Mathematics chapter 11: Algebraic Ratio and Proportion

অধ্যায় ১১

বীজগাণিতিক অনুপাত ও সমানুপাত (Algebraic Ratio and Proportion)

অনুপাত ও সমানুপাতের ধারণা থাকা আমাদের জন্য খুবই গুরুত্বপূর্ণ। সপ্তম শ্রেণিতে পাটিগণিতীয় অনুপাত ও সমানুপাত বিশদভাবে আলোচনা করা হয়েছে। এ অধ্যায়ে আমরা বীজগণিতীয় অনুপাত ও সমানুপাত সম্পর্কে আলোচনা করবো। আমরা প্রতিনিয়তই নির্মাণ সামগ্রী ও বিভিন্ন প্রকার খাদ্য সামগ্রী তৈরিতে, ভোগ্যপণ্য উৎপাদনে, জমিতে সার প্রয়োগে, কোনো কিছুর আকার-আয়তন দৃষ্টিনন্দন করতে এবং দৈনন্দিন কার্যক্রমের আরও অনেক ক্ষেত্রে অনুপাত ও সমানুপাতের ধারণা প্রয়োগ করে থাকি। এটি ব্যবহার করে দৈনন্দিন জীবনে অনেক সমস্যার সমাধান করা যায়।

এ অধ্যায় শেষে শিক্ষার্থীরা—

▶ বীজগণিতীয় অনুপাত ও সমানুপাত ব্যাখ্যা করতে পারবে;

▶ সমানুপাত সংক্রান্ত বিভিন্ন রূপান্তর বিধি প্রয়োগ করতে পারবে;

▶ ধারাবাহিক অনুপাত বর্ণনা করতে পারবে;

▶ বাস্তব সমস্যা সমাধানে অনুপাত, সমানুপাত ও ধারাবাহিক অনুপাত ব্যবহার করতে পারবে।

অনুপাত ও সমানুপাত (Ratio and Proportion)

অনুপাত (Ratio)

একই এককে সমজাতীয় দুইটি রাশির পরিমাণের একটি অপরটির কত গুণ বা কত অংশ তা একটি ভগ্নাংশ দ্বারা প্রকাশ করা যায়। এই ভগ্নাংশটিকে রাশি দুইটির অনুপাত বলে।

দুইটি রাশি $p$ ও $q$ এর অনুপাতকে $p : q = \dfrac{p}{q}$ লেখা হয়। $p$ ও $q$ রাশি দুইটি সমজাতীয় ও একই এককে প্রকাশিত হতে হবে। অনুপাতে $p$ কে পূর্ব রাশি এবং $q$ কে উত্তর রাশি বলা হয়।

অনেক সময় আনুমানিক পরিমাপ করতেও আমরা অনুপাত ব্যবহার করি। যেমন, সকাল $8$টায় রাস্তায় যে সংখ্যক গাড়ি থাকে, $10$টায় তার দ্বিগুণ গাড়ি থাকে। এ ক্ষেত্রে অনুপাত নির্ণয়ে গাড়ির প্রকৃত সংখ্যা জানার প্রয়োজন হয় না। আবার অনেক সময় আমরা বলে থাকি, তোমার ঘরের আয়তন আমার ঘরের

Printed page 206

আয়তনের তিনগুণ হবে। এখানেও ঘরের সঠিক আয়তন জানার প্রয়োজন হয় না। বাস্তব জীবনে এরকম অনেক ক্ষেত্রে আমরা অনুপাতের ধারণা ব্যবহার করে থাকি।

সমানুপাত (Proportion)

যদি চারটি রাশি এরূপ হয় যে, প্রথম ও দ্বিতীয় রাশির অনুপাত তৃতীয় ও চতুর্থ রাশির অনুপাতের সমান হয়, তবে ঐ চারটি রাশি নিয়ে একটি সমানুপাত উৎপন্ন হয়। $a, b, c, d$ এরূপ চারটি রাশি হলে আমরা লিখি $a : b = c : d$ । আবার $ad = bc$ হলে $a, b, c, d$ রাশি চারটি সমানুপাতী। সমানুপাতের চারটি রাশিই একজাতীয় হওয়ার প্রয়োজন হয় না। প্রত্যেক অনুপাতের রাশি দুইটি এক জাতীয় হলেই চলে।

