Mathematics chapter 4: Exponents and Logarithms

অধ্যায় ৪

সূচক ও লগারিদম

(Exponents and Logarithms)

অনেক বড় বা অনেক ছোট সংখ্যা বা রাশিকে সূচকের সাহায্যে লিখে অতি সহজে প্রকাশ করা যায়। ফলে হিসাব গণনা ও গাণিতিক সমস্যা সমাধান সহজতর হয়। তাছাড়া সূচকের মাধ্যমেই সংখ্যার বৈজ্ঞানিক বা আদর্শ রূপ প্রকাশ করা হয়। তাই প্রত্যেক শিক্ষার্থীর সূচকের ধারণা ও এর প্রয়োগ সম্পর্কে জ্ঞান থাকা আবশ্যক।

সূচক থেকেই লগারিদমের সৃষ্টি। লগারিদমের সাহায্যে সংখ্যার বা রাশির গুণ, ভাগ ও সূচক সম্পর্কিত গণনার কাজ সহজ হয়েছে। ক্যালকুলেটর ও কম্পিউটারের ব্যবহার প্রচলনের পূর্ব পর্যন্ত বৈজ্ঞানিক হিসাব ও গণনায় লগারিদমের ব্যবহার ছিল একমাত্র উপায়। এখনও এগুলোর বিকল্প হিসাবে লগারিদমের ব্যবহার গুরুত্বপূর্ণ।

এ অধ্যায়ে সূচক ও লগারিদম সম্পর্কে বিস্তারিত আলোচনা করা হয়েছে।

এ অধ্যায় শেষে শিক্ষার্থীরা—

► মূলদ সূচক ব্যাখ্যা করতে পারবে;

► ধনাত্মক পূর্ণ-সাংখ্যিক সূচক, শূন্য ও ঋণাত্মক পূর্ণ-সাংখ্যিক সূচক ব্যাখ্যা ও প্রয়োগ করতে পারবে;

► সূচকের নিয়মাবলি বর্ণনা ও তা প্রয়োগ করে সমস্যার সমাধান করতে পারবে;

► $n$ তম মূল ও মূলদ ভগ্নাংশ সূচক ব্যাখ্যা করতে পারবে এবং $n$ তম মূলকে সূচক আকারে প্রকাশ করতে পারবে;

► লগারিদম ব্যাখ্যা করতে পারবে;

► লগারিদমের সূত্রাবলি প্রমাণ ও প্রয়োগ করতে পারবে;

► সাধারণ লগারিদম ও স্বাভাবিক লগারিদম ব্যাখ্যা করতে পারবে;

► সংখ্যার বৈজ্ঞানিক রূপ ব্যাখ্যা করতে পারবে;

► সাধারণ লগারিদমের পূর্ণক ও অংশক ব্যাখ্যা করতে পারবে;

► ক্যালকুলেটরের সাহায্যে সাধারণ ও স্বাভাবিক লগারিদম নির্ণয় করতে পারবে।

Printed page 76

সূচক (Exponents or Indices)

আমরা ষষ্ঠ শ্রেণিতে সূচকের ধারণা পেয়েছি এবং সপ্তম শ্রেণিতে গুণের ও ভাগের সূচক নিয়ম সম্পর্কে জেনেছি। সূচক ও ভিত্তি সংবলিত রাশিকে সূচকীয় রাশি বলা হয়।

কাজ: নিচের সারণিতে খালি ঘরগুলো পূরণ করো।

$a$ যেকোনো বাস্তব সংখ্যা এবং $n$ যেকোনো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা হলে, $n$ সংখ্যক $a$ এর ক্রমিক গুণ হলো $a^n$। অর্থাৎ, $a \times a \times a \times \ldots \times a$ ($n$ সংখ্যক বার $a$) $= a^n$। এখানে, $n$ হলো সূচক বা ঘাত এবং $a$ হলো ভিত্তি। আবার, বিপরীতক্রমে $a^n = a \times a \times a \times \ldots \times a$ ($n$ সংখ্যক বার $a$)।

সূচক শুধু ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যাই নয়, ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা বা ধনাত্মক ভগ্নাংশ বা ঋণাত্মক ভগ্নাংশও হতে পারে। অর্থাৎ, ভিত্তি $a \in R$ (বাস্তব সংখ্যার সেট) এবং সূচক $n \in Q$ (মূলদ সংখ্যার সেট) এর জন্য $a^n$ সংজ্ঞায়িত। বিশেষ ক্ষেত্রে, $n \in N$ (স্বাভাবিক সংখ্যার সেট) ধরা হয়। তাছাড়া অমূলদ সূচকও হতে পারে। তবে সেটা মাধ্যমিক স্তরের পাঠ্যসূচি বহির্ভূত বলে এখানে আর আলোচনা করা হয়নি।

