Mathematics chapter 9: Trigonometric Ratio

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত

(Trigonometric Ratio)

আমরা প্রতিনিয়ত ত্রিভুজ, বিশেষ করে সমকোণী ত্রিভুজের ব্যবহার করে থাকি। আমাদের চারিদিকের পরিবেশে নানা উদাহরণ দেখা যায় যেখানে কল্পনায় সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করা যায়। সেই প্রাচীন যুগে মানুষ জ্যামিতির সাহায্যে নদীর তীরে দাঁড়িয়ে নদীর প্রস্থ নির্ণয় করার কৌশল শিখেছিল। গাছে না উঠেও গাছের ছায়ার সঙ্গে লাঠির তুলনা করে নিখুঁতভাবে গাছের উচ্চতা মাপতে শিখেছিল। এই গাণিতিক কৌশল শেখানোর জন্য সৃষ্টি হয়েছে ত্রিকোণমিতি নামে গণিতের এক বিশেষ শাখা। Trigonometry শব্দটি দুইটি গ্রীক শব্দ trigonon (অর্থ ত্রিভুজ) ও metron (অর্থ পরিমাপ) দ্বারা গঠিত। ত্রিকোণমিতিতে ত্রিভুজের বাহু ও কোণের মধ্যে সম্পর্ক বিষয়ে পাঠদান করা হয়। মিশর ও ব্যাবিলনীয় সভ্যতায় ত্রিকোণমিতি ব্যবহারের নিদর্শন রয়েছে। মিশরীয়রা ভূমি জরিপ ও প্রকৌশল কাজে এর বহুল ব্যবহার করত বলে ধারণা করা হয়। এর সাহায্যে জ্যোতির্বিদগণ পৃথিবী থেকে দূরবর্তী গ্রহ-নক্ষত্রের দূরত্ব নির্ণয় করতেন। বর্তমানে ত্রিকোণমিতির ব্যবহার গণিতের সকল শাখায়। ত্রিভুজ সংক্রান্ত সমস্যার সমাধান, নেভিগেশন ইত্যাদি ক্ষেত্রে ত্রিকোণমিতির ব্যাপক ব্যবহার হয়ে থাকে। জ্যোতির্বিজ্ঞান, ক্যালকুলাসসহ গণিতের অন্যান্য গুরুত্বপূর্ণ শাখায় ত্রিকোণমিতির ব্যবহার রয়েছে।

এ অধ্যায় শেষে শিক্ষার্থীরা—

► সূক্ষ্মকোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত বর্ণনা করতে পারবে;

► সূক্ষ্মকোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতগুলোর মধ্যে পারস্পরিক সম্পর্ক নির্ণয় করতে পারবে;

► সূক্ষ্মকোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতগুলোর ধ্রুবতা যাচাই করে প্রমাণ ও গাণিতিক সমস্যা সমাধান করতে পারবে;

► জ্যামিতিক পদ্ধতিতে $30^\circ, 45^\circ, 60^\circ$ কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের মান নির্ণয় ও প্রয়োগ করতে পারবে;

► $0^\circ$ ও $90^\circ$ কোণের অর্থপূর্ণ ত্রিকোণমিতিক অনুপাতগুলোর মান নির্ণয় করে প্রয়োগ করতে পারবে;

► ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি প্রমাণ করতে পারবে;

► ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলির প্রয়োগ করতে পারবে।

সমকোণী ত্রিভুজের বাহুগুলোর নামকরণ

আমরা জানি, সমকোণী ত্রিভুজের বাহুগুলো অতিভুজ, ভূমি ও উন্নতি নামে অভিহিত হয়। ত্রিভুজের

Printed page 175

অনুভূমিক অবস্থানের জন্য এ নামসমূহ সার্থক। আবার সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের একটির সাপেক্ষে অবস্থানের প্রেক্ষিতেও বাহুগুলোর নামকরণ করা হয়। যথা:

১. ‘অতিভুজ (hypotenuse)’, সমকোণী ত্রিভুজের বৃহত্তম বাহু যা সমকোণের বিপরীত বাহু

২. ‘বিপরীত বাহু (opposite side)’, যা হলো প্রদত্ত কোণের সরাসরি বিপরীত দিকের বাহু

৩. ‘সন্নিহিত বাহু (adjacent side)’, যা প্রদত্ত কোণ সৃষ্টিকারী একটি রেখাংশ।

Figure

লেবেল: $O$, $N$, $P$ বর্ণনা: দুইটি সমকোণী ত্রিভুজ। বাম চিত্রে শীর্ষবিন্দু $P$, $O$ ও $N$; $N$ বিন্দুতে সমকোণ এবং কোণ $O$ চিহ্নিত। ডান চিত্রে একই ত্রিভুজে কোণ $P$ চিহ্নিত।

