Mathematics chapter 2: Set and Function

অধ্যায় ২

সেট ও ফাংশন (Set and Function)

সেট শব্দটি আমাদের সুপরিচিত; যেমন: ডিনার সেট, স্বাভাবিক সংখ্যার সেট, মূলদ সংখ্যার সেট ইত্যাদি। আধুনিক গণিতের ভিত্তি হিসাবে সেটের ব্যবহার ব্যাপক। জার্মান গণিতবিদ জর্জ ক্যান্টর (১৮৪৫-১৯১৮) সেট সম্পর্কে প্রথম ধারণা ব্যাখ্যা করেন। তিনি অসীম সেটের ধারণা প্রদান করে গণিত শাস্ত্রে আলোড়ন সৃষ্টি করেন এবং তাঁর সেটের ধারণা সেট তত্ত্ব নামে পরিচিত। এই অধ্যায়ে সেটের ধারণা ব্যবহার করে গাণিতিক যুক্তি ও চিত্রের মাধ্যমে সমস্যা সমাধান এবং ফাংশন সম্পর্কে সম্যক ধারণা দেওয়া হবে।

এ অধ্যায় শেষে শিক্ষার্থীরা—

• সেট ও উপসেটের ধারণা ব্যাখ্যা করে প্রতীকের সাহায্যে প্রকাশ করতে পারবে;
• সেট প্রকাশের পদ্ধতি বর্ণনা করতে পারবে;
• অসীম সেট ব্যাখ্যা করতে পারবে এবং সসীম ও অসীম সেটের পার্থক্য নিরূপণ করতে পারবে;
• সেটের সংযোগ ও ছেদ ব্যাখ্যা এবং যাচাই করতে পারবে;
• শক্তি সেট ব্যাখ্যা করতে এবং দুই ও তিন সদস্যবিশিষ্ট সেটের শক্তি সেট গঠন করতে পারবে;
• ক্রমজোড় ও কার্তেসীয় গুণজ ব্যাখ্যা করতে পারবে;
• উদাহরণ ও ভেনচিত্রের সাহায্যে সেট প্রক্রিয়ার সহজ বিধিগুলো প্রমাণ করতে পারবে এবং বিধিগুলো প্রয়োগ করে বিভিন্ন সমস্যা সমাধান করতে পারবে;
• অন্বয় ও ফাংশন ব্যাখ্যা করতে ও গঠন করতে পারবে;
• ডোমেন ও রেঞ্জ কী ব্যাখ্যা করতে পারবে;
• ফাংশনের ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় করতে পারবে;
• ফাংশনের লেখচিত্র অঙ্কন করতে পারবে।

সেট (Set)

বাস্তব বা চিন্তা জগতের সুসংজ্ঞায়িত বস্তুর সমাবেশ বা সংগ্রহকে সেট বলে। যেমন: নবম-দশম শ্রেণির বাংলা, ইংরেজি ও গণিত বিষয়ে তিনটি পাঠ্য বইয়ের সেট। প্রথম দশটি বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যার সেট, পূর্ণসংখ্যার সেট, বাস্তব সংখ্যার সেট ইত্যাদি। সেটকে সাধারণত ইংরেজি বর্ণমালার বড় হাতের অক্ষর $A, B, C, \ldots X, Y, Z$ দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

Printed page 22

যেমন, $2, 4, 6$ সংখ্যা তিনটির সেট $A = \{2, 4, 6\}$

সেটের প্রত্যেক বস্তু বা সদস্যকে সেটের উপাদান (element) বলা হয়। যেমন, $B = \{a, b\}$ হলে, $B$ সেটের উপাদান $a$ এবং $b$; উপাদান প্রকাশের চিহ্ন $\in$।

$\therefore a \in B$ এবং পড়া হয় $a, B$ এর সদস্য ($a$ belongs to $B$)

$b \in B$ এবং পড়া হয় $b, B$ এর সদস্য ($b$ belongs to $B$)

উপরের $B$ সেটে $c$ উপাদান নেই।

$\therefore c \notin B$ এবং পড়া হয় $c, B$ এর সদস্য নয় ($c$ does not belong to $B$)।

