Higher Mathematics chapter 5: Equation

অধ্যায় ৫

সমীকরণ (Equation)

বিভিন্ন গাণিতিক সমস্যা বর্ণনায় সমীকরণের উদ্ভব ঘটে। যেমন আমি প্রতিটি $200$ টাকা মূল্যের কয়েকটি শার্ট ও $400$ টাকা মূল্যের কয়েকটি প্যান্ট কিনি। এতে আমার $1500$ টাকা খরচ হয়। এই তথ্যকে আমরা $200s + 400p = 1500$ বা, $2s + 4p = 15$ আকারে বর্ণনা করতে পারি, যেখানে $s$ শার্টের সংখ্যা ও $p$ প্যান্টের সংখ্যা। $2s + 4p = 15$ একটি সমীকরণ যেখানে $s$ ও $p$ অজ্ঞাত রাশি। চলক হিসেবে $s$ ও $p$ এর নির্দিষ্ট ডোমেন রয়েছে, যা থেকে অজ্ঞাত রাশির নির্দিষ্ট মান নির্ণয় করাই সমীকরণের লক্ষ্য। এরূপ সমাধান সম্পর্কে নবম-দশম শ্রেণির গণিত বইয়ে আলোচনা করা হয়েছে।

এ অধ্যায় শেষে শিক্ষার্থীরা -

▶ দ্বিঘাত সমীকরণ $ax^2 + bx + c = 0$ সমাধান করতে পারবে;

▶ বর্গমূলবিশিষ্ট সমীকরণ চিহ্নিত করতে পারবে;

▶ বর্গমূলবিশিষ্ট সমীকরণ সমাধান করতে পারবে;

▶ সূচকীয় সমীকরণ ব্যাখ্যা করতে পারবে;

▶ সূচকীয় সমীকরণ সমাধান করতে পারবে;

▶ দুই চলকের একঘাত ও দ্বিঘাত সমীকরণের জোট সমাধান করতে পারবে;

▶ বাস্তবভিত্তিক সমস্যাকে দুই চলকের একঘাত ও দ্বিঘাত সমীকরণে প্রকাশ করে সমাধান করতে পারবে;

▶ দুই চলক বিশিষ্ট সূচকীয় সমীকরণ জোট সমাধান করতে পারবে;

▶ লেখচিত্রের সাহায্যে দ্বিঘাত সমীকরণ $ax^2 + bx + c = 0$ সমাধান করতে পারবে।

এক চলক সম্পর্কিত দ্বিঘাত সমীকরণ ও তার সমাধান

আমরা জানি, চলকের যে মান বা মানগুলোর জন্য সমীকরণের উভয় পক্ষ সমান হয়, ঐ মান বা মানগুলোই সমীকরণের মূল (Root) এবং ঐ মান বা মানগুলোর দ্বারা সমীকরণটি সিদ্ধ হয়।

নবম-দশম শ্রেণির গণিত বইয়ে এক চলকের একঘাত ও দ্বিঘাত সমীকরণ এবং দুই চলকের একঘাত ও দ্বিঘাত সমীকরণ সম্পর্কে বিশদ আলোচনা করা হয়েছে। সমীকরণের মূলগুলো মূলদ সংখ্যা হলে, $ax^2 + bx + c = 0$ সমীকরণের বামপক্ষকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে সহজেই তার সমাধান করা যায়।

Printed page 97

কিন্তু যেকোনো রাশিমালাকে সহজে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা যায় না। সে জন্য যেকোনো প্রকার দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধানের জন্য নিম্নলিখিত পদ্ধতিটি ব্যবহার করা হয়।

এক চলক সংবলিত দ্বিঘাত সমীকরণের আদর্শরূপ $ax^2 + bx + c = 0$। এখানে $a, b, c$ বাস্তব সংখ্যা এবং $a \neq 0$। আমরা দ্বিঘাত সমীকরণটির সমাধান করি,

$ax^2 + bx + c = 0$

বা, $a^2x^2 + abx + ac = 0$ [উভয়পক্ষকে $a$ দ্বারা গুণ করে]

