Higher Mathematics chapter 4: Geometric Drawing

অধ্যায় ৪

জ্যামিতিক অঙ্কন (Geometric Drawing)

কম্পাস ও রুলার ব্যবহার করে দেওয়া নির্দিষ্ট শর্ত অনুযায়ী যে চিত্র অঙ্কন করা হয়, তাহাই জ্যামিতিক অঙ্কন। উপপাদ্য প্রমাণের জন্য যে চিত্র অঙ্কন করা হয় তা যথাযথ (accurate) হওয়া খুব জরুরি নয়। সম্পাদ্যের ক্ষেত্রে জ্যামিতিক চিত্র অঙ্কন যথাযথ হওয়া খুবই প্রয়োজন।

এ অধ্যায় শেষে শিক্ষার্থীরা -

▶ প্রদত্ত তথ্য ও উপাত্তের ভিত্তিতে ত্রিভুজ অঙ্কন এবং অঙ্কনের যথার্থতা যাচাই করতে পারবে;

▶ প্রদত্ত তথ্য ও উপাত্তের ভিত্তিতে বৃত্ত অঙ্কন এবং অঙ্কনের যথার্থতা যাচাই করতে পারবে।

ত্রিভুজসংক্রান্ত কতিপয় সম্পাদ্য

সম্পাদ্য ১. ত্রিভুজের ভূমি, ভূমিসংলগ্ন একটি কোণ ও উচ্চতা দেওয়া আছে, ত্রিভুজটি অঙ্কন করো।

Figure

লেবেল: $a$, $h$, $x$ বর্ণনা: তিনটি দেওয়া তথ্য: দুটি রেখাংশ $a$ ও $h$, এবং $x$ চিহ্নিত একটি কোণ।

মনে করি, কোনো ত্রিভুজের ভূমি $a$, উচ্চতা $h$ এবং ভূমিসংলগ্ন একটি কোণ $x$ দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি অঙ্কন করতে হবে।

অঙ্কন:

ধাপ ১. যেকোনো রেখা $BD$ থেকে $BC = a$ অংশ কেটে নিই।

Figure

লেবেল: $B$, $C$, $D$, $a$ বর্ণনা: একটি অনুভূমিক রেখা $BD$; $B$ থেকে $C$ পর্যন্ত অংশ $a$ চিহ্নিত।

ধাপ ২. $B$ বিন্দুতে $BC$ এর উপর লম্ব $BP$ আঁকি। $BP$ থেকে $BM = h$ কেটে নিই।

Figure

লেবেল: $P$, $M$, $h$, $B$, $C$, $D$, $a$ বর্ণনা: $BD$ রেখার $B$ বিন্দুতে লম্ব $BP$ আঁকা; $BP$ এর উপর $M$ বিন্দু, $BM = h$ চিহ্নিত; $B$ ও $M$ এর কাছে বৃত্তচাপ ও চিহ্ন দেওয়া।

ধাপ ৩. $M$ বিন্দুতে $MN \parallel BC$ অঙ্কন করি।

Figure

লেবেল: $P$, $M$, $N$, $h$, $B$, $C$, $D$, $a$ বর্ণনা: $M$ বিন্দু দিয়ে $BC$ এর সমান্তরাল রেখা $MN$ আঁকা; $BP$ লম্ব রেখার উপর $M$ ও $h$ চিহ্নিত।

Printed page 83

ধাপ ৪. আবার $B$ বিন্দুতে প্রদত্ত $\angle x$ এর সমান করে $\angle CBE$ অঙ্কন করি। $BE$ রেখাংশ $MN$ কে $A$ বিন্দুতে ছেদ করে।

Figure

লেবেল: $x$, $P$, $M$, $A$, $N$, $E$, $h$, $x$, $a$, $B$, $C$, $D$ বর্ণনা: বামে প্রদত্ত কোণ $x$; ডানে $B$ বিন্দুতে আঁকা কোণ $CBE$ এবং $BE$ রেখা $MN$ কে $A$ বিন্দুতে ছেদ করেছে।

ধাপ ৫. $A$, $C$ যোগ করি। তাহলে $ABC$-ই উদ্দিষ্ট ত্রিভুজ।

Figure

লেবেল: $P$, $M$, $A$, $N$, $E$, $B$, $C$, $D$, $x$, $a$, $h$ বর্ণনা: $A$ ও $C$ যোগ করে ত্রিভুজ $ABC$ গঠিত হয়েছে।

প্রমাণ: $MN \parallel BC$ (অঙ্কনানুসারে)। $\therefore$ $ABC$ এর উচ্চতা $BM = h$। আবার, $BC = a$ এবং $\angle ABC = \angle x$। $\therefore$ $\triangle ABC$-ই উদ্দিষ্ট ত্রিভুজ।