Figure

লেবেল: $A$, $B$, $a$, $b$ বর্ণনা: দুইটি ত্রিভুজ পাশাপাশি আঁকা। বাম দিকের ত্রিভুজ $A$ এর ভূমি $a$ এবং ডান দিকের ত্রিভুজ $B$ এর ভূমি $b$; ভূমিদ্বয় একই সরলরেখায়, এবং দুইটি ত্রিভুজ একটি বিন্দুতে মিলিত।

উপরের চিত্রে, দুইটি ত্রিভুজের ভূমি যথাক্রমে $a$ ও $b$ এবং এদের প্রত্যেকের উচ্চতা $h$ একক। ত্রিভুজদ্বয়ের ক্ষেত্রফল $A$ ও $B$ বর্গএকক হলে আমরা লিখতে পারি

$\dfrac{A}{B} = \dfrac{\frac{1}{2}ah}{\frac{1}{2}bh} = \dfrac{a}{b} \quad \text{বা,} \quad A : B = a : b$

অর্থাৎ, ক্ষেত্রফলদ্বয়ের অনুপাত ভূমিদ্বয়ের অনুপাতের সমান।

ক্রমিক সমানুপাতী (Continued proportion)

$a, b, c$ ক্রমিক সমানুপাতী বলতে বোঝায় $a : b = b : c$ ।

$a, b, c$ ক্রমিক সমানুপাতী হবে যদি এবং কেবল যদি $b^2 = ac$ হয়। ক্রমিক সমানুপাতের ক্ষেত্রে সবগুলো রাশি এক জাতীয় হতে হবে। এক্ষেত্রে $c$ কে $a$ ও $b$ এর তৃতীয় সমানুপাতী এবং $b$ কে $a$ ও $c$ এর মধ্যসমানুপাতী বলা হয়।

উদাহরণ ১. $A$ ও $B$ নির্দিষ্ট পথ অতিক্রম করে যথাক্রমে $t_1$ এবং $t_2$ মিনিটে। $A$ ও $B$ এর গড় গতিবেগের অনুপাত নির্ণয় কর।

সমাধান: মনে করি, $A$ ও $B$ এর গড় গতিবেগ প্রতি মিনিটে যথাক্রমে $v_1$ মিটার ও $v_2$ মিটার। তাহলে, $t_1$ মিনিটে $A$ অতিক্রম করে $v_1t_1$ মিটার এবং $t_2$ মিনিটে $B$ অতিক্রম করে $v_2t_2$ মিটার।

প্রশ্নানুসারে, $v_1t_1 = v_2t_2$

$\therefore \dfrac{v_1}{v_2} = \dfrac{t_2}{t_1}$

এখানে গতিবেগের অনুপাত সময়ের ব্যস্ত অনুপাতের সমান।

Printed page 207

কাজ:

ক) $3.5 : 5.6$ কে $1 : a$ এবং $b : 1$ আকারে প্রকাশ করো।

খ) $x : y = 5 : 6$ হলে $3x : 5y =$ কত?

অনুপাতের রূপান্তর

এখানে অনুপাতের রাশিগুলো ধনাত্মক সংখ্যা।

১. $a : b = c : d$ হলে, $b : a = d : c$ [ব্যস্তকরণ (Invertendo)]

প্রমাণ: দেওয়া আছে,

$\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$

বা, $ad = bc$ [উভয়পক্ষকে $bd$ দ্বারা গুণ করে]

বা, $\dfrac{ad}{ac} = \dfrac{bc}{ac}$ [উভয় পক্ষকে $ac$ দ্বারা ভাগ করে যেখানে $a, c$ এর কোনটিই শূন্য নয়]

বা, $\dfrac{d}{c} = \dfrac{b}{a}$

অর্থাৎ, $b : a = d : c$

২. $a : b = c : d$ হলে, $a : c = b : d$ [একান্তরকরণ (Alternendo)]

প্রমাণ: দেওয়া আছে,

$\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$

বা, $ad = bc$ [উভয়পক্ষকে $bd$ দ্বারা গুণ করে]

বা, $\dfrac{ad}{cd} = \dfrac{bc}{cd}$ [উভয় পক্ষকে $cd$ দ্বারা ভাগ করে যেখানে $c, d$ এর কোনোটিই শূন্য নয়]

বা, $\dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{d}$

অর্থাৎ, $a : c = b : d$

৩. $a : b = c : d$ হলে, $\dfrac{a+b}{b} = \dfrac{c+d}{d}$ [যোজন (Componendo)]

প্রমাণ: দেওয়া আছে,

$\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$

বা, $\dfrac{a}{b} + 1 = \dfrac{c}{d} + 1$ [উভয়পক্ষে $1$ যোগ করে]

অর্থাৎ, $\dfrac{a+b}{b} = \dfrac{c+d}{d}$

Printed page 208

৪. $a : b = c : d$ হলে, $\dfrac{a-b}{b} = \dfrac{c-d}{d}$ [বিয়োজন (Dividendo)]

প্রমাণ: দেওয়া আছে,

$\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$

বা, $\dfrac{a}{b} - 1 = \dfrac{c}{d} - 1$ [উভয়পক্ষ থেকে $1$ বিয়োগ করে]

অর্থাৎ, $\dfrac{a-b}{b} = \dfrac{c-d}{d}$

৫. $a : b = c : d$ হলে, $\dfrac{a+b}{a-b} = \dfrac{c+d}{c-d}$ [যোজন-বিয়োজন (Componendo-Dividendo)]

প্রমাণ: দেওয়া আছে, $a : b = c : d$ বা, $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$

যোজন করে পাই, $\dfrac{a+b}{b} = \dfrac{c+d}{d}$ ...(1)

আবার বিয়োজন করে পাই, $\dfrac{a-b}{b} = \dfrac{c-d}{d}$

বা, $\dfrac{b}{a-b} = \dfrac{d}{c-d}$ [ব্যস্তকরণ করে] ...(2)

সুতরাং, $\dfrac{a+b}{b} \times \dfrac{b}{a-b} = \dfrac{c+d}{d} \times \dfrac{d}{c-d}$ [(1) ও (2) গুণ করে]

অর্থাৎ, $\dfrac{a+b}{a-b} = \dfrac{c+d}{c-d}$ [এখানে $a \neq b, c \neq d$]

৬. $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{e}{f} = \dfrac{g}{h}$ হলে, প্রত্যেকটি অনুপাত $= \dfrac{a+c+e+g}{b+d+f+h}$

প্রমাণ: মনে করি,

$\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{e}{f} = \dfrac{g}{h} = k$

$\therefore a = bk, c = dk, e = fk, g = hk$

$\therefore \dfrac{a+c+e+g}{b+d+f+h} = \dfrac{bk+dk+fk+hk}{b+d+f+h} = \dfrac{k(b+d+f+h)}{b+d+f+h} = k$

কিন্তু $k$ প্রদত্ত সমানুপাতের প্রত্যেকটি অনুপাতের সমান।

$\therefore \dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{e}{f} = \dfrac{g}{h} = \dfrac{a+c+e+g}{b+d+f+h}$

Printed page 209

কাজ:

ক) মাতা ও কন্যার বর্তমান বয়সের সমষ্টি $s$ বছর। তাদের বয়সের অনুপাত $t$ বছর পূর্বে ছিল $r : p$। $x$ বছর পরে তাদের বয়সের অনুপাত কত হবে?

খ) একটি ল্যাম্পপোস্ট থেকে $p$ মিটার দূরে দাঁড়ানো $r$ মিটার উচ্চতা বিশিষ্ট এক ব্যক্তির ছায়ার দৈর্ঘ্য $s$ মিটার। ল্যাম্পপোস্টের উচ্চতা $p, r$ ও $s$ এর মাধ্যমে নির্ণয় করো।

উদাহরণ ২. পিতা ও পুত্রের বর্তমান বয়সের অনুপাত $7 : 2$ এবং $5$ বছর পরে তাদের বয়সের অনুপাত $8 : 3$ হবে। তাদের বর্তমান বয়স কত?

সমাধান: মনে করি, পিতার বর্তমান বয়স $a$ বছর এবং পুত্রের বর্তমান বয়স $b$ বছর।

প্রশ্নের প্রথম ও দ্বিতীয় শর্তানুসারে যথাক্রমে পাই,

$\dfrac{a}{b} = \dfrac{7}{2} \quad ...(1)$

$\dfrac{a+5}{b+5} = \dfrac{8}{3} \quad ...(2)$

সমীকরণ $(1)$ থেকে পাই,

$a = \dfrac{7b}{2} \quad ...(3)$

সমীকরণ $(2)$ থেকে পাই,

$3(a+5) = 8(b+5)$

বা, $3a + 15 = 8b + 40$

বা, $3a - 8b = 40 - 15$

বা, $3 \times \dfrac{7b}{2} - 8b = 25$ [$(3)$ ব্যবহার করে]

বা, $\dfrac{21b - 16b}{2} = 25$

বা, $5b = 50$

$\therefore b = 10$

সমীকরণ $(3)$ এ $b = 10$ বসিয়ে পাই, $a = \dfrac{7 \times 10}{2} = 35$

$\therefore$ পিতার বর্তমান বয়স $35$ বছর এবং পুত্রের বর্তমান বয়স $10$ বছর।

উদাহরণ ৩. যদি $a : b = b : c$ হয়, তবে প্রমাণ করো যে, $\left(\dfrac{a+b}{b+c}\right)^2 = \dfrac{a^2+b^2}{b^2+c^2}$

Printed page 210

সমাধান: দেওয়া আছে, $a : b = b : c$

$\therefore b^2 = ac$

এখন, $\left(\dfrac{a+b}{b+c}\right)^2 = \dfrac{(a+b)^2}{(b+c)^2}$

$= \dfrac{a^2+2ab+b^2}{b^2+2bc+c^2}$

$= \dfrac{a^2+2ab+ac}{ac+2bc+c^2}$

$= \dfrac{a(a+2b+c)}{c(a+2b+c)}$

$= \dfrac{a}{c}$

আবার, $\dfrac{a^2+b^2}{b^2+c^2} = \dfrac{a^2+ac}{ac+c^2}$

$= \dfrac{a(a+c)}{c(a+c)}$

$= \dfrac{a}{c}$

$\therefore \left(\dfrac{a+b}{b+c}\right)^2 = \dfrac{a^2+b^2}{b^2+c^2}$

উদাহরণ ৪. $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ হলে, দেখাও যে, $\dfrac{a^2+b^2}{a^2-b^2} = \dfrac{ac+bd}{ac-bd}$

সমাধান: মনে করি, $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = k$

$\therefore a = bk$ এবং $c = dk$

এখন, $\dfrac{a^2+b^2}{a^2-b^2} = \dfrac{(bk)^2+b^2}{(bk)^2-b^2} = \dfrac{b^2(k^2+1)}{b^2(k^2-1)} = \dfrac{k^2+1}{k^2-1}$

এবং $\dfrac{ac+bd}{ac-bd} = \dfrac{bk \cdot dk + bd}{bk \cdot dk - bd} = \dfrac{bd(k^2+1)}{bd(k^2-1)} = \dfrac{k^2+1}{k^2-1}$

$\therefore \dfrac{a^2+b^2}{a^2-b^2} = \dfrac{ac+bd}{ac-bd}$

উদাহরণ ৫. সমাধান করো: $\dfrac{1-ax}{1+ax}\sqrt{\dfrac{1+bx}{1-bx}} = 1$, যেখানে $0 < b < 2a < 2b$

সমাধান: দেওয়া আছে, $\dfrac{1-ax}{1+ax}\sqrt{\dfrac{1+bx}{1-bx}} = 1$

Printed page 211

বা, $\sqrt{\dfrac{1+bx}{1-bx}} = \dfrac{1+ax}{1-ax}$

বা, $\dfrac{1+bx}{1-bx} = \dfrac{(1+ax)^2}{(1-ax)^2}$ [উভয় পক্ষকে বর্গ করে]

বা, $\dfrac{1+bx}{1-bx} = \dfrac{1+2ax+a^2x^2}{1-2ax+a^2x^2}$

বা, $\dfrac{1+bx+1-bx}{1+bx-1+bx} = \dfrac{1+2ax+a^2x^2+1-2ax+a^2x^2}{1+2ax+a^2x^2-1+2ax-a^2x^2}$ [যোজন-বিয়োজন করে]

