Higher Mathematics chapter 6: Inequality

অধ্যায় ৬

অসমতা (Inequality)

সমীকরণ বা সমতা সম্পর্কে আমাদের ধারণা হয়েছে। কিন্তু বাস্তব জীবনে অসমতারও একটা বিস্তৃত ও গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা রয়েছে।

এ অধ্যায় শেষে শিক্ষার্থীরা -

▶ এক ও দুই চলকের এক ঘাতবিশিষ্ট অসমতা ব্যাখ্যা করতে পারবে ;

▶ দুই চলকবিশিষ্ট সরল অসমতা গঠন ও সমাধান করতে পারবে ;

▶ বাস্তবভিত্তিক গাণিতিক সমস্যায় অসমতা ব্যবহার করে সমাধান করতে পারবে ;

▶ এক ও দুই চলকবিশিষ্ট অসমতাকে লেখচিত্রের সাহায্যে সমাধান করতে পারবে।

অসমতার ধারণা

মনে করি একটি ক্লাসের ছাত্রসংখ্যা $200$ জন। স্বাভাবিকভাবে দেখা যায় যে, ঐ ক্লাসে সবদিন সকলে উপস্থিত থাকে না, সকলে অনুপস্থিতও থাকে না। একটি নির্দিষ্ট দিনে উপস্থিত ছাত্র সংখ্যা $x$ হলে আমরা লিখতে পারি $0 < x < 200$। একইভাবে আমরা দেখি যে, কোনো নিমন্ত্রিত অনুষ্ঠানেই সবাই উপস্থিত হয় না। পোশাক-পরিচ্ছদ ও অন্যান্য অনেক ভোগ্যপণ্য তৈরিতে পরিক্ষারভাবে অসমতার ধারণা প্রয়োজন হয়। দালান তৈরির ক্ষেত্রে, পুস্তক মুদ্রণের ক্ষেত্রে এবং এরকম আরও অনেক ক্ষেত্রে উপাদানগুলো সঠিক পরিমাণে নির্ণয় করা যায় না বিধায় প্রথম পর্যায়ে অনুমানের ভিত্তিতে উপাদানগুলো ক্রয় বা সংগ্রহ করতে হয়। অতএব দেখা যাচ্ছে যে, আমাদের দৈনন্দিন জীবনে অসমতার ধারণাটা খুবই গুরুত্বপূর্ণ।

বাস্তব সংখ্যার ক্ষেত্রে

$a > b$ যদি ও কেবল যদি $(a - b)$ ধনাত্মক অর্থাৎ $(a - b) > 0$

$a < b$ যদি ও কেবল যদি $(a - b)$ ঋণাত্মক অর্থাৎ $(a - b) < 0$

অসমতার কয়েকটি বিধি:

ক) $a < b \Leftrightarrow b > a$

খ) $a > b$ হলে যেকোনো $c$ এর জন্য

Printed page 124

$a + c > b + c$ এবং $a - c > b - c$

গ) $a > b$ হলে যেকোনো $c$ এর জন্য

$ac > bc$ এবং $\dfrac{a}{c} > \dfrac{b}{c}$ যখন $c > 0$

$ac < bc$ এবং $\dfrac{a}{c} < \dfrac{b}{c}$ যখন $c < 0$

উদাহরণ ১. $x < 2$ হলে

ক) $x + 2 < 4$ [উভয়পক্ষে $2$ যোগ করে]

খ) $x - 2 < 0$ [উভয়পক্ষে $2$ বিয়োগ করে]

গ) $2x < 4$ [উভয়পক্ষকে $2$ দ্বারা গুণ করে]

ঘ) $-3x > -6$ [উভয়পক্ষকে $-3$ দ্বারা গুণ করে]

এখানে উল্লেখ্য যে,

$a \geq b$ এর অর্থ $a > b$ অথবা $a = b$

$a \leq b$ এর অর্থ $a < b$ অথবা $a = b$

$a < b < c$ এর অর্থ $a < b$ এবং $b < c$ যার অর্থ $a < c$

উদাহরণ ২. $3 \geq 1$ সত্য যেহেতু $3 > 1$

$2 \leq 4$ সত্য যেহেতু $2 < 4$

$2 < 3 < 4$ সত্য যেহেতু $2 < 3$ এবং $3 < 4$

কাজ:

ক) তোমাদের শ্রেণির যে সকল ছাত্র-ছাত্রীর উচ্চতা $5$ ফুটের চেয়ে বেশি এবং $5$ ফুটের চেয়ে কম তাদের উচ্চতা অসমতার মাধ্যমে প্রকাশ করো।

খ) কোনো পরীক্ষার মোট নম্বর $1000$ হলে, একজন পরীক্ষার্থীর প্রাপ্ত নম্বর অসমতার মাধ্যমে প্রকাশ করো।

উদাহরণ ৩. সমাধান করো ও সমাধান সেটটি সংখ্যারেখায় দেখাও: $4x + 4 > 16$

সমাধান: দেওয়া আছে, $4x + 4 > 16$

বা, $4x + 4 - 4 > 16 - 4$ [উভয়পক্ষ থেকে $4$ বিয়োগ করে]

বা, $4x > 12$

বা, $\dfrac{4x}{4} > \dfrac{12}{4}$ [উভয়পক্ষকে $4$ দ্বারা ভাগ করে]

Printed page 125

বা, $x > 3$

$\therefore$ নির্ণেয় সমাধান $x > 3$

এখানে সমাধান সেট, $S = \{x \in R : x > 3\}$

সমাধান সেটটি নিচে অঙ্কিত সংখ্যারেখায় দেখানো হলো।

Figure

লেবেল: $-1$, $0$, $1$, $2$, $3$, $4$ বর্ণনা: একটি অনুভূমিক সংখ্যারেখা। $3$ বিন্দুতে একটি ফাঁকা বৃত্ত, সেখান থেকে ডানদিকে একটি মোটা রেখা ও তীর চিহ্নিত।

উদাহরণ ৪. সমাধান করো এবং সমাধান সেট সংখ্যারেখায় দেখাও: $x - 9 > 3x + 1$

সমাধান: দেওয়া আছে, $x - 9 > 3x + 1$

বা, $x - 9 + 9 > 3x + 1 + 9$

বা, $x > 3x + 10$

বা, $x - 3x > 3x + 10 - 3x$

বা, $-2x > 10$

বা, $\dfrac{-2x}{-2} < \dfrac{10}{-2}$ [উভয়পক্ষকে $-2$ দ্বারা ভাগ করায় অসমতার দিক পাল্টে গেছে]

বা, $x < -5$

$\therefore$ নির্ণেয় সমাধান $x < -5$

সমাধান সেটটি নিচে অঙ্কিত সংখ্যা রেখায় দেখানো হলো।

Figure

লেবেল: $-6$, $-5$, $-4$, $-3$, $-2$, $-1$, $0$, $1$ বর্ণনা: একটি অনুভূমিক সংখ্যারেখা। $-5$ বিন্দুতে একটি ফাঁকা বৃত্ত, সেখান থেকে বামদিকে একটি মোটা রেখা ও তীর চিহ্নিত।

বিশেষ দ্রষ্টব্য: সমীকরণের সমাধান যেমন একটি সমীকরণ (সমতা) দ্বারা প্রকাশ পায়, তেমনি অসমতার সমাধান একটি অসমতা দ্বারা প্রকাশ পায়। অসমতার সমাধান সেট (সাধারণত) বাস্তব সংখ্যার অসীম উপসেট।

উদাহরণ ৫. সমাধান করো: $a(x + b) < c, [a \neq 0]$

সমাধান: $a$ ধনাত্মক হলে, $\dfrac{a(x + b)}{a} < \dfrac{c}{a}$ [উভয়পক্ষকে $a$ দ্বারা ভাগ করে]

বা, $x + b < \dfrac{c}{a}$ বা, $x < \dfrac{c}{a} - b$

$a$ ঋণাত্মক হলে একই প্রক্রিয়ায় পাই, $\dfrac{a(x + b)}{a} > \dfrac{c}{a}$

বা, $x + b > \dfrac{c}{a}$ বা, $x > \dfrac{c}{a} - b$

$\therefore$ নির্ণেয় সমাধান: $(i)$ $x < \dfrac{c}{a} - b$ যদি $a > 0$ হয়, $(ii)$ $x > \dfrac{c}{a} - b$ যদি $a < 0$ হয়।