বিশ্লেষণ: ভূমি ও ভূমিসংলগ্ন কোণ দেয়া আছে। সুতরাং একটি সরলরেখা থেকে ভূমির সমান অংশ কেটে নিয়ে তার এক প্রান্তে প্রদত্ত কোণের সমান কোণ আঁকতে হবে। অতঃপর ভূমির সঞ্জো নির্দিষ্ট কোণে আনত নতুন অঙ্কিত রেখার উপর এমন একটা বিন্দু নির্ণয় করতে হবে যেন ভূমি থেকে ঐ বিন্দুটির উচ্চতা ত্রিভুজের উচ্চতার সমান হয়।

সম্পাদ্য ২. ত্রিভুজের ভূমি, শিরঃকোণ ও অপর বাহুদ্বয়ের সমষ্টি দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি অঙ্কন কর।

Figure

লেবেল: $s$, $a$, $x$ বর্ণনা: দুটি রেখাংশ $s$ ও $a$, এবং $x$ চিহ্নিত একটি কোণ।

মনে করি, একটি ত্রিভুজের ভূমি $a$, অপর বাহুদ্বয়ের সমষ্টি $s$ এবং শিরঃকোণ $x$ দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি অঙ্কন করতে হবে।

অঙ্কন:

ধাপ ১. যেকোনো রেখা $DE$ থেকে $DB = s$ অংশ কেটে নিই।

Figure

লেবেল: $D$, $s$, $B$, $E$ বর্ণনা: একটি রেখা $DE$; $D$ থেকে $B$ পর্যন্ত অংশ $s$ চিহ্নিত।

ধাপ ২. $DB$ রেখার $D$ বিন্দুতে $\angle BDF = \dfrac{1}{2}\angle x$ অঙ্কন করি।

Figure

লেবেল: $x$, $\dfrac{x}{2}$, $D$, $B$, $E$, $F$, $s$ বর্ণনা: $D$ বিন্দুতে $DB$ এর সাথে $\angle x/2$ কোণ গঠিত; কোণের বাহু $DF$।

ধাপ ৩. $B$ কে কেন্দ্র করে $a$ এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্তচাপ অঙ্কন করি যা $DF$ কে $C$ ও $C'$ বিন্দুতে ছেদ করে। $B,C$ ও $B,C'$ যোগ করি।

Printed page 84

Figure

লেবেল: $\dfrac{x}{2}$, $D$, $B$, $E$, $F$, $s$, $C$, $C'$, $a$ বর্ণনা: $D$ বিন্দুতে $DF$ রেখা; $DF$ এর উপর $B$ কেন্দ্রক বৃত্তচাপ $C$ ও $C'$ বিন্দুতে ছেদ করেছে; $B$ থেকে $C$ ও $C'$ পর্যন্ত রেখাংশ যোগ করা হয়েছে; $a$ চিহ্নিত।

ধাপ ৪. $C$ বিন্দুতে $\angle BDF$ এর সমান $\angle DCA$ ও $C'$ বিন্দুতে $\angle BDF$ এর সমান $\angle DC'A'$ অঙ্কন করি। $CA$ ও $C'A'$ রেখা দুটি $BD$ কে যথাক্রমে $A$ ও $A'$ বিন্দুতে ছেদ করে। তাহলে $ABC$ ও $A'BC'$ ত্রিভুজদ্বয় উদ্দিষ্ট ত্রিভুজ।

Figure

লেবেল: $F$, $C'$, $C$, $D$, $A$, $A'$, $B$, $E$, $\dfrac{x}{2}$, $s$, $a$ বর্ণনা: $CA$ ও $C'A'$ রেখা $BD$ কে $A$ ও $A'$ বিন্দুতে ছেদ করেছে; $B$ থেকে $C$ ও $C'$ পর্যন্ত রেখাংশ $a$ চিহ্নিত; $ABC$ ও $A'BC'$ দুটি ত্রিভুজ গঠিত।

প্রমাণ: যেহেতু $\angle ACD = \angle ADC = \angle A'C'D = \dfrac{1}{2}\angle x$ (অঙ্কনানুসারে)

$\therefore \angle BAC = \angle ADC + \angle ACD = \dfrac{1}{2}\angle x + \dfrac{1}{2}\angle x = \angle x$

$\therefore \angle BA'C' = \angle A'DC' + \angle A'C'D = \dfrac{1}{2}\angle x + \dfrac{1}{2}\angle x = \angle x$

