Higher Mathematics chapter 13: Solid Geometry

অধ্যায় ১৩

ঘন জ্যামিতি (Solid Geometry)

বাস্তব জীবনে আমাদের বিভিন্ন আকারের ঘনবস্তুর প্রয়োজন এবং আমরা সেগুলো সর্বদা ব্যবহারও করে থাকি। এর মধ্যে সুষম আকারের ঘনবস্তু যেমন আছে, তেমনি আছে বিষম আকারের ঘনবস্তুও। তবে এই অধ্যায়ে সুষম আকারের ঘনবস্তু এবং দুটি সুষম ঘনবস্তুর সমন্বয়ে গঠিত যৌগিক ঘনবস্তুর আয়তন ও পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় পদ্ধতি আলোচনা করা হবে।

এ অধ্যায় শেষে শিক্ষার্থীরা ---

• ঘনবস্তুর প্রতীকীয় চিত্র অঙ্কন করতে পারবে;
• প্রিজম, পিরামিড আকৃতির বস্তু, গোলক ও সমবৃত্তভূমিক কোণকের আয়তন এবং পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে পারবে;
• ঘন জ্যামিতির ধারণা প্রয়োগ করে সমস্যা সমাধান করতে পারবে;
• যৌগিক ঘনবস্তুর আয়তন ও পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল পরিমাপ করতে পারবে;
• ঘন জ্যামিতির ধারণা ব্যবহারিক ক্ষেত্রে প্রয়োগ করতে পারবে।

মৌলিক ধারণা

মাধ্যমিক জ্যামিতিতে বিন্দু, রেখা ও তলের মৌলিক ধারণা আলোচিত হয়েছে। ঘন জ্যামিতিতেও বিন্দু, রেখা ও তলকে মৌলিক ধারণা হিসেবে গ্রহণ করা হয়।

১. বস্তুর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা প্রত্যেকটিকে ঐ বস্তুর মাত্রা (dimension) বলা হয়।

২. বিন্দুর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা নেই। এটি একটি ধারণা। বাস্তবে বিন্দু বুঝানোর জন্য আমরা একটি ডট $(.)$ ব্যবহার করি। একে অবস্থানের প্রতিরূপ বলা যেতে পারে। সুতরাং বিন্দুর কোনো মাত্রা নেই। তাই বিন্দু শূন্য মাত্রিক।

৩. রেখার কেবল দৈর্ঘ্য আছে, প্রস্থ ও উচ্চতা নেই। তাই রেখা একমাত্রিক। যেমন, নিচের চিত্রে $AB$।

৪. তলের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ আছে, উচ্চতা নেই। তাই তল দ্বিমাত্রিক। যেমন, নিচের চিত্রে $ABGF$।

৫. যে বস্তুর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা আছে, তাকে ঘনবস্তু বলা হয়। সুতরাং ঘনবস্তু ত্রিমাত্রিক। যেমন, নিচের চিত্রে $ABCDEFG$।

Printed page 288

Figure

লেবেল: $G$, $F$, $B$, $A$, $E$, $C$, $D$ বর্ণনা: একটি ঘনবস্তু (ঘনক); সামনের তলে $B$, $A$, $D$, $C$ এবং পিছনের তলে $G$, $F$, $E$ বিন্দু চিহ্নিত; একটি কোণে ডটেড রেখা দেখানো।

কতিপয় প্রাথমিক সংজ্ঞা

সাধারণত ত্রিমাত্রিক বস্তুর ছবি দ্বিমাত্রিক কাগজ বা বোর্ডে অঙ্কন কিছুটা জটিল। তথাপিও শ্রেণিকক্ষে পাঠদানকালে প্রত্যেকটি সংজ্ঞার ব্যাখ্যার সঙ্গে তার একটি চিত্র অঙ্কন করে দেখিয়ে দিলে বিষয়টি শিক্ষার্থীদের পক্ষে বুঝা ও মনে রাখা সহজতর হবে।

১. সমতল (Plane surface): কোনো তলের উপরস্থ যেকোনো দুটি বিন্দুর সংযোজক সরলরেখা সম্পূর্ণরূপে ঐ তলের উপর অবস্থিত হলে, ঐ তলকে সমতল বলা হয়। পুকুরের পানি স্থির থাকলে ঐ পানির উপরিভাগ একটি সমতল। সিমেন্ট দিয়ে নির্মিত বা মোজাইককৃত ঘরের মেঝেকে আমরা সমতল বলে থাকি। কিন্তু জ্যামিতিকভাবে তা সমতল নয়। ঘরের মেঝেতে কিছু উঁচু-নিচু থাকেই। উপরের চিত্রে $ABCD$, $ADEF$, $ABGF$ প্রতিটিই এক একটি সমতল।

