Skip to content

Mathematics chapter 5: Equations in One Variable

এক চলকবিশিষ্ট সমীকরণ

  • Mathematics
  • Textbook pages 93-110
  • 1 source
  • 26,084 characters of context

Textbook (verbatim transcription): Equations in One Variable

Verbatim transcription of the printed NCTB textbook pages.

Contents10
  1. চলক (Variable)
  2. সমীকরণ ও অভেদ (Equation and Identity)
  3. একঘাত সমীকরণের সমাধান (Solving Linear Equations)
  4. এক চলকবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ
  5. দ্বিঘাত সমীকরণের ব্যবহার
  6. অনুশীলনী ৫.২
  7. নমুনা প্রশ্ন
  8. বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  9. সৃজনশীল প্রশ্ন
  10. সংক্ষিপ্ত-উত্তর প্রশ্ন

Printed page 93

অধ্যায় ৫

এক চলকবিশিষ্ট সমীকরণ (Equations in One Variable)

আমরা পূর্বের শ্রেণিতে চলক ও সমীকরণ কী তা জেনেছি এবং এদের ব্যবহার শিখেছি। এক চলকবিশিষ্ট সরল সমীকরণের সমাধান করতে শিখেছি এবং বাস্তবভিত্তিক সমস্যার সরল সমীকরণ গঠন করে তা সমাধান করা সম্পর্কে সম্যক জ্ঞান লাভ করেছি। এ অধ্যায়ে এক চলকবিশিষ্ট একঘাত ও দ্বিঘাত সমীকরণ এবং অভেদ সম্পর্কে আলোচনা করা হয়েছে এবং বাস্তবভিত্তিক সমস্যার সমাধানে এদের ব্যবহার দেখানো হয়েছে।

এ অধ্যায় শেষে শিক্ষার্থীরা—

  • চলকের ধারণা ব্যাখ্যা করতে পারবে;
  • সমীকরণ ও অভেদের পার্থক্য ব্যাখ্যা করতে পারবে;
  • একঘাত সমীকরণের সমাধান করতে পারবে;
  • বাস্তবভিত্তিক সমস্যার একঘাত সমীকরণ গঠন করে সমাধান করতে পারবে;
  • দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান করতে পারবে ও সমাধান সেট নির্ণয় করতে পারবে;
  • বাস্তবভিত্তিক সমস্যার দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করে সমাধান করতে পারবে।

চলক (Variable)

আমরা জানি, x+3=5x+3=5 একটি সমীকরণ। এটি সমাধান করতে হলে আমরা অজ্ঞাত রাশি xx এর মান বের করি। এখানে অজ্ঞাত রাশি xx একটি চলক। আবার, x+a=5x+a=5 সমীকরণটি সমাধান করতে হলে, আমরা xx এর মান নির্ণয় করি, aa এর মান নয়। এখানে xx কে চলক ও aa কে ধ্রুবক হিসাবে ধরা হয়। এক্ষেত্রে xx এর মান aa এর মাধ্যমে পাওয়া যাবে। তবে aa এর মান নির্ণয় করতে হলে, আমরা লিখবো a=5−xa=5-x; অর্থাৎ aa এর মান xx এর মাধ্যমে পাওয়া যাবে। এখানে aa চলক ও xx ধ্রুবক হিসাবে বিবেচিত। তবে বিশেষ কোনো নির্দেশনা না থাকলে প্রচলিত রীতি অনুযায়ী xx কে চলক হিসাবে ধরা হয়। সাধারণত ইংরেজি বর্ণমালার ছোট হাতের শেষের দিকের অক্ষর x,y,zx,y,z কে চলক হিসাবে এবং প্রথম দিকের অক্ষর a,b,ca,b,c কে ধ্রুবক হিসেবে ব্যবহার করা হয়।