এবং $AC = AD$, $A'C' = A'D$

$ABC$ ত্রিভুজে,

$\angle BAC = \angle x$, $BC = a$ এবং $CA + AB = DA + AB = DB = s$

$\therefore$ $\triangle ABC$-ই উদ্দিষ্ট ত্রিভুজ।

আবার $A'BC'$ ত্রিভুজে,

$\angle BA'C' = \angle x$, $BC' = a$ এবং $C'A' + A'B = DA' + A'B = DB = s$

$\therefore$ $\triangle A'BC'$-ই অপর উদ্দিষ্ট ত্রিভুজ।

সম্পাদ্য ৩. ত্রিভুজের ভূমি, শিরঃকোণ ও অপর দুই বাহুর অন্তর দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি অঙ্কন করো।

Figure

লেবেল: $a$, $d$, $x$ বর্ণনা: দুটি রেখাংশ $a$ ও $d$, এবং $x$ চিহ্নিত একটি কোণ।

মনে করি, একটি ত্রিভুজের ভূমি $a$, অপর দুই বাহুর অন্তর $d$ এবং শিরঃকোণ $x$ দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি অঙ্কন করতে হবে।

অঙ্কন:

Figure

লেবেল: $B$, $d$, $P$, $D$ বর্ণনা: একটি রেখা $BD$; $B$ থেকে $P$ পর্যন্ত অংশ $d$ চিহ্নিত।

ধাপ ১. যেকোনো রেখা $BD$ থেকে $BP = d$ অংশ কেটে নিই।

ধাপ ২. $P$ বিন্দুতে $\angle x$ এর সম্পূরক কোণের অংশ কেটে নিই। অর্ধেকের সমান $\angle DPM$ অঙ্কন করি।

Printed page 85

Figure

লেবেল: $M$, $B$, $d$, $P$, $D$ বর্ণনা: অনুভূমিক রেখা $BD$ এর উপর $P$ বিন্দুতে $PM$ রেখা আঁকা, $PM$ ও $BD$ এর মধ্যে কোণ চিহ্নিত।

Figure

লেবেল: $x$ বর্ণনা: অনুভূমিক রেখার ওপর একটি বিন্দুতে বৃত্তচাপ আঁকা; একটি আনত রেখা ও রেখাটির মধ্যে $x$ চিহ্নিত একটি কোণ দেখানো হয়েছে।

ধাপ ৩. $B$ কে কেন্দ্র করে $a$ এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে অঙ্কিত বৃত্তচাপ $PM$ সরলরেখাকে $C$ বিন্দুতে ছেদ করে। $B$ ও $C$ যোগ করি।

Figure

লেবেল: $M$, $C$, $a$, $B$, $d$, $P$, $D$ বর্ণনা: $B$ কেন্দ্রক বৃত্তচাপ $PM$ কে $C$ বিন্দুতে ছেদ করেছে; $B$ ও $C$ যোগ করা হয়েছে; $P$ বিন্দুতে কোণ চিহ্নিত।

ধাপ ৪. আবার $C$ বিন্দুতে $\angle DPC = \angle PCA$ কোণ অঙ্কন করি যেন $CA$ রেখাংশ $BD$ কে $A$ বিন্দুতে ছেদ করে। তাহলে $ABC$-ই উদ্দিষ্ট ত্রিভুজ।

Figure

লেবেল: $M$, $C$, $a$, $B$, $d$, $P$, $A$, $D$ বর্ণনা: $C$ বিন্দু থেকে $CA$ রেখা $BD$ কে $A$ বিন্দুতে ছেদ করেছে; $B$, $C$, $A$ যোগ করে ত্রিভুজ $ABC$ গঠিত; $P$ বিন্দুতে কোণ চিহ্নিত।

প্রমাণ: $\angle APC = \angle ACP$

$\therefore$ $AP = AC$

$\therefore$ $AB - AC = AB - AP = d$

আবার $\angle APC = \angle ACP = \angle x$ এর সম্পূরক কোণের অর্ধেক।

$\therefore$ $\angle APC + \angle ACP = \angle x$ এর সম্পূরক = বহিঃস্থ $\angle CAD$ = $\angle CAB$ এর সম্পূরক।

$\therefore$ $\angle A = \angle CAB = \angle x$

$\therefore$ $ABC$-ই নির্ণেয় ত্রিভুজ।

সম্পাদ্য ৪. ত্রিভুজের উচ্চতা, ভূমির উপর মধ্যমা এবং ভূমিসংলগ্ন একটি কোণ দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি অঙ্কন করতে হবে।