বা, $(ax)^2 + 2(ax)\dfrac{b}{2} + \left(\dfrac{b}{2}\right)^2 - \left(\dfrac{b}{2}\right)^2 + ac = 0$

বা, $\left(ax + \dfrac{b}{2}\right)^2 = \dfrac{b^2}{4} - ac$

বা, $\left(ax + \dfrac{b}{2}\right)^2 = \dfrac{b^2 - 4ac}{4}$

বা, $ax + \dfrac{b}{2} = \pm\dfrac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2}$ [উভয় পক্ষের বর্গমূল করে]

বা, $ax = -\dfrac{b}{2} \pm \dfrac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2}$

বা, $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \ldots\ldots (1)$

অতএব, $x$ এর দুইটি মান পাওয়া গেল এবং মান দুটি হচ্ছে

$x_1 = \dfrac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \ldots\ldots (2)$ এবং $x_2 = \dfrac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \ldots\ldots (3)$

উপরের $(1)$ নং সমীকরণে $b^2 - 4ac$ কে দ্বিঘাত সমীকরণটির নিশ্চায়ক (Discriminant) বলে কারণ ইহা সমীকরণটির মূলদ্বয়ের ধরন ও প্রকৃতি নির্ণয় করে।

নিশ্চায়কের অবস্থাভেদে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয়ের ধরন ও প্রকৃতি

ধরি $a, b, c$ বাস্তব সংখ্যা এবং $a \neq 0$। তাহলে

ক) $b^2 - 4ac > 0$ এবং পূর্ণবর্গ হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও মূলদ হবে।

খ) $b^2 - 4ac > 0$ কিন্তু পূর্ণবর্গ না হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও অমূলদ হবে।

গ) $b^2 - 4ac = 0$ হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব ও পরস্পর সমান হবে, এক্ষেত্রে $x = -\dfrac{b}{2a}, -\dfrac{b}{2a}$

ঘ) $b^2 - 4ac < 0$ অর্থাৎ ঋণাত্মক হলে সমীকরণটির বাস্তব মূল নাই।

উদাহরণ ১. $x^2 - 5x + 6 = 0$ এর সমাধান করো।

Printed page 98

সমাধান: $ax^2 + bx + c = 0$ সমীকরণের সাথে তুলনা করে এক্ষেত্রে পাওয়া যায় $a = 1$, $b = -5$ এবং $c = 6$। অতএব সমীকরণটির সমাধান

$x = \dfrac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1} = \dfrac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} = \dfrac{5 \pm \sqrt{1}}{2} = \dfrac{5 \pm 1}{2}$

বা, $x = \dfrac{5 + 1}{2}, \dfrac{5 - 1}{2}$

অর্থাৎ $x_1 = 3, x_2 = 2$

উদাহরণ ২. $x^2 - 6x + 9 = 0$ এর সমাধান করো।

সমাধান: $ax^2 + bx + c = 0$ সমীকরণের সাথে তুলনা করে এক্ষেত্রে পাওয়া যায় $a = 1$, $b = -6$ এবং $c = 9$। অতএব সমীকরণটির সমাধান

$x = \dfrac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1} = \dfrac{6 \pm \sqrt{36 - 36}}{2} = \dfrac{6 \pm 0}{2}$

অর্থাৎ $x_1 = 3, x_2 = 3$

উদাহরণ ৩. $x^2 - 2x - 2 = 0$ এর সমাধান করো।

সমাধান: $ax^2 + bx + c = 0$ সমীকরণের সাথে তুলনা করে এক্ষেত্রে পাওয়া যায় $a = 1$, $b = -2$ এবং $c = -2$। অতএব সমীকরণটির সমাধান

$x = \dfrac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} = \dfrac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2} = \dfrac{2 \pm \sqrt{12}}{2}$

বা, $x = \dfrac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = \dfrac{2(1 \pm \sqrt{3})}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$