দ্রষ্টব্য: অন্য কিছু উল্লেখ না থাকলে ঘন জ্যামিতিতে রেখা বা দৈর্ঘ্য এবং তলের বিস্তার অসীম (infinite) বা অনির্দিষ্ট মনে করা হয়। সুতরাং তলের সংজ্ঞা থেকে অনুমান করা যায় যে, কোনো সরল রেখার একটি অংশ কোনো তলের উপর থাকলে ঐ সরল রেখার অপর কোনো অংশ ঐ তলের বাইরে থাকতে পারে না।

২. বক্রতল (Curved surface): কোনো তলের উপর অবস্থিত যেকোনো দুইটি বিন্দুর সংযোজক সরলরেখা সম্পূর্ণরূপে ঐ তলের উপর অবস্থিত না হলে, ঐ তলকে বক্রতল বলা হয়। গোলকের পৃষ্ঠতল একটি বক্রতল।

৩. ঘন জ্যামিতি (Solid geometry): গণিত শাস্ত্রের যে শাখার সাহায্যে ঘনবস্তু এবং তল, রেখা ও বিন্দুর ধর্ম জানা যায়, তাকে ঘন জ্যামিতি (geometry of space) বলা হয়। কখনও কখনও একে জাগতিক জ্যামিতি (geometry of space) বা ত্রিমাত্রিক জ্যামিতিও (geometry of three dimensions) বলা হয়।

৪. একতলীয় রেখা (Coplanar straight lines): একাধিক সরলরেখা একই সমতলে অবস্থিত হলে, বা তাদের সকলের মধ্য দিয়ে একটি সমতল অঙ্কন সম্ভব হলে ঐ সরলরেখাগুলোকে একতলীয় রেখা বলা হয়। উপরের চিত্রে $AB$ ও $CD$ এক তলীয় রেখা, কিন্তু $EF$ তাদের সাথে একতলীয় নয়।

৫. নৈকতলীয় রেখা (Skew or non coplanar lines): একাধিক সরলরেখা একই সমতলে অবস্থিত না হলে বা তাদের মধ্য দিয়ে একটি সমতল অঙ্কন করা সম্ভব না হলে এগুলোকে

Printed page 289

নৈকতলীয় সরলরেখা বলা হয়। উপরের চিত্রে $AB$ ও $EF$ নৈকতলীয় রেখা। দুটি পেনসিলকে একটির উপর আর একটি দিয়ে যোগ বা গুণচিহ্ন আকৃতির একটি বস্তু তৈরি করলেই দুইটি নৈকতলীয় সরলরেখা উৎপন্ন হবে।

৬. সমান্তরাল সরলরেখা (Parallel lines): দুইটি একতলীয় সরলরেখা যদি পরস্পর ছেদ না করে অর্থাৎ যদি তাদের কোনো সাধারণ বিন্দু না থাকে, তবে তাদের সমান্তরাল সরলরেখা বলা হয়। উপরের চিত্রে $AB$ ও $CD$ সমান্তরাল সরলরেখা।

৭. সমান্তরাল তল (Parallel planes): দুটি সমতল যদি পরস্পর ছেদ না করে অর্থাৎ যদি তাদের কোনো সাধারণ রেখা না থাকে তবে ঐ তলদ্বয়কে সমান্তরাল তল বলা হয়। আগের পৃষ্ঠার চিত্রে $ABCD$ ও তার বিপরীত পাশে থাকা $EFG$ সমতল দুটি পরস্পরের সমান্তরাল তল।

৮. সমতলের সমান্তরাল রেখা (Parallel to a plane): একটি সরলরেখা ও একটি সমতলকে অনির্দিষ্টভাবে বর্ধিত করলেও যদি তারা পরস্পর ছেদ না করে, তবে ঐ সরলরেখাকে উক্ত তলের সমান্তরাল রেখা বলা হয়। উপরের চিত্রে $CD$ সরল রেখা $ABGF$ সমতলের সমান্তরাল রেখা।

৯. তলের লম্ব রেখা (Normal or perpendicular to a plane): কোনো সরলরেখা একটি সমতলের উপরস্থ কোনো বিন্দু থেকে ঐ সমতলের উপর অঙ্কিত যেকোনো রেখার উপর লম্ব হলে, উক্ত সরলরেখাকে ঐ সমতলের উপর লম্ব বলা হয়। নিচের বামের চিত্রে $OP$ রেখা $QR$ সমতলের উপর লম্ব, কারণ $OP$ রেখা $QR$ সমতলে থাকা $AB$, $CD$, $EF$ প্রতিটি রেখার ওপরেই লম্ব।

