Mathematics chapter 8: Circle

অধ্যায় ৮

বৃত্ত (Circle)

আমরা জেনেছি যে, বৃত্ত একটি সমতলীয় জ্যামিতিক চিত্র যার বিন্দুগুলো কোনো নির্দিষ্ট বিন্দু থেকে সমদূরত্বে অবস্থিত। বৃত্ত সম্পর্কিত বিভিন্ন ধারণা যেমন কেন্দ্র, ব্যাস, ব্যাসার্ধ, জ্যা ইত্যাদি বিষয়ে আলোচনা করা হয়েছে। এ অধ্যায়ে সমতলে কোনো বৃত্তের চাপ ও স্পর্শক সম্পর্কিত প্রতিজ্ঞার আলোচনা করা হবে।

এ অধ্যায় শেষে শিক্ষার্থীরা—

• বৃত্তচাপ, কেন্দ্রস্থ কোণ, বৃত্তস্থ কোণ, বৃত্তে অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজ ব্যাখ্যা করতে পারবে ;
• বৃত্ত সংক্রান্ত উপপাদ্য প্রমাণ করতে পারবে ;
• বৃত্ত সংক্রান্ত বিভিন্ন সমস্যা সমাধানে উপপাদ্যগুলো প্রয়োগ করতে পারবে ;
• বৃত্ত সম্পর্কিত সম্পাদ্য বর্ণনা করতে পারবে।

বৃত্ত (Circle)

বৃত্ত একটি সমতলীয় জ্যামিতিক চিত্র যার বিন্দুগুলো কোনো নির্দিষ্ট বিন্দু থেকে সমদূরত্বে অবস্থিত। নির্দিষ্ট বিন্দুটি বৃত্তের কেন্দ্র। নির্দিষ্ট বিন্দু থেকে সমদূরত্ব বজায় রেখে কোনো বিন্দু যে আবদ্ধ পথ চিত্রিত করে তাই বৃত্ত। কেন্দ্র হতে বৃত্তস্থ কোনো বিন্দুর দূরত্বকে ব্যাসার্ধ বলে।

মনে করি, $O$ সমতলের কোনো নির্দিষ্ট বিন্দু এবং $r$ নির্দিষ্ট পরিমাপ। সমতলস্থ যে সকল বিন্দু $O$ থেকে $r$ দূরত্বে অবস্থিত, এদের সেট বৃত্ত, যার কেন্দ্র $O$ ও ব্যাসার্ধ $r$। চিত্রে $O$ বৃত্তের কেন্দ্র, $A$, $B$ ও $C$ বৃত্তস্থ বিন্দু। $OA$, $OB$ ও $OC$ এর প্রত্যেকটি বৃত্তটির ব্যাসার্ধ।

Figure

লেবেল: $O$, $r$, $A$, $B$, $C$ বর্ণনা: একটি বৃত্ত, যার কেন্দ্র $O$। কেন্দ্র থেকে বৃত্তের ওপর তিনটি রেখাংশ $OC$, $OB$ ও $OA$ আঁকা; $r$ লেখা রয়েছে ব্যাসার্ধ চিহ্নিত করে। বৃত্তের ওপর $A$, $B$ ও $C$ বিন্দু চিহ্নিত।

সমতলস্থ কতিপয় বিন্দুকে সমবৃত্ত বিন্দু বলা হয় যদি বিন্দুগুলো দিয়ে একটি বৃত্ত যায় অর্থাৎ, এমন একটি বৃত্ত থাকে যাতে বিন্দুগুলো অবস্থিত হয়। উপরের চিত্রে $A$, $B$ ও $C$ সমবৃত্ত বিন্দু।

বৃত্তের অভ্যন্তর ও বহির্ভাগ (Interior and exterior of a circle)

যদি কোনো বৃত্তের কেন্দ্র $O$ এবং ব্যাসার্ধ $r$ হয় তবে $O$ থেকে সমতলের যে সকল বিন্দুর দূরত্ব $r$ এর চেয়ে কম এদের সেটকে বৃত্তটির অভ্যন্তর এবং $O$ থেকে সমতলের যে সকল বিন্দুর দূরত্ব $r$ এর

Printed page 153

চেয়ে বেশি এদের সেটকে বৃত্তটির বহির্ভাগ বলা হয়। বৃত্তের অভ্যন্তরস্থ দুইটি বিন্দুর সংযোজক রেখাংশ সম্পূর্ণভাবে বৃত্তের অভ্যন্তরেই থাকে।

