cx+d$ ইত্যাদি আকারের রাশিকে $x$ চলকের বহুপদী বলা হয়, যেখানে, $a,\ b,\ c,\ d$ ইত্যাদি ধ্রুবক। সাধারণভাবে, $x$ চলকের বহুপদীর পদসমূহ $cx^p$ আকারের হয়, যেখানে $c$ একটি $x$-বর্জিত নির্দিষ্ট সংখ্যা (যা শূন্যও হতে পারে) এবং $p$ একটি অঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা। $p$ শূন্য হলে পদটি শুধু $c$ হয় এবং $c$ শূন্য হলে পদটি বহুপদীতে অনুল্লেখ থাকে। কোনো বহুপদীর সাধারণ পদ $cx^p$ এ $c$ কে $x^p$ এর সহগ (coefficient) এবং $p$ কে এই পদের মাত্রা বা ঘাত (degree) বলা হয়। কোনো বহুপদীতে উল্লিখিত পদসমূহের গরিষ্ঠ মাত্রাকে বহুপদীটির মাত্রা বলা হয়। বহুপদীতে গরিষ্ঠ মাত্রাযুক্ত পদটিকে মুখ্যপদ ও মুখ্যপদের সহগকে মুখ্যসহগ এবং $0$ মাত্রাযুক্ত অর্থাৎ, চলক-বর্জিত পদটিকে ধ্রুবপদ বলা হয়। যেমন, $2x^6-3x^5-x^4+2x-5$, $x$ চলকের একটি বহুপদী, যার মাত্রা $6$, মুখ্যপদ $2x^6$, মুখ্য সহগ $2$ এবং ধ্রুবপদ $-5$। $a\ne 0$ হলে, পূর্বোক্ত (i) বহুপদীর মাত্রা $0$, (ii) বহুপদীর মাত্রা $1$, (iii) বহুপদীর মাত্রা $2$ এবং (iv) বহুপদীর মাত্রা $3$। যেকোনো অশূন্য ধ্রুবক ($a\ne 0$) প্রদত্ত যেকোনো চলকের $0$ মাত্রার বহুপদী ($a=ax^0$ বিবেচ্য)। $0$ সংখ্যাটিকে শূন্য বহুপদী বিবেচনা করা হয় এবং শূন্য বহুপদীর মাত্রা অসংজ্ঞায়িত ধরা হয়।

$x$ চলকের বহুপদীকে সাধারণত $x$ এর ঘাতের অধঃক্রমে (অর্থাৎ, মুখ্যপদ থেকে শুরু করে ক্রমে ক্রমে ধ্রুবপদ পর্যন্ত) বর্ণনা করা হয়। এরূপ বর্ণনাকে বহুপদীটির আদর্শ রূপ (standard form) বলা হয়। ব্যবহারের সুবিধার্থে $x$ চলকের বহুপদীকে $P(x), Q(x)$ ইত্যাদি প্রতীক দ্বারা সূচিত করা হয়। যেমন, $P(x)=2x^2+7x+5$। এরূপ $P(x)$ প্রতীককে $x$ এর উপর বহুপদীটির মানের নির্ভরতা নির্দেশ করে। $P(x)$ বহুপদীতে $x$ চলকের পরিবর্তে কোনো নির্দিষ্ট সংখ্যা $a$ বসালে বহুপদীটির যে মান পাওয়া যায়, একে $P(a)$ দ্বারা সূচিত করা হয়।

উদাহরণ ১. যদি $P(x)=3x^3+2x^2-7x+8$ হয়, তবে $P(2)$, $P(-2)$ এবং $P\left(\dfrac{1}{2}\right)$ এর মান নির্ণয় করো।

সমাধান: প্রদত্ত বহুপদীতে $x$ এর পরিবর্তে $2$, $-2$, $\dfrac{1}{2}$ বসিয়ে পাই,

$P(2)=3(2^3)+2(2^2)-7(2)+8=26$

$P(-2)=3(-2)^3+2(-2)^2-7(-2)+8=6$

$P\left(\frac{1}{2}\right)=3\left(\frac{1}{2}\right)^3+2\left(\frac{1}{2}\right)^2-7\left(\frac{1}{2}\right)+8=\dfrac{43}{8}$

