Higher Mathematics chapter 10: Binomial Expansion

অধ্যায় ১০

দ্বিপদী বিস্তৃতি (Binomial Expansion)

বীজগণিতীয় রাশির (একপদী, দ্বিপদী, বহুপদী) যোগ, বিয়োগ, গুণ, ভাগ, বর্গ এবং ঘনসংক্রান্ত আলোচনা পূর্ববর্তী শ্রেণিতে করা হয়েছে। দ্বিপদী রাশি বা বহুপদী রাশির ঘাত বা শক্তি তিন এর বেশি হলে সেই সমস্ত ক্ষেত্রে মান নির্ণয় যথেষ্ট শ্রমসাধ্য ও সময়সাপেক্ষ হয়ে পড়ে। এই অধ্যায়ে দ্বিপদী রাশির ঘাত বা শক্তি তিন এর বেশি হলে কি প্রক্রিয়ায় কাজটি সম্পন্ন করা যায়, তা উপস্থাপন করা হবে। সাধারণভাবে ঘাত বা শক্তি এর জন্য সূত্র প্রতিপাদন করা হবে, যার মাধ্যমে যেকোনো অঋণাত্মক পূর্ণসাংখ্যিক ঘাতের দ্বিপদী রাশির মান নির্ণয় করা সম্ভব হবে। তবে এই পর্যায়ে এর মান একটি নির্দিষ্ট সীমা $(n \le 8)$ অতিক্রম করবে না। বিষয়টি যাতে শিক্ষার্থীরা সহজে বুঝতে ও ব্যবহার করতে পারে সে জন্য একটি ত্রিভুজ ব্যবহার করা হবে যেটি প্যাসকেলের ত্রিভুজ (Pascal's triangle) বলে পরিচিত। দ্বিপদী রাশির ঘাত ধনাত্মক বা ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা

এ অধ্যায় শেষে শিক্ষার্থীরা -

• ▶ দ্বিপদী বিস্তৃতি বর্ণনা করতে পারবে;
• ▶ প্যাসকেল ত্রিভুজ বর্ণনা করতে পারবে;
• ▶ স্বাভাবিক সংখ্যার ঘাতের জন্য দ্বিপদী বিস্তৃতি বর্ণনা করতে পারবে;
• ▶ $n!$ ও ${}^nC_r$ এর মান নির্ণয় করতে পারবে;
• ▶ দ্বিপদী বিস্তৃতি ব্যবহার করে গাণিতিক সমস্যা সমাধান করতে পারবে।

দ্বিপদী $(1+y)^n$ এর বিস্তৃতি

দুটি পদের সমন্বয়ে গঠিত বীজগণিতীয় রাশিকে দ্বিপদী রাশি (Binomials) বলা হয়। $a+b,\ x-y,\ 1+x,\ 1-x^2,\ a^2-b^2$ ইত্যাদি দ্বিপদী রাশি। আমরা প্রথমেই একটি দ্বিপদী রাশি $(1+y)$ চিহ্নিত করি। এখন $(1+y)$ কে যদি ক্রমাগত $(1+y)$ দ্বারা গুণ করতে থাকি তাহলে আমরা পাব $(1+y)^2,\ (1+y)^3,\ (1+y)^4,\ (1+y)^5,\ \cdots$ ইত্যাদি। আমরা জানি,

$(1+y)^2 = (1+y)(1+y) = 1+2y+y^2$

$(1+y)^3 = (1+y)(1+y)^2 = (1+y)(1+2y+y^2) = 1+3y+3y^2+y^3$

Printed page 224

অনুরূপভাবে দীর্ঘ গুণন প্রক্রিয়ার মাধ্যমে $(1+y)^4,\ (1+y)^5,\ \cdots$ ইত্যাদি গুণফল নির্ণয় সম্ভব। কিন্তু $(1+y)$ এর ঘাত বা শক্তি যত বাড়তে থাকবে গুণফল তত দীর্ঘ ও সময়সাপেক্ষ হবে। তাই এমন একটি সহজ পদ্ধতি বের করতে হবে যাতে $(1+y)$ এর যেকোনো ঘাত (ধরি $n$) বা শক্তির জন্য $(1+y)^n$ এর বিস্তৃতি সহজেই নির্ণয় করা সম্ভব হবে। $n$ এর মান $0, 1, 2, 3, 4, \cdots$ অর্থাৎ অঋণাত্মক মানের জন্য এই অংশে আলোচনা সীমাবদ্ধ থাকবে। এখন প্রক্রিয়াটি আমরা ভালভাবে লক্ষ করি।

