Higher Mathematics chapter 12: Planar Vector

অধ্যায় ১২

সমতলীয় ভেক্টর (Planar Vector)

পদার্থ বিজ্ঞানে আমরা দুই প্রকারের রাশি (quantities) সম্পর্কে জেনেছি। এক প্রকার রাশির বর্ণনায় শুধু পরিমাণ [$+$(যোগ) বা $-$(বিয়োগ) চিহ্ন সংযোজন করে পরিমাণ] উল্লেখ করলেই চলে। অন্য প্রকারের রাশির বর্ণনায় পরিমাণ (magnitude) ও দিক (direction) উভয়ই উল্লেখ করতে হয়। প্রথম প্রকারের রাশিকে স্কেলার রাশি ও দ্বিতীয় প্রকারের রাশিকে ভেক্টর রাশি বলা হয়। এই অধ্যায়ে আমরা ভেক্টর রাশি সম্পর্কে আলোচনা করব।

এই অধ্যায় শেষে শিক্ষার্থীরা ---

• স্কেলার রাশি ও ভেক্টর রাশি বর্ণনা করতে পারবে;
• স্কেলার রাশি ও ভেক্টর রাশি প্রতীকের সাহায্যে ব্যাখ্যা করতে পারবে;
• সমান ভেক্টর, বিপরীত ভেক্টর ও অবস্থান ভেক্টর ব্যাখ্যা করতে পারবে;
• ভেক্টরের যোগ ও যোগবিধি ব্যাখ্যা করতে পারবে;
• ভেক্টরের বিয়োগবিধি ব্যাখ্যা করতে পারবে;
• ভেক্টরের স্কেলার গুণিতক ও একক ভেক্টর ব্যাখ্যা করতে পারবে;
• ভেক্টরের স্কেলার গুণিতক ও বণ্টনবিধি ব্যাখ্যা করতে পারবে;
• ভেক্টরের সাহায্যে বিভিন্ন জ্যামিতিক সমস্যার সমাধান করতে পারবে।

স্কেলার রাশি ও ভেক্টর রাশি

দৈনন্দিন জীবনে প্রায় সবক্ষেত্রেই বস্তুর পরিমাপের প্রয়োজন হয়। $5$ সে.মি., $3$ মিনিট, $12$ টাকা, $5$ লিটার, $6^\circ C$ ইত্যাদি দ্বারা যথাক্রমে বস্তুর দৈর্ঘ্য, সময়ের পরিমাণ, টাকার পরিমাণ, আয়তনের পরিমাণ ও তাপমাত্রার পরিমাণ বুঝানো হয়। এসব পরিমাপের জন্য কেবলমাত্র এককসহ পরিমাণ উল্লেখ করলেই চলে। আবার যদি বলা হয় একটি লোক একবিন্দু থেকে যাত্রা করে প্রথমে $4$ মি. পরে $5$ মি. গেল, তাহলে যাত্রাবিন্দু থেকে তার দূরত্ব নির্ণয় করতে গেলে প্রথমে জানা দরকার লোকটির গতির দিক কী? গতির সঠিক দিক না জানা পর্যন্ত যাত্রাবিন্দু থেকে লোকটি কতদূর গিয়েছে তা সঠিকভাবে নির্ণয় সম্ভব নয়।

যে রাশি কেবলমাত্র এককসহ পরিমাণ দ্বারা অথবা পরিমাণের পূর্বে $+$ বা $-$ চিহ্নযুক্ত করে সম্পূর্ণরূপে বুঝানো যায়, তাকে স্কেলার বা অদিক বা নির্দিক রাশি (scalar quantity) বলা হয়। দৈর্ঘ্য (length), ভর (mass), আয়তন (volume), দ্রুতি (speed), তাপমাত্রা (temperature) ইত্যাদি প্রত্যেকেই স্কেলার রাশি।

Printed page 272

যে রাশিকে সম্পূর্ণরূপে প্রকাশ করার জন্য তার পরিমাণ ও দিক উভয়ের প্রয়োজন হয়, তাকে ভেক্টর বা সদিক রাশি (vector quantity) বলা হয়। সরণ (displacement), বেগ (velocity), ত্বরণ (acceleration), ওজন (weight), বল (force) ইত্যাদি প্রত্যেকেই ভেক্টর রাশি।