জ্যামিতিক চিত্রের শীর্ষবিন্দু চিহ্নিত করার জন্য বড় হাতের বর্ণ ও বাহু নির্দেশ করতে ছোট হাতের বর্ণ ব্যবহার করা হয়। কোণ নির্দেশের জন্য প্রায়শই গ্রিক বর্ণ ব্যবহৃত হয়। গ্রিক বর্ণমালার ছয়টি বহুল ব্যবহৃত বর্ণ হলো:

প্রাচীন গ্রিসের বিখ্যাত গণিতবিদদের হাত ধরেই জ্যামিতি ও ত্রিকোণমিতিতে গ্রিক বর্ণগুলোর ব্যবহার হয়ে আসছে।

উদাহরণ ১. $\theta$ কোণের জন্য অতিভুজ, সন্নিহিত বাহু ও বিপরীত বাহু চিহ্নিত করো।

Figure

লেবেল: (ক) $17$, $8$, $15$, $\theta$; (খ) $r$, $p$, $q$, $\theta$; (গ) $G$, $F$, $E$, $\theta$ বর্ণনা: তিনটি ত্রিভুজ। (ক) সমকোণী ত্রিভুজের বাহুগুলো $17$, $8$, $15$ এবং কোণ $\theta$ চিহ্নিত। (খ) সমকোণী ত্রিভুজের বাহুগুলো $p$, $q$, $r$ এবং কোণ $\theta$ চিহ্নিত। (গ) ত্রিভুজ $EFG$, $G$ শীর্ষে সমকোণ এবং কোণ $\theta$ চিহ্নিত।

সমাধান:

ক) অতিভুজ $17$ একক বিপরীত বাহু $8$ একক সন্নিহিত বাহু $15$ একক

খ) অতিভুজ $p$ বিপরীত বাহু $r$ সন্নিহিত বাহু $q$

গ) অতিভুজ $EF$ বিপরীত বাহু $EG$ সন্নিহিত বাহু $FG$

উদাহরণ ২. $\alpha$ ও $\beta$ কোণের জন্য অতিভুজ, সন্নিহিত বাহু ও বিপরীত বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

Printed page 176

Figure

লেবেল: $7$, $24$, $25$, $\alpha$, $\beta$ বর্ণনা: সমকোণী ত্রিভুজ; সমকোণ শীর্ষে; বাহুর দৈর্ঘ্য $7$ ও $24$, ভূমি $25$; কোণ $\alpha$ ও $\beta$ চিহ্নিত।

সমাধান:

ক) $\alpha$ কোণের জন্য অতিভুজ $25$ একক বিপরীত বাহু $24$ একক সন্নিহিত বাহু $7$ একক

খ) $\beta$ কোণের জন্য অতিভুজ $25$ একক বিপরীত বাহু $7$ একক সন্নিহিত বাহু $24$ একক

কাজ: $\theta$ ও $\phi$ কোণের জন্য অতিভুজ, সন্নিহিত বাহু ও বিপরীত বাহু নির্দেশ কর।

Figure

লেবেল: (a) $D$, $E$, $F$, $\theta$, $\phi$; (b) $12$, $15$, $9$, $\phi$, $\theta$; (c) $d$, $e$, $r$, $\theta$, $\phi$; (d) $H$, $I$, $J$, $\phi$, $\theta$; (e) $36$, $27$, $45$, $\phi$, $\theta$; (f) $c$, $a$, $b$, $\phi$, $\theta$ বর্ণনা: ছয়টি ত্রিভুজ, প্রতিটিতে কোণ $\theta$ ও $\phi$ এবং বাহু বা শীর্ষবিন্দু যেমন লেখা আছে তেমন চিহ্নিত। (a), (b), (d), (e) ও (f) ত্রিভুজে সমকোণ চিহ্নিত; (c) ত্রিভুজে সমকোণ $e$ ও $r$ বাহুর সংযোগবিন্দুতে।

সদৃশ সমকোণী ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাতসমূহের ধ্রুবতা

কাজ: নিচের চারটি সদৃশ সমকোণী ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য মেপে সারণিটি পূরণ করো ত্রিভুজের অনুপাতগুলো সম্পর্কে কী লক্ষ করো?

Figure

লেবেল: (i), (ii), (iii), (iv); প্রতি ত্রিভুজে শীর্ষবিন্দু $A$, $B$, $C$ বর্ণনা: চারটি সদৃশ সমকোণী ত্রিভুজ; প্রতিটিতে $B$ বিন্দুতে সমকোণ এবং $A$ ও $C$ শীর্ষবিন্দুতে কোণ। (iii) চিত্রে $A$ কোণ চিহ্নিত।

Printed page 177

মনে করি, $\angle XOA$ একটি সূক্ষ্মকোণ। $OA$ বাহুতে যেকোনো একটি বিন্দু $P$ নিই। $P$ থেকে $OX$ বাহু পর্যন্ত $PM$ লম্ব টানি। ফলে একটি সমকোণী ত্রিভুজ $POM$ গঠিত হলো। এই $\triangle POM$ এর $PM$, $OM$ ও $OP$ বাহুগুলোর যে তিনটি অনুপাত পাওয়া যায় এদের মান $OA$ বাহুতে নির্বাচিত $P$ বিন্দুর অবস্থানের ওপর নির্ভর করে না।