দুই চলকের বহুপদী

নিচের বহুপদীগুলো $x$ ও $y$ চলকের অর্থাৎ দুই চলকের বহুপদী।

$2x+3y-1$

$x^2-4xy+y^2-5x+7y+1$

$8x^3+y^3+10x^2y+6xy^2-6x+2$

Printed page 40

সাধারণভাবে এরূপ বহুপদীর পদগুলো $cx^py^q$ আকারের হয় যেখানে $c$ একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা (ধ্রুবক) এবং $p$ ও $q$ অঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা। $cx^py^q$ পদে $c$ হচ্ছে $x^py^q$ এর সহগ এবং $p+q$ হচ্ছে এই পদের মাত্রা। এরূপ বহুপদীতে উল্লিখিত পদসমূহের গরিষ্ঠ মাত্রাকে বহুপদীটির মাত্রা বলা হয়। এরূপ বহুপদীকে $P(x,y)$ আকারের প্রতীক দ্বারা সূচিত করা হয়। যেমন, $P(x,y)=8x^3+y^3-4x^2+7xy+2y-5$ বহুপদীর মাত্রা $3$ এবং $P(1,0)=8-4-5=-1$।

তিন চলকের বহুপদী

$x,y$ ও $z$ চলকের বহুপদীর পদগুলো $cx^py^qz^r$ আকারের হয়। যেখানে $c$ (ধ্রুবক) পদটির সহগ এবং $p,\ q,\ r$ অঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা। এখানে $p+q+r$ কে এই পদের মাত্রা এবং বহুপদীতে উল্লিখিত পদসমূহের গরিষ্ঠ মাত্রাকে বহুপদীটির মাত্রা বলা হয়। এরূপ বহুপদীকে $P(x,y,z)$ আকারের প্রতীক দ্বারা সূচিত করা হয়। যেমন, $P(x,y,z)=x^3+y^3+z^3-3xyz$ বহুপদীর মাত্রা $3$ এবং $P(1,1,-2)=1+1-8+6=0$।

কাজ:

ক) নিচের কোনটি বহুপদী নির্ণয় করো:

(১) $2x^3$

(২) $7-3a^2$

(৩) $x^3+x^{-2}$

(৪) $\dfrac{a^2+a}{a^3-a}$

(৫) $5x^2-2xy+3y^2$

(৬) $6a+3b$

(৭) $c^2+\dfrac{2}{c}-3$

(৮) $3\sqrt{n-4}$

(৯) $2x(x^2+3y)$

(১০) $3x-(2y+4z)$

(১১) $\dfrac{6}{x}+2y$

(১২) $\dfrac{3}{4}x-2y$

খ) নিচের বহুপদীগুলোতে চলকের সংখ্যা ও মাত্রা নির্ণয় করো:

(১) $x^2+10x+5$

(২) $3a+2b$

(৩) $4xyz$

(৪) $2m^2n-mn^2$

(৫) $7a+b-2$

(৬) $6a^2b^2c^2$

গ) নিচের বহুপদীগুলোর প্রত্যেকটিকে

(i) $x$ চলকের বহুপদীর আদর্শ আকারে বর্ণনা করো এবং $x$ চলকের বহুপদী রূপে এর মাত্রা, মুখ্যসহগ ও ধ্রুবপদ নির্ণয় করো।

(ii) $y$ চলকের বহুপদীর আদর্শ আকারে বর্ণনা করো এবং $y$ চলকের বহুপদীরূপে এর মাত্রা, মুখ্যসহগ ও ধ্রুবপদ নির্ণয় করো।

(১) $3x^2-y^2+x-3$

(২) $x^2-x^6+x^4+3$

(৩) $5x^2y-4x^4y^4-2$

(৪) $x+2x^2+3x^3+6$

(৫) $3x^3y+2xyz-x^4$

ঘ) যদি $P(x)=2x^2+3$ হয়, তবে $P(5)$, $P(6)$, $P\left(\frac{1}{2}\right)$ এর মান নির্ণয় করো।

Printed page 41

বহুপদীর গুণফল ও ভাগফল

দুটি বহুপদীর যোগফল, বিয়োগফল এবং গুণফল সবসময় বহুপদী হয়। দুটি বহুপদীর ভাগফল বহুপদী হতেও পারে নাও হতে পারে। যেমন $x^3$ দ্বারা $x$ কে ভাগ করলে ভাগফল যদি $x^{-2}$ ধরা হয় তখন এটি বহুপদী নয়। কিন্তু $x$ কে ভাগশেষ ধরে নিলে সেক্ষেত্রে ভাগফল $0$ একটি বহুপদী।

উদাহরণ ২. $(x^2+2)$ কে $(x+1)$ দ্বারা গুণ করলে গুণফল কত?

এখানে $(x^2+2)$ এবং $(x+1)$ বহুপদী দুটির গুণফল $(x^2+2)(x+1)=x^3+x^2+2x+2$ একটি বহুপদী যার মাত্রা $2+1=3$ এবং মুখ্যসহগ $1\times 1=1$।

উদাহরণ ৩. $(x^2+1)(x-6)$কে $2x^2+3$ দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল কত?