ভেক্টর রাশির জ্যামিতিক প্রতিরূপ: দিক নির্দেশক রেখাংশ

কোনো রেখাংশের এক প্রান্তকে আদিবিন্দু (initial point) এবং অপর প্রান্তকে অন্তবিন্দু (terminal point) হিসেবে চিহ্নিত করলে ঐ রেখাংশকে একটি দিক নির্দেশক রেখাংশ বা সদিক রেখাংশ (directed line segment) বলা হয়। কোনো দিক নির্দেশক রেখাংশের আদি বিন্দু $A$ এবং অন্তবিন্দু $B$ হলে ঐ দিক নির্দেশক রেখাংশকে $\overrightarrow{AB}$ দ্বারা সূচিত করা হয়। প্রত্যেক দিক নির্দেশক রেখাংশ একটি ভেক্টর রাশি, যার পরিমাণ ঐ রেখাংশের দৈর্ঘ্য ($|\overrightarrow{AB}|$) বা সংক্ষেপে $AB$ দ্বারা সূচিত এবং যার দিক $A$ বিন্দু হতে $AB$ রেখা বরাবর $B$ বিন্দু নির্দেশকারী দিক।

বিপরীতক্রমে যেকোনো ভেক্টর রাশিকে একটি দিক নির্দেশক রেখাংশ দ্বারা প্রকাশ করা যায়, যেখানে রেখাংশটির দৈর্ঘ্য রাশিটির পরিমাণ এবং রেখাংশটির আদিবিন্দু হতে অন্তবিন্দু নির্দেশকারী দিক প্রদত্ত ভেক্টর রাশির দিক। তাই, ভেক্টর রাশি ও দিক নির্দেশক রেখাংশ সমার্থক ধারণা। দিক নির্দেশক রেখাংশকে জ্যামিতিক ভেক্টর বলেও উল্লেখ করা হয়। আমাদের আলোচনা একই সমতলে অবস্থিত ভেক্টরের মধ্যে সীমাবদ্ধ থাকবে। আমরা এখানে ভেক্টর বলতে জ্যামিতিক ভেক্টরই বুঝব। এই প্রসঙ্গে স্কেলার রাশির নির্দেশক বাস্তব সংখ্যাকে স্কেলার বলব।

কোনো ভেক্টর (দিক নির্দেশক রেখাংশ) যে অসীম সরলরেখার অংশ বিশেষ, তাকে ঐ ভেক্টরের ধারক রেখা বা শুধু ধারক (support) বলা হয়।

সচরাচর একটি ভেক্টরকে একটি অক্ষর দিয়ে সূচিত করা হয়; যেমন $\underline{u} = \overrightarrow{AB}$ ভেক্টর বুঝাতে ভেক্টরটির নিচে দাগ (underscore) দেওয়া হয় এবং এর নির্দেশকারী সদিক রেখাংশের উপরে $\rightarrow$ চিহ্ন দেওয়া হয়। $\underline{u} = \overrightarrow{AB}$ এর অর্থ $\underline{u}$ ভেক্টরের আদি বিন্দু $A$ ও প্রান্তবিন্দু $B$ এবং এর দিক $A$ এর দিক হতে $B$ এর দিকে এবং এর দৈর্ঘ্য $|\underline{u}| = |\overrightarrow{AB}|$, $AB$ রেখাংশের দৈর্ঘ্য।

কাজ:

ক) তোমার বাড়ি হতে স্কুল সোজা দক্ষিণে $3$ কি.মি. দূরে অবস্থিত। বাড়ি হতে হেঁটে স্কুলে যেতে এক ঘণ্টা সময় লাগলে তোমার গতিবেগ কত?

খ) স্কুল ছুটির পর সাইকেলে $20$ মিনিটে বাড়ি এলে এক্ষেত্রে তোমার গতিবেগ কত?

