Higher Mathematics chapter 11: Coordinate Geometry

অধ্যায় ১১

স্থানাঙ্ক জ্যামিতি (Coordinate Geometry)

বিন্দু, সরলরেখা ও বক্ররেখার বীজগাণিতিক প্রকাশকে জ্যামিতির যে অংশে অধ্যয়ন করা হয় তাই স্থানাঙ্ক জ্যামিতি নামে পরিচিত। জ্যামিতির এই অংশ বিশ্লেষণ জ্যামিতি (Analytic Geometry) নামেও পরিচিত। সমতলে বিন্দু পাতনের মাধ্যমে সরল বা বক্ররেখা অথবা এদের দ্বারা তৈরি জ্যামিতিক ক্ষেত্র যথা, ত্রিভুজ, চতুর্ভুজ, বৃত্ত ইত্যাদির চিত্র প্রকাশ করা হয়। সমতলে বিন্দু পাতনের পদ্ধতির সূচনা করেন বিখ্যাত ফরাসি গণিতবিদ Rene Descartes (ডেকার্তে নামে পরিচিত)। ডেকার্তের প্রবর্তিত জ্যামিতির এই স্থানাঙ্ক (Coordinates) প্রথা তাঁরই নামানুসারে কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক (Cartesian Coordinates) নামে পরিচিতি। স্থানাঙ্ক জ্যামিতি বা বিশ্লেষণ জ্যামিতি মূলত কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক নির্ভর। তাই ডেকার্তেকে বিশ্লেষণ জ্যামিতির প্রবর্তক বলা যায়।

এই অধ্যায়ের প্রথম অংশে শিক্ষার্থীদের সমতলে কার্তেসীয় স্থানাঙ্কের ধারণা প্রদানের মাধ্যমে দুইটি বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব নির্ণয়ের কৌশল আলোচনা করা হবে। দ্বিতীয় অংশে সরলরেখার মাধ্যমে সৃষ্ট যেকোনো ত্রিভুজ ও চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের পদ্ধতি আলোচনা করা হবে এবং তৃতীয় অংশে সরলরেখার ঢাল নির্ণয় এবং দুটি বিন্দুর সংযোগে সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয়ের কৌশল ব্যাখ্যা করা হবে। বক্ররেখা দ্বারা সৃষ্ট কোনো জ্যামিতিক চিত্র বা সমীকরণের আলোচনা এখানে করা হবে না। উচ্চতর শ্রেণিতে এ সংক্রান্ত বিশদ আলোচনা করা হবে। অধ্যায় শেষে শিক্ষার্থীরা -

• সমতলে কার্তেসীয় স্থানাঙ্কের ধারণা ব্যাখ্যা করতে পারবে;
• দুইটি বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব নির্ণয় করতে পারবে;
• সরলরেখার ঢালের ধারণা ব্যাখ্যা করতে পারবে;
• সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় করতে পারবে;
• স্থানাঙ্কের মাধ্যমে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে পারবে;
• বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয়ের মাধ্যমে ত্রিভুজ ও চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে পারবে;
• বিন্দুপাতনের মাধ্যমে ত্রিভুজ ও চতুর্ভুজ সংক্রান্ত জ্যামিতিক অঙ্কন করতে পারবে;
• সরলরেখার সমীকরণ লেখচিত্রে উপস্থাপন করতে পারবে।

Printed page 240

আয়তাকার কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক (Rectangular Cartesian Coordinates)

সমতলের ধারণা পূর্ববর্তী শ্রেণিতে দেওয়া হয়েছে। একটি টেবিলের উপরিভাগ, ঘরের মেঝে, বই-এর উপরিভাগ এমন কি যে কাগজের উপর লেখা হয় এদের প্রত্যেকেই সমতল। একটি ফুটবলের উপরিভাগ বা একটি বোতলের উপরিভাগ হলো বক্রতল। এই অংশে সমতলে অবস্থিত কোনো বিন্দুর সঠিক অবস্থান নির্ণয়ের কৌশল আলোচনা করা হবে। সমতলে অবস্থিত কোনো নির্দিষ্ট বিন্দুর সঠিক অবস্থান নির্ণয়ের জন্য ঐ সমতলে অঙ্কিত দুইটি পরস্পরছেদী সরলরেখা হতে নির্দিষ্ট বিন্দুর দূরত্ব জানা প্রয়োজন। এর কারণ হিসেবে বলা যায় পরস্পরছেদী দুইটি সরলরখা হতে কোনো নির্দিষ্ট দূরত্বে কেবলমাত্র একটি বিন্দুই থাকতে পারে।