উপরের বিস্তৃতিসমূহকে ভিত্তি করে আমরা $(1+y)^n$ এর বিস্তৃতি সম্পর্কে নিম্নোক্ত সিদ্ধান্তে আসতে পারি।

ক) $(1+y)^n$ এর বিস্তৃতিতে $(n+1)$ সংখ্যক পদ আছে। অর্থাৎ ঘাত বা শক্তির চেয়ে পদসংখ্যা একটি বেশি।

খ) $y$ এর ঘাত শূন্য থেকে শুরু হয়ে $1, 2, 3, \cdots, n$ পর্যন্ত বৃদ্ধি পাবে। অর্থাৎ $y$ এর ঘাত ক্রমান্বয়ে বৃদ্ধি পেয়ে $n$ পর্যন্ত পৌঁছাবে।

দ্বিপদী সহগ

উপরের প্রত্যেক দ্বিপদী বিস্তৃতিতে $y$ এর বিভিন্ন ঘাতের সহগকে দ্বিপদী সহগ (coefficient) বলা হয়। $1$ কে $y$ এর সহগ বিবেচনা করতে হবে। উপরের বিস্তৃতির সহগগুলোকে সাজালে আমরা পাই,

লক্ষ করলে দেখব সহগগুলো একটি ত্রিভুজের আকার ধারণ করেছে। দ্বিপদী বিস্তৃতির সহগ নির্ণয়ের এই কৌশল Blaise Pascal প্রথম ব্যবহার করেন। তাই এই ত্রিভুজকে প্যাসকেলের ত্রিভুজ (Pascal's triangle) বলা হয়। প্যাসকেলের ত্রিভুজের সাহায্যে আমরা সহজেই দ্বিপদী রাশির বিস্তৃতিতে সহগসমূহ নির্ণয় করতে পারি।

Printed page 225

প্যাসকেলের ত্রিভুজের ব্যবহার

প্যাসকেলের ত্রিভুজ থেকে আমরা দেখতে পাই এর বাম ও ডান দিকে $1$ আছে। ত্রিভুজের মাঝখানের সংখ্যাগুলোর প্রত্যেকটি ঠিক উপরের দুটি সংখ্যার যোগফল। নিচের উদাহরণটি লক্ষ করলে বিষয়টি খুব সহজেই বুঝা যাবে।

$n = 5$ ও $n = 6$ এর জন্য দ্বিপদী সহগগুলো হবে নিম্নরূপ:

Figure

লেবেল: $n = 5 \rightarrow$; $1, 5, 10, 10, 5, 1$; $n = 6 \rightarrow$; $1, 6, 15, 20, 15, 6, 1$ বর্ণনা: দুটি সারি; উপরের সারিতে $n=5$ এর সহগ এবং নিচের সারিতে $n=6$ এর সহগ। প্রতিটি নিচের সংখ্যা উপরের দুটি সংখ্যার মাঝখানে জিক-জ্যাক রেখার সাহায্যে সংযুক্ত।

$\therefore\ (1+y)^5 = 1+5y+10y^2+10y^3+5y^4+y^5$

$\therefore\ (1+y)^6 = 1+6y+15y^2+20y^3+15y^4+6y^5+y^6$

এবং $(1+y)^7 = 1+7y+21y^2+35y^3+35y^4+21y^5+7y^6+y^7$

কাজ: নিম্নোক্ত বিস্তৃতিসমূহ নির্ণয় করো (উপরের বিস্তৃতিসমূহের সাহায্য নাও):

$(1+y)^8 =$

$(1+y)^9 =$

$(1+y)^{10} =$

আমরা যদি ভালভাবে খেয়াল করি তাহলে বুঝতে পারব এই পদ্ধতির একটি বিশেষ দুর্বলতা আছে। যেমন আমরা যদি $(1+y)^5$ এর বিস্তৃতি জানতে চাই তাহলে $(1+y)^4$ এর বিস্তৃতি জানা দরকার। আবার যেকোনো দ্বিপদী সহগ জানার জন্য তার ঠিক উপরের পূর্ববর্তী দুটি সহগ জানা প্রয়োজন। এই অবস্থা থেকে উত্তরণের জন্য আমরা সরাসরি দ্বিপদী সহগ নির্ণয়ের কৌশল বের করতে চাই। প্যাসকেলের ত্রিভুজ থেকে আমরা দেখতে পাই দ্বিপদী বিস্তৃতির সহগগুলো ঘাত $n$ এবং পদটি কোন অবস্থানে আছে তার উপর নির্ভরশীল। আমরা একটি নতুন সাংকেতিক চিহ্ন $\binom{n}{r}$ বিবেচনা করি যেখানে $n$ ঘাত এবং $r$ পদের অবস্থানের সাথে সম্পর্কিত। উদাহরণস্বরূপ যদি $n = 4$ হয় তবে পদসংখ্যা হবে $5$ টি। আমরা পদগুলি নিম্নোক্ত উপায়ে লিখি।