Printed page 94

যে সমীকরণে একটি মাত্র অজ্ঞাত রাশি থাকে, তাকে এক চলকবিশিষ্ট সমীকরণ বা সরল সমীকরণ বলা হয়। যেমন, x+3=5, x2−5x+b=0, 2y2+5y−3=0x+3=5,\ x^2-5x+b=0,\ 2y^2+5y-3=0 ইত্যাদি।

যদি একটি সেট S={x:x∈R, 1≤x≤10}S=\{x : x \in R,\ 1 \leq x \leq 10\} হয়, তবে xx-এর মান 11 থেকে 1010 পর্যন্ত যেকোনো বাস্তব সংখ্যা হতে পারে। এখানে xx একটি চলক। কাজেই আমরা বলতে পারি যে, যখন কোনো অক্ষর প্রতীক কোনো সেটের উপাদান বোঝায় তখন একে চলক বলে।

সমীকরণের ঘাত: কোনো সমীকরণের চলকের সর্বোচ্চ ঘাতকে সমীকরণটির ঘাত বলে। x+1=5, 2x−1=x+5, y+7=2y−3x+1=5,\ 2x-1=x+5,\ y+7=2y-3 সমীকরণগুলোর প্রত্যেকটির ঘাত 11; এগুলো এক চলকবিশিষ্ট একঘাত সমীকরণ।

আবার, x2+5x+6=0, y2−y=12, 4x2−2x=3−6xx^2+5x+6=0,\ y^2-y=12,\ 4x^2-2x=3-6x সমীকরণগুলোর প্রত্যেকটির ঘাত 22; এগুলো এক চলকবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ। 2x3−x2−4x+4=02x^3-x^2-4x+4=0 সমীকরণটি এক চলকবিশিষ্ট ত্রিঘাত সমীকরণ।

সমীকরণ ও অভেদ (Equation and Identity)

সমীকরণ: সমীকরণে সমান চিহ্নের দুইপক্ষে দুইটি বহুপদী থাকে, অথবা একপক্ষে (প্রধানত ডানপক্ষে) শূন্য থাকতে পারে। দুই পক্ষের বহুপদীর চলকের সর্বোচ্চ ঘাত সমান নাও হতে পারে। সমীকরণ সমাধান করে চলকের সর্বোচ্চ ঘাতের সমান সংখ্যক মান পাওয়া যাবে। এই মান বা মানগুলোকে বলা হয় সমীকরণটির মূল। এই মূল বা মূলগুলো দ্বারা সমীকরণটি সিদ্ধ হবে। একাধিক মূলের ক্ষেত্রে এগুলো সমান বা অসমান হতে পারে। যেমন, x2−5x+6=0x^2-5x+6=0 সমীকরণটির মূল 2,32,3। আবার, (x−3)2=0(x-3)^2=0 সমীকরণে xx এর মান 33 হলেও এর মূল 3,33,3।

অভেদ: সমান চিহ্নের দুইপক্ষে সমান ঘাতবিশিষ্ট দুইটি বহুপদী থাকে। চলকের সর্বোচ্চ ঘাতের সংখ্যার চেয়েও অধিক সংখ্যক মানের জন্য অভেদটি সিদ্ধ হবে। সমান চিহ্নের উভয় পক্ষের মধ্যে কোনো ভেদ নেই বলেই অভেদ। যেমন, (x+1)2−(x−1)2=4x(x+1)^2-(x-1)^2=4x একটি অভেদ, এটি xx এর সকল মানের জন্য সিদ্ধ হবে। তাই এই সমীকরণটি একটি অভেদ। প্রত্যেক বীজগণিতীয় সূত্র একটি অভেদ। যেমন (a+b)2=a2+2ab+b2, (a−b)2=a2−2ab+b2, a2−b2=(a+b)(a−b), (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a+b)^2=a^2+2ab+b^2,\ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2,\ a^2-b^2=(a+b)(a-b),\ (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 ইত্যাদি অভেদ।