কোনো সমতলে পরস্পর সমকোণে ছেদ করে এরূপ দুইটি সরলরেখা $XOX'$ এবং $YOY'$ আঁকলে $XOX'$ কে $x$ অক্ষ (x-axis), $YOY'$ কে $y$ অক্ষ (y-axis) এবং ছেদ বিন্দু '$O$' কে মূলবিন্দু (origin) বলা হয়।

Figure

লেবেল: $Y$, $Y'$, $X$, $X'$, $O$, $N$, $M$, $P(x, y)$, $x$, $y$ বর্ণনা: পরস্পর সমকোণে ছেদকারী $XOX'$ ও $YOY'$ অক্ষ আঁকা; ছেদবিন্দু $O$। একটি বিন্দু $P(x, y)$ থেকে $x$ অক্ষের ওপর লম্ব $PM$ এবং $y$ অক্ষের ওপর লম্ব $PN$ আঁকা; $N$ ও $M$ অক্ষের উপর অবস্থিত। $x$ ও $y$ দূরত্ব নির্দেশক তীর চিহ্নিত।

এখন ধরে নিই অক্ষদ্বয়ের সমতলে যেকোনো বিন্দু $P$। উক্ত $P$ বিন্দু থেকে $XOX'$ অর্থাৎ, $x$ অক্ষ এবং $YOY'$ অর্থাৎ $y$ অক্ষের উপর লম্ব যথাক্রমে $PM$ এবং $PN$। তাহলে $y$ অক্ষ হতে $P$ বিন্দুর দূরত্ব $= NP = OM = x$ কে $P$ বিন্দুর ভুজ (abscissa) বা $x$ স্থানাঙ্ক (x-coordinate) বলে। আবার $x$ অক্ষ হতে $P$ বিন্দুর দূরত্ব $= MP = ON = y$ কে $P$ বিন্দুর কোটি (ordinate) বা $y$ স্থানাঙ্ক (y-coordinate) বলা হয়। ভুজ ও কোটিকে এক সাথে স্থানাঙ্ক বলা হয়। সুতরাং চিত্রে $P$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক বলতে $y$ অক্ষ ও $x$ অক্ষ হতে $P$ বিন্দুর লম্ব দূরত্ব বোঝায় এবং তাদের $x$ ও $y$ দ্বারা নির্দেশ করে $P$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $P(x, y)$ প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

বিন্দুর স্থানাঙ্ক সূচক $(x, y)$ একটি ক্রমজোড় বুঝায় যার প্রথমটি ভুজ ও দ্বিতীয়টি কোটি নির্দেশ করে। তাই $x \neq y$ হলে $(x, y)$ ও $(y, x)$ দ্বারা দুটি ভিন্ন বিন্দু বুঝায়। সুতরাং পরস্পর সমকোণে ছেদ করে এরূপ একজোড়া অক্ষের সাপেক্ষে কোনো বিন্দুর স্থানাঙ্ককে আয়তাকার কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক বলা হয়। বিন্দুটি $y$ অক্ষের ডানে থাকলে ভুজ ধনাত্মক ও বামে থাকলে ভুজ ঋণাত্মক হবে। আবার বিন্দুটি $x$ অক্ষের উপরে থাকলে কোটি ধনাত্মক এবং নিচে থাকলে কোটি ঋণাত্মক হবে। $x$ অক্ষের উপর কোটি

Printed page 241

শূন্য এবং $y$ অক্ষের উপর ভুজ শূন্য হবে।

সুতরাং কোনো বিন্দুর ধনাত্মক ভুজ ও কোটি যথাক্রমে $OX$ ও $OY$ বরাবর বা তাদের সমান্তরাল দিকে থাকবে। একইভাবে ঋণাত্মক ভুজ ও কোটি $OX'$ ও $OY'$ বরাবর বা তাদের সমান্তরাল দিকে থাকবে।

কার্তেসীয় স্থানাঙ্কের অক্ষদ্বয় দ্বারা সমতল $XOY$, $YOX'$, $X'OY'$, $Y'OX$ এই চারটি ভাগে বিভক্ত হয়। এদের প্রত্যেকটিকে চতুর্ভাগ (quadrant) বলা হয়। $XOY$ চতুর্ভাগকে প্রথম ধরা হয় এবং ঘড়ির কাঁটার আবর্তনের বিপরীত দিকে পর্যায়ক্রমে দ্বিতীয়, তৃতীয় ও চতুর্থ চতুর্ভাগ ধরা হয়। কোনো বিন্দুর স্থানাঙ্কের চিহ্ন অনুসারে বিন্দুর অবস্থান বিভিন্ন চতুর্ভাগে থাকে।