সূচকের সূত্রাবলি (laws of Indices)

ধরি, $a \in R$ (বাস্তব সংখ্যার সেট) এবং $m, n \in N$ (স্বাভাবিক সংখ্যার সেট)।

সূত্র ১ (গুণ). $a^m \times a^n = a^{m+n}$

সূত্র ২ (ভাগ). $\dfrac{a^m}{a^n} = \begin{cases} a^{m-n} & \text{যখন } m \geq n \\ \dfrac{1}{a^{n-m}} & \text{যখন } n > m \end{cases}$

নিচের ছকের খালি ঘরগুলো পূরণ করো:

Printed page 77

$\therefore$ সাধারণভাবে $a^m \times a^n = a^{m+n}$ এবং $\dfrac{a^m}{a^n} = \begin{cases} a^{m-n} & \text{যখন } m \geq n \\ \dfrac{1}{a^{n-m}} & \text{যখন } n > m \end{cases}$

সূত্র ৩ (গুণফলের ঘাত). $(ab)^n = a^n \times b^n$

লক্ষ করি, $(5 \times 2)^3 = (5 \times 2) \times (5 \times 2) \times (5 \times 2) \quad [\because a^3 = a \times a \times a, \ a = 5 \times 2]$ $= (5 \times 5 \times 5) \times (2 \times 2 \times 2)$ $= 5^3 \times 2^3$

সাধারণভাবে, $(ab)^n = ab \times ab \times ab \times \ldots \times ab$ [$n$ সংখ্যক $ab$ এর ক্রমিক গুণ] $= (a \times a \times a \times \ldots \times a) \times (b \times b \times b \times \ldots \times b)$ $= a^n \times b^n$

সূত্র ৪ (ভাগফলের ঘাত). $\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}, \ (b \neq 0)$

লক্ষ করি, $\left(\dfrac{5}{2}\right)^3 = \dfrac{5}{2} \times \dfrac{5}{2} \times \dfrac{5}{2} = \dfrac{5^3}{2^3}$

সাধারণভাবে, $\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a}{b} \times \dfrac{a}{b} \times \dfrac{a}{b} \times \ldots \times \dfrac{a}{b}$ [$n$ সংখ্যক $\dfrac{a}{b}$ এর ক্রমিক গুণ] $= \dfrac{a \times a \times a \times \ldots \times a}{b \times b \times b \times \ldots \times b} = \dfrac{a^n}{b^n}$

সূত্র ৫ (ঘাতের ঘাত). $(a^m)^n = a^{mn}$

$(a^m)^n = a^m \times a^m \times a^m \times \ldots \times a^m$ [$n$ সংখ্যক $a^m$ এর ক্রমিক গুণ] $= a^{m+m+m+\ldots+m}$ [ঘাতে $n$ সংখ্যক সূচকের যোগফল] $= a^{m \times n} = a^{mn}$

$\therefore (a^m)^n = a^{mn}$

শূন্য ও ঋণাত্মক সূচক (Zero and Negative Indices)

সূচকে সূত্রাবলির প্রয়োগ ক্ষেত্র সকল পূর্ণসংখ্যা সম্প্রসারণের লক্ষ্যে $a^0$ এবং $a^{-n}$ (যেখানে $n$ স্বাভাবিক সংখ্যা) এর সংজ্ঞা দেয়া প্রয়োজন।

সংজ্ঞা ১ (শূন্য সূচক). $a^0 = 1, \ (a \neq 0)$

সংজ্ঞা ২ (ঋণাত্মক সূচক). $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}, \ (a \neq 0, n \in N)$

এই সংজ্ঞা দুইটির ফলে সূচক বিধি $m$ এবং $n$ এর সকল পূর্ণসাংখ্যিক মানের জন্য বলবৎ থাকে এবং এরূপ সকল সূচকের জন্য $\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ খাটে।

Printed page 78

লক্ষ কর, $\dfrac{a^n}{a^n} = a^{n-n} = a^0$

কিন্তু $\dfrac{a^n}{a^n} = \dfrac{a \times a \times a \times \ldots \times a \ (n \text{ সংখ্যক})}{a \times a \times a \times \ldots \times a \ (n \text{ সংখ্যক})} = 1$

