Higher Mathematics chapter 3: Geometry

অধ্যায় ৩

জ্যামিতি (Geometry)

৮ম ও ৯ম-১০ম শ্রেণির জ্যামিতিতে পিথাগোরাসের উপপাদ্য ও এর বিপরীত উপপাদ্য নিয়ে বিস্তারিত আলোচনা করা হয়েছে। গণিত শিক্ষায় এ সংক্রান্ত বিষয়াবলি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে। তাই মাধ্যমিক উচ্চতর গণিতে পিথাগোরাসের উপপাদ্যের আলোকে অধিকতর আলোচনা আবশ্যক। এ সংক্রান্ত আলোচনার জন্য লম্ব অভিক্ষেপ সম্পর্কে সুস্পষ্ট ধারণা থাকা দরকার। সে লক্ষ্যে এই পর্যায়ে প্রথম অংশে পিথাগোরাসের উপপাদ্যের সংক্ষিপ্ত আলোচনা, দ্বিতীয় পর্যায়ে লম্ব অভিক্ষেপের ধারণা এবং পিথাগোরাসের উপপাদ্যের অনুসিদ্ধান্ত নিয়ে আলোচনা করা হবে। আলোচনার শেষ অংশে পিথাগোরাসের উপপাদ্য এবং এর বিস্তৃতির ধারণার উপর ভিত্তি করে যুক্তিমূলক আলোচনা ও প্রমাণের জন্য কিছু সমস্যা অন্তর্ভুক্ত করা হবে।

এ অধ্যায় শেষে শিক্ষার্থীরা -

• লম্ব অভিক্ষেপের ধারণা ব্যাখ্যা করতে পারবে;
• পিথাগোরাসের উপপাদ্যের উপর ভিত্তি করে প্রদত্ত উপপাদ্যগুলো প্রমাণ ও প্রয়োগ করতে পারবে;
• ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র, ভরকেন্দ্র ও লম্ববিন্দু সম্পর্কিত উপপাদ্যগুলো প্রমাণ ও প্রয়োগ করতে পারবে;
• ব্রহ্মগুপ্তের উপপাদ্য প্রমাণ ও প্রয়োগ করতে পারবে;
• টলেমির উপপাদ্য প্রমাণ ও প্রয়োগ করতে পারবে।

পিথাগোরাস সম্পর্কিত আলোচনা

খ্রিস্টের জন্মের প্রায় ৬০০ বছর আগে বিখ্যাত গ্রিক পন্ডিত পিথাগোরাস (জন্ম খ্রিস্টপূর্ব ৫৭০-মৃত্যু খ্রিস্টপূর্ব ৪৯৫) সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে একটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ উপপাদ্য (theorem) বর্ণনা করেন। এই উপপাদ্যটি তার নামানুসারে পিথাগোরাসের উপপাদ্য বলে পরিচিত। জানা যায় তারও প্রায় ১০০০ বছর আগে মিশরীয় ভূমি জরিপকারীগণের এই উপপাদ্যটি সম্বন্ধে ধারণা ছিল। পিথাগোরাসের উপপাদ্য বিভিন্নভাবে প্রমাণ করা যায়। নিম্ন মাধ্যমিক পর্যায়ে এর দুটি প্রমাণ দেওয়া আছে। তাই এখানে কোনো প্রমাণ দেওয়া হবে না। এখানে শুধুমাত্র এর বর্ণনা ও কিছু আলোচনা থাকবে।

উপপাদ্য ১ (পিথাগোরাসের উপপাদ্য). একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান।

Printed page 64

উপরের চিত্রে $ABC$ একটি সমকোণী ত্রিভুজ। $\angle BAC$ সমকোণ এবং $BC$ অতিভুজ। $BC$ অতিভুজের উপর কোনো বর্গক্ষেত্র অঙ্কন করলে তার যে ক্ষেত্রফল হবে সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয় $AB$ ও $AC$ এর উপর বর্গক্ষেত্র অঙ্কন করলে তাদের ক্ষেত্রফলের যোগফল তার সমান হবে।

Figure

লেবেল: $B'$, $C''$, $B$, $B''$, $C$, $A$, $A'$, $C'$, $A''$; $a$, $b$, $c$ বর্ণনা: সমকোণী ত্রিভুজ $ABC$; সমকোণ $A$ বিন্দুতে, $\angle A$ চিহ্নিত। $BC$ বাহুর উপর বর্গক্ষেত্র $BB'C''C$ (বাহুর দৈর্ঘ্য $a$), $AB$ বাহুর উপর বর্গক্ষেত্র $AA'B''B$ (বাহুর দৈর্ঘ্য $c$) এবং $AC$ বাহুর উপর বর্গক্ষেত্র $CC'A''A$ (বাহুর দৈর্ঘ্য $b$) অঙ্কিত, বর্গক্ষেত্রগুলো বিন্দুরেখা দ্বারা দেখানো হয়েছে।