কোনো বৃত্তের অভ্যন্তরস্থ একটি বিন্দু ও বহিঃস্থ একটি বিন্দুর সংযোজক রেখাংশ বৃত্তটিকে একটি ও কেবল একটি বিন্দুতে ছেদ করে। চিত্রে, $P$ বৃত্তের অভ্যন্তরস্থ একটি বিন্দু এবং $Q$ বৃত্তের বহিঃস্থ একটি বিন্দু। $PQ$ রেখাংশ বৃত্তটিকে কেবল $R$ বিন্দুতে ছেদ করে।

Figure

লেবেল: $O$, $P$, $Q$, $R$ বর্ণনা: একটি বৃত্ত, যার কেন্দ্র $O$। বৃত্তের অভ্যন্তরে $P$ বিন্দু, বাইরে $Q$ বিন্দু। $P$ ও $Q$ যোগকারী রেখাংশ বৃত্তকে $R$ বিন্দুতে ছেদ করে।

বৃত্তের জ্যা ও ব্যাস (Chord and diameter of a circle)

বৃত্তের দুইটি ভিন্ন বিন্দুর সংযোজক রেখাংশ বৃত্তটির একটি জ্যা। বৃত্তের কোনো জ্যা যদি কেন্দ্র দিয়ে যায় তবে জ্যাটিকে বৃত্তের ব্যাস বলা হয়। অর্থাৎ বৃত্তের কেন্দ্রগামী যেকোনো জ্যা হলো ব্যাস। চিত্রে, $AB$ ও $AC$ বৃত্তটির দুইটি জ্যা এবং বৃত্তটির কেন্দ্র $O$। এদের মধ্যে $AC$ জ্যাটি ব্যাস; কারণ জ্যাটি বৃত্তটির কেন্দ্রগামী। $OA$ ও $OC$ বৃত্তের দুইটি ব্যাসার্ধ। সুতরাং, বৃত্তের কেন্দ্র প্রত্যেক ব্যাসের মধ্যবিন্দু। অতএব প্রত্যেক ব্যাসের দৈর্ঘ্য $2r$, যেখানে $r$ বৃত্তটির ব্যাসার্ধ।

Figure

লেবেল: $A$, $B$, $C$, $O$ বর্ণনা: একটি বৃত্ত, যার কেন্দ্র $O$। বৃত্তের ওপর $A$, $B$ ও $C$ বিন্দু। $A$ ও $B$ যোগকারী জ্যা এবং $A$ ও $C$ যোগকারী জ্যা আঁকা; $AC$ কেন্দ্র $O$ দিয়ে যায়।

উপপাদ্য ১৭. বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাস ভিন্ন কোনো জ্যা এর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ ঐ জ্যা এর ওপর লম্ব।

মনে করি, $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট $ABC$ বৃত্তে ব্যাস নয় এমন একটি জ্যা $AB$ এবং এই জ্যা এর মধ্য বিন্দু $M$। $O, M$ যোগ করি। প্রমাণ করতে হবে যে, $OM$ রেখাংশ $AB$ জ্যা এর উপর লম্ব।

Figure

লেবেল: $C$, $O$, $A$, $M$, $B$ বর্ণনা: একটি বৃত্ত, যার কেন্দ্র $O$। বৃত্তের ওপর $A$, $B$ ও $C$ বিন্দু। $A$ ও $B$ যোগকারী জ্যা $AB$-এর মধ্যবিন্দু $M$; $O$ ও $M$ যোগ করা হয়েছে, $OM$ জ্যা $AB$-এর ওপর লম্ব। $O$ থেকে $A$ ও $B$ পর্যন্ত রেখাংশ আঁকা।

অঙ্কন: $O, A$ এবং $O, B$ যোগ করি।

প্রমাণ:

ধাপ ১. $\triangle OAM$ এবং $\triangle OBM$ এ

$AM = BM$ [$\because$ $M$, $AB$ এর মধ্যবিন্দু]

$OA = OB$ [$\because$ উভয়ে একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]

এবং $OM = OM$ [সাধারণ বাহু]

সুতরাং, $\triangle OAM \cong \triangle OBM$ [বাহু-বাহু-বাহু উপপাদ্য]

$\therefore \angle OMA = \angle OMB$

ধাপ ২. যেহেতু কোণদ্বয় রৈখিক যুগল কোণ এবং এদের পরিমাপ সমান।

সুতরাং, $\angle OMA = \angle OMB =$ এক সমকোণ।

অতএব, $OM \perp AB$। (প্রমাণিত)

