Mathematics chapter 7: Practical Geometry

অধ্যায় ৭

ব্যাবহারিক জ্যামিতি (Practical Geometry)

পূর্বের শ্রেণিতে জ্যামিতির বিভিন্ন উপপাদ্য প্রমাণে ও অনুশীলনীতে চিত্র অঙ্কনের প্রয়োজন ছিল। সেসব চিত্র সূক্ষ্মভাবে অঙ্কন না করলে চলত। কিন্তু কখনো কখনো জ্যামিতিক চিত্র সূক্ষ্মভাবে অঙ্কনের প্রয়োজন হয়। যেমন: একজন স্থপতি যখন কোনো বাড়ির নকশা করেন কিংবা প্রকৌশলী যখন যন্ত্রের বিভিন্ন অংশের চিত্র আঁকেন। এ ধরনের জ্যামিতিক অঙ্কনে শুধু স্কেল ও পেন্সিল কম্পাসের সাহায্য নেওয়া হয়। এর আগে আমরা স্কেল ও পেন্সিল কম্পাসের সাহায্যে ত্রিভুজ ও চতুর্ভুজ আঁকতে শিখেছি। এ অধ্যায়ে বিশেষ ধরনের ত্রিভুজ ও চতুর্ভুজ অঙ্কনের আলোচনা করা হবে।

এ অধ্যায় শেষে শিক্ষার্থীরা—

► চিত্রের সাহায্যে ত্রিভুজ ও চতুর্ভুজ ব্যাখ্যা করতে পারবে ;

► প্রদত্ত উপাত্ত ব্যবহার করে ত্রিভুজ অঙ্কন করতে পারবে ;

► প্রদত্ত উপাত্ত ব্যবহার করে চতুর্ভুজ, সামান্তরিক, ট্রাপিজিয়াম অঙ্কন করতে পারবে।

ত্রিভুজ অঙ্কন

প্রত্যেক ত্রিভুজের তিনটি বাহু ও তিনটি কোণ রয়েছে। তবে কোনো ত্রিভুজের আকার ও আকৃতি নির্দিষ্ট করার জন্য সবগুলো বাহু ও কোণের প্রয়োজন হয় না। যেমন, ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ বলে এর যেকোনো দুইটি কোণের মান দেওয়া থাকলে তৃতীয় কোণটির মান বের করা যায়। আবার, ত্রিভুজের সর্বসমতা সংক্রান্ত উপপাদ্যগুলো থেকে দেখা যায় যে, কোনো ত্রিভুজের তিনটি বাহু ও তিনটি কোণ অর্থাৎ ছয়টির মধ্যে কেবলমাত্র নিম্নলিখিত তিনটি অপর এক ত্রিভুজের অনুরূপ তিনটি অংশের সমান হলেই ত্রিভুজ দুইটি সর্বসম হয়। অর্থাৎ, এ তিনটি অংশ দ্বারা নির্দিষ্ট আকারের অনন্য ত্রিভুজ আঁকা যায়। সপ্তম শ্রেণিতে আমরা নিম্নবর্ণিত উপাত্ত থেকে ত্রিভুজ আঁকতে শিখেছি।

১. তিনটি বাহু

Figure

লেবেল: $a$, $b$, $c$ বর্ণনা: তিনটি অনুভূমিক রেখাংশ দেখানো হয়েছে; উপর থেকে নিচে যথাক্রমে $a$, $b$ ও $c$ চিহ্নিত, এদের দৈর্ঘ্য ভিন্ন।

Figure

লেবেল: $A$, $B$, $C$, $D$, $a$, $b$, $c$ বর্ণনা: ত্রিভুজ $ABC$; $BC$ রেখাংশ $D$ পর্যন্ত বর্ধিত, $BC = a$, $AC = b$, $AB = c$ চিহ্নিত। $A$ বিন্দুতে ও $AC$, $AB$ বাহুর ওপর চাপ (আর্ক) অঙ্কিত।