যখন $n = 4$, পদসংখ্যা $5$ টি: $T_1, T_2, T_3, T_4, T_5$

তাদের সহগগুলি হলো: $1, 4, 6, 4, 1$

নতুন চিহ্ন ব্যবহার করে সহগ: $\binom{4}{0},\ \binom{4}{1},\ \binom{4}{2},\ \binom{4}{3},\ \binom{4}{4}$

Printed page 226

এখানে,

$\binom{4}{0} = 1,$

$\binom{4}{1} = \dfrac{4}{1} = 4,$

$\binom{4}{2} = \dfrac{4 \times 3}{1 \times 2} = 6,$

$\binom{4}{3} = \dfrac{4 \times 3 \times 2}{1 \times 2 \times 3} = 4,$ এবং

$\binom{4}{4} = \dfrac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{1 \times 2 \times 3 \times 4} = 1$

[প্যাসকেলের ত্রিভুজ থেকে সহজেই বুঝতে পারবে]

উল্লিখিত নতুন চিহ্নের সাহায্যে $(n = 1, 2, 3, \cdots)$ প্যাসকেলের ত্রিভুজ হবে নিচের টেবিলের অনুরূপ:

সুতরাং উপরের ত্রিভুজ থেকে আমরা খুব সহজেই বলতে পারি $(1+y)^4$ এর বিস্তৃতির তৃতীয় $(T_{2+1})$ পদের সহগ $\binom{4}{2}$ এবং $(1+y)^5$ এর বিস্তৃতির তৃতীয় $(T_{2+1})$ ও চতুর্থ $(T_{3+1})$ পদের সহগ যথাক্রমে $\binom{5}{2}$ এবং $\binom{5}{3}$। সাধারণভাবে $(1+y)^n$ এর বিস্তৃতির $(r+1)$ তম পদ $(T_{r+1})$ এর সহগ $\binom{n}{r}$।

এখন, $\binom{n}{r}$ এর মান কত তা জানার জন্য আবারো প্যাসকেলের ত্রিভুজ লক্ষ করি। প্যাসকেলের ত্রিভুজের দুটি হেলানো পার্শ্ব থেকে আমরা দেখতে পাই,

$\binom{1}{0} = 1,\ \binom{2}{0} = 1,\ \binom{3}{0} = 1,\ \cdots,\ \binom{n}{0} = 1$

$\binom{1}{1} = 1,\ \binom{2}{1} = 2,\ \binom{3}{1} = 3,\ \cdots,\ \binom{n}{1} = n$

আমরা $n = 5$ ধরে পাই

$\binom{5}{0} = 1,\ \binom{5}{1} = 5,\ \binom{5}{2} = \dfrac{5 \times 4}{1 \times 2} = 10$

$\binom{5}{3} = \dfrac{5 \times 4 \times 3}{1 \times 2 \times 3} = 10,\ \binom{5}{4} = \dfrac{5 \times 4 \times 3 \times 2}{1 \times 2 \times 3 \times 4} = 5$

Printed page 227

এবং $\binom{5}{5} = \dfrac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5} = 1$

সুতরাং $\binom{5}{3}$ এর মানের ক্ষেত্রে বলা যায়, $\binom{5}{3} = \dfrac{5 \times (5-1) \times (5-2)}{1 \times 2 \times 3}$ এবং

$\binom{6}{4} = \dfrac{6 \times (6-1) \times (6-2) \times (6-3)}{1 \times 2 \times 3 \times 4}$

সাধারণভাবে আমরা লিখতে পারি,

$\binom{n}{0} = 1, \quad \binom{n}{n} = 1$

$\binom{n}{r} = \dfrac{n \times (n-1) \times (n-2) \cdots (n-r+1)}{1 \times 2 \times 3 \times 4 \cdots \times r}$

