Mathematics chapter 1: Real Numbers

অধ্যায় ১

বাস্তব সংখ্যা (Real Numbers)

সংখ্যার ইতিহাস মানব সভ্যতার ইতিহাসের মতোই প্রাচীন। পরিমাণকে প্রতীক দিয়ে সংখ্যা আকারে প্রকাশ করার পদ্ধতি থেকে গণিতের উৎপত্তি। গ্রিক দার্শনিক এরিস্টটলের মতে, প্রাচীন মিশরের পুরোহিত সম্প্রদায়ের অনুশীলনের মাধ্যমে গণিতের আনুষ্ঠানিক অভিষেক ঘটে। তাই বলা যায় সংখ্যাভিত্তিক গণিতের সৃষ্টি যীশুখ্রিষ্টের জন্মের প্রায় দুই হাজার বছর পূর্বে। এরপর নানা জাতি ও সভ্যতার হাত ঘুরে সংখ্যা ও সংখ্যারীতি অধুনা একটি সর্বজনীন রূপ ধারণ করেছে।

স্বাভাবিক সংখ্যার গণনার প্রয়োজনে প্রাচীন ভারতবর্ষের গণিতবিদগণ সর্বপ্রথম শূন্য ও দশভিত্তিক স্থানীয়মান পদ্ধতির প্রচলন করেন, যা সংখ্যা বর্ণনায় একটি মাইলফলক হিসেবে বিবেচিত হয়। পরে ভারতীয় ও চিনা গণিতবিদগণ শূন্য, ঋণাত্মক, বাস্তব, পূর্ণ ও ভগ্নাংশের ধারণার বিস্তৃতি ঘটান, যা মধ্যযুগে আরবিয় গণিতবিদগণ ভিত্তি হিসেবে গ্রহণ করেন। দশমিক ভগ্নাংশের সাহায্যে সংখ্যা প্রকাশের কৃতিত্ব মধ্যপ্রাচ্যের মুসলিম গণিতবিদদের বলে মনে করা হয়। আবার তাঁরাই একাদশ শতাব্দীতে সর্বপ্রথম বীজগণিতীয় দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান হিসেবে বর্গমূল আকারে অমূলদ সংখ্যার প্রবর্তন করেন। ইতিহাসবিদদের ধারণা খ্রিস্টপূর্ব ৫০০ অব্দের কাছাকাছি গ্রিক দার্শনিকরাও জ্যামিতিক অঙ্কনের প্রয়োজনে অমূলদ সংখ্যা, বিশেষ করে দুই-এর বর্গমূলের প্রয়োজনীয়তা অনুভব করেছিলেন। উনবিংশ শতাব্দীতে ইউরোপীয় গণিতবিদগণ বাস্তব সংখ্যাকে প্রণালিবদ্ধ করে পূর্ণতা দান করেন। দৈনন্দিন প্রয়োজনে বাস্তব সংখ্যা সম্বন্ধে শিক্ষার্থীদের সুস্পষ্ট জ্ঞান থাকা প্রয়োজন। এ অধ্যায়ে বাস্তব সংখ্যা সম্পর্কিত প্রয়োজনীয় আলোচনা করা হয়েছে।

এ অধ্যায় শেষে শিক্ষার্থীরা–

• বাস্তব সংখ্যার শ্রেণিবিন্যাস করতে পারবে;
• বাস্তব সংখ্যাকে দশমিক ভগ্নাংশে প্রকাশ করে আসন্ন মান নির্ণয় করতে পারবে;
• দশমিক ভগ্নাংশের শ্রেণিবিন্যাস করতে পারবে;
• আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশ ব্যাখ্যা করতে পারবে এবং ভগ্নাংশকে আবৃত্ত দশমিকে প্রকাশ করতে পারবে;
• আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশকে সাধারণ ভগ্নাংশে রূপান্তর করতে পারবে;
• অসীম অনাবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশ ব্যাখ্যা করতে পারবে;
• সদৃশ ও বিসদৃশ দশমিক ভগ্নাংশ ব্যাখ্যা করতে পারবে;
• আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশের যোগ, বিয়োগ, গুণ ও ভাগ করতে পারবে এবং এতদসংক্রান্ত বিভিন্ন সমস্যার সমাধান করতে পারবে।