ভেক্টরের সমতা ও বিপরীত ভেক্টর

সমান ভেক্টর: একটি ভেক্টর $\underline{u}$ কে অপর একটি ভেক্টর $\underline{v}$ এর সমান বলা হয় যদি

ক) $|\underline{u}| = |\underline{v}|$ ($\underline{u}$ এর দৈর্ঘ্য $\underline{v}$ এর দৈর্ঘ্যের সমান)

Printed page 273

খ) $\underline{u}$ এর ধারক, $\underline{v}$ এর ধারকের সঙ্গে অভিন্ন অথবা সমান্তরাল হয়

গ) $\underline{u}$ এর দিক $\underline{v}$ এর দিকের সঙ্গে একই মুখী হয়।

Figure

লেবেল: $A$, $\underline{u}$, $B$, $C$, $\underline{v}$, $D$ বর্ণনা: চারটি দিক নির্দেশক রেখাংশ দুই অংশে আঁকা। বাঁ দিকে $A$ থেকে $B$ পর্যন্ত তীরচিহ্নিত $\underline{u}$ এবং $C$ থেকে $D$ পর্যন্ত তীরচিহ্নিত $\underline{v}$ একই সারিতে। ডান দিকে উপরে $C$ থেকে $D$ পর্যন্ত তীরচিহ্নিত $\underline{v}$ এবং নিচে $A$ থেকে $B$ পর্যন্ত তীরচিহ্নিত $\underline{u}$।

সমতার এই সংজ্ঞা যে নিচের নিয়মগুলো মেনে চলে, তা সহজেই বুঝা যায়:

ক) $\underline{u} = \underline{u}$

খ) $\underline{u} = \underline{v}$ হলে $\underline{v} = \underline{u}$

গ) $\underline{u} = \underline{v}$ এবং $\underline{v} = \underline{w}$ হলে $\underline{u} = \underline{w}$

$\underline{u}$ এর ধারক এবং $\underline{v}$ এর ধারক রেখাদ্বয় অভিন্ন বা সমান্তরাল হলে, আমরা সংক্ষেপে বলব $\underline{u}$ এবং $\underline{v}$ সমান্তরাল ভেক্টর।

দ্রষ্টব্য: যেকোনো বিন্দু থেকে প্রদত্ত যেকোনো ভেক্টরের সমান করে একটি ভেক্টর টানা যায়। কেননা, বিন্দু $P$ এবং ভেক্টর $\underline{u}$ দেওয়া থাকলে, আমরা $P$ বিন্দু দিয়ে $\underline{u}$ এর ধারকের সমান্তরাল করে একটি সরলরেখা টানি, তারপর $P$ বিন্দু থেকে $\underline{u}$ এর দিক বরাবর $|\underline{u}|$ এর সমান করে $PQ$ রেখাংশ কেটে নিই। তাহলে অঙ্কন অনুযায়ী $\overrightarrow{PQ} = \underline{u}$ হয়।

বিপরীত ভেক্টর: $\underline{v}$ কে $\underline{u}$ এর বিপরীত ভেক্টর বলা হয়, যদি

ক) $|\underline{v}| = |\underline{u}|$

খ) $\underline{v}$ এর ধারক, $\underline{u}$ এর ধারকের সঙ্গে অভিন্ন বা সমান্তরাল হয়

গ) $\underline{v}$ এর দিক $\underline{u}$ এর দিকের বিপরীত হয়।

$\underline{v}$ যদি $\underline{u}$ এর বিপরীত ভেক্টর হয়, তবে $\underline{u}$ হবে $\underline{v}$ এর বিপরীত ভেক্টর। সমতার সংজ্ঞা থেকে বুঝা যায় যে, $\underline{v}$ এবং $\underline{w}$ প্রত্যেকে $\underline{u}$ এর বিপরীত ভেক্টর হলে $\underline{v} = \underline{w}$ হয়। $\underline{u}$ এর বিপরীত ভেক্টর বুঝাতে $-\underline{u}$ লেখা হয়। $\underline{u} = \overrightarrow{AB}$ হলে $-\underline{u} = \overrightarrow{BA}$।

ভেক্টরের যোগ

কোনো $\underline{u}$ ভেক্টরের প্রান্তবিন্দু থেকে অপর একটি ভেক্টর $\underline{v}$ আঁকা হলে $\underline{u}+\underline{v}$ দ্বারা এরূপ ভেক্টর বুঝায় যার আদিবিন্দু $\underline{u}$ এর আদিবিন্দু এবং যার প্রান্তবিন্দু $\underline{v}$ এর প্রান্তবিন্দু। মনে করি $\overrightarrow{AB} = \underline{u}$, $\overrightarrow{BC} = \underline{v}$ এরূপ দুটি ভেক্টর যে, $\underline{u}$ এর প্রান্তবিন্দু $\underline{v}$ এর আদিবিন্দু। তাহলে $\underline{u}$ এর আদিবিন্দু এবং $\underline{v}$ এর প্রান্তবিন্দু সংযোজক $\overrightarrow{AC}$ ভেক্টরকে $\underline{u}$ ও $\underline{v}$ ভেক্টরদ্বয়ের সমষ্টি বলা হয় এবং $\underline{u}+\underline{v}$ দ্বারা সূচিত হয়।