উপরোক্ত চিহ্ন ব্যবহার করে পাই,

$(1+y)^4 = \binom{4}{0}y^0 + \binom{4}{1}y^1 + \binom{4}{2}y^2 + \binom{4}{3}y^3 + \binom{4}{4}y^4$

$= 1 + 4y + 6y^2 + 4y^3 + y^4$

$(1+y)^5 = \binom{5}{0}y^0 + \binom{5}{1}y^1 + \binom{5}{2}y^2 + \binom{5}{3}y^3 + \binom{5}{4}y^4 + \binom{5}{5}y^5$

$= 1 + 5y + 10y^2 + 10y^3 + 5y^4 + y^5$

এবং $(1+y)^n$ এর বিস্তৃতি

$(1+y)^n = \binom{n}{0}y^0 + \binom{n}{1}y^1 + \binom{n}{2}y^2 + \binom{n}{3}y^3 + \cdots + \binom{n}{n}y^n$

$= 1 \cdot y^0 + ny^1 + \dfrac{n(n-1)}{1 \cdot 2}y^2 + \dfrac{n(n-1)(n-2)}{1 \cdot 2 \cdot 3}y^3 + \cdots + 1 \cdot y^n$

$\therefore (1+y)^n = 1 + ny + \dfrac{n(n-1)}{1 \cdot 2}y^2 + \dfrac{n(n-1)(n-2)}{1 \cdot 2 \cdot 3}y^3 + \cdots + y^n$

উদাহরণ ১. $(1+3x)^5$ কে বিস্তৃত করো।

সমাধান: প্যাসকেলের ত্রিভুজের সাহায্যে -

$1$

$1 \quad 1$

$1 \quad 2 \quad 1$

$1 \quad 3 \quad 3 \quad 1$

$1 \quad 4 \quad 6 \quad 4 \quad 1$

$1 \quad 5 \quad 10 \quad 10 \quad 5 \quad 1$

Printed page 228

$(1+3x)^5 = 1 + 5(3x) + 10(3x)^2 + 10(3x)^3 + 5(3x)^4 + 1(3x)^5$

$= 1 + 15x + 90x^2 + 270x^3 + 405x^4 + 243x^5$

দ্বিপদী উপপাদ্যের সাহায্যে -

$(1+3x)^5 = \binom{5}{0}(3x)^0 + \binom{5}{1}(3x)^1 + \binom{5}{2}(3x)^2 + \binom{5}{3}(3x)^3 + \binom{5}{4}(3x)^4 + \binom{5}{5}(3x)^5$

বা, $(1+3x)^5 = 1 + \dfrac{5}{1}(3x) + \dfrac{5 \cdot 4}{1 \cdot 2}(3x)^2 + \dfrac{5 \cdot 4 \cdot 3}{1 \cdot 2 \cdot 3}(3x)^3 + \dfrac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4}(3x)^4 + 1 \cdot (3x)^5$

$= 1 + 15x + 90x^2 + 270x^3 + 405x^4 + 243x^5$

উদাহরণ ২. $(1 - 3x)^5$ কে বিস্তৃত করো।

সমাধান: প্যাসকেলের ত্রিভুজের সাহায্যে -

$1$

$1 \quad 1$

$1 \quad 2 \quad 1$

$1 \quad 3 \quad 3 \quad 1$

$1 \quad 4 \quad 6 \quad 4 \quad 1$

$1 \quad 5 \quad 10 \quad 10 \quad 5 \quad 1$

$(1 - 3x)^5 = 1 + 5(-3x) + 10(-3x)^2 + 10(-3x)^3 + 5(-3x)^4 + 1(-3x)^5$

$= 1 - 15x + 90x^2 - 270x^3 + 405x^4 - 243x^5$

দ্বিপদী বিস্তৃতির সাহায্যে -

$(1 - 3x)^5 = \binom{5}{0}(-3x)^0 + \binom{5}{1}(-3x)^1 + \binom{5}{2}(-3x)^2 + \binom{5}{3}(-3x)^3 + \binom{5}{4}(-3x)^4 + \binom{5}{5}(-3x)^5$

$= 1 + \dfrac{5}{1}(-3x) + \dfrac{5 \cdot 4}{1 \cdot 2}(-3x)^2 + \dfrac{5 \cdot 4 \cdot 3}{1 \cdot 2 \cdot 3}(-3x)^3 + \dfrac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4}(-3x)^4 + 1 \cdot (-3x)^5$