এখানে ভাজ্য $P(x)=(x^2+1)(x-6)=x^3-6x^2+x-6$ এর মাত্রা $3$ এবং মুখ্যসহগ $1$। আর ভাজক $Q(x)=2x^2+3$ এর মাত্রা $2$ এবং মুখ্যসহগ $2$।

$P(x)$ কে $Q(x)$ দিয়ে ভাগ করলে, ভাগফল $F(x)=\dfrac{1}{2}x-3$ এবং ভাগশেষ $R(x)=-\dfrac{x}{2}+3$।

কাজেই, ভাগফল $F(x)$ একটি বহুপদী যার মাত্রা $3-2=1$ এবং মুখ্যসহগ $\dfrac{1}{2}$।

দ্রষ্টব্য: দুইটি বহুপদীর গুণফল ও ভাগফলের মাত্রা ও মুখ্যসহগের ক্ষেত্রে নিম্নোক্ত সূত্রগুলো সত্য।

ক) $x$ চলকের বহুপদী $P(x)$ এবং $Q(x)$ এর গুণফল $F(x)=P(x)Q(x)$ একটি বহুপদী যার মাত্রা $=$ $P(x)$ এর মাত্রা $+$ $Q(x)$ এর মাত্রা এবং মুখ্য সহগ $=$ $P(x)$ এর মুখ্য সহগ $\times$ $Q(x)$ এর মুখ্য সহগ

খ) $x$ চলকের বহুপদী $P(x)$ কে $Q(x)$ দিয়ে ভাগ করলে ভাগফল যদি বহুপদী $R(x)=\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ হয় তাহলে $R(x)$ এর মাত্রা $=$ $P(x)$ এর মাত্রা $-$ $Q(x)$ এর মাত্রা এবং মুখ্য সহগ $=\dfrac{P(x)\text{ এর মুখ্য সহগ}}{Q(x)\text{ এর মুখ্য সহগ}}$

ভাগ সূত্র

যদি $P(x)$ ও $Q(x)$ উভয়ই $x$ চলকের বহুপদী হয় এবং $Q(x)$ এর মাত্রা $\le P(x)$ এর মাত্রা হয়, তবে $Q(x)$ দ্বারা $P(x)$ কে ভাগ করে ভাগফল $F(x)$ ও ভাগশেষ $R(x)$ পাওয়া যায়, যেখানে

ক) $F(x)$ ও $R(x)$ উভয়ই $x$ চলকের বহুপদী,

খ) $F(x)$ এর মাত্রা $=$ $P(x)$ এর মাত্রা $-$ $Q(x)$ এর মাত্রা,

গ) $R(x)=0$ অথবা $R(x)$ এর মাত্রা $<$ $Q(x)$ এর মাত্রা,

ঘ) সকল $x$ এর জন্য $P(x)=F(x)Q(x)+R(x)$।

Printed page 42

সমতা সূত্র

ক) যদি সকল $x$ এর জন্য $ax+b=px+q$ হয়, তবে $x=0$ ও $x=1$ বসিয়ে পাই, $b=q$ এবং $a+b=p+q$ যা থেকে দেখা যায় যে, $a=p,\ b=q$

খ) যদি সকল $x$ এর জন্য $ax^2+bx+c=px^2+qx+r$ হয়, তবে $x=0,\ x=1$ ও $x=-1$ বসিয়ে পাই, $c=r,\ a+b+c=p+q+r$ এবং $a-b+c=p-q+r$ যা থেকে দেখা যায় যে, $a=p,\ b=q,\ c=r$।

গ) সাধারণভাবে দেখা যায় যে, যদি সকল $x$ এর জন্য $a_0x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+\cdots+a_{n-1}x+a_n = p_0x^n+p_1x^{n-1}+p_2x^{n-2}+\cdots+p_{n-1}x+p_n$ হয়, তবে, $a_0=p_0,\ a_1=p_1,\ \cdots,\ a_{n-1}=p_{n-1},\ a_n=p_n$

অর্থাৎ, সমতা চিহ্নের উভয় পক্ষে $x$ এর একই ঘাতযুক্ত সহগদ্বয় পরস্পর সমান।

মন্তব্য: $x$ চলকের $n$ মাত্রার বহুপদীর বর্ণনায় সহগগুলোকে $a_0$ ($a$ সাব-জিরো), $a_1$ ($a$ সাব-ওয়ান) ইত্যাদি নেওয়া সুবিধাজনক।