এখানে $BC^2 = BB'C''C$ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $= a^2$, $AB^2 = AA'B''B$ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $= c^2$, এবং $CA^2 = CC'A''A$ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $= b^2$।

অতএব $BC^2 = AB^2 + AC^2$ বা $a^2 = b^2 + c^2$।

উদাহরণস্বরূপ, একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য $b = 8$ সে.মি. ও $c = 6$ সে.মি. হলে পিথাগোরাসের উপপাদ্যের মাধ্যমে বলা যায় এর অতিভুজের দৈর্ঘ্য $a = 10$ সে.মি.।

অনুরূপভাবে, যেকোনো দুই বাহুর দৈর্ঘ্যের মাধ্যমে তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য জানা সম্ভব।

উপপাদ্য ২ (পিথাগোরাসের উপপাদ্যের বিপরীত উপপাদ্য). কোনো ত্রিভুজের একটি বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান হলে শেষোক্ত বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণটি সমকোণ হবে।

Figure

লেবেল: $A$, $B$, $C$, $a$, $b$, $c$ বর্ণনা: সমকোণী ত্রিভুজ $ABC$; সমকোণ $A$ বিন্দুতে, সমকোণ চিহ্ন দেওয়া। $BC$ হলো অতিভুজ $a$, $AB$ বাহু $c$ এবং $CA$ বাহু $b$ দ্বারা চিহ্নিত।

উপরের চিত্রে $\triangle ABC$ এর তিনটি বাহু যথাক্রমে $AB$, $BC$ ও $AC$। $BC$ বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অপর দুই বাহু $AB$ ও $AC$ এর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান। অর্থাৎ, $BC^2 = AB^2 + AC^2$ বা, $a^2 = b^2 + c^2$। সুতরাং, $\angle BAC$ একটি সমকোণ। উদাহরণস্বরূপ আমরা বলতে পারি $\triangle ABC$ এর $AB$, $BC$ ও $CA$ বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে $6$ সে.মি. $10$ সে.মি. ও $8$ সে.মি. হলে $\angle BAC$ অবশ্যই সমকোণ হবে।

Printed page 65

যেহেতু,

$AB^2 = 6^2 \text{ বর্গ সে.মি.} = 36 \text{ বর্গ সে.মি.},$

$BC^2 = 10^2 \text{ বর্গ সে.মি.} = 100 \text{ বর্গ সে.মি.},$

$AC^2 = 8^2 \text{ বর্গ সে.মি.} = 64 \text{ বর্গ সে.মি.},$

$\therefore BC^2 = 100 = 36 + 64 = AB^2 + AC^2$।

$\therefore \angle BAC = 90^\circ = \text{এক সমকোণ}$।

বিন্দুর লম্ব অভিক্ষেপ (Orthogonal Projection of a Point): কোনো নির্দিষ্ট সরলরেখার উপর কোনো বিন্দুর লম্ব অভিক্ষেপ বলতে সেই বিন্দু থেকে উক্ত নির্দিষ্ট রেখার উপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুকে বুঝায়। মনে করি, $XY$ একটি নির্দিষ্ট সরলরেখা এবং $P$ যেকোনো বিন্দু (নিচের চিত্রে)। $P$ বিন্দু থেকে $XY$ রেখার উপর অঙ্কিত লম্ব $PP'$ এবং এই লম্বের পাদবিন্দু $P'$। সুতরাং, $P'$ বিন্দু $XY$ রেখার উপর $P$ বিন্দুর লম্ব অভিক্ষেপ। কোনো নির্দিষ্ট রেখার উপর কোনো বিন্দুর লম্ব অভিক্ষেপ একটি বিন্দু।