সকল সমীকরণ অভেদ নয়। অভেদে সমান (=)(=) চিহ্নের পরিবর্তে ≡\equiv চিহ্ন ব্যবহৃত হয়। তবে সকল অভেদই সমীকরণ বলে অভেদের ক্ষেত্রেও সাধারণত সমান চিহ্ন ব্যবহার করা হয়।

সমীকরণ ও অভেদের পার্থক্য নিচে দেওয়া হলো:

Printed page 95

সমীকরণঅভেদ
১। সমান চিহ্নের দুই পক্ষে দুইটি বহুপদী থাকতে পারে অথবা এক পক্ষে শূন্য থাকতে পারে।
২। উভয় পক্ষের বহুপদীর মাত্রা অসমান হতে পারে।
৩। চলকের এক বা একাধিক মানের জন্য সমতাটি সত্য হয়।
৪। চলকের মানের সংখ্যা সর্বাধিক মাত্রার মানের সমান হতে পারে।
৫। সকল সমীকরণ অভেদ নয়।		১। দুই পক্ষে দুইটি বহুপদী থাকে।
২। উভয় পক্ষে বহুপদীর মাত্রা সমান থাকে।
৩। চলকের মূল সেটের সকল মানের জন্য সাধারণত সমতাটি সত্য হয়।
৪। চলকের সম্ভাব্য সকল মানের জন্য সমতাটি সত্য।
৫। সকল বীজগণিতীয় অভেদই সমীকরণ।

কাজ:

ক) নিচের সমীকরণগুলোর কোনটির ঘাত কত ও মূল কয়টি?

(১) 3x+1=53x+1=5 (২) 2y5−y−13=3y2\dfrac{2y}{5}-\dfrac{y-1}{3}=\dfrac{3y}{2}

খ) তিনটি অভেদ লেখ।

একঘাত সমীকরণের সমাধান (Solving Linear Equations)

সমীকরণ সমাধানের ক্ষেত্রে কয়েকটি নিয়ম প্রয়োগ করতে হয়। এই নিয়মগুলো জানা থাকলে সমীকরণের সমাধান নির্ণয় সহজতর হয়। নিয়মগুলো হলো:

১। সমীকরণের উভয়পক্ষে একই সংখ্যা বা রাশি যোগ করলে পক্ষদ্বয় সমান থাকে।

২। সমীকরণের উভয়পক্ষ থেকে একই সংখ্যা বা রাশি বিয়োগ করলে পক্ষদ্বয় সমান থাকে।

৩। সমীকরণের উভয়পক্ষকে অশূন্য একই সংখ্যা বা রাশি দ্বারা গুণ করলে পক্ষদ্বয় সমান থাকে।

৪। সমীকরণের উভয়পক্ষকে অশূন্য একই সংখ্যা বা রাশি দ্বারা ভাগ করলে পক্ষদ্বয় সমান থাকে।

উপরের ধর্মগুলোকে বীজগণিতীয় রাশির মাধ্যমে প্রকাশ করা যায়:

যদি x=ax=a এবং c≠0c \neq 0 হয় তাহলে,

(i) x+c=a+c(i)\ x+c=a+c

(ii) x−c=a−c(ii)\ x-c=a-c

(iii) xc=ac(iii)\ xc=ac

(iv) xc=ac(iv)\ \dfrac{x}{c}=\dfrac{a}{c}

এছাড়া যদি a,ba,b ও cc তিনটি রাশি হয় তবে, a=b+ca=b+c হলে, a−b=ca-b=c হবে এবং a+c=ba+c=b হলে, a=b−ca=b-c হবে।

এই নিয়মটি পক্ষান্তর বিধি হিসাবে পরিচিত এবং এই বিধি প্রয়োগ করে বিভিন্ন সমীকরণ সমাধান করা হয়।

Printed page 96

কোনো সমীকরণের পদগুলো ভগ্নাংশ আকারে থাকলে, লবগুলোতে চলকের ঘাত 11 এবং হরগুলো ধ্রুবক হলে, সেগুলো একঘাত সমীকরণ।