অর্থাৎ $x_1 = 1 + \sqrt{3}, x_2 = 1 - \sqrt{3}$।

এখানে লক্ষণীয় যে, সাধারণ নিয়মে মূলদ সংখ্যার সাহায্যে $x^2 - 2x - 2$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা না গেলেও প্রদত্ত সমীকরণটির সমাধান করা সম্ভব হয়েছে।

উদাহরণ ৪. $3 - 4x - x^2 = 0$ এর সমাধান করো।

সমাধান: $ax^2 + bx + c = 0$ সমীকরণের সাথে তুলনা করে এক্ষেত্রে পাওয়া যায় $a = -1$, $b = -4$, $c = 3$। অতএব সমীকরণটির সমাধান

$x = \dfrac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot (-1) \cdot 3}}{2 \cdot (-1)} = \dfrac{4 \pm \sqrt{16 + 12}}{-2} = \dfrac{4 \pm \sqrt{28}}{-2}$

$= \dfrac{4 \pm 2\sqrt{7}}{-2}$

বা, $x = -(2 \pm \sqrt{7})$

অর্থাৎ, $x_1 = -2 - \sqrt{7}, -2 + \sqrt{7}$।

উদাহরণ ৫. সমাধান করো: $\sqrt{8x + 9} - \sqrt{2x + 15} = \sqrt{2x - 6}$

Printed page 99

কাজ: উপরের $(2)$ ও $(3)$ নং সূত্রের সাহায্যে $ax^2 + bx + c = 0$ সমীকরণ হতে মূল $x_1$ এবং $x_2$ এর মান নির্ণয় করো: যখন

ক) $b = 0$

খ) $c = 0$

গ) $b = c = 0$

ঘ) $a = 1$

ঙ) $a = 1, b = c = 2p$

অনুশীলনী ৫.১

সূত্রের সাহায্যে নিচের সমীকরণগুলোর সমাধান করো:

১. $2x^2 + 9x + 9 = 0$

২. $3 - 4x - 2x^2 = 0$

৩. $4x - 1 - x^2 = 0$

৪. $2x^2 - 5x - 1 = 0$

৫. $3x^2 + 7x + 1 = 0$

৬. $2 - 3x^2 + 9x = 0$

৭. $x^2 - 8x + 16 = 0$

৮. $2x^2 + 7x - 1 = 0$

৯. $7x - 2 - 3x^2 = 0$

মূল চিহ্ন সংবলিত সমীকরণ

সমীকরণে চলকের বর্গমূল সংবলিত রাশি থাকলে তাকে বর্গ করে বর্গমূল চিহ্নমুক্ত নতুন সমীকরণ পাওয়া যায়। উক্ত সমীকরণ সমাধান করে যে মূলগুলো পাওয়া যায় অনেক সময় সবগুলো মূল প্রদত্ত সমীকরণটিকে সিদ্ধ করে না। এ ধরনের মূল অবান্তর (Extraneous) মূল। সুতরাং মূলচিহ্ন সংবলিত সমীকরণ সমাধান প্রক্রিয়ায় প্রাপ্ত মূলগুলো প্রদত্ত সমীকরণের মূল কিনা তা অবশ্যই পরীক্ষা করে দেখা দরকার। পরীক্ষার পর যে সব মূল উক্ত সমীকরণকে সিদ্ধ করে তাই হবে প্রদত্ত সমীকরণের মূল। নিচে কয়েকটি উদাহরণ দেওয়া হলো।

উদাহরণ ৫. সমাধান করো: $\sqrt{8x + 9} - \sqrt{2x + 15} = \sqrt{2x - 6}$

সমাধান: $\sqrt{8x + 9} - \sqrt{2x + 15} = \sqrt{2x - 6}$

বা, $\sqrt{2x + 15} + \sqrt{2x - 6} = \sqrt{8x + 9}$

বা, $2x + 15 + 2x - 6 + 2\sqrt{2x + 15}\sqrt{2x - 6} = 8x + 9$ [বর্গ করে]

বা, $\sqrt{2x + 15}\sqrt{2x - 6} = 2x$

বা, $(2x + 15)(2x - 6) = 4x^2$ [পুনরায় বর্গ করে]