Figure

লেবেল: $P$, $P'$, $X$, $Y$, $A$, $A'$, $B$, $B'$, $C$ বর্ণনা: একটি অনুভূমিক সরলরেখা $XY$; তার উপরে একটি বিন্দু $P$ থেকে লম্ব $PP'$ নামানো হয়েছে, যার পাদবিন্দু $P'$। $XY$ রেখার উপরে একটি রেখাংশ $AB$ আছে; $A$ ও $B$ থেকে $XY$ রেখার উপর লম্ব $AA'$ ও $BB'$ নামানো হয়েছে, $A'$ ও $B'$ পাদবিন্দু। $A$ থেকে $BB'$ এর উপর পর্যন্ত একটি অনুভূমিক রেখা $AC$ আঁকা আছে, $C$ বিন্দুটি $BB'$ এর উপর অবস্থিত।

রেখাংশের লম্ব অভিক্ষেপ (Orthogonal Projection of a Line): ধরি, $AB$ রেখাংশের প্রান্ত বিন্দুদ্বয় $A$ ও $B$ (উপরের চিত্রে)। এখন $A$ ও $B$ বিন্দু থেকে $XY$ রেখার উপর অঙ্কিত লম্ব যথাক্রমে $AA'$ ও $BB'$। $AA'$ লম্বের পাদবিন্দু $A'$ এবং $BB'$ লম্বের পাদবিন্দু $B'$। এই $A'B'$ রেখাংশই হচ্ছে $XY$ রেখার উপর $AB$ রেখাংশের লম্ব অভিক্ষেপ। সুতরাং, দেখা যাচ্ছে লম্ব অঙ্কনের মাধ্যমে অভিক্ষেপ নির্ণয় করা হয়। তাই $A'B'$ রেখাংশকে $XY$ রেখার উপর $AB$ রেখাংশের লম্ব অভিক্ষেপ বলা হয়। উপরের চিত্রে $AB$ রেখাংশ $XY$ এর সমান্তরাল হলে $AB = A'B'$ হবে। আমরা এ ধারণা থেকে বলতে পারি কোনো সরলরেখার উপর লম্ব যেকোনো সরলরেখার লম্ব অভিক্ষেপ একটি বিন্দু। সে ক্ষেত্রে উক্ত লম্ব অভিক্ষেপের দৈর্ঘ্য হবে শূন্য।

দ্রষ্টব্য:

১. কোনো রেখার উপর কোনো বিন্দু থেকে অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুই ঐ বিন্দুর লম্ব অভিক্ষেপ।

২. কোনো রেখার উপর ঐ রেখার লম্ব রেখাংশের লম্ব অভিক্ষেপ একটি বিন্দু যার দৈর্ঘ্য শূন্য।

৩. কোন রেখার উপর ঐ রেখার সমান্তরাল কোনো রেখাংশের লম্ব অভিক্ষেপের দৈর্ঘ্য ঐ রেখাংশের দৈর্ঘ্যের সমান।

Printed page 66

কতিপয় গুরুত্বপূর্ণ উপপাদ্য

পিথাগোরাসের উপপাদ্যের উপর ভিত্তি করে এবং লম্ব অভিক্ষেপের ধারণার সাহায্যে আমরা এখন কয়েকটি গুরুত্বপূর্ণ উপপাদ্যের যুক্তিমূলক প্রমাণ উপস্থাপন করব।

উপপাদ্য ৩. স্থূলকোণী ত্রিভুজের স্থূলকোণের বিপরীত বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ঐ কোণের সন্নিহিত অন্য দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফল এবং ঐ দুই বাহুর যেকোনো একটি ও তার উপর অপর বাহুর লম্ব অভিক্ষেপের অন্তর্গত আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের দ্বিগুণের সমষ্টির সমান।

বিশেষ নির্বচন: মনে করি, $ABC$ ত্রিভুজের $\angle BCA$ স্থূলকোণ, $AB$ স্থূলকোণের বিপরীত বাহু এবং স্থূলকোণের সন্নিহিত বাহুদ্বয় $BC$ ও $AC$।

$BC$ বাহুর বর্ধিতাংশের উপর $AC$ বাহুর লম্ব অভিক্ষেপ $CD$ (নিচের চিত্র)। প্রমাণ করতে হবে যে, $AB^2 = AC^2 + BC^2 + 2 \cdot BC \cdot CD$

Figure

লেবেল: $A$, $B$, $C$, $D$ বর্ণনা: ত্রিভুজ $ABD$; $B$, $C$, $D$ একই সরলরেখায় অবস্থিত, $C$ বিন্দুটি $B$ ও $D$ এর মাঝখানে। $A$ থেকে $BD$ রেখার উপর $AD$ লম্ব, $D$ বিন্দুতে সমকোণ চিহ্নিত। $AC$ রেখাংশ $A$ থেকে $C$ পর্যন্ত আঁকা, $C$ বিন্দুতে $BC$ ও $BD$ এর সংলগ্ন কোণ চিহ্নিত।