Printed page 2

বাস্তব সংখ্যার শ্রেণিবিন্যাস (Classification of Real Numbers)

স্বাভাবিক সংখ্যা (Natural Number): $1, 2, 3, 4, \dots$ ইত্যাদি স্বাভাবিক সংখ্যা বা ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা। $2, 3, 5, 7, \dots$ ইত্যাদি মৌলিক সংখ্যা এবং $4, 6, 8, 9, \dots$ ইত্যাদি যৌগিক সংখ্যা। দুইটি স্বাভাবিক সংখ্যার গ.সা.গু. $1$ হলে এদেরকে পরস্পরের সহমৌলিক সংখ্যা বলা হয়। যেমন $6$ ও $35$ পরস্পরের সহমৌলিক।

পূর্ণসংখ্যা (Integer): শূন্যসহ সকল ধনাত্মক ও ঋণাত্মক অখণ্ড সংখ্যাকে পূর্ণসংখ্যা বলা হয়। অর্থাৎ $\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots$ ইত্যাদি পূর্ণসংখ্যা।

ভগ্নাংশ সংখ্যা (Fractional Number): $\dfrac{p}{q}$ আকারের কোনো সংখ্যাকে (সাধারণ) ভগ্নাংশ সংখ্যা বা সংক্ষেপে ভগ্নাংশ বলা হয়, যেখানে $q \neq 0$, $q \neq 1$ এবং $q$ দ্বারা $p$ নিঃশেষে বিভাজ্য নয়। যেমন $\dfrac{1}{2}, \dfrac{3}{2}, \dfrac{-5}{3}, \dfrac{4}{6}$ ইত্যাদি (সাধারণ) ভগ্নাংশ সংখ্যা। কোনো (সাধারণ) ভগ্নাংশ $\dfrac{p}{q}$ এর ক্ষেত্রে $p < q$ হলে ভগ্নাংশটিকে প্রকৃত ভগ্নাংশ এবং $p > q$ হলে ভগ্নাংশটিকে অপ্রকৃত ভগ্নাংশ বলা হয়। যেমন $\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{3}, \dfrac{2}{3}, \dfrac{1}{4}, \dots$ ইত্যাদি প্রকৃত ভগ্নাংশ এবং $\dfrac{3}{2}, \dfrac{4}{3}, \dfrac{5}{3}, \dfrac{5}{4}, \dots$ ইত্যাদি অপ্রকৃত ভগ্নাংশ।

মূলদ সংখ্যা (Rational Number): $\dfrac{p}{q}$ আকারের কোনো সংখ্যাকে মূলদ সংখ্যা বলা হয়, যখন $p$ ও $q$ পূর্ণসংখ্যা এবং $q \neq 0$। যেমন $\dfrac{3}{1} = 3$, $\dfrac{11}{2} = 5.5$, $\dfrac{5}{3} = 1.666\dots$ ইত্যাদি মূলদ সংখ্যা। যে কোনো মূলদ সংখ্যাকে দুইটি সহমৌলিক সংখ্যার অনুপাত হিসাবেও লেখা যায়। সকল পূর্ণসংখ্যা ও ভগ্নাংশই মূলদ সংখ্যা।