Figure

লেবেল: $Y$, $X'$, $X$, $O$, $Y'$; ২য় চতুর্ভাগ $(-, +)$; ১ম চতুর্ভাগ $(+, +)$; ৩য় চতুর্ভাগ $(-, -)$; ৪র্থ চতুর্ভাগ $(+, -)$ বর্ণনা: অক্ষদ্বয় দ্বারা চারটি চতুর্ভাগ বিভক্ত; উপরের ডানে ১ম, উপরের বামে ২য়, নিচের বামে ৩য় ও নিচের ডানে ৪র্থ চতুর্ভাগ, প্রতিটিতে স্থানাঙ্কের চিহ্ন লেখা।

দুটি বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব (Distance between two points)

মনে করি, $P(x_1, y_1)$ এবং $Q(x_2, y_2)$ একটি সমতলে অবস্থিত দুইটি ভিন্ন বিন্দু। $P$ ও $Q$ বিন্দু থেকে $x$ অক্ষের উপর লম্ব $PM$ ও $QN$ আঁকি। আবার $P$ বিন্দু থেকে $QN$ এর উপর লম্ব $PR$ আঁকি।

এখন $P$ বিন্দুর ভুজ $= OM = x_1$ এবং $P$ বিন্দুর কোটি $= MP = y_1$ । $Q$ বিন্দুর ভুজ $= ON = x_2$ ও কোটি $NQ = y_2$ । চিত্র হতে আমরা পাই, $PR = MN = ON - OM = x_2 - x_1$ $QR = NQ - NR = NQ - MP = y_2 - y_1$

Figure

লেবেল: $Y$, $Q(x_2, y_2)$, $(x_1, y_1)$, $P$, $R$, $M$, $N$, $O$, $X'$, $X$, $Y'$ বর্ণনা: $xy$ সমতলে $P$ ও $Q$ বিন্দু চিহ্নিত; $M$ ও $N$ বিন্দু $X$ অক্ষের ওপর অবস্থিত। $PM$ ও $QN$ রেখা $X$ অক্ষের ওপর লম্ব; $R$ বিন্দু $QN$ এর ওপর এবং $PR$ অনুভূমিক; $P$, $Q$ ও $R$ যোগ করে একটি সমকোণী ত্রিভুজ গঠিত।

অঙ্কন অনুসারে, $PQR$ একটি সমকোণী ত্রিভুজ এবং $PQ$ ত্রিভুজের অতিভুজ। তাই পীথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী $PQ^2 = PR^2 + QR^2$ বা, $PQ = \pm\sqrt{PR^2 + QR^2}$ বা, $PQ = \pm\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

$\therefore$ $P$ বিন্দু হতে $Q$ বিন্দুর দূরত্ব, $PQ = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

যেহেতু দূরত্ব সবসময় অঋণাত্মক হয় সেহেতু ঋণাত্মক মান পরিহার করা হয়েছে।

আবার একই নিয়মে $Q$ বিন্দু হতে $P$ বিন্দুর দূরত্ব,

Printed page 242

$QP = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2} = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

$\therefore$ $PQ = QP$।

$P$ বিন্দু হতে $Q$ বিন্দু বা $Q$ বিন্দু হতে $P$ বিন্দুর দূরত্ব সমান।

অর্থাৎ $PQ = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} = QP$

অনুসিদ্ধান্ত ১. মূলবিন্দু $(0, 0)$ হতে সমতলে অবস্থিত যেকোনো বিন্দু $P(x, y)$ এর দূরত্ব

$PQ = \sqrt{(x - 0)^2 + (y - 0)^2} = \sqrt{x^2 + y^2}$

উদাহরণ ১. $(1, 1)$ এবং $(2, 2)$ বিন্দু দুটি একটি সমতলে চিহ্নিত কর। এদের মধ্যবর্তী দূরত্ব নির্ণয় করো।

সমাধান: ধরি, $P(1, 1)$ এবং $Q(2, 2)$ প্রদত্ত বিন্দুদ্বয়। চিত্রে, $xy$ সমতলে বিন্দুদ্বয়কে চিহ্নিত করা হলো। বিন্দুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব, $PQ = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ $= \sqrt{(2 - 1)^2 + (2 - 1)^2}$ $= \sqrt{1^2 + 1^2}$ $= \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$