বা, $4x^2 + 18x - 90 = 4x^2$

বা, $18x = 90$

$\therefore x = 5$

শুদ্ধি পরীক্ষা: $x = 5$ হলে, বামপক্ষ $= \sqrt{49} - \sqrt{25} = 7 - 5 = 2$ এবং ডানপক্ষ $= \sqrt{4} = 2$

Printed page 100

$\therefore$ নির্ণেয় সমাধান $x = 5$

কাজ: $p = \sqrt{\dfrac{x}{x+16}}$ ধরে $\sqrt{\dfrac{x}{x+16}} + \sqrt{\dfrac{x+16}{x}} = \dfrac{25}{12}$ সমীকরণটির সমাধান করে শুদ্ধি পরীক্ষা করো।

উদাহরণ ৬. সমাধান করো: $\sqrt{2x + 8} - 2\sqrt{x + 5} + 2 = 0$

সমাধান: $\sqrt{2x + 8} = 2\sqrt{x + 5} - 2$

বা, $2x + 8 = 4(x + 5) + 4 - 8\sqrt{x + 5}$ [বর্গ করে]

বা, $8\sqrt{x + 5} = 4x + 20 + 4 - 2x - 8$ [পক্ষান্তর করে]

বা, $8\sqrt{x + 5} = 2x + 16 = 2(x + 8)$

বা, $4\sqrt{x + 5} = x + 8$

বা, $16(x + 5) = x^2 + 16x + 64$ [বর্গ করে]

বা, $16x + 80 = x^2 + 16x + 64$

বা, $16 = x^2$

$\therefore x = \pm\sqrt{16} = \pm 4$

শুদ্ধি পরীক্ষা: $x = 4$ হলে, বামপক্ষ $= \sqrt{16} - 2\sqrt{9} + 2 = 4 - 2 \times 3 + 2 = 0 =$ ডানপক্ষ

$x = -4$ হলে, বামপক্ষ $= \sqrt{-8 + 8} - 2\sqrt{-4 + 5} + 2 = 0 - 2 \times 1 + 2 = 0 =$ ডানপক্ষ

$\therefore$ নির্ণেয় সমাধান $x = 4, -4$

উদাহরণ ৭. সমাধান করো: $\sqrt{2x + 9} - \sqrt{x - 4} = \sqrt{x + 1}$

সমাধান: $\sqrt{2x + 9} - \sqrt{x - 4} = \sqrt{x + 1}$

বা, $2x + 9 + x - 4 - 2\sqrt{2x + 9}\sqrt{x - 4} = x + 1$ [বর্গ করে]

বা, $2x + 4 - 2\sqrt{2x + 9}\sqrt{x - 4} = 0$

বা, $\sqrt{2x + 9}\sqrt{x - 4} = x + 2$

বা, $(2x + 9)(x - 4) = x^2 + 4x + 4$ [বর্গ করে]

বা, $2x^2 + x - 36 = x^2 + 4x + 4$

বা, $x^2 - 3x - 40 = 0$

বা, $(x - 8)(x + 5) = 0$

$\therefore x = 8$ অথবা $x = -5$

Printed page 101

শুদ্ধি পরীক্ষা: $x = 8$ হলে, বামপক্ষ $= 5 - 2 = 3$ এবং ডানপক্ষ $= 3$

অতএব, $x = 8$ প্রদত্ত সমীকরণের একটি মূল।

$x = -5$ গ্রহণযোগ্য নয়, কেননা সমীকরণে $x = -5$ বসালে ঋণাত্মক সংখ্যার বর্গমূল আসে যা সংজ্ঞায়িত নয়।

