Higher Mathematics chapter 9: Exponential and Logarithmic Function

অধ্যায় ৯

সূচকীয় ও লগারিদমীয় ফাংশন (Exponential and Logarithmic Function)

সমসাময়িক বাস্তবতায় সূচকীয় ও লগারিদমীয় ফাংশনের অনেক প্রয়োগ বিধায় এর চর্চা অব্যাহত রয়েছে। যেমন জনসংখ্যা বৃদ্ধি, চক্রবৃদ্ধি মুনাফা ইত্যাদিতে উভয় ফাংশনের প্রয়োগ বিদ্যমান।

এ অধ্যায় শেষে শিক্ষার্থীরা -

• মূলদ সূচক ও অমূলদ সূচক ব্যাখ্যা করতে পারবে;
• মূলদ ও অমূলদ সূচকের জন্য বিভিন্ন সূত্র প্রমাণ ও প্রয়োগ করতে পারবে;
• সূচক ও লগারিদমের পারস্পরিক সম্পর্ক ব্যাখ্যা করতে পারবে;
• লগারিদমের বিভিন্ন সূত্র প্রমাণ ও প্রয়োগ করতে পারবে;
• লগারিদমের ভিত্তি পরিবর্তন করতে পারবে;
• সূচকীয়, লগারিদমীয় ও পরমমান ফাংশনের ধারণা ব্যাখ্যা করতে পারবে এবং গাণিতিক সমস্যা সমাধান করতে পারবে;
• ফাংশনসমূহের লেখচিত্র অঙ্কনে আগ্রহী হবে;
• সূচকীয়, লগারিদমীয় ও পরমমান ফাংশনসমূহকে লেখচিত্রের সাহায্যে উপস্থাপন করতে পারবে;
• ক্যালকুলেটরের সাহায্যে লগ ও প্রতিলগ নির্ণয় করতে পারবে।

মূলদ ও অমূলদ সূচক

নবম-দশম শ্রেণির গণিতে আলোচিত কিছু বিষয় যা এ অধ্যায়ের আলোচনার স্বার্থে উল্লেখ করা হলো:

$R$ সকল বাস্তব সংখ্যার সেট

$N$ সকল স্বাভাবিক সংখ্যার সেট

$Z$ সকল পূর্ণ সংখ্যার সেট

$Q$ সকল মূলদ সংখ্যার সেট নির্দেশ করে।

Printed page 194

ধরি $a$ একটি পূর্ণ সংখ্যা বা ভগ্নাংশ যা ধনাত্মক বা ঋণাত্মক হতে পারে এবং $n$ একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা। তাহলে $a$ কে $n$ বার গুণ করলে গুণফলটিকে লিখা হয় $a^n = a \cdot a \cdot a \cdots$ ($n$ বার) এবং $a^n$ কে বলা হয় $a$ এর $n$ ঘাত। এরূপ ক্ষেত্রে $a$ কে বলা হয় নিধান বা ভিত্তি (base) এবং $n$ কে বলা হয় $a$ এর ঘাত বা সূচক (exponent)।

সুতরাং $3^4$ এর ক্ষেত্রে ভিত্তি $3$ এবং সূচক $4$।

আবার $\left(\dfrac{2}{3}\right)^4$ এর ক্ষেত্রে ভিত্তি $\dfrac{2}{3}$ এর সূচক $4$।

সংজ্ঞা: সকল $a \in R$ এর জন্য

১. $a^1 = a$

২. $a^n = a \cdot a \cdot a \cdots a$ ($n$ সংখ্যক উৎপাদক), যেখানে $n \in N, n > 1$

অমূলদ সূচক

অমূলদ সূচকের ক্ষেত্রে $a^x (a > 0)$ এর মান এমনভাবে নির্দিষ্ট করা হয় যে, $x$ এর মূলদ আসন্ন মান $p$ এর জন্য $a^p$ এর মান $a^x$ এর মানের আসন্ন হয়। উদাহরণস্বরূপ $3^{\sqrt{5}}$ সংখ্যাটি বিবেচনা করি। আমরা জানি, $\sqrt{5}$ একটি অমূলদ সংখ্যা এবং $\sqrt{5} = 2.236067977\cdots$ (এই মান ক্যালকুলেটর ব্যবহার করে পাওয়া গিয়েছে এবং দশমিক বিস্তার যে অনন্ত তা $\cdots$ দ্বারা নির্দেশ করা হয়েছে)। $\sqrt{5}$ এর মান হিসেবে

$p_1 = 2.23 \qquad p_2 = 2.236 \qquad p_3 = 2.2360 \qquad p_4 = 2.23606 \qquad p_5 = 2.236067$

$p_6 = 2.2360679 \qquad p_7 = 2.23606797$

বিবেচনা করে $3^{\sqrt{5}}$ এর মান হিসেবে

$q_1 = 3^{2.23} = 11.5872505 \qquad q_2 = 3^{2.236} = 11.6638822 \qquad q_3 = 3^{2.2360} = 11.6638822$

$q_4 = 3^{2.23606} = 11.66465109 \qquad q_5 = 3^{2.236067} = 11.6647407$

$q_6 = 3^{2.2360679} = 11.6647523 \qquad q_7 = 3^{2.23606797} = 11.6647532$

পাওয়া যায় (এই মানগুলোও ক্যালকুলেটর ব্যবহার করে পাওয়া গিয়েছে)।

বাস্তবিক পক্ষে, $3^{\sqrt{5}} = 11.6647533\cdots$

সূচক সম্পর্কিত সূত্র

সূত্র ১. $a \in R$ এবং $n \in N$ হলে $a^1 = a, \; a^{n+1} = a^n \cdot a$।

প্রমাণ: সংজ্ঞানুযায়ী $a^1 = a$ এবং $n \in N$ এর জন্য $a^{n+1} = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdots \cdot a}_{n \text{ সংখ্যক}} \cdot a = a^n \cdot a$।

Printed page 195

দ্রষ্টব্য: $N$ সকল স্বাভাবিক সংখ্যার সেট

সূত্র ২. $a \in R$ এবং $m, n \in N$ হলে $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$

প্রমাণ: যেকোনো $m \in N$ নির্দিষ্ট করে এবং $n$ কে চলক ধরে খোলা বাক্য $a^m \cdot a^n = a^{m+n} \cdots (1)$ বিবেচনা করি।

$(1)$ এ $n = 1$ বসিয়ে পাই,

বামপক্ষ $= a^m \cdot a^1 = a^m \cdot a = a^{m+1} =$ ডানপক্ষ [সূত্র ১]

$\therefore n = 1$ এর জন্য $(1)$ সত্য।

এখন ধরি, $n = k$ এর জন্য $(1)$ সত্য। অর্থাৎ, $a^m \cdot a^k = a^{m+k}$

তাহলে, $a^m \cdot a^{k+1} = a^m(a^k \cdot a)$ [সূত্র ১]

$= (a^m \cdot a^k) \cdot a$ [গুণের সহযোজন]

$= a^{m+k} \cdot a$ [আরোহ কল্পনা]

$= a^{m+k+1}$ [সূত্র ১]

অর্থাৎ, $n = k+1$ এর জন্য $(1)$ সত্য।

সুতরাং গাণিতিক আরোহ পদ্ধতি অনুযায়ী সকল $n \in N$ এর জন্য $(1)$ সত্য।

$\therefore$ যেকোনো $m, n \in N$ এর জন্য $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ $\square$

$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$

বর্ণিত সূত্রটিকে সূচকের মৌলিক সূত্র বলা হয়।

সূত্র ৩. $a \in R, a \neq 0$ এবং $m, n \in N, m \neq n$ হলে $\dfrac{a^m}{a^n} = \begin{cases} a^{m-n}, & \text{যখন } m > n \\ \dfrac{1}{a^{n-m}}, & \text{যখন } m < n \end{cases}$

প্রমাণ:

১. মনে করি, $m > n$ তাহলে $m - n \in N$

$\therefore a^{m-n} \cdot a^n = a^{(m-n)+n} = a^m$ [সূত্র ২]

$\therefore \dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ [ভাগের সংজ্ঞা]

২. মনে করি, $m < n$ তাহলে $n - m \in N$

$\therefore a^{n-m} \cdot a^m = a^{(n-m)+m} = a^n$ [সূত্র ২]

$\therefore \dfrac{a^m}{a^n} = \dfrac{1}{a^{n-m}}$ [ভাগের সংজ্ঞা]

Printed page 196

দ্রষ্টব্য: সূত্রটি গাণিতিক আরোহ পদ্ধতিতে প্রমাণ করো [সূত্র ২ এর অনুরূপ]

সূত্র ৪. $a \in R$ এবং $m, n \in N$ হলে $(a^m)^n = a^{mn}$

সূত্র ৫. $a, b \in R$ এবং $n \in N$ হলে $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$

[সূত্রদ্বয় আরোহ পদ্ধতিতে প্রমাণ করো ]

শূন্য ও ঋণাত্মক পূর্ণ সাংখ্যিক সূচক:

সংজ্ঞা: $a \in R, a \neq 0$ হলে,

৩. $a^0 = 1$

৪. $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$, যেখানে $n \in N$

মন্তব্য: সূচকের ধারণা সম্প্রসারণের সময় লক্ষ রাখা হয়, যেন সূচকের মৌলিক সূত্র $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ সকল ক্ষেত্রেই বৈধ থাকে।

সূত্রটি যদি $m = 0$ এর জন্য সত্য হয়, তবে $a^0 \cdot a^n = a^{0+n}$ অর্থাৎ, $a^0 = \dfrac{a^n}{a^n} = 1$ হতে হবে।

একইভাবে, সূত্রটি যদি $m = -n \; (n \in N)$ এর জন্য সত্য হতে হয়, তবে $a^{-n} \cdot a^n = a^{-n+n} = a^0 = 1$ অর্থাৎ, $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ হতে হবে। এদিকে লক্ষ রেখেই উপরের সংজ্ঞা বর্ণনা করা হয়েছে।

উদাহরণ ১. ক) $2^5 \cdot 2^6 = 2^{5+6} = 2^{11}$

খ) $\dfrac{3^5}{3^3} = 3^{5-3} = 3^2$

গ) $\dfrac{3^3}{3^5} = \dfrac{1}{3^{5-3}} = \dfrac{1}{3^2}$

ঘ) $\left(\dfrac{5}{4}\right)^3 = \dfrac{5}{4} \times \dfrac{5}{4} \times \dfrac{5}{4} = \dfrac{5 \times 5 \times 5}{4 \times 4 \times 4} = \dfrac{5^3}{4^3}$

ঙ) $(4^2)^7 = 4^{2 \times 7} = 4^{14}$

চ) $(a^2b^3)^5 = (a^2)^5 \cdot (b^3)^5 = a^{2 \times 5} \cdot b^{3 \times 5} = a^{10}b^{15}$

উদাহরণ ২. ক) $6^0 = 1$

খ) $(-6)^0 = 1$

গ) $7^{-1} = \dfrac{1}{7}$

ঘ) $7^{-2} = \dfrac{1}{7^2} = \dfrac{1}{49}$

Printed page 197

ঙ) $10^{-1} = \dfrac{1}{10} = 0.1$

চ) $10^{-2} = \dfrac{1}{10^2} = \dfrac{1}{100}$

উদাহরণ ৩. $m, n \in N$ হলে $(a^m)^n = a^{mn}$ সূত্রটির সত্যতা স্বীকার করে নিয়ে দেখাও যে, $(a^m)^n = a^{mn}$ যেখানে $a \neq 0$ এবং $m \in N$ এবং $n \in Z$

সমাধান: প্রমাণ করতে হবে, $(a^m)^n = a^{mn} \cdots (1)$

যেখানে, $a \neq 0$ এবং $m \in N$ এবং $n \in Z$

ধাপ ১. প্রথমে মনে করি, $n > 0$, এক্ষেত্রে $(1)$ এর সত্যতা স্বীকার করে নেওয়া হয়েছে।

ধাপ ২. এখন মনে করি, $n = 0$ এক্ষেত্রে $(a^m)^n = (a^m)^0 = 1$

এবং, $a^{mn} = a^0 = 1 [\because n = 0]$

$\therefore (1)$ সত্য।

ধাপ ৩. সবশেষে মনে করি, $n < 0$ এবং $n = -k$, যেখানে $k \in N$

এক্ষেত্রে $(a^m)^n = (a^m)^{-k} = \dfrac{1}{(a^m)^k} = a^{-mk} = a^{m(-k)} = a^{mn}$

উদাহরণ ৪. দেখাও যে, সকল $m, n \in N$ এর জন্য $\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, যেখানে $a \neq 0$

সমাধান: $m > n$ হলে, $\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ [সূত্র ৩]

$m < n$ হলে, $\dfrac{a^m}{a^n} = \dfrac{1}{a^{n-m}}$ [সূত্র ৩]

$\therefore \dfrac{a^m}{a^n} = a^{-(n-m)}$ [সংজ্ঞা 8]

$= a^{m-n}$

$m = n$ হলে, $\dfrac{a^m}{a^n} = \dfrac{a^n}{a^n} = 1 = a^0$ [সংজ্ঞা ৩]

$= a^{m-m} = a^{m-n}$

দ্রষ্টব্য: উপরে বর্ণিত সূচকের সংজ্ঞাগুলো থেকে যেকোনো $m \in Z$ এর জন্য $a^m$ এর ব্যাখ্যা পাওয়া যায়, যেখানে $a \neq 0$। সূচক ধনাত্মক অথবা শূন্য অথবা ঋণাত্মক ধরে সাধারণভাবে সকল পূর্ণ সাংখ্যিক সূচকের জন্য নিম্নোক্ত সূত্রটি প্রমাণ করা যায়।

সূত্র ৬. $a \neq 0$, $b \neq 0$ এবং $m, n \in Z$ হলে,

১. $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$

২. $\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$

Printed page 198

৩. $(a^m)^n = a^{mn}$

৪. $(ab)^n = a^n b^n$

৫. $\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}$

কাজ:

ক) গাণিতিক আরোহ পদ্ধতিতে দেখাও যে, $(a^m)^n = a^{mn}$, যেখানে $a \in R$ এবং $n \in N$

খ) গাণিতিক আরোহ পদ্ধতিতে দেখাও যে, $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$, যেখানে $a, b \in R$ এবং $n \in N$

গ) গাণিতিক আরোহ পদ্ধতিতে দেখাও যে, $\left(\dfrac{1}{a}\right)^n = \dfrac{1}{a^n}$ যেখানে, $a > 0$ এবং $n \in N$

অতঃপর $(ab)^n = a^n b^n$ সূত্র ব্যবহার করে দেখাও যে, $\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}$, যেখানে $a, b \in R, b > 0$ এবং $n \in N$

ঘ) $a \neq 0$ এবং $m, n \in Z$ ধনাত্মক পূর্ণ সাংখ্যিক সূচকের জন্য $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ সূত্রটির সত্যতা স্বীকার করে দেখাও যে, $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ যখন (১) $m > 0$ এবং $n < 0$ (২) $m < 0$ এবং $n < 0$।