Figure

লেবেল: $X$, $X'$, $Y$, $Y'$, $O$, $P(1, 1)$, $Q(2, 2)$ বর্ণনা: $xy$ সমতলে একটি বর্গ-জালিকাযুক্ত স্থানাঙ্ক সমতল; মূলবিন্দু $O$ থেকে কর্ণ বরাবর একটি সরলরেখা আঁকা, যার ওপর $P(1, 1)$ ও $Q(2, 2)$ বিন্দু চিহ্নিত।

উদাহরণ ২. মূলবিন্দু $O(0, 0)$ এবং অপর দুটি বিন্দু $P(3, 0)$ ও $Q(0, 3)$ সমতলে চিহ্নিত কর। প্রত্যেকের মধ্যবর্তী দূরত্ব নির্ণয় করো। তিনটি বিন্দু যোগ করলে যে জ্যামিতিক চিত্র অঙ্কিত হয় তার নাম কি এবং কেন?

সমাধান: বিন্দু তিনটির অবস্থান সমতলে দেখানো হলো। দূরত্ব $OP = \sqrt{(3 - 0)^2 + (0 - 0)^2}$ $= \sqrt{3^2 + 0^2} = \sqrt{3^2} = 3$ একক দূরত্ব $OQ = \sqrt{(0 - 0)^2 + (3 - 0)^2}$ $= \sqrt{0^2 + 3^2} = \sqrt{3^2} = 3$ একক দূরত্ব $PQ = \sqrt{(3 - 0)^2 + (0 - 3)^2}$ $= \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ একক জ্যামিতিক চিত্রটির নাম সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ কারণ এর দুই বাহু $OP$ এবং $OQ$ এর দৈর্ঘ্য সমান।

Figure

লেবেল: $X$, $X'$, $Y$, $Y'$, $O$, $(0, 0)$, $P(3, 0)$, $Q(0, 3)$ বর্ণনা: বর্গ-জালিকাযুক্ত স্থানাঙ্ক সমতলে মূলবিন্দু $O$, $P(3, 0)$ ও $Q(0, 3)$ বিন্দু চিহ্নিত এবং $P$ ও $Q$ যোগকারী একটি সরলরেখা আঁকা।

উদাহরণ ৩. একটি ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দু যথাক্রমে $A(2, 0)$, $B(7, 0)$ ও $C(3, 4)$। সমতলে এদের অবস্থান দেখাও এবং ত্রিভুজটি অঙ্কন কর। ত্রিভুজটির পরিসীমা পাঁচ দশমিক স্থান পর্যন্ত নির্ণয় করো।

Printed page 243

সমাধান: $xy$ সমতলে $A(2,0), B(7,0)$ ও $C(3,4)$ এর অবস্থান দেখানো হলো। $ABC$ ত্রিভুজের,

$AB$ বাহুর দৈর্ঘ্য $= \sqrt{(7-2)^2 + (0-0)^2}$ $= \sqrt{5^2} = 5$ একক

$BC$ বাহুর দৈর্ঘ্য $= \sqrt{(3-7)^2 + (4-0)^2}$ $= \sqrt{(-4)^2 + 4^2} = \sqrt{16+16} = 4\sqrt{2}$ একক

$AC$ বাহুর দৈর্ঘ্য $= \sqrt{(3-2)^2 + (4-0)^2}$ $= \sqrt{1^2 + 4^2} = \sqrt{17}$ একক

$\therefore$ ত্রিভুজটির পরিসীমা $= (AB + BC + AC)$ [বাহুত্রয়ের দৈর্ঘ্যের সমষ্টি] $= (5 + 4\sqrt{2} + \sqrt{17})$ একক $= 14.77996$ একক (প্রায়)

Figure

লেবেল: $C(3, 4)$, $A(2, 0)$, $B(7, 0)$; $O$, $X$, $X'$, $Y$, $Y'$; $a$, $b$, $c$ বর্ণনা: $xy$ সমতলে তিনটি বিন্দু $A$, $B$, $C$ চিহ্নিত আছে। $A$ ও $B$ $X$ অক্ষের ওপর, $C$ প্রথম চতুর্ভাগে। $A$, $B$, $C$ যোগ করে একটি ত্রিভুজ গঠিত হয়েছে; বাহুগুলো $a$, $b$, $c$ চিহ্নিত।

উদাহরণ ৪. দেখাও যে, $(0,-1), (-2,3), (6,7)$ এবং $(8,3)$ বিন্দুগুলো একটি আয়তক্ষেত্রের চারটি শীর্ষবিন্দু।