Printed page 126

বিশেষ দ্রষ্টব্য: $a$ যদি শূন্য এবং $c$ যদি ধনাত্মক হয়, তবে $x$ এর যেকোনো মানের জন্য অসমতাটি সত্য হবে। কিন্তু $a$ যদি শূন্য এবং $c$ ঋণাত্মক হয়, তবে অসমতাটির কোনো সমাধান থাকবে না।

অনুশীলনী ৬.১

অসমতাগুলো সমাধান করো এবং সংখ্যারেখায় সমাধান সেট দেখাও:

১. $y - 3 < 5$

২. $3(x - 2) < 6$

৩. $3x - 2 > 2x - 1$

৪. $z \leq \dfrac{1}{2}z + 3$

৫. $8 \geq 2 - 2x$

৬. $x \leq \dfrac{x}{3} + 4$

৭. $5(3 - 2t) \leq 3(4 - 3t)$

৮. $\dfrac{x}{3} + \dfrac{x}{4} + \dfrac{x}{5} > \dfrac{47}{60}$

অসমতার ব্যবহার

সমীকরণের সাহায্যে তোমরা সমস্যা সমাধান করতে শিখেছ। একই পদ্ধতিতে অসমতা সম্পর্কিত সমস্যার সমাধান করতে পারবে।

উদাহরণ ৬. কোনো পরীক্ষায় বাংলা ১ম ও ২য় পত্রে রমা পেয়েছে যথাক্রমে $5x$ এবং $6x$ নম্বর এবং কুমকুম পেয়েছে $4x$ এবং $84$ নম্বর। কোনো পত্রে কেউ $40$ এর নিচে পায়নি। বাংলা বিষয়ে কুমকুম হয়েছে প্রথম এবং রমা হয়েছে দ্বিতীয়। $x$ এর মান সম্ভাব্য অসমতার মাধ্যমে প্রকাশ করো।

সমাধান: রমা পেয়েছে মোট $5x + 6x$ নম্বর এবং কুমকুম পেয়েছে মোট $4x + 84$ নম্বর।

প্রশ্নমতে, $5x + 6x < 4x + 84$

বা, $5x + 6x - 4x < 84$ বা, $7x < 84$

বা, $x < \dfrac{84}{7}$ বা, $x < 12$

কিন্তু, $4x \geq 40$ [প্রাপ্ত সর্বনিম্ন নম্বর $40$] বা, $x \geq 10$ বা, $10 \leq x$

$\therefore$ $10 \leq x < 12$

উদাহরণ ৭. একজন ছাত্র $5$ টাকা দরে $x$ টি পেনসিল এবং $8$ টাকা দরে $(x + 4)$ টি খাতা কিনেছে। মোট মূল্য অনূর্ধ্ব $97$ টাকা হলে, সর্বাধিক কয়টি পেনসিল কিনেছে?

সমাধান: $x$ টি পেনসিলের দাম $5x$ টাকা এবং $x + 4$ টি খাতার দাম $8(x + 4)$ টাকা।

প্রশ্নমতে, $5x + 8(x + 4) \leq 97$

বা, $5x + 8x + 32 \leq 97$

বা, $13x \leq 65$

Printed page 127

বা, $x \leq \dfrac{65}{13}$

বা, $x \leq 5$

$\therefore$ ছাত্রটি সর্বাধিক $5$ টি পেনসিল কিনেছে।

কাজ: $140$ টাকা কেজি দরে জনাব ডেভিড $x$ কেজি আপেল কিনলেন। তিনি বিক্রেতাকে $1000$ টাকার একখানা নোট দিলেন। বিক্রেতা $50$ টাকার $x$ খানা নোটসহ বাকি টাকা ফেরত দিলেন। সমস্যাটিকে অসমতার মাধ্যমে প্রকাশ করো এবং $x$ এর সম্ভাব্য মান নির্ণয় করো।

অনুশীলনী ৬.২

১-৫ পর্যন্ত সমস্যাগুলো অসমতার মাধ্যমে প্রকাশ করো এবং $x$ এর সম্ভাব্য মান নির্ণয় করো।

১. এক বালক ঘণ্টায় $x$ কি.মি. বেগে $3$ ঘণ্টা হাঁটল এবং ঘণ্টায় $(x + 2)$ কি.মি. বেগে $\dfrac{1}{2}$ ঘণ্টা দৌড়াল এবং তার অতিক্রান্ত পথ $29$ কি.মি. এর কম।

২. একটি বোর্ডিংয়ে রোজ $4x$ কেজি চাল এবং $(x - 3)$ কেজি ডাল লাগে, চাল ও ডাল মিলে $40$ কেজির বেশি লাগে না।

৩. সোহরাব সাহেব $70$ টাকা কেজি দরে $x$ কেজি আম কিনলেন। তিনি বিক্রেতাকে $500$ টাকার একখানা নোট দিলেন। বিক্রেতা $20$ টাকার $x$ খানা নোটসহ বাকি টাকা ফেরত দিলেন।

৪. একটি গাড়ি $4$ ঘণ্টায় যায় $x$ কি.মি. এবং $5$ ঘণ্টায় যায় $(x + 120)$ কি.মি.। গাড়িটির গড় গতিবেগ ঘণ্টায় $100$ কি.মি. এর বেশি নয়।

৫. এক টুকরা কাগজের ক্ষেত্রফল $40$ বর্গ সে.মি.। তা থেকে $x$ সে.মি. দীর্ঘ এবং $5$ সে.মি. প্রস্থ বিশিষ্ট আয়তাকার কাগজ কেটে নেওয়া হলো।

৬. পুত্রের বয়স মাতার বয়সের এক-তৃতীয়াংশ। পিতা মাতার চেয়ে $6$ বছরের বড়ো। তিনজনের বয়সের সমষ্টি অনূর্ধ্ব $90$ বছর। পিতার বয়স অসমতার মাধ্যমে প্রকাশ করো।

৭. জেনি $14$ বছর বয়সে জুনিয়র বৃত্তি পরীক্ষা দিয়েছিল। $17$ বছর বয়সে সে এস.এস.সি. পরীক্ষা দিবে। তার বর্তমান বয়স অসমতায় প্রকাশ করো।

৮. একখানি জেট প্লেনের গতি প্রতি সেকেন্ডে সর্বাধিক $300$ মিটার। প্লেনটি $15$ কি.মি. যাওয়ার প্রয়োজনীয় সময় অসমতায় প্রকাশ করো।

৯. ঢাকা থেকে সিঙ্গাপুর বিমানপথে দূরত্ব $2900$ কি.মি.। জেট বিমানের সর্বোচ্চ গতিবেগ ঘণ্টায় $900$ কি.মি.। কিন্তু ঢাকা থেকে সিঙ্গাপুর যাবার পথে প্রতিকূল দিকে ঘণ্টায় $100$ কি.মি. বেগে বায়ু প্রবাহের সম্মুখীন হতে হয়। ঢাকা থেকে সিঙ্গাপুর বিরতিহীন উড্ডয়নের প্রয়োজনীয় সময় একটি অসমতার মাধ্যমে প্রকাশ করো।

Printed page 128

১০. পূর্ববর্তী প্রশ্নের সূত্র ধরে, সিঙ্গাপুর থেকে ঢাকা ফেরার পথে উড্ডয়নের প্রয়োজনীয় সময় একটি অসমতার মাধ্যমে প্রকাশ করো।

১১. কোনো ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যার $5$ গুণ, সংখ্যাটির দ্বিগুণ এবং $15$ এর সমষ্টি অপেক্ষা ছোটো। সংখ্যাটির সম্ভাব্য মান অসমতায় প্রকাশ করো।

দুই চলকবিশিষ্ট সরল একঘাত অসমতা

আমরা দুই চলকবিশিষ্ট $y = mx + c$ (যার সাধারণ আকার $ax + by + c = 0$) আকারের সরল সমীকরণের লেখচিত্র অঙ্কন করতে শিখেছি (অষ্টম ও নবম-দশম শ্রেণিতে)। আমরা দেখেছি যে, এ রকম প্রত্যেক লেখচিত্রই একটি সরলরেখা। স্থানাঙ্কায়িত $XY$ সমতলে $ax + by + c = 0$ সমীকরণের লেখচিত্রের যেকোনো বিন্দুর স্থানাঙ্ক সমীকরণটিকে সিদ্ধ করে অর্থাৎ সমীকরণটির বামপক্ষে $x$ ও $y$ এর পরিবর্তে যথাক্রমে ঐ বিন্দুর ভুজ ও কোটি বসালে এর মান শূন্য হয়। অন্যদিকে, লেখস্থিত নয় এমন কোনো বিন্দুর স্থানাঙ্ক সমীকরণটিকে সিদ্ধ করে না অর্থাৎ ঐ বিন্দুর ভুজ ও কোটির জন্য $ax + by + c$ এর মান শূন্য অপেক্ষা বড়ো বা ছোটো হয়। সমতলস্থ কোনো বিন্দু $P$ এর ভুজ ও কোটি দ্বারা $ax + by + c$ রাশির $x$ ও $y$ কে যথাক্রমে প্রতিস্থাপন করলে রাশিটির যে মান হয়, তাকে $P$ বিন্দুতে রাশিটির মান বলা হয় এবং উক্ত মানকে সাধারণত $f(P)$ দ্বারা নির্দেশ করা হয়। $P$ বিন্দু লেখস্থিত হলে $f(P) = 0$, $P$ বিন্দু লেখচিত্রের বহিঃস্থ হলে $f(P) > 0$ অথবা $f(P) < 0$।

বাস্তবে লেখচিত্রের বহিঃস্থ সকল বিন্দু লেখ দ্বারা দুইটি অর্ধতলে বিভক্ত হয়; একটি অর্ধতলের প্রত্যেক বিন্দু $P$ এর জন্য $f(P) > 0$; অপর অর্ধতলের প্রত্যেক বিন্দু $P$ এর জন্য $f(P) < 0$। বলা বাহুল্য, লেখের উপর অবস্থিত প্রত্যেক বিন্দু $P$ এর জন্য $f(P) = 0$।

উদাহরণ ৮. $x + y - 3 = 0$ সমীকরণটি বিবেচনা করি।

সমীকরণটি থেকে পাওয়া যায়: $y = 3 - x$

$(x, y)$ সমতলে ছক কাগজে ছোট বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্যকে একক ধরে সমীকরণটির লেখচিত্রটি নিম্নরূপ হয়:

Printed page 129

Figure

লেবেল: $Y$, $X'$, $O$, $Y'$, $X$, $(0,3)$, $(1,2)$, $(3,0)$, (ক), (খ) বর্ণনা: স্থানাঙ্ক অক্ষ $X'OX$ ও $Y'OY$ এবং তাদের মধ্যে একটি সরলরেখা, যা $(0,3)$, $(1,2)$ ও $(3,0)$ বিন্দু দিয়ে যায়। রেখার ওপরের-ডানের অংশে (ক) এবং নিচের-বামের অংশে (খ) চিহ্নিত।

এই লেখচিত্র রেখা সমগ্র তলটিকে তিনটি অংশে পৃথক করে। যথা:

১. রেখার (ক) চিহ্নিত পাশের বিন্দুসমূহ

২. রেখার (খ) চিহ্নিত পাশের বিন্দুসমূহ এবং

৩. রেখাস্থিত বিন্দুসমূহ

এখানে (ক) চিহ্নিত অংশকে লেখরেখার উপরের অংশ ও (খ) চিহ্নিত অংশকে লেখরেখার নিচের অংশ বলা যায়।

(ক) চিহ্নিত পাশে তিনটি বিন্দু $(3,3), (4,1), (6,-1)$ নিই। এই বিন্দুগুলোতে $x + y - 3$ এর মান যথাক্রমে $3, 2, 2$ যাদের সবকটিই ধনাত্মক।

(খ) চিহ্নিত পাশে তিনটি বিন্দু $(0,0), (1,1), (-1,-1)$ নিই। এই বিন্দুগুলোতে $x + y - 3$ এর মান যথাক্রমে $-3, -1, -5$ যাদের সবকটিই ঋণাত্মক।

বিশেষ দ্রষ্টব্য: $ax + by + c = 0$ লেখরেখার এক পাশে একটি বিন্দু নিয়ে সেখানে $ax + by + c$ এর মান নির্ণয় করে রেখাটির দুই পাশ (ধনাত্মক ও ঋণাত্মক) নির্ণয় করা যায়।