অমূলদ সংখ্যা (Irrational Number): যে সংখ্যাকে $\dfrac{p}{q}$ আকারে প্রকাশ করা যায় না, যেখানে $p$ ও $q$ পূর্ণসংখ্যা এবং $q \neq 0$, সে সংখ্যাকে অমূলদ সংখ্যা বলা হয়। পূর্ণবর্গ নয় এরূপ যে কোনো স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গমূল কিংবা তার ভগ্নাংশ একটি অমূলদ সংখ্যা। যেমন $\sqrt{2} = 1.414213\dots$, $\sqrt{3} = 1.732\dots$, $\dfrac{\sqrt{5}}{2} = 1.118\dots$ ইত্যাদি অমূলদ সংখ্যা। কোনো অমূলদ সংখ্যাকে দুইটি পূর্ণসংখ্যার অনুপাত হিসাবে প্রকাশ করা যায় না।

দশমিক ভগ্নাংশ সংখ্যা (Decimal Fractional Number): মূলদ সংখ্যা ও অমূলদ সংখ্যাকে দশমিক দিয়ে প্রকাশ করা হলে একে দশমিক ভগ্নাংশ বলা হয়। যেমন, $3 = 3.0$, $\dfrac{5}{2} = 2.5$, $\dfrac{10}{3} = 3.3333\dots$, $\sqrt{3} = 1.732\dots$ ইত্যাদি দশমিক ভগ্নাংশ। দশমিক বিন্দুর পর অঙ্ক সংখ্যা সসীম হলে, এদেরকে সসীম দশমিক ভগ্নাংশ এবং অঙ্ক সংখ্যা অসীম হলে, এদেরকে অসীম দশমিক ভগ্নাংশ বলা হয়। যেমন, $0.52$, $3.4152$ ইত্যাদি সসীম দশমিক ভগ্নাংশ এবং $\dfrac{4}{3} = 1.333\dots$, $\sqrt{5} = 2.2360679\dots$ ইত্যাদি অসীম দশমিক ভগ্নাংশ। আবার, অসীম দশমিক ভগ্নাংশগুলোর মধ্যে দশমিক বিন্দুর পর কিছু

Printed page 3

অঙ্কের পুনরাবৃত্তি হলে, তাদেরকে অসীম আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশ এবং অঙ্কগুলোর পুনরাবৃত্তি না হলে এদের অসীম অনাবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশ বলা হয়। যেমন, $\dfrac{122}{99} = 1.2323\dots$, $5.1\dot{6}5\dot{4}$ ইত্যাদি অসীম আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশ এবং $0.523050056\dots$, $2.12340314\dots$ ইত্যাদি অসীম অনাবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশ।

বাস্তব সংখ্যা (Real Number): সকল মূলদ সংখ্যা এবং অমূলদ সংখ্যাকে বাস্তব সংখ্যা বলা হয়, যেমন নিচের সংখ্যাগুলো বাস্তব সংখ্যা।

$0, \pm1, \pm2, \pm3, \dots \qquad \pm\dfrac{1}{2}, \pm\dfrac{3}{2}, \pm\dfrac{4}{3}, \dots$

$\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}, \sqrt{7}, \dots \qquad 1.23, 0.415, 1.3333\dots, 0.\dot{6}\dot{2}, 4.120345061\dots$

ধনাত্মক সংখ্যা (Positive Number): শূন্য থেকে বড় সকল বাস্তব সংখ্যাকে ধনাত্মক সংখ্যা বলা হয়। যেমন, $2$, $\dfrac{1}{2}$, $\dfrac{3}{2}$, $\sqrt{2}$, $0.415$, $0.\dot{6}\dot{2}$, $4.120345061\dots$ ইত্যাদি ধনাত্মক সংখ্যা।

ঋণাত্মক সংখ্যা (Negative Number): শূন্য থেকে ছোট সকল বাস্তব সংখ্যাকে ঋণাত্মক সংখ্যা বলা হয়। যেমন, $-2$, $-\dfrac{1}{2}$, $-\dfrac{3}{2}$, $-\sqrt{2}$, $-0.415$, $-0.\dot{6}\dot{2}$, $-4.120345061\dots$ ইত্যাদি ঋণাত্মক সংখ্যা।