সেট প্রকাশের পদ্ধতি

সেটকে দুই পদ্ধতিতে প্রকাশ করা হয়। যথা: তালিকা পদ্ধতি (Roster Method বা Tabular Method) ও সেট গঠন পদ্ধতি (Set Builder Method)।

তালিকা পদ্ধতি: এ পদ্ধতিতে সেটের সকল উপাদান সুনির্দিষ্টভাবে উল্লেখ করে দ্বিতীয় বন্ধনী $\{\}$ এর মধ্যে আবদ্ধ করা হয় এবং একাধিক উপাদান থাকলে ‘কমা' ব্যবহার করে উপাদানগুলোকে আলাদা করা হয়। যেমন, $A = \{a, b\}$, $B = \{2, 4, 6\}$, $C = \{নিলয়, তিশা, শুভ্রা\}$ ইত্যাদি।

সেট গঠন পদ্ধতি: এ পদ্ধতিতে সেটের সকল উপাদান সুনির্দিষ্টভাবে উল্লেখ না করে উপাদান নির্ধারণের জন্য সাধারণ ধর্মের উল্লেখ থাকে। যেমন: $A = \{x : x \text{ স্বাভাবিক বিজোড় সংখ্যা }\}$, $B = \{x : x \text{ নবম শ্রেণির প্রথম পাঁচজন শিক্ষার্থী}\}$ ইত্যাদি। এখানে, ‘:' দ্বারা ‘এরূপ যেন' বা সংক্ষেপে ‘যেন' (such that) বোঝায়। যেহেতু এ পদ্ধতিতে সেটের উপাদান নির্ধারণের জন্য শর্ত বা নিয়ম (Rule) দেওয়া থাকে, এজন্য এ পদ্ধতিকে Rule Method ও বলা হয়।

উদাহরণ ১. $A = \{7, 14, 21, 28\}$ সেটটিকে সেট গঠন পদ্ধতিতে প্রকাশ করো।

সমাধান: $A$ সেটের উপাদানসমূহ $7, 14, 21, 28$।

এখানে, প্রত্যেকটি উপাদান $7$ দ্বারা বিভাজ্য, অর্থাৎ $7$ এর গুণিতক এবং $28$ এর বড় নয়।

$\therefore A = \{x : x, 7 \text{ এর গুণিতক এবং } 0 < x \leq 28\}$

উদাহরণ ২. $B = \{x : x, 28 \text{ এর গুণনীয়ক}\}$ সেটটিকে তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ করো।

সমাধান: এখানে, $28 = 1 \times 28 = 2 \times 14 = 4 \times 7$

$\therefore 28$ এর গুণনীয়কসমূহ $1, 2, 4, 7, 14, 28$

নির্ণেয় সেট $B = \{1, 2, 4, 7, 14, 28\}$

উদাহরণ ৩. $C = \{x : x \text{ ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা এবং } x^2 < 18\}$ সেটটিকে তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ করো।

সমাধান: ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যাসমূহ $1, 2, 3, 4, 5, \ldots$

Printed page 23

এখানে,

$x = 1$ হলে, $x^2 = 1^2 = 1$; $x = 2$ হলে, $x^2 = 2^2 = 4$

$x = 3$ হলে, $x^2 = 3^2 = 9$; $x = 4$ হলে, $x^2 = 4^2 = 16$

$x = 5$ হলে, $x^2 = 5^2 = 25$ ; যা $18$ এর চেয়ে বড়।

$\therefore$ শর্তানুসারে গ্রহণযোগ্য ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যাসমূহ $1, 2, 3$ এবং $4$

$\therefore$ নির্ণেয় সেট $C = \{1, 2, 3, 4\}$

কাজ:

ক) $C = \{-9, -6, -3, 3, 6, 9\}$ সেটটিকে সেট গঠন পদ্ধতিতে প্রকাশ করো।

খ) $B = \{y : y \text{ পূর্ণসংখ্যা এবং } y^3 \leq 18\}$ সেটটিকে তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ করো।