উদাহরণ ১. সমাধান করো: 5x7−45=x5−27\dfrac{5x}{7}-\dfrac{4}{5}=\dfrac{x}{5}-\dfrac{2}{7}

সমাধান: 5x7−45=x5−27\dfrac{5x}{7}-\dfrac{4}{5}=\dfrac{x}{5}-\dfrac{2}{7} বা, 5x7−x5=45−27\dfrac{5x}{7}-\dfrac{x}{5}=\dfrac{4}{5}-\dfrac{2}{7} [পক্ষান্তর করে]

বা, 25x−7x35=28−1035\dfrac{25x-7x}{35}=\dfrac{28-10}{35} বা, 18x35=1835\dfrac{18x}{35}=\dfrac{18}{35}

বা, 18x=1818x=18 বা, x=1x=1

∴\therefore সমাধান x=1x=1

এখন, আমরা এমন সমীকরণের সমাধান করবো যা দ্বিঘাত সমীকরণের আকারে থাকে। এ সকল সমীকরণ সরলীকরণের মাধ্যমে সমতুল সমীকরণে রূপান্তর করে ax=bax=b আকারের একঘাত সমীকরণে পরিণত করা হয়। আবার, হরে চলক থাকলেও সরলীকরণ করে একঘাত সমীকরণে রূপান্তর করা হয়।

উদাহরণ ২. সমাধান করো: (y−1)(y+2)=(y+4)(y−2)(y-1)(y+2)=(y+4)(y-2)

সমাধান: (y−1)(y+2)=(y+4)(y−2)(y-1)(y+2)=(y+4)(y-2)

বা, y2−y+2y−2=y2+4y−2y−8y^2-y+2y-2=y^2+4y-2y-8

বা, y−2=2y−8y-2=2y-8

বা, y−2y=−8+2y-2y=-8+2 [পক্ষান্তর করে]

বা, −y=−6-y=-6

বা, y=6y=6

∴\therefore সমাধান y=6y=6

উদাহরণ ৩. সমাধান করো ও সমাধান সেট লিখ: 6x+115−2x−47x−1=2x−15\dfrac{6x+1}{15}-\dfrac{2x-4}{7x-1}=\dfrac{2x-1}{5}

সমাধান: 6x+115−2x−47x−1=2x−15\dfrac{6x+1}{15}-\dfrac{2x-4}{7x-1}=\dfrac{2x-1}{5}

বা, 6x+115−2x−15=2x−47x−1\dfrac{6x+1}{15}-\dfrac{2x-1}{5}=\dfrac{2x-4}{7x-1} [পক্ষান্তর করে]

বা, 6x+1−6x+315=2x−47x−1\dfrac{6x+1-6x+3}{15}=\dfrac{2x-4}{7x-1}

বা, 415=2x−47x−1\dfrac{4}{15}=\dfrac{2x-4}{7x-1}

বা, 15(2x−4)=4(7x−1)15(2x-4)=4(7x-1) [আড়গুণন করে]

Printed page 97

বা, 30x−60=28x−430x - 60 = 28x - 4

বা, 30x−28x=60−430x - 28x = 60 - 4 [পক্ষান্তর করে]

বা, 2x=562x = 56 বা, x=28x = 28

∴\therefore সমাধান x=28x = 28

এবং সমাধান সেট S={28}S = \{28\}

উদাহরণ ৪. সমাধান করো: 1x−3+1x−4=1x−2+1x−5\dfrac{1}{x-3} + \dfrac{1}{x-4} = \dfrac{1}{x-2} + \dfrac{1}{x-5}

সমাধান: 1x−3+1x−4=1x−2+1x−5\dfrac{1}{x-3} + \dfrac{1}{x-4} = \dfrac{1}{x-2} + \dfrac{1}{x-5}

বা, x−4+x−3(x−3)(x−4)=x−5+x−2(x−2)(x−5)\dfrac{x-4+x-3}{(x-3)(x-4)} = \dfrac{x-5+x-2}{(x-2)(x-5)}