প্রমাণ: $BC$ বাহুর বর্ধিতাংশের উপর $AC$ বাহুর লম্ব অভিক্ষেপ $CD$ হওয়ায় $\triangle ABD$ একটি সমকোণী ত্রিভুজ এবং $\angle ADB$ সমকোণ।

সুতরাং পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে

$AB^2 = AD^2 + BD^2$

$= AD^2 + (BC + CD)^2 \qquad [\because BD = BC + CD]$

$= AD^2 + BC^2 + CD^2 + 2 \cdot BC \cdot CD$

$\therefore AB^2 = AD^2 + CD^2 + BC^2 + 2 \cdot BC \cdot CD \cdots\cdots (1)$

আবার $\triangle ACD$ সমকোণী ত্রিভুজ এবং $\angle ADC$ সমকোণ।

$\therefore AC^2 = AD^2 + CD^2 \cdots\cdots (2)$

(2) নং সমীকরণ হতে $AD^2 + CD^2 = AC^2$ (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

$AB^2 = AC^2 + BC^2 + 2 \cdot BC \cdot CD \qquad [\text{প্রমাণিত}]$

উপপাদ্য ৪. যেকোনো ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণের বিপরীত বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টি অপেক্ষা ঐ দুই বাহুর যেকোনো একটি ও তার উপর অপরটির লম্ব অভিক্ষেপের অন্তর্গত আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের দ্বিগুণ পরিমাণ কম।

Printed page 67

বিশেষ নির্বচন: মনে করি, $\triangle ABC$ ত্রিভুজের $\angle ACB$ সূক্ষ্মকোণ এবং সূক্ষ্মকোণের বিপরীত বাহু $AB$। অপর দুই বাহু $AC$ ও $BC$। মনে করি, $BC$ বাহুর উপর (নিচের বাম পাশের চিত্র) এবং $CB$ বাহুর বর্ধিতাংশের উপর (নিচের ডান পাশের চিত্র) লম্ব $AD$। তাহলে উভয় ত্রিভুজের ক্ষেত্রে $BC$ বাহুর উপর $AC$ বাহুর লম্ব অভিক্ষেপ $CD$। প্রমাণ করতে হবে যে $AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot BC \cdot CD$।

[উল্লেখ করা দরকার যে এখানে $A$ থেকে $BC$ এর উপর লম্ব টানা হয়েছে। কিন্তু $B$ বিন্দু থেকে $AC$ এর উপর লম্ব অঙ্কনের মাধ্যমেও একইভাবে উপপাদ্যটি প্রমাণ করা যায়।]

Figure

লেবেল: $A$, $B$, $C$, $D$ বর্ণনা: দুটি ত্রিভুজ পাশাপাশি। বাম পাশের ত্রিভুজে $A$ শীর্ষবিন্দু থেকে $BC$ বাহুর উপর $AD$ লম্ব, $D$ বিন্দুতে সমকোণ চিহ্নিত, $D$ $C$ ও $B$ এর মাঝে। ডান পাশের ত্রিভুজে $B$ বিন্দু $C$ ও $D$ এর মাঝে, $AD$ লম্ব $CB$ এর বর্ধিতাংশের উপর, $D$ বিন্দুতে সমকোণ চিহ্নিত; $\angle C$ সূক্ষ্মকোণ চিহ্নিত।

প্রমাণ: $\triangle ADB$ সমকোণী ত্রিভুজ এবং $\angle ADB$ সমকোণ।

$\therefore \text{পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে } AB^2 = AD^2 + BD^2 \cdots\cdots (1)$

উপরের বামের চিত্রে $BD = BC - CD$।

$\therefore BD^2 = (BC - CD)^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD$

উপরের ডানের চিত্রে $BD = CD - BC$।

$\therefore BD^2 = (CD - BC)^2 = CD^2 + BC^2 - 2 \cdot CD \cdot BC$

সুতরাং উভয় চিত্রে $BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdots\cdots (2)$

এখন সমীকরণ $(1)$ ও $(2)$ হতে পাওয়া যায়,

$AB^2 = AD^2 + BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD$

বা, $AB^2 = AD^2 + CD^2 + BC^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdots\cdots (3)$

আবার $\triangle ADC$ সমকোণী ত্রিভুজ এবং $\angle ADC$ সমকোণ।

$\therefore \text{পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে } AC^2 = AD^2 + CD^2 \cdots\cdots (4)$