Figure

লেবেল: $A$, $P_1$, $P$, $M_1$, $M$, $O$, $X$, $\theta$ বর্ণনা: কোণ $\angle XOA$ এ $O$ শীর্ষবিন্দু; $OA$ বাহুতে $P$ ও $P_1$ বিন্দু; $P$ ও $P_1$ থেকে $OX$ বাহুর ওপর যথাক্রমে $PM$ ও $P_1M_1$ লম্ব; কোণ $\theta$ চিহ্নিত।

$\angle XOA$ কোণের $OA$ বাহুতে যেকোনো বিন্দু $P$ ও $P_1$ থেকে $OX$ বাহু পর্যন্ত যথাক্রমে $PM$ ও $P_1M_1$ লম্ব অঙ্কন করলে $\triangle POM$ ও $\triangle P_1OM_1$ দুইটি সদৃশ সমকোণী ত্রিভুজ গঠিত হয়।

এখন, $\triangle POM$ ও $\triangle P_1OM_1$ সদৃশ হওয়ায়,

$\frac{PM}{P_1M_1} = \frac{OP}{OP_1} \text{ বা, } \frac{PM}{OP} = \frac{P_1M_1}{OP_1}$

$\frac{OM}{OM_1} = \frac{OP}{OP_1} \text{ বা, } \frac{OM}{OP} = \frac{OM_1}{OP_1}$

$\frac{PM}{P_1M_1} = \frac{OM}{OM_1} \text{ বা, } \frac{PM}{OM} = \frac{P_1M_1}{OM_1}$

অর্থাৎ, অনুপাতসমূহের প্রত্যেকটি ধ্রুবক। এই অনুপাতসমূহকে ত্রিকোণমিতিক অনুপাত বলে।

সূক্ষ্মকোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত

মনে করি, $\angle XOA$ একটি সূক্ষ্মকোণ। $OA$ বাহুতে যেকোনো একটি বিন্দু $P$ নিই। $P$ থেকে $OX$ বাহু পর্যন্ত $PM$ লম্ব টানি। ফলে একটি সমকোণী ত্রিভুজ $POM$ গঠিত হলো। এই $\triangle POM$ এর $PM$, $OM$ ও $OP$ বাহুগুলোর যে ছয়টি অনুপাত পাওয়া যায় এদের $\angle XOA$ এর ত্রিকোণমিতিক অনুপাত বলা হয় এবং এদের প্রত্যেকটিকে এক একটি সুনির্দিষ্ট নামে নামকরণ করা হয়। $\angle XOA$ সাপেক্ষে সমকোণী ত্রিভুজ $POM$ এর $PM$ বিপরীত বাহু, $OM$ সন্নিহিত বাহু, $OP$ অতিভুজ। এখন $\angle XOA = \theta$ ধরলে, $\theta$ কোণের যে ছয়টি ত্রিকোণমিতিক অনুপাত পাওয়া যায় তা নিম্নে বর্ণনা করা হলো।

Figure

লেবেল: $O$, $X$, $A$, $P$, $M$, $\theta$ বর্ণনা: কোণ $\angle XOA$ এ $O$ শীর্ষবিন্দু, $OA$ বাহুতে $P$ বিন্দু; $P$ থেকে $OX$ বাহুর ওপর $PM$ লম্ব; কোণ $\theta$ চিহ্নিত।

চিত্র থেকে,

$\sin \theta = \frac{PM}{OP} = \frac{\text{বিপরীত বাহু}}{\text{অতিভুজ}} \quad [\theta \text{ কোণের সাইন (sine)}]$

Printed page 178

$\cos \theta = \dfrac{OM}{OP} = \dfrac{\text{সন্নিহিত বাহু}}{\text{অতিভুজ}}$ [$\theta$ কোণের কোসাইন (cosine)]

$\tan \theta = \dfrac{PM}{OM} = \dfrac{\text{বিপরীত বাহু}}{\text{সন্নিহিত বাহু}}$ [$\theta$ কোণের ট্যানজেন্ট (tangent)]

এবং এদের বিপরীত অনুপাত

$\text{cosec}\,\theta = \dfrac{1}{\sin \theta}$ [$\theta$ কোণের কোসেক্যান্ট (cosecant)]

$\sec \theta = \dfrac{1}{\cos \theta}$ [$\theta$ কোণের সেক্যান্ট (secant)]

$\cot \theta = \dfrac{1}{\tan \theta}$ [$\theta$ কোণের কোট্যানজেন্ট (cotangent)]

লক্ষ করি, $\sin \theta$ প্রতীকটি $\theta$ কোণের সাইন-এর অনুপাতকে বোঝায়; $\sin$ ও $\theta$ এর গুণফলকে নয়। $\theta$ বাদে $\sin$ আলাদা কোনো অর্থ বহন করে না। ত্রিকোণমিতিক অন্যান্য অনুপাতের ক্ষেত্রেও বিষয়টি প্রযোজ্য।