Printed page 274

Figure

লেবেল: $A$, $B$, $C$, $\underline{u}$, $\underline{v}$, $\underline{u}+\underline{v}$ বর্ণনা: ত্রিভুজ $ABC$; $AB$ বাহু বরাবর তীরচিহ্নিত $\underline{u}$, $BC$ বাহু বরাবর তীরচিহ্নিত $\underline{v}$ এবং কর্ণ $AC$ বরাবর তীরচিহ্নিত $\underline{u}+\underline{v}$। $BC$ উল্লম্ব এবং $AB$ অনুভূমিক।

ভেক্টর যোগের ত্রিভুজবিধি: উপরের চিত্রে $\underline{u}$ ও $\underline{v}$ সমান্তরাল না হলে $\underline{u}, \underline{v}$ এবং $\underline{u}+\underline{v}$ ভেক্টরত্রয় দ্বারা ত্রিভুজ উৎপন্ন হয় বলে উপরিউক্ত যোজন পদ্ধতিকে ত্রিভুজবিধি বলা হয়।

ভেক্টর যোগের ত্রিভুজবিধির অনুসিদ্ধান্ত হিসেবে ভেক্টর যোগের সামান্তরিক বিধি নিম্নরূপ:

ভেক্টর যোগের সামান্তরিক বিধি: কোনো সামান্তরিকের দুটি সন্নিহিত বাহু দ্বারা দুইটি ভেক্টর $\underline{u}$ ও $\underline{v}$ এর মান ও দিক সূচিত হলে, ঐ সামান্তরিকের যে কর্ণ $\underline{u}$ ও $\underline{v}$ ভেক্টরদ্বয়ের ধারক রেখার ছেদবিন্দুগামী তা দ্বারা $\underline{u}+\underline{v}$ ভেক্টরের মান ও দিক সূচিত হয়। নিচে আমরা এটার প্রমাণ দেখব।

Figure

লেবেল: $O$, $A$, $B$, $C$, $\underline{u}$, $\underline{v}$, $\underline{u}+\underline{v}$ বর্ণনা: সামান্তরিক $OACB$; $O$ বিন্দু হতে $A$ পর্যন্ত বাহু বরাবর তীরচিহ্নিত $\underline{u}$, $O$ হতে $B$ পর্যন্ত বাহু বরাবর তীরচিহ্নিত $\underline{v}$ এবং কর্ণ $OC$ বরাবর তীরচিহ্নিত $\underline{u}+\underline{v}$।

প্রমাণ: মনে করি, যেকোনো বিন্দু থেকে অঙ্কিত $\underline{u}$ এবং $\underline{v}$ ভেক্টরদ্বয় $\overrightarrow{OA}$ এবং $\overrightarrow{OB}$ দ্বারা সূচিত হয়েছে। $OACB$ সামান্তরিক ও তার $OC$ কর্ণ অঙ্কন করি। তাহলে ঐ সামান্তরিকের $\overrightarrow{OC}$ কর্ণ দ্বারা $\underline{u}$ এবং $\underline{v}$ এর যোগফল সূচিত হবে। অর্থাৎ $\overrightarrow{OC} = \underline{u}+\underline{v}$।

$OACB$ সামান্তরিকের $OB$ ও $AC$ সমান ও সমান্তরাল। $\therefore \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{OB} = \underline{v}$ [ভেক্টর স্থানান্তর]

$\therefore$ ত্রিভুজবিধি কাজে লাগিয়ে $\underline{u}+\underline{v} = \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{OC}$ [প্রমাণিত]

দ্রষ্টব্য: ক) দুই বা ততোধিক ভেক্টরের যোগফলকে তাদের লব্ধিও বলা হয়। বল বা বেগের লব্ধি নির্ণয়ের ক্ষেত্রে ভেক্টর যোগের পদ্ধতি অনুসরণ করতে হয়। খ) দুটি ভেক্টর সমান্তরাল হলে তাদের যোগের ক্ষেত্রে সামান্তরিক বিধি প্রযোজ্য নয়, কিন্তু ত্রিভুজবিধি সকল ক্ষেত্রে প্রযোজ্য।