সমাধান: মনে করি, $A(0,-1), B(-2,3), C(6,7)$ এবং $D(8,3)$ প্রদত্ত বিন্দুসমূহ। $xy$ সমতলে এদের অবস্থান দেখানো হলো।

$AB$ বাহুর দৈর্ঘ্য $= \sqrt{(-2-0)^2 + (3-(-1))^2}$ $= \sqrt{(-2)^2 + (4)^2} = \sqrt{4+16} = 2\sqrt{5}$ একক

$CD$ বাহুর দৈর্ঘ্য $= \sqrt{(8-6)^2 + (3-7)^2}$ $= \sqrt{4+16} = 2\sqrt{5}$ একক

$\therefore$ $AB$ বাহুর দৈর্ঘ্য $=$ $CD$ বাহুর দৈর্ঘ্য

আবার,

$AD$ বাহুর দৈর্ঘ্য $= \sqrt{(8-0)^2 + (3-(-1))^2}$ $= \sqrt{8^2 + 4^2} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$ একক

$BC$ বাহুর দৈর্ঘ্য $= \sqrt{(6-(-2))^2 + (7-3)^2}$ $= \sqrt{8^2 + 4^2} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$ একক

$\therefore$ $AD$ বাহুর দৈর্ঘ্য $=$ $BC$ বাহুর দৈর্ঘ্য

$\therefore$ বিপরীত বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য সমান।

সুতরাং বলা যায়, $ABCD$ একটি সামান্তরিক।

Figure

লেবেল: $Y$, $X$, $X'$, $Y'$, $O$; $C(6, 7)$, $D(8, 3)$, $B(-2, 3)$, $A(0, -1)$ বর্ণনা: $xy$ সমতলে চারটি বিন্দু $A$, $B$, $C$, $D$ চিহ্নিত আছে। বিন্দুগুলো যোগ করে একটি চতুর্ভুজ $ABCD$ গঠিত হয়েছে।

$BD$ কর্ণের দৈর্ঘ্য $= \sqrt{(8-(-2))^2 + (3-3)^2} = \sqrt{10^2 + (0)^2} = \sqrt{100} = 10$ একক

এখন, $BD^2 = 100$, $AB^2 = (2\sqrt{5})^2 = 20$, $AD^2 = (4\sqrt{5})^2 = 80$

$\therefore$ $AB^2 + AD^2 = 20 + 80 = 100 = BD^2$

পীথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী $ABD$ একটি সমকোণী ত্রিভুজ এবং $\angle BAD$ সমকোণ। সুতরাং এ দ্বারা প্রমাণিত হলো যে, $ABCD$ একটি আয়তক্ষেত্র।

Printed page 244

উদাহরণ ৫. দেখাও যে, $(-3,-3), (0,0)$ ও $(3,3)$ বিন্দু তিনটি দ্বারা কোনো ত্রিভুজ তৈরি করা যায় না।

সমাধান: ধরি, $A(-3,-3)$, $B(0,0)$ ও $C(3,3)$ প্রদত্ত বিন্দুসমূহ। $xy$ সমতলে তাদের অবস্থান দেখানো হলো।

আমরা জানি, যেকোনো ত্রিভুজের দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বড়। ধরে নিই $ABC$ একটি ত্রিভুজ এবং $AB$, $BC$ ও $AC$ এর তিনটি বাহু।

$AB$ বাহুর দৈর্ঘ্য $= \sqrt{(0-(-3))^2 + (0-(-3))^2}$ $= \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ একক

$BC$ বাহুর দৈর্ঘ্য $= \sqrt{(3-0)^2 + (3-0)^2}$ $= \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ একক

$AC$ বাহুর দৈর্ঘ্য $= \sqrt{(3+3)^2 + (3+3)^2}$ $= \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$ একক

সুতরাং $AB + BC = 3\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 6\sqrt{2} = AC$ অর্থাৎ দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহুর সমান। সুতরাং এদের দ্বারা কোনো ত্রিভুজ গঠন সম্ভব নয়।

আবার $xy$ সমতলে অবস্থান দেখে বলা যায় যে বিন্দু তিনটি একই সরলরেখায় অবস্থান করে এবং এদের দ্বারা কোনো ত্রিভুজ গঠন সম্ভব নয়।

Figure

লেবেল: $Y$, $X$, $X'$, $Y'$, $O$; $C(3, 3)$, $B(0, 0)$, $A(-3, -3)$ বর্ণনা: $xy$ সমতলে তিনটি বিন্দু $A$, $B$, $C$ একটি সরলরেখার ওপর অবস্থিত; রেখাটি দুই প্রান্তে তীরচিহ্নযুক্ত।