Printed page 137

২. দুইটি বাহু ও এদের অন্তর্ভুক্ত কোণ

Figure

লেবেল: $a$, $b$, $x$, $A$, $B$, $C$, $E$ বর্ণনা: বাম দিকে দুইটি অনুভূমিক রেখাংশ $a$ ও $b$, এবং তাদের নিচে কোণ $x$ অঙ্কিত। ডান দিকে ত্রিভুজ $ABC$ আঁকার ধাপ দেখানো হয়েছে: $C$ বিন্দু থেকে রশ্মি $CE$ এর ওপর $A$ বিন্দু ($b$ চিহ্নিত), $C$ থেকে রশ্মি $CB$ এর ওপর $B$ বিন্দু ($a$ চিহ্নিত), $\angle C = \angle x$ চিহ্নিত; $A$ ও $B$ যুক্ত করা হয়েছে।

৩. দুইটি কোণ ও এদের সংলগ্ন বাহু

Figure

লেবেল: $a$, $x$, $y$, $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$ বর্ণনা: উপরে রেখাংশ $a$; তার নিচে দুইটি কোণ $x$ ও $y$ আলাদাভাবে অঙ্কিত। ডানে ত্রিভুজ $ABC$: $B$ বিন্দুতে $\angle x$ ও $C$ বিন্দুতে $\angle y$ চিহ্নিত, $BC = a$; $B$ থেকে রশ্মি $BE$ এবং $C$ থেকে রশ্মি $CF$ অঙ্কিত, তাদের ছেদবিন্দু $A$। $BC$ রেখা $D$ পর্যন্ত বর্ধিত।

৪. দুইটি কোণ ও একটির বিপরীত বাহু

Figure

লেবেল: $a$, $x$, $y$, $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$, $G$ বর্ণনা: উপরে রেখাংশ $a$; নিচে বাম দিকে কোণ $x$ এবং ডান দিকে কোণ $y$ আলাদাভাবে অঙ্কিত। ডানে $BD$ রেখার ওপর $B$ ও $C$ বিন্দু; $B$ বিন্দুতে $\angle x$ এবং $C$ বিন্দুতে $\angle y$ চিহ্নিত। $B$ থেকে রশ্মি $BF$ ও $C$ থেকে রশ্মি $CG$ অঙ্কিত, $BF$ ও $CG$ এর ছেদবিন্দু $A$; $C$ বিন্দুতে $CE$ রশ্মিও অঙ্কিত। $BC = a$ চিহ্নিত।

৫. দুইটি বাহু ও এদের একটির বিপরীত কোণ

Figure

লেবেল: $a$, $c$, $x$, $A$, $B$, $C$, $C'$, $D$, $E$ বর্ণনা: উপরে রেখাংশ $a$ ও $c$; নিচে কোণ $x$ আলাদাভাবে অঙ্কিত। ডানে রশ্মি $BE$ ও অনুভূমিক রেখা $BD$; $BE$ এর ওপর $A$ বিন্দু, $c$ চিহ্নিত রেখাংশ $BA$ বরাবর। $A$ থেকে $BD$ রেখার ওপর $C$ ও $C'$ বিন্দু পর্যন্ত $a$ দৈর্ঘ্যের রেখাংশ ($a$ চিহ্নিত), $\angle x$ বিন্দু $C$ এর কাছে চিহ্নিত।

৬. সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ ও অপর একটি বাহু

Figure

লেবেল: $A$, $B$, $C$, $D$, $b$, $c$ বর্ণনা: উল্লম্ব রেখার ওপর $A$ বিন্দু এবং $B$ বিন্দু থেকে $D$ পর্যন্ত অনুভূমিক রেখা; $\angle B = 90^\circ$ চিহ্নিত (বর্গাকার চিহ্ন)। $AB = c$ এবং অতিভুজ $AC = b$ চিহ্নিত, $C$ বিন্দু $BD$ রেখার ওপর।

লক্ষণীয় যে, উপরের প্রত্যেক ক্ষেত্রে ত্রিভুজের তিনটি অংশ নির্দিষ্ট করা হয়েছে। কিন্তু যেকোনো তিনটি অংশ নির্দিষ্ট করলেই ত্রিভুজটি নির্দিষ্ট হয় না। যেমন, ত্রিভুজের তিনটি কোণ দেওয়া থাকলে বিভিন্ন আকারের অসংখ্য ত্রিভুজ আঁকা যায় (যাদের সদৃশ ত্রিভুজ বলা হয়)। নির্দিষ্ট কোনো ত্রিভুজ আঁকতে তিনটি অনির্ভরশীল উপাত্ত প্রয়োজন।