বা, 2x−7x2−7x+12=2x−7x2−7x+10\dfrac{2x-7}{x^2-7x+12} = \dfrac{2x-7}{x^2-7x+10}

দুই পক্ষের ভগ্নাংশ দুইটির মান সমান। আবার, দুই পক্ষের লব সমান, কিন্তু হর অসমান। এক্ষেত্রে লবের মান একমাত্র শূন্য হলেই দুই পক্ষ সমান হবে।

∴2x−7=0\therefore 2x - 7 = 0 বা, 2x=72x = 7 বা, x=72x = \dfrac{7}{2}

∴\therefore সমাধান x=72x = \dfrac{7}{2}

কাজ: (5+1)x+4=45(\sqrt{5}+1)x + 4 = 4\sqrt{5} হলে, দেখাও যে, x=6−25x = 6 - 2\sqrt{5}

একঘাত সমীকরণের ব্যবহার

বাস্তব জীবনে বিভিন্ন ধরনের সমস্যার সমাধান করতে হয়। এই সমস্যা সমাধানের অধিকাংশ ক্ষেত্রেই গাণিতিক জ্ঞান, দক্ষতা ও যুক্তির প্রয়োজন হয়। বাস্তব ক্ষেত্রে গাণিতিক জ্ঞান ও দক্ষতার প্রয়োগে একদিকে যেমন সমস্যার সুষ্ঠু সমাধান হয়, অন্যদিকে তেমনি প্রাত্যহিক জীবনে গণিতের মাধ্যমে সমস্যার সমাধান পাওয়া যায় বিধায়, শিক্ষার্থীরা গণিতের প্রতি আকৃষ্ট হয়। এখানে প্রাত্যহিক জীবনের বিভিন্ন সমস্যাকে সমীকরণের মাধ্যমে প্রকাশ করে তার সমাধান করা হবে।

বাস্তবভিত্তিক সমস্যা সমাধানে অজ্ঞাত সংখ্যা নির্ণয়ের জন্য এর পরিবর্তে চলক ধরে নিয়ে সমস্যায় প্রদত্ত শর্তানুসারে সমীকরণ গঠন করা হয়। তারপর সমীকরণটি সমাধান করলেই চলকটির মান, অর্থাৎ অজ্ঞাত সংখ্যাটি পাওয়া যায়।

Printed page 98

উদাহরণ ৫. দুই অঙ্কবিশিষ্ট কোনো সংখ্যার একক স্থানীয় অঙ্কটি দশক স্থানীয় অঙ্ক অপেক্ষা 22 বেশি। অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে যে সংখ্যা পাওয়া যাবে তা প্রদত্ত সংখ্যার দ্বিগুণ অপেক্ষা 66 কম হবে। সংখ্যাটি নির্ণয় করো।

সমাধান: মনে করি, দশক স্থানীয় অঙ্কটি xx অতএব, একক স্থানীয় অঙ্কটি হবে x+2x + 2

∴\therefore সংখ্যাটি 10x+(x+2)10x + (x+2) বা, 11x+211x + 2

অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে পরিবর্তিত সংখ্যাটি হবে 10(x+2)+x10(x+2) + x বা, 11x+2011x + 20

প্রশ্নমতে, 11x+20=2(11x+2)−611x + 20 = 2(11x + 2) - 6

বা, 11x+20=22x+4−611x + 20 = 22x + 4 - 6

বা, 22x−11x=20+6−422x - 11x = 20 + 6 - 4 [পক্ষান্তর করে]

বা, 11x=2211x = 22

বা, x=2x = 2

∴\therefore সংখ্যাটি 11x+2=11×2+2=2411x + 2 = 11 \times 2 + 2 = 24

∴\therefore প্রদত্ত সংখ্যাটি 2424

উদাহরণ ৬. একটি শ্রেণির প্রতিবেঞ্চে 44 জন করে ছাত্র বসালে 33টি বেঞ্চ খালি থাকে। আবার, প্রতিবেঞ্চে 33 জন করে ছাত্র বসালে 66 জন ছাত্রকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ শ্রেণির ছাত্র সংখ্যা কত?