সমীকরণ $(3)$ ও $(4)$ হতে পাওয়া যায়,

$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \qquad [\text{প্রমাণিত}]$

মন্তব্য:

১. সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে সমকোণের সন্নিহিত বাহুদ্বয় পরস্পর লম্ব বিধায় তাদের প্রত্যেকটির উপর অপরটির লম্ব অভিক্ষেপ শূন্য। $\angle ACB$ সমকোণ হলে $BC$ এর উপর $AC$ এর লম্ব অভিক্ষেপ $CD = 0$। সুতরাং $BC \cdot CD = 0$, ফলে $AB^2 = AC^2 + BC^2$

Printed page 68

২. উপপাদ্য ৩ ও উপপাদ্য ৪, উপপাদ্য ১ এর ভিত্তির উপর প্রতিষ্ঠিত। তাই উপপাদ্য ৩ ও উপপাদ্য ৪ কে উপপাদ্য ১ অর্থাৎ পিথাগোরাসের উপপাদ্যের অনুসিদ্ধান্ত বলা যায়।

উপরোক্ত আলোচনা সাপেক্ষে গৃহীত সিদ্ধান্তসমূহ: $\triangle ABC$ এর ক্ষেত্রে,

ক) $\angle ACB$ স্থূলকোণ হলে, $AB^2 > AC^2 + BC^2$ [উপপাদ্য ৩]

খ) $\angle ACB$ সমকোণ হলে, $AB^2 = AC^2 + BC^2$ [উপপাদ্য ১]

গ) $\angle ACB$ সূক্ষ্মকোণ হলে, $AB^2 < AC^2 + BC^2$ [উপপাদ্য ৪]

নিচের উপপাদ্যটি এ্যাপোলোনিয়াস (জন্ম খ্রিষ্টপূর্ব ২৪০-মৃত্যু খ্রিষ্টপূর্ব ১৯০) কর্তৃক বর্ণিত বলে এটি অ্যাপোলোনিয়াসের উপপাদ্য নামে পরিচিত। এটি পিথাগোরাসের উপপাদ্যের বিস্তার অর্থাৎ উপপাদ্য ৩ ও উপপাদ্য ৪ এর উপর ভিত্তি করে প্রতিষ্ঠিত।

উপপাদ্য ৫ (এ্যাপোলোনিয়াসের উপপাদ্য)। ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টি, তৃতীয় বাহুর অর্ধেকের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল এবং ঐ বাহুর সমদ্বিখণ্ডক মধ্যমার উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির দ্বিগুণ।

বিশেষ নির্বচন: মনে করি, $\triangle ABC$ এর $AD$ মধ্যমা $BC$ বাহুকে সমদ্বিখণ্ডিত করেছে। প্রমাণ করতে হবে যে, $AB^2 + AC^2 = 2(AD^2 + BD^2)$।

Figure

লেবেল: $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ বর্ণনা: দুটি ত্রিভুজ পাশাপাশি। প্রতিটিতে $A$ শীর্ষবিন্দু থেকে $BC$ বাহুর উপর $AD$ মধ্যমা আঁকা, $D$ $B$ ও $C$ এর মাঝে। বাম পাশের চিত্রে $E$ বিন্দুতে $BC$ এর উপর $AE$ লম্ব, $E$ $C$ এর পাশে, সমকোণ চিহ্নিত। ডান পাশের চিত্রে $E$ বিন্দু $BC$ এর বর্ধিতাংশের উপর, $C$ $D$ ও $E$ এর মাঝে, সমকোণ চিহ্নিত; $\angle B$ সূক্ষ্মকোণ চিহ্নিত।

প্রমাণ: $BC$ বাহুর উপর (উপরের বাম পাশের চিত্রে) এবং $BC$ বাহুর বর্ধিতাংশের উপর (উপরের ডান পাশের চিত্রে) $AE$ লম্ব অঙ্কন করি। উভয় চিত্রে $\triangle ABD$ এর $\angle ADB$ স্থূলকোণ এবং $BD$ রেখার বর্ধিতাংশের উপর $AD$ রেখার লম্ব অভিক্ষেপ $DE$।

স্থূলকোণের ক্ষেত্রে পিথাগোরাসের উপপাদ্যের বিস্তৃতি অনুসারে [উপপাদ্য ৩] আমরা পাই,

$AB^2 = AD^2 + BD^2 + 2 \cdot BD \cdot DE \cdots\cdots (1)$

এখানে, $\triangle ACD$ এর $\angle ADC$ সূক্ষ্মকোণ এবং $DC$ রেখার (উপরের বাম পাশের চিত্রে) এবং $DC$ রেখার বর্ধিতাংশের (উপরের ডান পাশের চিত্রে) উপর $AD$ রেখার লম্ব অভিক্ষেপ $DE$।