$\therefore a^0 = 1$

আর $\dfrac{1}{a^n} = \dfrac{a^0}{a^n} = a^{0-n} = a^{-n}$

উদাহরণ ১. মান নির্ণয় করো: ক) $\dfrac{5^2}{5^3}$ খ) $\left(\dfrac{2}{3}\right)^5 \times \left(\dfrac{2}{3}\right)^{-5}$

সমাধান:

ক) $\dfrac{5^2}{5^3} = 5^{2-3} = 5^{-1} = \dfrac{1}{5^1} = \dfrac{1}{5}$

খ) $\left(\dfrac{2}{3}\right)^5 \times \left(\dfrac{2}{3}\right)^{-5} = \left(\dfrac{2}{3}\right)^{5-5} = \left(\dfrac{2}{3}\right)^0 = 1$

উদাহরণ ২. সরল করো: ক) $\dfrac{5^4 \times 8 \times 16}{2^5 \times 125}$ খ) $\dfrac{3 \cdot 2^n - 4 \cdot 2^{n-2}}{2^n - 2^{n-1}}$

সমাধান:

ক) $\dfrac{5^4 \times 8 \times 16}{2^5 \times 125} = \dfrac{5^4 \times 2^3 \times 2^4}{2^5 \times 5^3} = \dfrac{5^4 \times 2^{3+4}}{5^3 \times 2^5} = \dfrac{5^4}{5^3} \times \dfrac{2^7}{2^5}$ $= 5^{4-3} \times 2^{7-5} = 5^1 \times 2^2 = 5 \times 4 = 20$

খ) $\dfrac{3 \cdot 2^n - 4 \cdot 2^{n-2}}{2^n - 2^{n-1}} = \dfrac{3 \cdot 2^n - 2^2 \cdot 2^{n-2}}{2^n - 2^n \cdot 2^{-1}} = \dfrac{3 \cdot 2^n - 2^{2+n-2}}{2^n - 2^n \cdot \dfrac{1}{2}}$ $= \dfrac{3 \cdot 2^n - 2^n}{\left(1 - \dfrac{1}{2}\right) \cdot 2^n} = \dfrac{(3-1) \cdot 2^n}{\dfrac{1}{2} \cdot 2^n} = \dfrac{2 \cdot 2^n}{\dfrac{1}{2} \cdot 2^n} = 2 \cdot 2 = 4$

উদাহরণ ৩. দেখাও যে, $(a^p)^{q-r} \cdot (a^q)^{r-p} \cdot (a^r)^{p-q} = 1$

সমাধান: $(a^p)^{q-r} \cdot (a^q)^{r-p} \cdot (a^r)^{p-q} = a^{p(q-r)} \cdot a^{q(r-p)} \cdot a^{r(p-q)} \quad [\because (a^m)^n = a^{mn}]$ $= a^{pq-pr} \cdot a^{qr-pq} \cdot a^{pr-qr} = a^{pq-pr+qr-pq+pr-qr} = a^0 = 1$

কাজ: খালি ঘর পূরণ করো:

ক) $3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^{\square}$ খ) $5^{\square} \times 5^3 = 5^5$ গ) $a^2 \times a^{\square} = a^{-3}$

ঘ) $(-5)^0 = \square$ ঙ) $\dfrac{4}{4^{\square}} = 1$

Printed page 79

$n$ তম মূল ($n$ th Root)

লক্ষ করি, $5^{\frac{1}{2}} \times 5^{\frac{1}{2}} = \left(5^{\frac{1}{2}}\right)^2$

আবার, $5^{\frac{1}{2}} \times 5^{\frac{1}{2}} = 5^{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}} = 5^{2\times\frac{1}{2}} = 5$

$\therefore \left(5^{\frac{1}{2}}\right)^2 = 5$

$5^{\frac{1}{2}}$ এর বর্গ (দ্বিতীয় ঘাত) $= 5$ এবং $5$ এর বর্গমূল (দ্বিতীয় মূল) $= 5^{\frac{1}{2}}$

$5^{\frac{1}{2}}$ কে বর্গমূলের চিহ্ন $\sqrt{\phantom{x}}$ এর মাধ্যমে $\sqrt{5}$ আকারে লেখা হয়।

আরো লক্ষ করি, $5^{\frac{1}{3}} \times 5^{\frac{1}{3}} \times 5^{\frac{1}{3}} = \left(5^{\frac{1}{3}}\right)^3$

আবার, $5^{\frac{1}{3}} \times 5^{\frac{1}{3}} \times 5^{\frac{1}{3}} = 5^{\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}} = 5^{3\times\frac{1}{3}} = 5$