Figure

লেবেল: $d$, $h$, $x$ বর্ণনা: তিনটি দেওয়া তথ্য: রেখাংশ $d$ ও $h$, এবং $x$ চিহ্নিত একটি কোণ।

মনে করি, ত্রিভুজের উচ্চতা $h$, ভূমির ওপর মধ্যমা $d$ এবং ভূমি সংলগ্ন একটি $\angle x$ দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি অঙ্কন করতে হবে।

Printed page 86

Figure

লেবেল: $x$; $Q$, $M$, $P$, $A$, $N$, $h$, $d$, $B$, $D$, $C$, $E$; $x$ (বাম পাশে কোণ), $x$ (ভূমি সংলগ্ন কোণ) বর্ণনা: বাম পাশে একটি কোণ $\angle x$ আঁকা আছে, যার একটি বাহু ভূমি রেখা। ডান পাশে ভূমি $BE$ এর ওপর $B$ বিন্দু থেকে উল্লম্ব $BQ$ রেখা; $BQ$ এর ওপর $BM$ অংশ চিহ্নিত। $MN$ রেখা $BE$ এর সমান্তরাল এবং $BP$ রেখাকে $A$ বিন্দুতে ছেদ করেছে। $A$ বিন্দু থেকে $BE$ এর ওপর $D$ বিন্দু পর্যন্ত $d$ মধ্যমা, এবং $C$ বিন্দু $BE$ এর ওপর $BD$ এর সমান $DC$ অংশে অবস্থিত। $AC$ যুক্ত করা আছে।

অঙ্কন:

ধাপ ১. যেকোনো রেখা $BE$ এর $B$ বিন্দুতে $\angle x$ এর সমান $\angle EBP$ অঙ্কন করি।

ধাপ ২. $B$ বিন্দুতে $BE$ রেখার ওপর $BQ$ লম্ব অঙ্কন করি।

ধাপ ৩. $BQ$ থেকে ত্রিভুজের উচ্চতা $h$ এর সমান $BM$ অংশ কেটে নিই।

ধাপ ৪. $M$ বিন্দুতে $MN \parallel BE$ অঙ্কন করি যা $BP$ কে $A$ বিন্দুতে ছেদ করে।

ধাপ ৫. $A$ বিন্দুকে কেন্দ্র করে মধ্যমা $d$ এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্তচাপ অঙ্কন করি। ঐ বৃত্তচাপ $BE$ কে $D$ বিন্দুতে ছেদ করে।

ধাপ ৬. $BE$ থেকে $DC = BD$ অংশ কেটে নিই। $A$ ও $C$ যোগ করি।

তাহলে, $\triangle ABC$-ই উদ্দিষ্ট ত্রিভুজ।

প্রমাণ: $BD = DC \ \therefore$ $D$ বিন্দুই $BC$ এর মধ্যবিন্দু।

$A, D$ যোগ করি। $\therefore AD = d =$ ভূমির উপর অঙ্কিত মধ্যমা, অর্থাৎ, $BC$ ভূমি।

$MN$ ও $BE$ সমান্তরাল। সুতরাং $\triangle ABC$ এর উচ্চতা $BM = h$।

আবার, $\angle ABC = \angle x =$ ভূমি সংলগ্ন একটি কোণ।

$\therefore ABC$-ই উদ্দিষ্ট ত্রিভুজ।

মন্তব্য: $\angle x$ এর উপর নির্ভর করে অনেক ক্ষেত্রে দুটি ত্রিভুজ পাওয়া যেতে পারে। এছাড়াও মধ্যমার দৈর্ঘ্য উচ্চতার থেকে কম হলে অঙ্কন করা যাবে না।

উদাহরণ ১. ত্রিভুজের ভূমির দৈর্ঘ্য $5$ সে.মি., ভূমি সংলগ্ন কোণ $60^\circ$ এবং অপর দুই বাহুর সমষ্টি $7$ সে.মি.। ত্রিভুজটি অঙ্কন করতে হবে।

সমাধান: দেওয়া আছে ভূমি $BC = 5$ সে.মি. অপর দুই বাহুর সমষ্টি $AB + AC = 7$ সে.মি. এবং $\angle ABC = 60^\circ$। $\triangle ABC$ অঙ্কন করতে হবে।