সূক্ষ্মকোণের ক্ষেত্রে পিথাগোরাসের উপপাদ্যের বিস্তৃতি অনুসারে [উপপাদ্য ৪] আমরা পাই,

$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot CD \cdot DE \cdots\cdots (2)$

এখন সমীকরণ $(1)$ ও $(2)$ যোগ করে পাই,

Printed page 69

$AB^2 + AC^2 = 2AD^2 + BD^2 + CD^2 + 2 \cdot BD \cdot DE - 2 \cdot CD \cdot DE$

$= 2AD^2 + 2BD^2 \qquad [\because BD = CD]$

$\therefore AB^2 + AC^2 = 2(AD^2 + BD^2) \qquad [\text{প্রমাণিত}]$

অ্যাপোলোনিয়াসের উপপাদ্যের মাধ্যমে ত্রিভুজের বাহু ও মধ্যমার সম্পর্ক নির্ণয়।

মনে করি, $\triangle ABC$ এর $BC$, $CA$ ও $AB$ বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে $a$, $b$ ও $c$। $BC$, $CA$ ও $AB$ বাহুর উপর অঙ্কিত মধ্যমা $AD$, $BE$ ও $CF$ এর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে $d$, $e$ ও $f$।

Figure

লেবেল: $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$, $d$, $e$, $f$ বর্ণনা: ত্রিভুজ $ABC$; $A$ থেকে $BC$ এর মধ্যবিন্দু $D$ পর্যন্ত মধ্যমা $AD$, $B$ থেকে $CA$ এর মধ্যবিন্দু $E$ পর্যন্ত মধ্যমা $BE$, $C$ থেকে $AB$ এর মধ্যবিন্দু $F$ পর্যন্ত মধ্যমা $CF$ আঁকা; তিনটি মধ্যমা একটি বিন্দুতে মিলিত। মধ্যমাগুলোর অংশের পাশে $d$, $e$, $f$ লেখা।

তাহলে, অ্যাপোলোনিয়াসের উপপাদ্য হতে পাই,

$AB^2 + AC^2 = 2(AD^2 + BD^2)$

বা, $c^2 + b^2 = 2\left(d^2 + \left(\frac{1}{2}a\right)^2\right) \qquad [\because BD = \frac{1}{2}a]$

বা, $b^2 + c^2 = 2d^2 + 2 \cdot \frac{1}{4}a^2$

বা, $b^2 + c^2 = 2d^2 + \frac{a^2}{2}$

বা, $d^2 = \frac{2(b^2 + c^2) - a^2}{4}$

অনুরূপভাবে পাওয়া যায়, $e^2 = \dfrac{2(c^2 + a^2) - b^2}{4}$ এবং $f^2 = \dfrac{2(a^2 + b^2) - c^2}{4}$

সুতরাং বলা যায় কোনো ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য জানা থাকলে মধ্যমাসমূহের দৈর্ঘ্য জানা যায়।

আবার, $d^2 + e^2 + f^2 = \dfrac{2(b^2 + c^2) - a^2}{4} + \dfrac{2(c^2 + a^2) - b^2}{4} + \dfrac{2(a^2 + b^2) - c^2}{4}$

অর্থাৎ, $d^2 + e^2 + f^2 = \dfrac{3}{4}(a^2 + b^2 + c^2)$

$\therefore 3(a^2 + b^2 + c^2) = 4(d^2 + e^2 + f^2)$

Printed page 70

সুতরাং বলা যায় কোন ত্রিভুজের তিনটি বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রসমূহের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির তিনগুণ উক্ত ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয়ের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রসমূহের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির চারগুণের সমান।

ত্রিভুজটি সমকোণী অর্থাৎ $\angle ACB$ সমকোণ এবং $AB$ অতিভুজ হলে

$c^2 = a^2 + b^2$

বা, $a^2 + b^2 + c^2 = 2c^2$

বা, $\dfrac{4}{3}(d^2 + e^2 + f^2) = 2c^2$

বা, $2(d^2 + e^2 + f^2) = 3c^2$

সুতরাং, বলা যায় সমকোণী ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয়ের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রসমূহের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির দ্বিগুণ অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের তিনগুণের সমান।