অঋণাত্মক সংখ্যা (Non-negative Number): শূন্যসহ সকল ধনাত্মক সংখ্যাকে অঋণাত্মক সংখ্যা বলা হয়। যেমন, $0$, $3$, $\dfrac{1}{2}$, $0.612$, $1.\dot{3}$, $2.120345\dots$ ইত্যাদি অঋণাত্মক সংখ্যা।

নিচের চিত্রে আমরা বাস্তব সংখ্যার শ্রেণিবিন্যাস দেখতে পাই।

Figure

লেবেল: বাস্তব সংখ্যা, মূলদ, অমূলদ, পূর্ণসংখ্যা, ভগ্নাংশ, ধনাত্মক, ০, ঋণাত্মক, মৌলিক, ১, যৌগিক, সাধারণ, দশমিক, প্রকৃত, অপ্রকৃত, মিশ্র, সসীম, অসীম আবৃত্ত, অসীম অনাবৃত্ত দশমিক, অসীম বর্ণনা: বাস্তব সংখ্যা উপরে; তার নিচে মূলদ ও অমূলদ। মূলদের নিচে পূর্ণসংখ্যা ও ভগ্নাংশ। পূর্ণসংখ্যার নিচে ধনাত্মক, ০ ও ঋণাত্মক; ধনাত্মকের নিচে মৌলিক, ১ ও যৌগিক। ভগ্নাংশের নিচে সাধারণ ও দশমিক; সাধারণের নিচে প্রকৃত ও অপ্রকৃত, এবং প্রকৃত ও অপ্রকৃতের মধ্যে দুই-মুখী তীর দিয়ে মিশ্র। দশমিকের নিচে সসীম এবং অসীম আবৃত্ত; অমূলদের নিচে অসীম অনাবৃত্ত দশমিক।

কাজ: বাস্তব সংখ্যার শ্রেণিবিন্যাসে $\dfrac{3}{4}$, $5$, $-7$, $\sqrt{13}$, $0$, $1$, $\dfrac{9}{7}$, $12$, $2\dfrac{4}{5}$, $1.1234$, $0.3\dot{2}\dot{3}$ সংখ্যাগুলোর অবস্থান দেখাও।

Printed page 4

উদাহরণ ১. $\sqrt{3}$ এবং $4$ এর মধ্যে দুইটি অমূলদ সংখ্যা নির্ণয় করো।

সমাধান: এখানে, $\sqrt{3} = 1.7320508\dots \dots \dots \dots$

মনে করি, $\sqrt{3}$ এবং $4$ এর মধ্যে যেকোনো দুইটি অমূলদ সংখ্যা $a$ ও $b$

যেখানে $a = \sqrt{3} + 1$ এবং $b = \sqrt{3} + 2$

স্পষ্টত: $a$ ও $b$ উভয়ই অমূলদ সংখ্যা এবং উভয়ই $\sqrt{3}$ এবং $4$ এর মধ্যে অবস্থিত।

অর্থাৎ $\sqrt{3} < \sqrt{3} + 1 < \sqrt{3} + 2 < 4$

$\therefore$ $a$ ও $b$ দুইটি নির্ণেয় অমূলদ সংখ্যা।

মন্তব্য: এরূপ অসংখ্য অমূলদ সংখ্যা নির্ণয় করা যায়।

বাস্তব সংখ্যার যোগ ও গুণন প্রক্রিয়ার মৌলিক বিধি:

১. $a, b$ বাস্তব সংখ্যা হলে, $(i)$ $a + b$ বাস্তব সংখ্যা এবং $(ii)$ $ab$ বাস্তব সংখ্যা ২. $a, b$ বাস্তব সংখ্যা হলে $(i)$ $a + b = b + a$ এবং $(ii)$ $ab = ba$ ৩. $a, b, c$ বাস্তব সংখ্যা হলে $(i)$ $(a + b) + c = a + (b + c)$ এবং $(ii)$ $(ab)c = a(bc)$ ৪. $a$ বাস্তব সংখ্যা হলে, কেবল দুইটি বাস্তব সংখ্যা $0$ ও $1$ আছে যেখানে $(i)$ $0 \neq 1$, $(ii)$ $a + 0 = 0 + a = a$ এবং $(iii)$ $a \cdot 1 = 1 \cdot a = a$ ৫. $a$ বাস্তব সংখ্যা হলে, $(i)$ $a + (-a) = 0$ $(ii)$ $a \neq 0$ হলে, $a \cdot \dfrac{1}{a} = 1$ ৬. $a, b, c$ বাস্তব সংখ্যা হলে, $a(b + c) = ab + ac$

বাস্তব সংখ্যার অসমতা সংক্রান্ত বিধি:

৭. $a, b$ বাস্তব সংখ্যা হলে $a < b$ অথবা $a = b$ অথবা $a > b$ ৮. $a, b, c$ বাস্তব সংখ্যা এবং $a < b$ হলে, $a + c < b + c$ ৯. $a, b, c$ বাস্তব সংখ্যা এবং $a < b$ হলে, $(i)$ $ac < bc$ যখন $c > 0$ $(ii)$ $ac > bc$ যখন $c < 0$

প্রতিজ্ঞা: $\sqrt{2}$ একটি অমূলদ সংখ্যা।

প্রমাণ: ধরি $\sqrt{2}$ একটি মূলদ সংখ্যা এবং $\sqrt{2} = \dfrac{p}{q}$ ; যেখানে $p$ ও $q$ পরস্পর সহমৌলিক স্বাভাবিক সংখ্যা এবং $q > 1$ ।

বা, $2 = \dfrac{p^2}{q^2}$ [বর্গ করে] অর্থাৎ $2q = \dfrac{p^2}{q}$ [উভয়পক্ষকে $q$ দ্বারা গুণ করে]

স্পষ্টত $2q$ পূর্ণসংখ্যা কিন্তু $\dfrac{p^2}{q}$ পূর্ণসংখ্যা নয়, কারণ $p$ ও $q$ স্বাভাবিক সংখ্যা, এরা পরস্পর সহমৌলিক এবং $q > 1$ ।

Printed page 5

$\therefore 2q$ এবং $\dfrac{p^2}{q}$ সমান হতে পারে না, অর্থাৎ $2q \neq \dfrac{p^2}{q}$

$\therefore \sqrt{2}$ কে $\dfrac{p}{q}$ আকারে প্রকাশ করা যাবে না, অর্থাৎ $\sqrt{2} \neq \dfrac{p}{q}$

$\therefore \sqrt{2}$ একটি অমূলদ সংখ্যা।

কাজ: ১. প্রমাণ কর যে, $\sqrt{3}$ একটি অমূলদ সংখ্যা। ২. প্রমাণ কর যে, $\sqrt{6}$ একটি অমূলদ সংখ্যা।

উদাহরণ ২. প্রমাণ কর যে, কোনো চারটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার গুণফলের সাথে $1$ যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।

সমাধান: মনে করি, চারটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যা যথাক্রমে $x, x + 1, x + 2, x + 3$।

ক্রমিক সংখ্যা চারটির গুণফলের সাথে $1$ যোগ করলে পাওয়া যায়,

$x(x + 1)(x + 2)(x + 3) + 1$

$= x(x + 3)(x + 1)(x + 2) + 1$

$= (x^2 + 3x)(x^2 + 3x + 2) + 1$

$= a(a + 2) + 1 \quad \text{[এবার } x^2 + 3x = a \text{ ধরে]}$

$= a^2 + 2a + 1 = (a + 1)^2$

$= (x^2 + 3x + 1)^2$

যা একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা। সুতরাং যে কোনো চারটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার গুণফলের সাথে $1$ যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।