Printed page 138

Figure

লেবেল: $x$, $y$, $z$ বর্ণনা: উপরের সারিতে তিনটি চিত্র: বাম দিকে একটি কোণ $x$, মাঝখানে একটি কোণ $y$ (উভয়ই একটি অনুভূমিক রেখার ওপর), ডান দিকে ত্রিভুজ $ABC$ যার $A$ বিন্দুতে $\angle y$, $B$ বিন্দুতে $\angle x$ এবং $C$ বিন্দুতে $\angle z$ চিহ্নিত।

Figure

লেবেল: $x$, $y$, $z$, $A$, $B$, $C$ বর্ণনা: নিচের সারিতে বাম দিকে একটি বাঁকা রেখা ও অনুভূমিক রেখার সংযোগে কোণ $z$ চিহ্নিত। ডান দিকে ত্রিভুজ $ABC$ যার $A$ বিন্দুতে $\angle y$, $B$ বিন্দুতে $\angle x$ এবং $C$ বিন্দুতে $\angle z$ চিহ্নিত।

অনেক সময় ত্রিভুজ আঁকার জন্য এমন তিনটি উপাত্ত দেওয়া থাকে, যাদের সাহায্যে বিভিন্ন অঙ্কনের মাধ্যমে ত্রিভুজটি নির্ধারণ করা যায়। এরূপ কয়েকটি সম্পাদ্য নিচে বর্ণনা করা হলো।

সম্পাদ্য ১. ত্রিভুজের ভূমি, ভূমি সংলগ্ন একটি কোণ ও অপর দুই বাহুর সমষ্টি দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকতে হবে।

মনে করি, কোনো ত্রিভুজের ভূমি $a$, ভূমি সংলগ্ন একটি কোণ $\angle x$ এবং অপর দুই বাহুর সমষ্টি $s$ দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকতে হবে।

অঙ্কন:

১. যেকোনো একটি রশ্মি $BE$ থেকে ভূমি $a$ এর সমান করে $BC$ রেখাংশ কেটে নিই। $BC$ রেখাংশের $B$ বিন্দুতে $\angle x$ এর সমান $\angle CBF$ আঁকি।

২. $BF$ রশ্মি থেকে $s$ এর সমান $BD$ অংশ কাটি।

৩. $C,D$ যোগ করি। $C$ বিন্দুতে $DC$ রেখাংশের যে পাশে $B$ বিন্দু আছে সেই পাশে $\angle BDC$ এর সমান $\angle DCG$ আঁকি।

৪. $CG$ রশ্মি $BD$ কে $A$ বিন্দুতে ছেদ করে।

Figure

লেবেল: $a$, $s$, $x$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$, $G$, $A$ বর্ণনা: বাম দিকে রশ্মি $BF$ ও রশ্মি $BE$ এর মধ্যে $B$ বিন্দু থেকে $BC$ রেখাংশ, $BF$ রশ্মির ওপর $D$ বিন্দু এবং $C$ বিন্দু থেকে $CG$ রশ্মি; $CG$ ও $BD$ এর ছেদবিন্দু $A$। ডান দিকে রেখাংশ $a$, $s$ এবং কোণ $x$ আলাদাভাবে অঙ্কিত।

তাহলে, $\triangle ABC$ ই উদ্দিষ্ট ত্রিভুজ।

প্রমাণ: $\triangle ACD$ এ $\angle ADC = \angle ACD$ [অঙ্কন অনুসারে]

$\therefore AC = AD$

এখন, $\triangle ABC$ এ $\angle ABC = \angle x, BC = a$ [অঙ্কন অনুসারে]

এবং $BA + AC = BA + AD = BD = s$।

অতএব, $\triangle ABC$ ই নির্ণেয় ত্রিভুজ।

বিকল্প পদ্ধতি: মনে করি, কোনো ত্রিভুজের ভূমি $a$, ভূমি সংলগ্ন একটি কোণ $\angle x$ এবং অপর দুই বাহুর সমষ্টি $s$ দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকতে হবে।

Printed page 139

অঙ্কন:

১. যেকোনো একটি রশ্মি $BE$ থেকে ভূমি $a$ এর সমান করে $BC$ রেখাংশ কেটে নিই। রেখাংশের $B$ বিন্দুতে $\angle x$ এর সমান $\angle CBF$ আঁকি।

২. $BF$ রশ্মি থেকে $s$ এর সমান $BD$ অংশ কাটি।

৩. $C,D$ যোগ করি। $CD$ এর লম্বদ্বিখণ্ডক $PQ$ আঁকি।

৪. $PQ$ রশ্মি $BD$ রশ্মিকে $A$ এবং $CD$ কে $R$ বিন্দুতে ছেদ করে। $A,C$ যোগ করি।

Figure

লেবেল: $B$, $C$, $D$, $E$, $F$, $P$, $Q$, $R$, $A$, $a$, $x$ বর্ণনা: $B$ থেকে রশ্মি $BF$ ও $BE$ (অনুভূমিক) অঙ্কিত; $BF$ এর ওপর $D$ বিন্দু; $BE$ এর ওপর $C$ বিন্দু, $BC = a$ চিহ্নিত। $CD$ রেখাংশের লম্বদ্বিখণ্ডক $PQ$ ($P$ থেকে $Q$ পর্যন্ত) অঙ্কিত, $PQ$ রেখা $BF$ কে $A$ ও $CD$ কে $R$ বিন্দুতে ছেদ করে; $A$ ও $C$ যুক্ত করা হয়েছে। $\angle x$ $B$ বিন্দুতে চিহ্নিত।

তাহলে, $\triangle ABC$ ই উদ্দিষ্ট ত্রিভুজ।

প্রমাণ: $\triangle ACR$ এবং $\triangle ADR$ এ $CR = DR$, $AR = AR$ এবং অন্তর্ভুক্ত $\angle ARC =$ অন্তর্ভুক্ত $\angle ARD$ [সমকোণ]

$\triangle ACR \cong \triangle ADR$।

$\therefore AC = AD$

এখন, $\triangle ABC$ এ $\angle ABC = \angle x, BC = a$ [অঙ্কন অনুসারে]

এবং $BA + AC = BA + AD = BD = s$।

অতএব, $\triangle ABC$ ই নির্ণেয় ত্রিভুজ।

সম্পাদ্য ২. ত্রিভুজের ভূমি, ভূমি সংলগ্ন একটি সূক্ষ্মকোণ ও অপর দুই বাহুর অন্তর দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকতে হবে।

মনে করি, কোনো ত্রিভুজের ভূমি $a$, ভূমি সংলগ্ন সূক্ষ্মকোণ $\angle x$ এবং অপর দুই বাহুর অন্তর $d$ দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকতে হবে।

অঙ্কন:

১. যেকোনো একটি রশ্মি $BF$ থেকে ভূমি $a$ এর সমান করে $BC$ রেখাংশ কেটে নিই। $BC$ রেখাংশের $B$ বিন্দুতে $\angle x$ এর সমান $\angle CBE$ আঁকি।

২. $BE$ রশ্মি থেকে $d$ এর সমান $BD$ অংশ কেটে নিই।

৩. $C,D$ যোগ করি। $DC$ রেখাংশের যে পাশে $E$ বিন্দু আছে সেই পাশে $C$ বিন্দুতে $\angle EDC$ এর সমান $\angle DCA$ আঁকি।

$CA$ রশ্মি $BE$ রশ্মিকে $A$ বিন্দুতে ছেদ করে। তাহলে, $\triangle ABC$ ই উদ্দিষ্ট ত্রিভুজ।

Figure

লেবেল: $a$, $d$, $x$, $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$ বর্ণনা: $B$ থেকে রশ্মি $BE$ (ওপরের দিকে ঢালু) ও অনুভূমিক রশ্মি $BF$ অঙ্কিত; $BE$ এর ওপর $D$ বিন্দু, $BF$ এর ওপর $C$ বিন্দু, $BC = a$ চিহ্নিত। $C$ বিন্দু থেকে রশ্মি $CA$ অঙ্কিত, $CA$ ও $BE$ এর ছেদবিন্দু $A$। ডান দিকে রেখাংশ $a$ ও $d$ এবং কোণ $x$ আলাদাভাবে অঙ্কিত।