সমাধান: মনে করি, শ্রেণিটির ছাত্র সংখ্যা xx

যেহেতু প্রতিবেঞ্চে 44 জন করে বসালে 33টি বেঞ্চ খালি থাকে, সেহেতু ঐ শ্রেণির বেঞ্চের সংখ্যা x4+3\dfrac{x}{4} + 3

আবার, যেহেতু প্রতিবেঞ্চে 33 জন করে বসালে 66 জনকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়, সেহেতু ঐ শ্রেণির বেঞ্চের সংখ্যা =x−63= \dfrac{x-6}{3}

যেহেতু শ্রেণির বেঞ্চের সংখ্যা একই থাকবে,

সুতরাং x4+3=x−63\dfrac{x}{4} + 3 = \dfrac{x-6}{3} বা, x+124=x−63\dfrac{x+12}{4} = \dfrac{x-6}{3}

বা, 4x−24=3x+364x - 24 = 3x + 36 বা, 4x−3x=36+244x - 3x = 36 + 24

বা, x=60x = 60

∴\therefore ঐ শ্রেণির ছাত্র সংখ্যা 6060

উদাহরণ ৭. কবির সাহেব তাঁর 5600056000 টাকার কিছু টাকা বার্ষিক 12%12\% মুনাফায় ও বাকি টাকা বার্ষিক 10%10\% মুনাফায় বিনিয়োগ করলেন। এক বছর পর তিনি মোট 64006400 টাকা মুনাফা পেলেন। তিনি 12%12\% মুনাফায় কত টাকা বিনিয়োগ করেছেন?

Printed page 99

সমাধান: মনে করি, কবির সাহেব 12%12\% মুনাফায় xx টাকা বিনিয়োগ করেছেন।

∴\therefore তিনি 10%10\% মুনাফায় বিনিয়োগ করেছেন (56000−x)(56000 - x) টাকা।

এখন, xx টাকার 1 বছরের মুনাফা x×12100x \times \dfrac{12}{100} টাকা বা, 12x100\dfrac{12x}{100} টাকা।

আবার, (56000−x)(56000 - x) টাকার 1 বছরের মুনাফা (56000−x)×10100(56000 - x) \times \dfrac{10}{100} টাকা বা, 10(56000−x)100\dfrac{10(56000 - x)}{100} টাকা।

প্রশ্নমতে, 12x100+10(56000−x)100=6400\dfrac{12x}{100} + \dfrac{10(56000 - x)}{100} = 6400

বা, 12x+560000−10x=64000012x + 560000 - 10x = 640000

বা, 2x=640000−5600002x = 640000 - 560000

বা, 2x=800002x = 80000

বা, x=40000x = 40000

∴\therefore কবির সাহেব 12%12\% মুনাফায় 4000040000 টাকা বিনিয়োগ করেছেন।

কাজ: সমীকরণ গঠন করে সমাধান করো:

ক) 35\dfrac{3}{5} ভগ্নাংশটির লব ও হরের প্রত্যেকের সাথে কোন সংখ্যাটি যোগ করলে ভগ্নাংশটি 45\dfrac{4}{5} হবে?

খ) দুইটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের অন্তর 151151 হলে, সংখ্যা দুইটি নির্ণয় করো।

গ) 120120 টি এক টাকার মুদ্রা ও দুই টাকার মুদ্রায় মোট 180180 টাকা হলে, কোন প্রকারের মুদ্রার সংখ্যা কয়টি?

Loading the rest of the chapter…

Textbook content © National Curriculum and Textbook Board (NCTB), Bangladesh. Shown for study.

Trusted resources

Official links checked by the Zntext team. Part of the context pack.