সসীম সেট (Finite Set)

যে সেটের উপাদান সংখ্যা গণনা করে নির্ধারণ করা যায়, তাকে সসীম সেট বলে। যেমন: $D = \{x, y, z\}$, $E = \{3, 6, 9, \ldots, 60\}$, $F = \{x : x \text{ মৌলিক সংখ্যা এবং } 30 < x < 70\}$ ইত্যাদি সসীম সেট। এখানে, $D$ সেটে $3$টি, $E$ সেটে $20$টি এবং $F$ সেটে $9$টি উপাদান আছে।

অসীম সেট (Infinite Set)

যে সেটের উপাদান সংখ্যা গণনা করে শেষ করা যায় না, তাকে অসীম সেট বলে। যেমন: $A = \{x : x \text{ বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যা}\}$, স্বাভাবিক সংখ্যার সেট $N = \{1, 2, 3, 4, \ldots\}$, পূর্ণসংখ্যার সেট $Z = \{\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 \ldots\}$, মূলদ সংখ্যার সেট $Q = \left\{\dfrac{a}{b} : a \text{ ও } b \text{ পূর্ণসংখ্যা এবং } b \neq 0\right\}$, বাস্তব সংখ্যার সেট $R$ ইত্যাদি অসীম সেট।

উদাহরণ ৪. দেখাও যে, সকল স্বাভাবিক সংখ্যার সেট একটি অসীম সেট।

সমাধান: ধরা যাক, স্বাভাবিক সংখ্যার সেট $N$ একটি সসীম সেট। তাহলে এই সেটের অবশ্যই একটি সর্বোচ্চ উপাদান $K$ থাকবে; যেখানে $K \in N$ হবে। কিন্তু স্বাভাবিক সংখ্যার ধারণা অনুসারে, $K$ যদি একটি স্বাভাবিক সংখ্যা হয়, তাহলে $K+1$ ও একটি স্বাভাবিক সংখ্যা হবে যা $K$ এর চেয়েও বড়। তাহলে, $K+1$ অবশ্যই স্বাভাবিক সংখ্যার সেট $N$ এর একটি উপাদান হবে, অর্থাৎ $K+1 \in N$ হবে।

কিন্তু শুরুতে আমরা $N$ সেটের সর্বোচ্চ উপাদান হিসেবে $K$ সংখ্যাটি ধরেছিলাম। পরবর্তীতে দেখা গেল, $K+1$ সংখ্যাটিও $N$ সেটের একটি উপাদান। একইভাবে দেখানো যায় যে, $K+2$, $K+3 \ldots \ldots$ সংখ্যাগুলোও $N$ সেটের উপাদান হবে।

সুতরাং, স্বাভাবিক সংখ্যার সেট $N$ সসীম হতে পারে না। তাই স্বাভাবিক সংখ্যার সেট একটি অসীম সেট।

Printed page 24

কাজ: সসীম সেট ও অসীম সেট নির্ণয় করো:

ক) $\{3, 5, 7\}$

খ) $\{1, 2, 2^2, \ldots 2^{10}\}$

গ) $\{3, 3^2, 3^3, \ldots\}$

ঘ) $\{x : x \text{ পূর্ণসংখ্যা এবং } x < 4\}$

ঙ) $\left\{\dfrac{p}{q} : p \text{ ও } q \text{ পরস্পর সহমৌলিক এবং } q > 1\right\}$

চ) $\{y : y \in N \text{ এবং } y^2 < 100 < y^3\}$

ফাঁকা সেট (Empty Set)

যে সেটের কোনো উপাদান নেই তাকে ফাঁকা সেট বলে। ফাঁকা সেটকে $\varnothing$ অথবা \{\ } দ্বারা প্রকাশ করা হয়। যেমন: একটি বালিকা বিদ্যালয়ের তিনজন ছাত্রের সেট, $\{x \in N : 10 < x < 11\}$, $\{x \in N : x \text{ মৌলিক সংখ্যা এবং } 23 < x < 29\}$ ইত্যাদি।

ভেনচিত্র (Venn-Diagram)