প্রমাণ: অঙ্কন অনুসারে, $\triangle ACD$ এ $\angle ACD = \angle ADC$

$\therefore AD = AC$

Printed page 140

সুতরাং দুই বাহুর অন্তর, $AB - AC = AB - AD = BD = d$

এখন, $\triangle ABC$ এ $BC = a$, $AB - AC = d$ এবং $\angle ABC = \angle x$

সুতরাং, $\triangle ABC$ ই নির্ণেয় ত্রিভুজ।

কাজ:

ক) প্রদত্ত কোণ সূক্ষ্মকোণ না হলে, উপরের পদ্ধতিতে অঙ্কন করা সম্ভব নয়। কেন? এ ক্ষেত্রে ত্রিভুজটি আঁকার কোনো উপায় বের করো।

খ) ত্রিভুজের ভূমি, ভূমি সংলগ্ন একটি সূক্ষ্মকোণ ও অপর দুই বাহুর অন্তর দেওয়া আছে। বিকল্প পদ্ধতিতে ত্রিভুজটি অঙ্কন করো।

সম্পাদ্য ৩. ত্রিভুজের ভূমি সংলগ্ন দুইটি কোণ ও পরিসীমা দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকতে হবে।

মনে করি, একটি ত্রিভুজের পরিসীমা $p$ এবং ভূমি সংলগ্ন দুইটি কোণ $\angle x$ ও $\angle y$ দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকতে হবে।

অঙ্কন:

Figure

লেবেল: $p$; $x$, $y$ (কোণ দুটি) বর্ণনা: একটি অনুভূমিক রেখাংশ $p$ এবং তার নিচে দুটি কোণ $\angle x$ ও $\angle y$ আঁকা আছে।

১. যেকোনো একটি রশ্মি $DF$ থেকে পরিসীমা $p$ এর সমান করে $DE$ অংশ কেটে নিই। $D$ ও $E$ বিন্দুতে $DE$ রেখাংশের একই পাশে $\angle x$ এর সমান $\angle EDL$ এবং $\angle y$ এর সমান $\angle DEM$ আঁকি। ২. কোণ দুইটির দ্বিখণ্ডক $DG$ ও $EH$ আঁকি। ৩. মনে করি, $DG$ ও $EH$ রশ্মিদ্বয় পরস্পরকে $A$ বিন্দুতে ছেদ করে। $A$ বিন্দুতে $\angle ADE$ এর সমান $\angle DAB$ এবং $\angle AED$ এর সমান $\angle EAC$ আঁকি। ৪. $AB$ এবং $AC$ রশ্মিদ্বয় $DE$ রেখাংশকে যথাক্রমে $B$ ও $C$ বিন্দুতে ছেদ করে।

Figure

লেবেল: $L$, $M$, $G$, $H$, $A$, $D$, $E$, $F$, $B$, $C$ বর্ণনা: উপরের চিত্রে $D$ ও $E$ বিন্দুতে $\angle EDL$ ও $\angle DEM$ কোণ আঁকা এবং $DG$, $EH$ দ্বিখণ্ডক $A$ বিন্দুতে ছেদ করেছে। নিচের চিত্রে $AB$ ও $AC$ রেখাংশ $DE$ কে যথাক্রমে $B$ ও $C$ বিন্দুতে ছেদ করেছে।

তাহলে, $\triangle ABC$ ই উদ্দিষ্ট ত্রিভুজ।

প্রমাণ: $\triangle ABD$ এ $\angle ADB = \angle DAB$ [অঙ্কন অনুসারে]

$\therefore AB = DB$

আবার, $\triangle ACE$ এ $\angle AEC = \angle EAC$

$\therefore CA = CE$

সুতরাং $\triangle ABC$ এ $AB + BC + CA = DB + BC + CE = DE = p$

Printed page 141

$\angle ABC = \angle ADB + \angle DAB = \dfrac{1}{2}\angle x + \dfrac{1}{2}\angle x = \angle x$

এবং $\angle ACB = \angle AEC + \angle EAC = \dfrac{1}{2}\angle y + \dfrac{1}{2}\angle y = \angle y$

সুতরাং $\triangle ABC$ ই নির্ণেয় ত্রিভুজ।

কাজ:

ত্রিভুজের ভূমি সংলগ্ন দুইটি সূক্ষ্মকোণ ও পরিসীমা দেওয়া আছে। বিকল্প পদ্ধতিতে ত্রিভুজটি অঙ্কন করো।

উদাহরণ ১. একটি ত্রিভুজ $ABC$ আঁক, যার $\angle B = 60^\circ$, $\angle C = 45^\circ$ এবং পরিসীমা $AB + BC + CA = 11$ সে.মি.।

Figure

লেবেল: $P$, $Q$, $L$, $H$, $G$, $A$, $M$, $B$, $C$, $O$; $60^\circ$, $45^\circ$ বর্ণনা: রেখাংশ $PQ$ এর ওপর $P$ বিন্দুতে $\angle QPL = 60^\circ$ এবং $Q$ বিন্দুতে $\angle PQM = 45^\circ$ আঁকা হয়েছে। $PG$ ও $QH$ দ্বিখণ্ডক $A$ বিন্দুতে ছেদ করেছে। $PA$ ও $QA$ রেখাংশের লম্ব সমদ্বিখণ্ডক $PQ$ কে যথাক্রমে $B$ ও $C$ বিন্দুতে ছেদ করেছে।

অঙ্কন: নিচের ধাপসমূহ অনুসরণ করি:

১. রেখাংশ $PQ = 11$ সে.মি. আঁকি। ২. $PQ$ রেখাংশের একই পাশে $P$ এবং $Q$ বিন্দুতে যথাক্রমে $\angle QPL = 60^\circ$ ও $\angle PQM = 45^\circ$ কোণ আঁকি। ৩. কোণ দুইটির দ্বিখণ্ডক $PG$ ও $QH$ আঁকি। মনে করি, $PG$ ও $QH$ রশ্মিদ্বয় পরস্পরকে $A$ বিন্দুতে ছেদ করে। ৪. $PA, QA$ রেখাংশের লম্ব সমদ্বিখণ্ডক আঁকি যা $PQ$ রেখাংশকে যথাক্রমে $B$ ও $C$ বিন্দুতে ছেদ করে। ৫. $A, B$ এবং $A, C$ যোগ করি।

তাহলে, $\triangle ABC$ ই উদ্দিষ্ট ত্রিভুজ।

Printed page 142

সমাধান:

ক)

Figure

লেবেল: $a$ = ৩ সে.মি.; $s$ = ৬ সে.মি.; $45^\circ$; $x$ বর্ণনা: দুটি রেখাংশ $a$ (৩ সে.মি.) ও $s$ (৬ সে.মি.) দেখানো হয়েছে। একটি বিন্দু থেকে উল্লম্ব রেখা ও একটি $45^\circ$ কোণ আঁকা আছে, যার চিহ্নিত কোণ $x$।

খ) $AX$ যেকোনো রশ্মি থেকে $AB = a$ কাটি। $A$ বিন্দুতে $\angle XAE = x$ আঁকি, $AE$ থেকে $AD = s$ নেই। $B, D$ যোগ করি। এবার $B$ বিন্দুতে $\angle ADB$ এর সমান করে $\angle DBC$ আঁকি। $BC$ রেখাংশ $AD$ কে $C$ বিন্দুতে ছেদ করে। $\therefore ABC$ উদ্দিষ্ট ত্রিভুজ।

Figure

লেবেল: $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $X$; $a$, $x$ বর্ণনা: রশ্মি $AX$ এর ওপর $AB = a$; $A$ বিন্দুতে $\angle XAE = x$ কোণের বাহু $AE$ এর ওপর $D$ বিন্দু; $B$, $D$ যুক্ত; $B$ বিন্দুতে $\angle DBC$ আঁকা এবং $BC$, $AD$ কে $C$ বিন্দুতে ছেদ করেছে।

গ) মনে করি, একটি বর্গের পরিসীমা $p = 2s$ দেওয়া আছে, বর্গটি অঙ্কন করতে হবে।

উদাহরণ ২. একটি ত্রিভুজের ভূমি $a = 3$ সে.মি., ভূমি সংলগ্ন সূক্ষ্মকোণ $45^\circ$ এবং অপর বাহু দুইটির সমষ্টি $s = 6$ সে.মি.।