Figure

লেবেল: $P$, $R$, $C$, $B$, $E$, $F$, $Q$, $A$, $O$, $D$ বর্ণনা: বামে একটি সমতল $QR$ (চতুর্ভুজাকার) এবং তার উপর একটি উল্লম্ব রেখা $OP$; $O$ বিন্দু থেকে সমতলে $OA$, $OB$, $OC$, $OD$, $OE$, $OF$ রেখাগুলো অঙ্কিত।

Figure

লেবেল: $N$, $T$, $S$, $M$ বর্ণনা: ডানে একটি সমতল $ST$ (চতুর্ভুজাকার); সমতলের উপর $M$ বিন্দু এবং তার মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি তির্যক রেখা $MN$।

১০. তির্যক (Oblique) রেখা: কোনো সরলরেখা একটি সমতলের সাথে সমান্তরাল বা লম্ব না হলে, ঐ সরলরেখাকে সমতলের তির্যক রেখা বলা হয়। উপরের ডানের চিত্রে $MN$, $ST$ এর তির্যক রেখা।

১১. উল্লম্ব (Vertical) রেখা বা তল: স্থির অবস্থায় ঝুলন্ত ওলনের সুতার সঙ্গে সমান্তরাল কোনো রেখা বা তলকে খাড়া বা উল্লম্ব তল বলে। নিচের বামের চিত্রে $ABCD$ উল্লম্ব তল এবং $PR$ উল্লম্ব রেখা।

Printed page 290

Figure

লেবেল: $D$, $C$, $R$, $A$, $F$, $P$, $Q$, $B$, $E$ বর্ণনা: বামে একটি উল্লম্ব তল $BCD$ ও একটি অনুভূমিক তল $ABEF$; $P$, $Q$ বিন্দু যুক্ত একটি রেখা এবং $R$ বিন্দু দিয়ে একটি উল্লম্ব রেখা অঙ্কিত।

Figure

লেবেল: $D$, $C$, $A$, $F$, $B$, $E$ বর্ণনা: ডানে একটি উল্লম্ব তল $CDF$ এবং একটি অনুভূমিক তল $ABEF$; $C$ ও $F$ বিন্দু যুক্ত একটি রেখা দেখানো।

১২. অনুভূমিক (Horizontal) তল ও রেখা: কোনো সমতল একটি খাড়া সরলরেখার সাথে লম্ব হলে, তাকে শয়ান বা অনুভূমিক তল বলা হয়। আবার কোনো অনুভূমিক তলে অবস্থিত যেকোনো সরলরেখাকে অনুভূমিক সরলরেখা বলা হয়। উপরের বামের চিত্রে $ABEF$ একটি অনুভূমিক সমতল এবং $PQ$ একটি অনুভূমিক সরলরেখা।

১৩. সমতল (Planar) ও নৈকতলীয় (Skew) চতুর্ভুজ: কোনো চতুর্ভুজের বাহুগুলো সব একই তলে অবস্থিত হলে, তাকে সমতলীয় চতুর্ভুজ বলা হয়। আবার কোনো চতুর্ভুজের বাহুগুলো সকলে একই তলে অবস্থিত না হলে, ঐ চতুর্ভুজকে নৈকতলীয় চতুর্ভুজ বলা হয়। নৈকতলীয় চতুর্ভুজের দুটি সন্নিহিত বাহু একতলে এবং অপর দুটি অন্য তলে অবস্থিত। সুতরাং কোনো নৈকতলীয় চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুদ্বয় নৈকতলীয়। উপরের ডানের চিত্রে $ABEF$ একটি সমতলীয় চতুর্ভুজ এবং $BCFE$ একটি নৈকতলীয় চতুর্ভুজ।

১৪. নৈকতলীয় রেখার (Skew lines) অন্তর্গত কোণ: দুটি নৈকতলীয় রেখার অন্তর্গত কোণ তাদের যেকোনো একটি ও তার উপরস্থ কোনো বিন্দু থেকে অঙ্কিত অপরটির সমান্তরাল রেখার অন্তর্গত কোণের সমান। আবার দুইটি নৈকতলীয় রেখার প্রত্যেকের সমান্তরাল দুটি রেখা কোনো বিন্দুতে অঙ্কন করলে ঐ বিন্দুতে উৎপন্ন কোণের পরিমাণও নৈকতলীয় রেখাদ্বয়ের অন্তর্গত কোণের সমান।