ধাপ ১. যেকোনো রেখা $BX$ থেকে $BC = 5$ সে.মি. কেটে নিই।

ধাপ ২. $\angle XBY = 60^\circ$ আঁকি।

Printed page 87

ধাপ ৩. $BY$ রেখা থেকে $BD = 7$ সে.মি. কেটে নিই।

ধাপ ৪. $C$, $D$ যোগ করি।

ধাপ ৫. $CD$ রেখার লম্বদ্বিখণ্ডক আঁকি যা $BD$ কে $A$ বিন্দুতে ছেদ করে।

ধাপ ৬. $A,C$ যোগ করি, তাহলে $ABC$-ই নির্ণেয় ত্রিভুজ।

Figure

লেবেল: $Y$, $D$, $L$, $A$, $60^\circ$, $B$, $5$ সে.মি., $C$, $X$ বর্ণনা: $B$ বিন্দু থেকে $BX$ ভূমি রেখা এবং $BY$ রেখা যার মধ্যে $\angle XBY = 60^\circ$। $BX$ এর ওপর $BC = 5$ সে.মি.। $BY$ এর ওপর $D$ বিন্দু; $CD$ রেখার লম্বদ্বিখণ্ডক $AL$, $BY$ কে $A$ বিন্দুতে ছেদ করেছে; $A$, $C$ যুক্ত করা আছে।

দ্রষ্টব্য: যেহেতু $AL, CD$ এর লম্বদ্বিখণ্ডক, $AD = AC$।

তাহলে $BD = BA + AD = BA + AC = 7$ সে.মি.।

উদাহরণ ২. ত্রিভুজের ভূমির দৈর্ঘ্য $7.5$ সে.মি. ভূমিসংলগ্ন কোণ $45^\circ$ এবং অপর দুই বাহুর অন্তর $2.5$ সে.মি. দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি অঙ্কন করতে হবে।

সমাধান: দেওয়া আছে ভূমি $BC = 7.5$ সে.মি, অপর দুই বাহুর অন্তর $AB - AC$ বা $AC - AB = 2.5$ সে.মি. এবং ভূমি সংলগ্ন কোণ $45^\circ$। ত্রিভুজটি আঁকতে হবে। আমরা এখানে $AB - AC = 2.5$ সে.মি. এর ক্ষেত্রে অঙ্কনের ধাপসমূহ দেখব। [$AC - AB = 2.5$ সে.মি. ধরে ত্রিভুজটি নিজে অঙ্কন করো।]

Printed page 88

Figure

লেবেল: $A$, $Y$, $D$, $R$, $B$, $C$, $X$, $S$ বর্ণনা: $B$ বিন্দু থেকে $BX$ ভূমি রেখা এবং $BY$ রেখা যার মধ্যে কোণ $45^\circ$ চিহ্নিত; $BC$ ভূমির ওপর $BD$ অংশ $BY$ এর ওপর চিহ্নিত। $C$, $D$ যুক্ত করা আছে; $CD$ রেখার লম্বদ্বিখণ্ডক $RS$, $BY$ কে $A$ বিন্দুতে ছেদ করেছে; $A$, $C$ যুক্ত করা আছে।

ধাপ ১. যেকোনো রেখা $BX$ থেকে $BC = 7.5$ সে.মি. কেটে নিই।

ধাপ ২. $\angle YBC = 45^\circ$ অঙ্কন করি।

ধাপ ৩. $BY$ রেখা থেকে $BD = 2.5$ সে.মি. কেটে নিই।

ধাপ ৪. $C$, $D$ যোগ করি।

ধাপ ৫. $CD$ এর ওপর $RS$ লম্বদ্বিখণ্ডক আঁকি যেন $BY$ কে $A$ বিন্দুতে ছেদ করে।

ধাপ ৬. $A$ ও $C$ যোগ করি। তাহলে $ABC$-ই নির্ণেয় ত্রিভুজ।

কাজ:

ক) একটি ত্রিভুজের পরিসীমা এবং ভূমিসংলগ্ন কোণদ্বয় দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি অঙ্কন করো।

খ) ত্রিভুজের ভূমি $BC = 4.6$ সে.মি., $\angle B = 45^\circ$ এবং $AB + CA = 8.2$ সে.মি. দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকতে হবে।

গ) সমকোণী ত্রিভুজের দুটি বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে $3$ সে.মি. এবং $4$ সে.মি. দেওয়া আছে। অতিভুজ নির্ণয় করে ত্রিভুজটি আঁকতে হবে।

ঘ) $\triangle ABC$ এর $BC = 4.5$ সে.মি., $\angle B = 45^\circ$ এবং $AB - AC = 2.5$ সে.মি. দেওয়া আছে। $\triangle ABC$ টি অঙ্কন করতে হবে।

ঙ) $\triangle ABC$ এর পরিসীমা $12$ সে.মি., $\angle B = 60^\circ$ এবং $\angle C = 45^\circ$ দেওয়া আছে। $\triangle ABC$ টি আঁকতে হবে।

Printed page 89