Printed page 154

অনুসিদ্ধান্ত ১. বৃত্তের যেকোনো জ্যা এর লম্বদ্বিখণ্ডক কেন্দ্রগামী।

অনুসিদ্ধান্ত ২. যেকোনো সরলরেখা একটি বৃত্তকে দুইয়ের অধিক বিন্দুতে ছেদ করতে পারে না।

কাজ:

উপপাদ্য ১৭ এর বিপরীত উপপাদ্যটি নিম্নরূপ: বৃত্তের কেন্দ্র থেকে ব্যাস ভিন্ন অন্য কোনো জ্যা এর ওপর অঙ্কিত লম্ব ঐ জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে। উপপাদ্যটি প্রমাণ করো।

উপপাদ্য ১৮. বৃত্তের সকল সমান জ্যা কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী।

মনে করি, $O$ বৃত্তের কেন্দ্র এবং $AB$ ও $CD$ বৃত্তের দুইটি সমান জ্যা। প্রমাণ করতে হবে যে, $O$ থেকে $AB$ এবং $CD$ জ্যাদ্বয় সমদূরবর্তী।

অঙ্কন: $O$ থেকে $AB$ এবং $CD$ জ্যা এর উপর যথাক্রমে $OE$ এবং $OF$ লম্ব রেখাংশ আঁকি। $O, A$ এবং $O, C$ যোগ করি।

Figure

লেবেল: $D$, $F$, $C$, $O$, $E$, $A$, $B$ বর্ণনা: একটি বৃত্ত, যার কেন্দ্র $O$। বৃত্তের ওপর $A$, $B$, $C$, $D$ বিন্দু; $AB$ ও $CD$ দুইটি জ্যা। $O$ থেকে $AB$ এর ওপর $OE$ এবং $CD$ এর ওপর $OF$ লম্ব আঁকা। $O$ থেকে $A$ ও $C$ পর্যন্ত রেখাংশ আঁকা।

প্রমাণ:

ধাপ ১. $OE \perp AB$ এবং $OF \perp CD$

সুতরাং, $AE = BE$ এবং $CF = DF$ [$\because$ কেন্দ্র থেকে ব্যাস ভিন্ন যেকোনো জ্যা এর উপর অঙ্কিত লম্ব জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে]

$\therefore AE = \dfrac{1}{2}AB$ এবং $CF = \dfrac{1}{2}CD$

ধাপ ২. কিন্তু $AB = CD$ [ধরে নেয়া]

$\therefore AE = CF$

ধাপ ৩. এখন $\triangle OAE$ এবং $\triangle OCF$ সমকোণী ত্রিভুজদ্বয়ের মধ্যে

অতিভুজ $OA =$ অতিভুজ $OC$ [উভয়ে একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]

এবং

$AE = CF$ [ধাপ ২]

$\therefore \triangle OAE \cong \triangle OCF$ [সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ-বাহু সর্বসমতা উপপাদ্য]

$\therefore OE = OF$

ধাপ ৪. কিন্তু $OE$ এবং $OF$ কেন্দ্র $O$ থেকে যথাক্রমে $AB$ জ্যা এবং $CD$ জ্যা এর দূরত্ব।

সুতরাং, $AB$ এবং $CD$ জ্যাদ্বয় বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী। (প্রমাণিত)

Printed page 155

উপপাদ্য ১৯. বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী সকল জ্যা পরস্পর সমান।

মনে করি, $O$ বৃত্তের কেন্দ্র এবং $AB$ ও $CD$ দুইটি জ্যা। $O$ থেকে $AB$ ও $CD$ এর উপর যথাক্রমে $OE$ ও $OF$ লম্ব। তাহলে $OE$ ও $OF$ কেন্দ্র থেকে যথাক্রমে $AB$ ও $CD$ জ্যা এর দূরত্ব নির্দেশ করে। $OE = OF$ হলে প্রমাণ করতে হবে যে, $AB = CD$।

Figure

লেবেল: $D$, $F$, $C$, $O$, $E$, $A$, $B$ বর্ণনা: একটি বৃত্ত, যার কেন্দ্র $O$। বৃত্তের ওপর $A$, $B$, $C$, $D$ বিন্দু; $AB$ ও $CD$ দুইটি জ্যা। $O$ থেকে $AB$ এর ওপর $OE$ এবং $CD$ এর ওপর $OF$ লম্ব আঁকা। $O$ থেকে $A$ ও $C$ পর্যন্ত রেখাংশ আঁকা।

অঙ্কন: $O, A$ ও $O, C$ যোগ করি।

প্রমাণ:

ধাপ ১. যেহেতু $OE \perp AB$ ও $OF \perp CD$

সুতরাং, $\angle OEA = \angle OFC =$ এক সমকোণ।

ধাপ ২. এখন, $\triangle OAE$ এবং $\triangle OCF$ সমকোণী ত্রিভুজদ্বয়ের মধ্যে

অতিভুজ $OA =$ অতিভুজ $OC$ [উভয়ে একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]

এবং

$OE = OF$ [ধরে নেয়া]

$\therefore \triangle OAE \cong \triangle OCF$ [সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ-বাহু সর্বসমতা উপপাদ্য]

$\therefore AE = CF$

ধাপ ৩. $AE = \dfrac{1}{2}AB$ এবং $CF = \dfrac{1}{2}CD$ [$\because$ কেন্দ্র থেকে ব্যাস ভিন্ন যেকোনো জ্যা এর উপর অঙ্কিত লম্ব জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে]

ধাপ ৪. সুতরাং $\dfrac{1}{2}AB = \dfrac{1}{2}CD$

অর্থাৎ, $AB = CD$। (প্রমাণিত)

অনুসিদ্ধান্ত ৩. বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।

অনুশীলনী ৮.১

১. প্রমাণ করো যে, দুইটি সমান্তরাল জ্যা এর মধ্যবিন্দুর সংযোজক সরলরেখা কেন্দ্রগামী এবং জ্যাদ্বয়ের উপর লম্ব।

২. কোনো বৃত্তের $AB$ এবং $AC$ জ্যা দুইটি $A$ বিন্দুগামী ব্যাসার্ধের সাথে সমান কোণ উৎপন্ন করে। প্রমাণ করো যে, $AB = AC$।

Printed page 156

৩. কোনো বৃত্ত একটি সমকোণী ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলো দিয়ে যায়। দেখাও যে, বৃত্তটির কেন্দ্র অতিভুজের মধ্যবিন্দু।

৪. দুইটি সমকেন্দ্রিক বৃত্তের একটির জ্যা $AB$ অপর বৃত্তকে $C$ ও $D$ বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করো যে, $AC = BD$।

৫. বৃত্তের দুইটি সমান জ্যা পরস্পরকে ছেদ করলে দেখাও যে, এদের একটির অংশদ্বয় অপরটির অংশদ্বয়ের সমান।

৬. দেখাও যে, ব্যাসের দুই প্রান্ত থেকে তার বিপরীত দিকে দুইটি সমান জ্যা অঙ্কন করলে তারা সমান্তরাল হয়।

৭. দেখাও যে, বৃত্তের দুইটি জ্যা এর মধ্যে বৃহত্তর জ্যাটি ক্ষুদ্রতর জ্যা অপেক্ষা কেন্দ্রের নিকটতর।

৮. $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে জ্যা $PQ = x$ সে.মি. এবং $OR \perp PQ$।

Figure

লেবেল: $O$, $P$, $Q$, $R$, $S$, $30^\circ$ বর্ণনা: $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্তে $P$, $Q$, $S$ বিন্দু বৃত্তের উপর; $PS$ রেখা $O$ বিন্দু দিয়ে যায়; $SQ$ যুক্ত; $R$ বিন্দু $PQ$ এর উপর, $OR$ $PQ$ এর ওপর লম্ব; $PR$ ও $RQ$ চিহ্নিত সমান; $RQ$ ও $OQ$ এর মধ্যবর্তী কোণ $30^\circ$ চিহ্নিত।

ক) $\angle QOS$ কোণের পরিমাণ কত? খ) প্রমাণ কর যে, $PS$ জ্যা বৃত্তটির বৃহত্তম জ্যা। গ) $OR = \left(\dfrac{x}{2} - 2\right)$ সে.মি. হলে, $x$ এর মান নির্ণয় করো

৯. প্রমাণ করো যে, দুইটি বিন্দুর সংযোজক রেখাংশ তার একই পাশে অপর দুই বিন্দুতে সমান কোণ উৎপন্ন করলে, বিন্দু চারটি সমবৃত্ত হবে।

১০. প্রমাণ করো যে, বৃত্তের সমান সমান জ্যা এর মধ্যবিন্দুগুলো সমবৃত্ত।

১১. দেখাও যে, ব্যাসের দুই প্রান্ত থেকে তার বিপরীত দিকে দুইটি সমান্তরাল জ্যা আঁকলে তারা সমান হয়।

১২. প্রমাণ করো যে, কোনো বৃত্তের দুইটি জ্যা পরস্পরকে সমদ্বিখন্ডিত করলে এদের ছেদবিন্দু বৃত্তটির কেন্দ্র হবে।

Printed page 157