Figure

লেবেল: $C$, $D$, $A$, $R$, $Q$, $B$, $O$, $P$ বর্ণনা: $AB$ ও $CD$ দুটি নৈকতলীয় রেখা; $AB$ এর উপর $R$ বিন্দু; $O$ বিন্দু থেকে $AB$ ও $CD$ এর সমান্তরাল হিসেবে $OP$ ও $OQ$ রেখা অঙ্কিত।

মনে করি, $AB$ ও $CD$ দুটি নৈকতলীয় রেখা। যেকোনো $O$ বিন্দুতে $AB$ ও $CD$ এর সমান্তরাল যথাক্রমে $OP$ এবং $OQ$ রেখাদ্বয় অঙ্কন করলে $\angle POQ$ ই $AB$ ও $CD$ এর অন্তর্গত কোণ নির্দেশ করবে। অন্য কথায় $\angle BRQ$ ও $AB$ ও $CD$ এর অন্তর্গত কোণ নির্দেশ করে যেখানে $R$ বিন্দুটি $AB$ এর ওপর অবস্থিত এবং $QR$ অবশ্যই $CD$ এর সমান্তরাল।

১৫. দ্বিতল কোণ (Dihedral angle): দুইটি সমতল সরলরেখায় ছেদ করলে তাদের ছেদ রেখাস্থ যেকোনো বিন্দু থেকে ঐ ছেদ রেখার সাথে লম্ব এরূপ একটি করে রেখা অঙ্কন করলে উৎপন্ন কোণই ঐ সমতলদ্বয়ের অন্তর্গত দ্বিতল কোণ।

Printed page 291

Figure

লেবেল: $A$, $B$, $C$, $D$, $M$, $N$, $O$ বর্ণনা: দুটি সমতল ($ABCD$ ধূসর এবং একটি বর্ণহীন আয়তক্ষেত্রাকার সমতল) একটি উল্লম্ব রেখা $AC$ বরাবর ছেদ করেছে; $AC$ এর উপর $O$ বিন্দু; $O$ থেকে বর্ণহীন সমতলে $OM$ এবং ধূসর সমতলে $ON$ রেখা অঙ্কিত।

$AB$ ও $CD$ সমতলদ্বয় $AC$ রেখায় পরস্পর ছেদ করেছে। $AC$ রেখাস্থ $O$ বিন্দুতে $AB$ সমতলে $OM$ এবং $CD$ সমতলে $ON$ এরূপ দুটি সরলরেখা অঙ্কন করা হলো যেন তারা উভয়ই $AC$ এর সঙ্গে $O$ বিন্দুতে লম্ব হয়। তাহলে $\angle MON$ ই $AB$ ও $CD$ সমতলদ্বয়ের অন্তর্গত দ্বিতল কোণ সূচিত করে। দুটি পরস্পরচ্ছেদী সমতলের অন্তর্গত দ্বিতল কোণের পরিমাণ এক সমকোণ হলে ঐ সমতলদ্বয় পরস্পর লম্ব।

১৬. অভিক্ষেপ (Projection): কোনো বিন্দু থেকে একটি নির্দিষ্ট সরলরেখার উপর বা কোনো সমতলের উপর অঙ্কিত লম্বরেখার পাদবিন্দুকে ঐ রেখা বা সমতলের উপর উক্ত বিন্দুর পাতন বা অভিক্ষেপ (projection) বলা হয়। কোনো সরলরেখা বা বক্ররেখার সকল বিন্দু থেকে কোনো নির্দিষ্ট সমতলের উপর অঙ্কিত লম্বগুলোর পাদবিন্দুসমূহের সেটকে ঐ সমতলের উপর উক্ত সরলরেখা বা বক্ররেখার অভিক্ষেপ বলা হয়। এই অভিক্ষেপকে লম্ব অভিক্ষেপও (orthogonal projection) বলা হয়। চিত্রে $XY$ সমতলের উপর একটি বক্ররেখা $AB$ ও একটি সরলরেখা $CD$ এর অভিক্ষেপ যথাক্রমে বক্ররেখা $ab$ ও সরলরেখা $cd$ দেখানো হয়েছে।

Figure

লেবেল: $A$, $B$, $C$, $D$, $X$, $Y$, $a$, $b$, $c$, $d$ বর্ণনা: $XY$ সমতল; সমতলের উপর একটি বক্ররেখা $ab$ এবং একটি সরলরেখা $cd$; উপরে $AB$ বক্ররেখা ও $CD$ সরলরেখা, প্রতিটি থেকে সমতলে লম্ব রেখা টানা।