$= 1 - 15x + 90x^2 - 270x^3 + 405x^4 - 243x^5$

মন্তব্য: $(1 + 3x)^5$ এবং $(1 - 3x)^5$ এর বিস্তৃতি থেকে দেখা যাচ্ছে যে, উভয় বিস্তৃতি একই। শুধুমাত্র সহগের চিহ্ন পরিবর্তন করে, অর্থাৎ $+, -, +, \cdots$ এর মাধ্যমে একটি থেকে অন্যটি পাওয়া সম্ভব।

কাজ: $(1 + 2x^2)^7$ এবং $(1 - 2x^2)^7$ কে বিস্তৃত করো।

Printed page 229

উদাহরণ ৩. $\left(1 + \dfrac{2}{x}\right)^8$ কে পঞ্চম পদ পর্যন্ত বিস্তৃত করো।

সমাধান:

দ্বিপদী বিস্তৃতি ব্যবহার করে $\left(1 + \dfrac{2}{x}\right)^8$ এর পঞ্চম পদ পর্যন্ত বিস্তৃতি নিম্নরূপ:

$\left(1 + \dfrac{2}{x}\right)^8 = \binom{8}{0}\left(\dfrac{2}{x}\right)^0 + \binom{8}{1}\left(\dfrac{2}{x}\right)^1 + \binom{8}{2}\left(\dfrac{2}{x}\right)^2 + \binom{8}{3}\left(\dfrac{2}{x}\right)^3 + \binom{8}{4}\left(\dfrac{2}{x}\right)^4$

$= 1 \cdot 1 + \dfrac{8}{1} \cdot \dfrac{2}{x} + \dfrac{8 \cdot 7}{1 \cdot 2} \cdot \dfrac{4}{x^2} + \dfrac{8 \cdot 7 \cdot 6}{1 \cdot 2 \cdot 3} \cdot \dfrac{8}{x^3} + \dfrac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} \cdot \dfrac{16}{x^4}$

$= 1 + \dfrac{16}{x} + \dfrac{112}{x^2} + \dfrac{448}{x^3} + \dfrac{1120}{x^4}$

$\therefore \left(1 + \dfrac{2}{x}\right)^8 = 1 + \dfrac{16}{x} + \dfrac{112}{x^2} + \dfrac{448}{x^3} + \dfrac{1120}{x^4} \quad \text{[পঞ্চম পদ পর্যন্ত বিস্তৃতি]}$

[প্যাসকেলের ত্রিভুজের সাহায্যে নিজে করো।]

উদাহরণ ৪. $\left(1 - \dfrac{x^2}{4}\right)^8$ এর বিস্তৃতির $x^3$ ও $x^6$ এর সহগ নির্ণয় করো।

সমাধান: দ্বিপদী বিস্তৃতির সাহায্যে পাই,

$\left(1 - \dfrac{x^2}{4}\right)^8 = \binom{8}{0}\left(-\dfrac{x^2}{4}\right)^0 + \binom{8}{1}\left(-\dfrac{x^2}{4}\right)^1 + \binom{8}{2}\left(-\dfrac{x^2}{4}\right)^2 + \binom{8}{3}\left(-\dfrac{x^2}{4}\right)^3 + \binom{8}{4}\left(-\dfrac{x^2}{4}\right)^4 + \cdots$

$= 1 \cdot 1 + \dfrac{8}{1} \cdot \left(-\dfrac{x^2}{4}\right) + \dfrac{8 \cdot 7}{1 \cdot 2} \cdot \left(\dfrac{x^4}{16}\right) + \dfrac{8 \cdot 7 \cdot 6}{1 \cdot 2 \cdot 3} \cdot \left(-\dfrac{x^6}{64}\right) + \dfrac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} \cdot \left(\dfrac{x^8}{256}\right) + \cdots$

$= 1 - 2x^2 + \dfrac{7}{4}x^4 - \dfrac{7}{8}x^6 + \cdots$

$\left(1 - \dfrac{x^2}{4}\right)^8$ এর বিস্তৃতিতে দেখা যাচ্ছে $x^3$ বর্তমান নাই। অর্থাৎ $x^3$ এর সহগ $0$ এবং $x^6$ এর সহগ $-\dfrac{7}{8}$

$\therefore$ $x^3$ এর সহগ $0$ এবং $x^6$ এর সহগ $-\dfrac{7}{8}$

কাজ: প্যাসকেলের ত্রিভুজের সাহায্যে সত্যতা যাচাই করো।

Printed page 230