ক) উদ্দীপকের তথ্যগুলো চিত্রে প্রকাশ করো।

খ) ত্রিভুজটি অঙ্কন করো। (অঙ্কনের চিহ্ন ও বিবরণ আবশ্যক)

গ) একটি বর্গের পরিসীমা $2s$ হলে বর্গটি আঁকো। (অঙ্কনের চিহ্ন ও বিবরণ আবশ্যক)

Printed page 143

Figure

লেবেল: $p$; $2s$; $\dfrac{1}{4}p$ বর্ণনা: একটি রেখাংশ, যার ওপরে $2s$ এবং নিচে $\dfrac{1}{4}p$ চিহ্নিত; উপরে ও নিচে কয়েকটি চাপ-চিহ্ন (×) আছে।

$AX$ যেকোনো রশ্মি থেকে $AB = \dfrac{1}{4}p$ কেটে নেই। $A$ বিন্দুতে $AE \perp AB$ আঁকি। $AE$ থেকে $AD = AB$ কাটি। এবার $B$ ও $D$ বিন্দুকে কেন্দ্র করে $\dfrac{1}{4}p$ এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে $\angle BAD$ এর অভ্যন্তরে দুইটি বৃত্তচাপ আঁকি। বৃত্তচাপদ্বয় পরস্পর $C$ বিন্দুতে ছেদ করে। $B, C$ এবং $C, D$ যোগ করি।

$\therefore ABCD$ উদ্দিষ্ট বর্গক্ষেত্র।

Figure

লেবেল: $E$, $D$, $C$, $B$, $A$, $X$ বর্ণনা: $A$ বিন্দুতে $AE$ উল্লম্ব রেখা ও $AX$ অনুভূমিক রেখা; $AE$ এর ওপর $D$, $AX$ এর ওপর $B$, এবং $C$ বিন্দু নিয়ে বর্গক্ষেত্র $ABCD$ গঠিত।

অনুশীলনী ৭.১

১. নিম্নে প্রদত্ত উপাত্ত নিয়ে ত্রিভুজ অঙ্কন করো: ক) তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে $3$ সে.মি., $3.5$ সে.মি., $2.8$ সে.মি.। খ) দুইটি বাহুর দৈর্ঘ্য $4$ সে.মি., $3$ সে.মি. এবং অন্তর্ভুক্ত কোণ $60^\circ$। গ) দুইটি কোণ $60^\circ$ ও $45^\circ$ এবং এদের সংলগ্ন বাহুর দৈর্ঘ্য $5$ সে.মি.। ঘ) দুইটি কোণ $60^\circ$ ও $45^\circ$ এবং $45^\circ$ কোণের বিপরীত বাহুর দৈর্ঘ্য $5$ সে.মি.। ঙ) দুইটি বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে $4.5$ সে.মি. ও $3.5$ সে.মি. এবং দ্বিতীয় বাহুর বিপরীত কোণ $30^\circ$। চ) সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ ও একটি বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে $6$ সে.মি. ও $4$ সে.মি.।

২. নিম্নে প্রদত্ত উপাত্ত নিয়ে ত্রিভুজ অঙ্কন করো। ক) ভূমি $3.5$ সে.মি., ভূমি সংলগ্ন একটি কোণ $60^\circ$ ও অপর দুই বাহুর সমষ্টি $8$ সে.মি.। খ) ভূমি $5$ সে.মি., ভূমি সংলগ্ন একটি কোণ $45^\circ$ ও অপর দুই বাহুর অন্তর $1$ সে.মি.। গ) ভূমি সংলগ্ন কোণ দুইটি যথাক্রমে $60^\circ$ ও $45^\circ$ ও পরিসীমা $12$ সে.মি.।

Printed page 144

৩. একটি ত্রিভুজের ভূমি সংলগ্ন দুইটি কোণ এবং শীর্ষ থেকে ভূমির উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকো।

৪. সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ ও অপর দুই বাহুর সমষ্টি দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকো।

৫. ত্রিভুজের ভূমি সংলগ্ন একটি কোণ, উচ্চতা ও অপর দুই বাহুর সমষ্টি দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকো।

৬. সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকো।

৭. ত্রিভুজের ভূমি, ভূমি সংলগ্ন একটি স্থূলকোণ ও অপর দুই বাহুর অন্তর দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকো।