Mathematics chapter 10: Distance and Elevation

অধ্যায় ১০

দূরত্ব ও উচ্চতা (Distance and Elevation)

অতি প্রাচীন কাল থেকেই দূরবর্তী কোনো বস্তুর দূরত্ব ও উচ্চতা নির্ণয় করতে ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের প্রয়োগ করা হয়। বর্তমান যুগে ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের ব্যবহার বেড়ে যাওয়ায় এর গুরুত্ব অপরিসীম। যে সব পাহাড়, পর্বত, টাওয়ার, গাছের উচ্চতা এবং নদ-নদীর প্রস্থ সহজে মাপা যায় না সে সব ক্ষেত্রে উচ্চতা ও প্রস্থ ত্রিকোণমিতির সাহায্যে নির্ণয় করা যায়। এক্ষেত্রে সূক্ষ্মকোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের মান জেনে রাখা প্রয়োজন।

এ অধ্যায় শেষে শিক্ষার্থীরা—

▶ ভূ-রেখা, ঊর্ধ্বরেখা, উল্লম্বতল, উন্নতি কোণ ও অবনতি কোণ ব্যাখ্যা করতে পারবে;

▶ ত্রিকোণমিতির সাহায্যে দূরত্ব ও উচ্চতা বিষয়ক গাণিতিক সমস্যা সমাধান করতে পারবে;

▶ ত্রিকোণমিতির সাহায্যে হাতে-কলমে দূরত্ব ও উচ্চতা বিষয়ক বিভিন্ন পরিমাপ করতে পারবে।

ভূ-রেখা, ঊর্ধ্বরেখা এবং উল্লম্বতল (Horizontal Line, Vertical Line and Vertical Plane)

ভূ-রেখা হচ্ছে ভূমি তলে অবস্থিত যে কোনো সরলরেখা। ভূ-রেখাকে শয়নরেখাও বলা হয়। ঊর্ধ্বরেখা হচ্ছে ভূমি তলের উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখা। একে উল্লম্ব রেখাও বলে।

Figure

লেবেল: $A$, $B$, $C$ বর্ণনা: একটি সমকোণী ত্রিভুজ $ABC$; $AB$ উল্লম্ব (ঊর্ধ্বরেখা), $CB$ অনুভূমিক (ভূ-রেখা), $B$ বিন্দুতে সমকোণ চিহ্নিত।

ভূমি তলের উপর লম্বভাবে অবস্থিত পরস্পরচ্ছেদী ভূ-রেখা ও ঊর্ধ্বরেখা একটি তল নির্দিষ্ট করে। এ তলকে উল্লম্ব তল বলে। চিত্রে ভূমি তলের কোনো স্থান $C$ থেকে $CB$ দূরত্বে $AB$ উচ্চতা বিশিষ্ট একটি গাছ লম্ব অবস্থায় দণ্ডায়মান। এখানে $CB$ রেখা হচ্ছে ভূ-রেখা, $BA$ রেখা হচ্ছে ঊর্ধ্বরেখা এবং $ABC$ তলটি ভূমির উপর লম্ব যা উল্লম্বতল।

উন্নতি কোণ ও অবনতি কোণ (Angle of Elevation and Angle of Depression)

চিত্রটি লক্ষ করি, ভূমির সমান্তরাল $AB$ একটি সরলরেখা। $A, O, B, P, Q$ বিন্দুগুলো একই উল্লম্বতলে অবস্থিত। $AB$ সরলরেখার উপরের $P$ বিন্দুটি $AB$ রেখার সাথে $\angle POB$ উৎপন্ন করে। এখানে, $O$ বিন্দুর সাপেক্ষে $P$ বিন্দুর উন্নতি কোণ $\angle POB$।

Figure

লেবেল: $A$, $O$, $B$, $P$, $Q$, উন্নতি কোণ, অবনতি কোণ বর্ণনা: অনুভূমিক রেখা $AB$ ও বিন্দু $O$; $O$ থেকে ওপরের দিকে $P$ বিন্দুর রেখা এবং নিচের দিকে $Q$ বিন্দুর রেখা। $OB$ ও $OP$ এর মধ্যবর্তী কোণ উন্নতি কোণ এবং $OB$ ও $OQ$ এর মধ্যবর্তী কোণ অবনতি কোণ হিসেবে চিহ্নিত।

Printed page 198

Figure

লেবেল: অবনতি কোণ, উন্নতি কোণ, ভূমি বর্ণনা: একটি বিমান আকাশে উড়ছে; তার নিচে একটি বহুতল দালান। বিমান থেকে দালানের ছাদের দিকে অবনতি কোণ, দালানের গোড়া থেকে বিমানের দিকে উন্নতি কোণ চিহ্নিত; নিচে ভূমি রেখা।

সুতরাং ভূতলের উপরের কোনো বিন্দু ভূমির সমান্তরাল রেখার সাথে যে কোণ উৎপন্ন করে তাকে উন্নতি কোণ বলা হয়। $Q$ বিন্দু ভূ-রেখার সমান্তরাল $AB$ রেখার নিচের দিকে অবস্থিত। এখানে, $O$ বিন্দুর সাপেক্ষে $Q$ বিন্দুর অবনতি কোণ হচ্ছে $\angle QOB$। সুতরাং ভূতলের সমান্তরাল রেখার নিচের কোনো বিন্দু ভূ-রেখার সাথে যে কোণ উৎপন্ন করে তাকে অবনতি কোণ বলা হয়।

কাজ:

চিত্রটি চিহ্নিত করো এবং ভূ-রেখা, ঊর্ধ্বরেখা, উল্লম্বতল, উন্নতি কোণ ও অবনতি কোণ নির্দেশ করো।

Figure

লেবেল: ভূমি বর্ণনা: একটি অসম্পূর্ণ চিত্র; একটি অনুভূমিক রেখা, একটি উল্লম্ব রেখা এবং একটি সমকোণী ত্রিভুজের অংশ। নিচে "ভূমি" লেখা ও দুই দিকে তীর চিহ্ন।

বিশেষ দ্রষ্টব্য: এ অধ্যায়ে সমস্যা সমাধানের ক্ষেত্রে আনুমানিক সঠিক চিত্র আবশ্যক। চিত্র অঙ্কনের সময় নিচের কৌশল অবলম্বন করা দরকার।

Figure

লেবেল: $30^0$ বর্ণনা: একটি সমকোণী ত্রিভুজ; সূক্ষ্মকোণ $30^0$ চিহ্নিত, সমকোণ চিহ্নিত।

Figure

লেবেল: $45^0$ বর্ণনা: একটি সমকোণী ত্রিভুজ; সূক্ষ্মকোণ $45^0$ চিহ্নিত, সমকোণ চিহ্নিত।

Figure

লেবেল: $60^0$ বর্ণনা: একটি সমকোণী ত্রিভুজ; সূক্ষ্মকোণ $60^0$ চিহ্নিত, সমকোণ চিহ্নিত।

১. $30^\circ$ কোণ অঙ্কনের ক্ষেত্রে ভূমি $>$ লম্ব হবে।

২. $45^\circ$ কোণ অঙ্কনের ক্ষেত্রে ভূমি $=$ লম্ব হবে।

৩. $60^\circ$ কোণ অঙ্কনের ক্ষেত্রে ভূমি $<$ লম্ব হবে।

উদাহরণ ১. একটি টাওয়ারের পাদদেশ থেকে $75$ মিটার দূরে ভূতলস্থ কোনো বিন্দুতে টাওয়ারের শীর্ষের উন্নতি $30^\circ$ হলে, টাওয়ারের উচ্চতা নির্ণয় করো।

সমাধান: মনে করি, টাওয়ারের উচ্চতা $AB = h$ মিটার, টাওয়ারের পাদদেশ থেকে $BC = 75$ মিটার দূরে ভূতলস্থ $C$ বিন্দুতে টাওয়ারের শীর্ষ $A$ বিন্দুর উন্নতি $\angle ACB = 30^\circ$

Printed page 199

সমকোণী $\triangle ABC$ থেকে পাই, $\tan\angle ACB = \dfrac{AB}{BC}$

বা, $\tan 30^\circ = \dfrac{h}{75}$ বা, $\dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{h}{75}$ বা, $\sqrt{3}h = 75$ বা, $h = \dfrac{75}{\sqrt{3}}$

বা, $h = \dfrac{75\sqrt{3}}{3}$ [হর এবং লবকে $\sqrt{3}$ দ্বারা গুণ করে]

বা, $h = 25\sqrt{3}$

$\therefore h = 43.301$ (প্রায়)।

$\therefore$ টাওয়ারের উচ্চতা $43.30$ মিটার (প্রায়)।

Figure

লেবেল: $A$, $B$, $C$, $h$ মিটার, $75$ মিটার, $30^0$ বর্ণনা: একটি সমকোণী ত্রিভুজ $ABC$; $B$ বিন্দুতে সমকোণ; $CB$ অনুভূমিক ও $75$ মিটার; $BA$ উল্লম্ব ও $h$ মিটার; $C$ বিন্দুতে কোণ $30^0$ চিহ্নিত।

উদাহরণ ২. একটি গাছের উচ্চতা $105$ মিটার। গাছটির শীর্ষ থেকে ভূমির কোনো বিন্দুতে উন্নতি কোণ $60^\circ$ তৈরি করলে, গাছটির গোড়া থেকে ভূতলস্থ বিন্দুটির দূরত্ব নির্ণয় করো।

সমাধান:

মনে করি, গাছের গোড়া থেকে ভূতলস্থ বিন্দুটির দূরত্ব $BC = x$ মিটার, গাছের উচ্চতা $AB = 105$ মিটার এবং $C$ বিন্দুতে গাছটির শীর্ষ $A$ বিন্দুর উন্নতি $\angle ACB = 60^\circ$

Figure

লেবেল: $A$, $B$, $C$, $105$ মিটার, $x$ মিটার, $60^0$ বর্ণনা: একটি সমকোণী ত্রিভুজ $ABC$; $B$ বিন্দুতে সমকোণ; $BA$ উল্লম্ব ও $105$ মিটার; $CB$ অনুভূমিক ও $x$ মিটার; $C$ বিন্দুতে কোণ $60^0$ চিহ্নিত।

সমকোণী $\triangle ABC$ থেকে পাই, $\tan\angle ACB = \dfrac{AB}{BC}$

বা, $\tan 60^\circ = \dfrac{105}{x}$

বা, $\sqrt{3} = \dfrac{105}{x}$ [$\because \tan 60^0 = \sqrt{3}$]

বা, $\sqrt{3}x = 105$ বা, $x = \dfrac{105}{\sqrt{3}}$ বা, $x = \dfrac{105\sqrt{3}}{3}$ বা, $x = 35\sqrt{3}$

$\therefore x = 60.622$ (প্রায়)

$\therefore$ গাছটির গোড়া থেকে ভূতলস্থ বিন্দুটির দূরত্ব $60.62$ মিটার (প্রায়)।

কাজ: চিত্রে $AB$ একটি গাছ। চিত্রে প্রদত্ত তথ্য থেকে–

ক) গাছটির উচ্চতা নির্ণয় করো।

খ) গাছটির পাদদেশ থেকে ভূতলস্থ $C$ বিন্দুর দূরত্ব নির্ণয় করো।

Figure

লেবেল: $A$, $B$, $C$, $D$, $60^0$, $60^0$, $20$ মিটার বর্ণনা: বিন্দু $D$ বাঁদিকে ভূমিতে, $B$ ও $C$ ভূমির ওপর ডানদিকে; $A$ উল্লম্বভাবে $B$ এর ওপরে। $D$ বিন্দুতে কোণ $60^0$ ও $A$ বিন্দুতে কোণ $60^0$ চিহ্নিত; $B$ বিন্দুতে সমকোণ; $DB$ এর দৈর্ঘ্য $20$ মিটার।

উদাহরণ ৩. $18$ মিটার লম্বা একটি মই একটি দেওয়ালের ছাদ বরাবর ঠেস দিয়ে ভূমির সঙ্গে $45^\circ$ কোণ উৎপন্ন করে। দেওয়ালটির উচ্চতা নির্ণয় করো।

Printed page 200

সমাধান: মনে করি, দেওয়ালটির উচ্চতা $AB = h$ মিটার, মইটির দৈর্ঘ্য $AC = 18$ মিটার এবং ভূমির সঙ্গে $\angle ACB = 45^\circ$ উৎপন্ন করে।

$\triangle ABC$ থেকে পাই, $\sin\angle ACB = \dfrac{AB}{AC}$

বা, $\sin 45^\circ = \dfrac{h}{18}$

বা, $\dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{h}{18}$ [$\because \sin 45^\circ = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$]

বা, $\sqrt{2}h = 18$ বা, $h = \dfrac{18}{\sqrt{2}}$

বা, $h = \dfrac{18\sqrt{2}}{2}$ [হর এবং লবকে $\sqrt{2}$ দ্বারা গুণ করে]

বা, $h = 12.728$ (প্রায়)

সুতরাং দেওয়ালটির উচ্চতা $12.73$ মিটার (প্রায়)।

Figure

লেবেল: $A$, $B$, $C$, $18$ মিটার, $h$, $45^0$ বর্ণনা: একটি সমকোণী ত্রিভুজ $ABC$; $B$ বিন্দুতে সমকোণ; $AC$ ঢালু রেখা ও $18$ মিটার; $AB$ উল্লম্ব ও $h$; $C$ বিন্দুতে কোণ $45^0$ চিহ্নিত।

উদাহরণ ৪. ঝড়ে একটি গাছ হেলে পড়লো। গাছের গোড়া থেকে $7$ মিটার উচ্চতায় একটি খুঁটি ঠেস দিয়ে গাছটিকে সোজা করা হলো। মাটিতে খুঁটিটির স্পর্শ বিন্দুর অবনতি কোণ $30^\circ$ হলে, খুঁটিটির দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

সমাধান: মনে করি, খুঁটিটির দৈর্ঘ্য $BC = x$ মিটার, গাছের গোড়া থেকে $AB = 7$ মিটার উচ্চতায় খুঁটিটি ঠেস দিয়ে আছে এবং অবনতি $\angle DBC = 30^\circ$

$\therefore \angle ACB = \angle DBC = 30^\circ$ [একান্তর কোণ বলে]

সমকোণী $\triangle ABC$ থেকে পাই,

$\sin\angle ACB = \dfrac{AB}{BC}$ বা, $\sin 30^\circ = \dfrac{7}{x}$

বা, $\dfrac{1}{2} = \dfrac{7}{x}$ [$\because \sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}$]

$\therefore x = 14$

$\therefore$ খুঁটিটির দৈর্ঘ্য $14$ মিটার।

Figure

লেবেল: $D$, $B$, $A$, $C$, $x$ মিটার, $7$ মিটার, $30^0$, $30^0$ বর্ণনা: $D$ থেকে $B$ পর্যন্ত অনুভূমিক রেখা; $B$ থেকে উল্লম্বভাবে নিচে $A$ পর্যন্ত রেখা, $BA = 7$ মিটার; $C$ ভূমিতে বাঁদিকে; $CB$ খুঁটি ও $x$ মিটার; $B$ বিন্দুতে $\angle DBC = 30^0$ এবং $C$ বিন্দুতে $\angle ACB = 30^0$ চিহ্নিত; $A$ বিন্দুতে সমকোণ।

কাজ:

চিত্রে অবনতি $\angle CAE = 60^0$, উন্নতি $\angle ADB = 30^0$, $AC = 36$ মিটার, $AB \perp DC$ এবং $D, B, C$ একই সরলরেখায় অবস্থিত হলে, $AB$, $AD$ এবং $CD$ বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

Figure

লেবেল: $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $60^0$, $30^0$, $36$ মিটার বর্ণনা: $D$ বাঁদিকে ভূমিতে, $DC$ ভূমি বরাবর; $B$ ভূমিতে সমকোণে $A$ এর নিচে; $A$ থেকে $E$ পর্যন্ত অনুভূমিক রেখা; $A$ বিন্দুতে $\angle CAE = 60^0$ ও $D$ বিন্দুতে $\angle ADB = 30^0$ চিহ্নিত; $AC = 36$ মিটার চিহ্নিত।

উদাহরণ ৫. ভূতলস্থ কোনো স্থানে একটি দালানের ছাদের একটি বিন্দুর উন্নতি কোণ $60^0$। ঐ স্থান থেকে $42$ মিটার পিছিয়ে গেলে দালানের ঐ বিন্দুর উন্নতি কোণ $45^0$ হয়। দালানের উচ্চতা নির্ণয় করো।

সমাধান: মনে করি, দালানের উচ্চতা $AB = h$ এবং শীর্ষের উন্নতি $\angle ACB = 60^0$ এবং $C$

Printed page 201

স্থান থেকে $CD = 42$ মিটার পিছিয়ে গেলে উন্নতি $\angle ADB = 45^0$ হয়।

ধরি, $BC = x$ মিটার।

$\therefore BD = BC + CD = (x + 42)$ মিটার।

$\triangle ABC$ থেকে পাই,

$\tan\angle ACB = \dfrac{AB}{BC}$ বা, $\tan 60^\circ = \dfrac{h}{x}$

বা, $\sqrt{3} = \dfrac{h}{x}$ [$\because \tan 60^\circ = \sqrt{3}$]

$\therefore x = \dfrac{h}{\sqrt{3}} \ldots (1)$

Figure

লেবেল: $D$, $C$, $B$, $A$, $h$ মিটার, $42$ মিটার, $x$ মিটার, $45^0$, $60^0$ বর্ণনা: $D$, $C$, $B$ ভূমির ওপর সরলরেখায়, $B$ বিন্দুতে সমকোণে উল্লম্ব $BA$ ($h$ মিটার); $A$ থেকে $D$ ও $C$ পর্যন্ত রেখা। $D$ বিন্দুতে কোণ $45^0$, $C$ বিন্দুতে কোণ $60^0$ চিহ্নিত; $DC = 42$ মিটার, $CB = x$ মিটার।

আবার, $\triangle ABD$ থেকে পাই, $\tan\angle ADB = \tan 45^\circ = \dfrac{AB}{BD}$

বা, $\tan 45^\circ = \dfrac{h}{x + 42}$ বা, $1 = \dfrac{h}{x + 42}$ [$\because \tan 45^0 = 1$]

বা, $h = x + 42$ বা, $h = \dfrac{h}{\sqrt{3}} + 42$ [(1) নং সমীকরণের সাহায্যে]

বা, $\sqrt{3}h = h + 42\sqrt{3}$ বা, $\sqrt{3}h - h = 42\sqrt{3}$ বা, $(\sqrt{3} - 1)h = 42\sqrt{3}$ বা, $h = \dfrac{42\sqrt{3}}{\sqrt{3} - 1}$

$\therefore h = 99.373$ (প্রায়)

$\therefore$ দালানটির উচ্চতা $99.37$ মিটার (প্রায়)।

উদাহরণ ৬. একটি খুঁটি এমনভাবে ভেঙে গেল যে, তার অবিচ্ছিন্ন ভাঙা অংশ দণ্ডায়মান অংশের সাথে $30^0$ কোণ উৎপন্ন করে খুঁটির গোড়া থেকে $10$ মিটার দূরে মাটি স্পর্শ করে। খুঁটির সম্পূর্ণ দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

সমাধান:

মনে করি, খুঁটির সম্পূর্ণ দৈর্ঘ্য $AB = h$ মিটার, খুঁটিটি $BC = x$ মিটার উচ্চতায় ভেঙে গিয়ে বিচ্ছিন্ন না হয়ে ভাঙা অংশ দণ্ডায়মান অংশের সাথে $\angle BCD = 30^0$ উৎপন্ন করে খুঁটির গোড়া থেকে $BD = 10$ মিটার দূরে মাটি স্পর্শ করে।

Figure

লেবেল: $A$, $C$, $B$, $D$, $h$ মিটার, $x$ মিটার, $10$ মিটার, $30^0$ বর্ণনা: $B$ বিন্দুতে উল্লম্ব খুঁটি $AB$ ($h$ মিটার); $BC$ অংশ ($x$ মিটার) উল্লম্ব, $C$ থেকে $D$ পর্যন্ত ভাঙা অংশ ভূমি স্পর্শ করে; $B$ থেকে $D$ পর্যন্ত ভূমি বরাবর $10$ মিটার; $B$ বিন্দুতে সমকোণ; $C$ বিন্দুতে কোণ $30^0$ চিহ্নিত; $AB$ এর পাশে বন্ধনী দ্বারা $h$ মিটার চিহ্নিত।

এখানে, $CD = AC = AB - BC = (h - x)$ মিটার

$\triangle BCD$ থেকে পাই,

$\tan\angle BCD = \dfrac{BD}{BC}$ বা, $\tan 30^\circ = \dfrac{10}{x}$

বা, $\dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{10}{x}$ $\therefore x = 10\sqrt{3}$

আবার, $\sin\angle BCD = \dfrac{BD}{CD}$ বা, $\sin 30^0 = \dfrac{BD}{CD}$ বা, $\dfrac{1}{2} = \dfrac{10}{h - x}$

Printed page 202

বা, $h - x = 20$ বা, $h = 20 + x$ বা, $h = 20 + 10\sqrt{3}$ [$x$ এর মান বসিয়ে]

$\therefore h = 37.321$ (প্রায়)

$\therefore$ খুঁটির দৈর্ঘ্য $37.32$ মিটার (প্রায়)।

কাজ: দুইটি কিলোমিটার পোস্টের মধ্যবর্তী কোনো স্থানের উপরে একটি বেলুন উড়ছে। বেলুনের স্থানে ঐ কিলোমিটার পোস্ট দুইটির অবনতি কোণ যথাক্রমে $30^\circ$ ও $60^\circ$ হলে, বেলুনটির উচ্চতা মিটারে নির্ণয় করো।