$5^{\frac{1}{3}}$ এর ঘন (তৃতীয় ঘাত) $= 5$ এবং $5$ এর ঘনমূল (তৃতীয় মূল) $= 5^{\frac{1}{3}}$

$5^{\frac{1}{3}}$ কে ঘনমূলের চিহ্ন $\sqrt[3]{\phantom{x}}$ এর মাধ্যমে $\sqrt[3]{5}$ আকারে লেখা হয়।

$n$ তম মূলের ক্ষেত্রে,

$a^{\frac{1}{n}} \times a^{\frac{1}{n}} \times a^{\frac{1}{n}} \times \ldots \times a^{\frac{1}{n}}$ [$n$ সংখ্যক $a^{\frac{1}{n}}$ এর ক্রমিক গুণ] $= \left(a^{\frac{1}{n}}\right)^n$

আবার, $a^{\frac{1}{n}} \times a^{\frac{1}{n}} \times a^{\frac{1}{n}} \times \ldots \times a^{\frac{1}{n}}$

$= a^{\frac{1}{n}+\frac{1}{n}+\frac{1}{n}+\ldots+\frac{1}{n}}$ [সূচকে $n$ সংখ্যক $\frac{1}{n}$ এর যোগ]

$= a^{n\times\frac{1}{n}} = a$

$\therefore \left(a^{\frac{1}{n}}\right)^n = a$

$a^{\frac{1}{n}}$ এর $n$ তম ঘাত $a$ এবং $a$ এর $n$ তম মূল $a^{\frac{1}{n}}$

অর্থাৎ, $a^{\frac{1}{n}}$ এর $n$ তম ঘাত $\left(a^{\frac{1}{n}}\right)^n = a$ এবং $a$ এর $n$ তম মূল $(a)^{\frac{1}{n}} = a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}$

$a$ এর $n$ তম মূলকে $\sqrt[n]{a}$ আকারে লেখা হয়।

উদাহরণ ৪. সরল করো: ক) $(12)^{-\frac{1}{2}} \times \sqrt[3]{54}$ খ) $(-3)^3 \times \left(-\dfrac{1}{2}\right)^2$

সমাধান:

ক) $(12)^{-\frac{1}{2}} \times \sqrt[3]{54} = \dfrac{1}{(12)^{\frac{1}{2}}} \times (54)^{\frac{1}{3}} = \dfrac{1}{(2^2 \times 3)^{\frac{1}{2}}} \times (3^3 \times 2)^{\frac{1}{3}}$

$= \dfrac{1}{(2^2)^{\frac{1}{2}} \times 3^{\frac{1}{2}}} \times (3^3)^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{3}} = \dfrac{1}{2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}} \times (3^3 \times 2)^{\frac{1}{3}}

Printed page 80

$= \dfrac{2^{\frac{1}{3}}}{2^1} \times \dfrac{3^1}{3^{\frac{1}{2}}} = \dfrac{3^{1-\frac{1}{2}}}{2^{1-\frac{1}{3}}} = \dfrac{3^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{2}{3}}} = \dfrac{3^{\frac{1}{2}}}{4^{\frac{1}{3}}} = \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt[3]{4}}$

খ) $(-3)^3 \times \left(-\dfrac{1}{2}\right)^2 = (-3)(-3)(-3) \times \left(-\dfrac{1}{2}\right)\left(-\dfrac{1}{2}\right) = -27 \times \dfrac{1}{4} = -\dfrac{27}{4}$

কাজ: সরল করো: ক) $\dfrac{2^4 \cdot 2^2}{32}$ খ) $\left(\dfrac{2}{3}\right)^{\frac{5}{2}} \times \left(\dfrac{2}{3}\right)^{-\frac{5}{2}}$ গ) $8^{\frac{3}{4}} \div 8^{\frac{1}{2}}$

লক্ষণীয়:

ক) $a > 0, \ a \neq 1$ শর্তে $a^x = a^y$ হলে $x = y$

খ) $a > 0, \ b > 0, \ x \neq 0$ শর্তে $a^x = b^x$ হলে $a = b$

উদাহরণ ৫. সমাধান করো: $4^{x+1} = 32$

সমাধান: $4^{x+1} = 32$ বা, $(2^2)^{x+1} = 32$ বা, $2^{2x+2} = 2^5$

$\therefore 2x + 2 = 5$ $[a^x = a^y$ হলে, $x = y]$

বা, $2x = 5 - 2$ বা, $2x = 3$

$\therefore x = \dfrac{3}{2}$