বা, $\dfrac{2}{2bx} = \dfrac{2(1+a^2x^2)}{4ax}$

বা, $2ax = bx(1+a^2x^2)$

বা, $x\{2a - b(1+a^2x^2)\} = 0$

$\therefore x = 0$

অথবা, $2a - b(1+a^2x^2) = 0$

বা, $b(1+a^2x^2) = 2a$

বা, $1+a^2x^2 = \dfrac{2a}{b}$

বা, $a^2x^2 = \dfrac{2a}{b} - 1$

বা, $x^2 = \dfrac{1}{a^2}\left(\dfrac{2a}{b} - 1\right)$

$\therefore x = \pm\dfrac{1}{a}\sqrt{\dfrac{2a}{b} - 1}$

নির্ণেয় সমাধান $x = 0, \pm\dfrac{1}{a}\sqrt{\dfrac{2a}{b} - 1}$

উদাহরণ ৬. $\dfrac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}} = p$ হলে, প্রমাণ করো যে, $p^2 - \dfrac{2p}{x} + 1 = 0$

সমাধান: দেওয়া আছে, $\dfrac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}} = p$

বা, $\dfrac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}-\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}} = \dfrac{p+1}{p-1}$ [যোজন-বিয়োজন করে]

বা, $\dfrac{2\sqrt{1+x}}{2\sqrt{1-x}} = \dfrac{p+1}{p-1}$

Printed page 212

বা, $\dfrac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{1-x}} = \dfrac{p+1}{p-1}$

বা, $\dfrac{1+x}{1-x} = \dfrac{(p+1)^2}{(p-1)^2} = \dfrac{p^2+2p+1}{p^2-2p+1}$ [উভয় পক্ষকে বর্গ করে]

বা, $\dfrac{1+x+1-x}{1+x-1+x} = \dfrac{p^2+2p+1+p^2-2p+1}{p^2+2p+1-p^2+2p-1}$ [যোজন-বিয়োজন করে]

বা, $\dfrac{2}{2x} = \dfrac{2(p^2+1)}{4p}$

বা, $\dfrac{1}{x} = \dfrac{p^2+1}{2p}$

বা, $p^2+1 = \dfrac{2p}{x}$

$\therefore p^2 - \dfrac{2p}{x} + 1 = 0$

উদাহরণ ৭. $\dfrac{a^3+b^3}{a-b+c} = a(a+b)$ হলে, প্রমাণ করো যে, $a, b, c$ ক্রমিক সমানুপাতী।

সমাধান: দেওয়া আছে, $\dfrac{a^3+b^3}{a-b+c} = a(a+b)$

বা, $\dfrac{(a+b)(a^2-ab+b^2)}{a-b+c} = a(a+b)$

বা, $\dfrac{a^2-ab+b^2}{a-b+c} = a$ [উভয়পক্ষকে $(a+b)$ দ্বারা ভাগ করে]

বা, $a^2-ab+b^2 = a^2-ab+ac$

বা, $b^2 = ac$

$\therefore a, b, c$ ক্রমিক সমানুপাতী।

উদাহরণ ৮. যদি $\dfrac{a+b}{b+c} = \dfrac{c+d}{d+a}$ হয়, তবে প্রমাণ করো যে, $c = a$ অথবা $a+b+c+d = 0$

সমাধান: দেওয়া আছে, $\dfrac{a+b}{b+c} = \dfrac{c+d}{d+a}$

বা, $\dfrac{a+b}{b+c} - 1 = \dfrac{c+d}{d+a} - 1$ [উভয়পক্ষ থেকে $1$ বিয়োগ করে]