$\therefore$ নির্ণেয় সমাধান $x = 8$

মন্তব্য: এমনকি জটিল সংখ্যায় সমাধান বের করলেও $x = -5$ গ্রহণযোগ্য হয় না।

উদাহরণ ৮. সমাধান করো: $\sqrt{(x - 1)(x - 2)} + \sqrt{(x - 3)(x - 4)} = \sqrt{2}$

সমাধান: $\sqrt{(x - 1)(x - 2)} + \sqrt{(x - 3)(x - 4)} = \sqrt{2}$

বা, $\sqrt{x^2 - 3x + 2} - \sqrt{2} = -\sqrt{x^2 - 7x + 12}$

বা, $x^2 - 3x + 2 - 2\sqrt{2}\sqrt{x^2 - 3x + 2} + 2 = x^2 - 7x + 12$ [বর্গ করে]

বা, $\sqrt{2x^2 - 6x + 4} = 2x - 4$

বা, $2x^2 - 6x + 4 = (2x - 4)^2 = 4x^2 - 16x + 16$ [বর্গ করে]

বা, $x^2 - 5x + 6 = 0$

বা, $(x - 2)(x - 3) = 0$

$\therefore x = 2$ অথবা $x = 3$।

শুদ্ধি পরীক্ষা: $x = 2$ হলে, বামপক্ষ $= \sqrt{2} =$ ডানপক্ষ

$x = 3$ হলে, বামপক্ষ $= \sqrt{2} =$ ডানপক্ষ

$\therefore$ নির্ণেয় সমাধান $x = 2, 3$।

উদাহরণ ৯. সমাধান করো: $\sqrt{x^2 - 6x + 15} - \sqrt{x^2 - 6x + 13} = \sqrt{10} - \sqrt{8}$

সমাধান: $\sqrt{x^2 - 6x + 15} - \sqrt{x^2 - 6x + 13} = \sqrt{10} - \sqrt{8}$

এখন $x^2 - 6x + 13 = y$ ধরলে প্রদত্ত সমীকরণ হবে

$\sqrt{y + 2} - \sqrt{y} = \sqrt{10} - \sqrt{8}$

বা, $\sqrt{y + 2} + \sqrt{8} = \sqrt{y} + \sqrt{10}$

বা, $y + 2 + 8 + 2\sqrt{8y + 16} = y + 10 + 2\sqrt{10y}$ [বর্গ করে]

বা, $\sqrt{8y + 16} = \sqrt{10y}$

বা, $8y + 16 = 10y$ [বর্গ করে]

বা, $2y = 16$ বা, $y = 8$

Printed page 102

বা, $x^2 - 6x + 13 = 8$ [$y$ এর মান বসিয়ে]

বা, $x^2 - 6x + 5 = 0$ বা, $(x - 1)(x - 5) = 0$

$\therefore x = 1$ অথবা $5$।

শুদ্ধি পরীক্ষা: $x = 1$ হলে, বামপক্ষ $= \sqrt{10} - \sqrt{8} =$ ডানপক্ষ

$x = 5$ হলে, বামপক্ষ $= \sqrt{10} - \sqrt{8} =$ ডানপক্ষ

$\therefore$ নির্ণেয় সমাধান $x = 1, 5$।

উদাহরণ ১০. সমাধান করো: $(1 + x)^{\frac{1}{3}} + (1 - x)^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{1}{3}}$

সমাধান: $(1 + x)^{\frac{1}{3}} + (1 - x)^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{1}{3}}$

বা, $1 + x + 1 - x + 3 \cdot (1 + x)^{\frac{1}{3}}(1 - x)^{\frac{1}{3}}\{(1 + x)^{\frac{1}{3}} + (1 - x)^{\frac{1}{3}}\} = 2$ [ঘন করে]

বা, $2 + 3 \cdot (1 + x)^{\frac{1}{3}}(1 - x)^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{3}} = 2$

বা, $3 \cdot 2^{\frac{1}{3}} \cdot (1 + x)^{\frac{1}{3}} \cdot (1 - x)^{\frac{1}{3}} = 0$

বা, $(1 + x)^{\frac{1}{3}}(1 - x)^{\frac{1}{3}} = 0$

বা, $(1 + x)(1 - x) = 0$ [আবার ঘন করে]

$x = 1$ এবং $x = -1$ উভয়ই সমীকরণটিকে সিদ্ধ করে।

$\therefore$ নির্ণেয় সমাধান $x = \pm 1$