জন ভেন (১৮৩৪-১৯২৩) সেটের কার্যবিধি চিত্রের সাহায্যে প্রকাশ করেন। এতে বিবেচনাধীন সেটগুলোকে সমতলে অবস্থিত বিভিন্ন আকারের জ্যামিতিক চিত্র যেমন আয়ত, বৃত্ত এবং ত্রিভুজ ব্যবহার করা হয়। জন ভেনের নামানুসারে চিত্রগুলো ভেনচিত্র নামে পরিচিত।

উপসেট (Subset)

$A = \{a, b\}$ একটি সেট। এই সেটের উপাদান থেকে $\{a, b\}$, $\{a\}$, $\{b\}$ সেটগুলো গঠন করা যায়। আবার, কোনো উপাদান না নিয়ে $\varnothing$ সেট গঠন করা যায়। এখানে, গঠিত $\{a, b\}$, $\{a\}$, $\{b\}$, $\varnothing$ প্রত্যেকটি $A$ সেটের উপসেট। সুতরাং কোনো সেট থেকে যতগুলো সেট গঠন করা যায়, এদের প্রত্যেকটি সেটকে ঐ সেটের উপসেট বলা হয়। উপসেটের চিহ্ন $\subseteq$। যদি $B$ সেট $A$ এর উপসেট হয় তবে $B \subseteq A$ লেখা হয়। $B, A$ এর উপসেট অথবা $B$ is a subset of $A$। উপরের উপসেটগুলোর মধ্যে $\{a, b\}$ সেট $A$ এর সমান। প্রত্যেকটি সেট নিজের উপসেট। আবার, যেকোনো সেট থেকে $\varnothing$ সেট গঠন করা যায়।

$\therefore \varnothing$ যেকোনো সেটের উপসেট।

ধরি $P = \{1, 2, 3\}$ এবং $Q = \{2, 3\}$, $R = \{1, 3\}$ তাহলে $P, Q$ এবং $R$ প্রত্যেকে $P$ এর উপসেট। অর্থাৎ $P \subseteq P$, $Q \subseteq P$ এবং $R \subseteq P$।

প্রকৃত উপসেট (Proper Subset)

কোনো সেট থেকে গঠিত উপসেটের মধ্যে যে উপসেটগুলোর উপাদান সংখ্যা প্রদত্ত সেটের উপাদান সংখ্যা অপেক্ষা কম এদেরকে প্রকৃত উপসেট বলে। যেমন, $A = \{3, 4, 5, 6\}$ এবং $B = \{3, 5\}$

Printed page 25

দুইটি সেট। এখানে, $B$ এর সব উপাদান $A$ সেটে বিদ্যমান এবং $B$ সেটের উপাদান সংখ্যা $A$ সেটের উপাদান সংখ্যা থেকে কম। $\therefore$ $B, A$ এর একটি প্রকৃত উপসেট এবং $B \subset A$ লিখে প্রকাশ করা হয়।

উপসেটের উদাহরণে $Q$ ও $R$ প্রত্যেকে $P$ এর প্রকৃত উপসেট। উল্লেখ্য ফাঁকা সেট বা $\varnothing$ যেকোনো সেটের প্রকৃত উপসেট।

উদাহরণ ৫. $P=\{x, y, z\}$ এর উপসেটগুলো লিখ এবং সেগুলো থেকে প্রকৃত উপসেট বাছাই করো।

সমাধান: দেওয়া আছে, $P=\{x, y, z\}$

$P$ এর উপসেটসমূহ $\{x, y, z\}, \{x, y\}, \{x, z\}, \{y, z\}, \{x\}, \{y\}, \{z\}, \varnothing$।

$P$ এর প্রকৃত উপসেটসমূহ $\{x, y\}, \{x, z\}, \{y, z\}, \{x\}, \{y\}, \{z\}, \varnothing$।

দ্রষ্টব্য: কোনো সেটের উপাদান সংখ্যা $n$ হলে ওই সেটের উপসেটের সংখ্যা $2^n$ এবং প্রকৃত উপসেটের সংখ্যা $2^n-1$।