বা, $\dfrac{a+b-b-c}{b+c} = \dfrac{c+d-d-a}{d+a}$

বা, $\dfrac{a-c}{b+c} = \dfrac{c-a}{d+a}$

Printed page 213

বা, $\dfrac{a-c}{b+c} = -\dfrac{a-c}{d+a}$

বা, $\dfrac{a-c}{b+c} + \dfrac{a-c}{d+a} = 0$

বা, $(a-c)\left(\dfrac{1}{b+c} + \dfrac{1}{d+a}\right) = 0$

বা, $(a-c)\dfrac{(d+a+b+c)}{(b+c)(d+a)} = 0$

বা, $(a-c)(d+a+b+c) = 0$

বা, $a-c = 0$ অথবা $d+a+b+c = 0$

$\therefore c = a$ অথবা $a+b+c+d = 0$

উদাহরণ ৯. যদি $\dfrac{x}{y+z} = \dfrac{y}{z+x} = \dfrac{z}{x+y}$ এবং $x, y, z$ সকলে পরস্পর সমান না হয়, তবে প্রমাণ করো যে, প্রতিটি অনুপাতের মান $-1$ অথবা $\dfrac{1}{2}$ এর সমান হবে।

সমাধান: মনে করি, $\dfrac{x}{y+z} = \dfrac{y}{z+x} = \dfrac{z}{x+y} = k$

$\therefore x = k(y+z) \quad ...(1)$

$y = k(z+x) \quad ...(2)$

$z = k(x+y) \quad ...(3)$

সমীকরণ $(1)$ থেকে $(2)$ বিয়োগ করে পাই,

$x - y = k(y-x)$ বা, $k(y-x) = -(y-x)$

$\therefore k = -1$

আবার, সমীকরণ $(1), (2)$ ও $(3)$ যোগ করে পাই,

$x+y+z = k(y+z+z+x+x+y) = 2k(x+y+z)$

বা, $k = \dfrac{(x+y+z)}{2(x+y+z)}$

$\therefore k = \dfrac{1}{2}$

$\therefore$ প্রতিটি অনুপাতের মান $-1$ অথবা $\dfrac{1}{2}$।

উদাহরণ ১০. যদি $ax = by = cz$ হয়, তবে দেখাও যে, $\dfrac{x^2}{yz} + \dfrac{y^2}{zx} + \dfrac{z^2}{xy} = \dfrac{bc}{a^2} + \dfrac{ca}{b^2} + \dfrac{ab}{c^2}$

Printed page 214

সমাধান: মনে করি, $ax = by = cz = k$

$\therefore x = \dfrac{k}{a}, y = \dfrac{k}{b}, z = \dfrac{k}{c}$

এখন, $\dfrac{x^2}{yz} + \dfrac{y^2}{zx} + \dfrac{z^2}{xy} = \dfrac{k^2}{a^2} \times \dfrac{bc}{k^2} + \dfrac{k^2}{b^2} \times \dfrac{ca}{k^2} + \dfrac{k^2}{c^2} \times \dfrac{ab}{k^2} = \dfrac{bc}{a^2} + \dfrac{ca}{b^2} + \dfrac{ab}{c^2}$

অর্থাৎ, $\dfrac{x^2}{yz} + \dfrac{y^2}{zx} + \dfrac{z^2}{xy} = \dfrac{bc}{a^2} + \dfrac{ca}{b^2} + \dfrac{ab}{c^2}$

উদাহরণ ১১. $a, b, c$ ও $d$ ক্রমিক সমানুপাতী এবং $x = \dfrac{10pq}{p+q}$

ক) দেখাও যে, $\dfrac{a}{c} = \dfrac{a^2+b^2}{b^2+c^2}$

খ) প্রমাণ করো যে, $(a^2+b^2+c^2)(b^2+c^2+d^2) = (ab+bc+cd)^2$

গ) $\dfrac{x+5p}{x-5p} + \dfrac{x+5q}{x-5q}$ এর মান নির্ণয় করো, যেখানে $p \neq q$

সমাধান:

ক) দেওয়া আছে, $a : b = b : c$ বা, $\dfrac{a}{b} = \dfrac{b}{c}$ বা, $ac = b^2$

ডানপক্ষ $= \dfrac{a^2+b^2}{b^2+c^2} = \dfrac{a^2+ac}{ac+c^2} = \dfrac{a(a+c)}{c(a+c)} = \dfrac{a}{c} =$ বামপক্ষ

$\therefore \dfrac{a}{c} = \dfrac{a^2+b^2}{b^2+c^2}$

খ) দেওয়া আছে, $a, b, c$ ও $d$ ক্রমিক সমানুপাতী

$\therefore \dfrac{a}{b} = \dfrac{b}{c} = \dfrac{c}{d}$

ধরি, $\dfrac{a}{b} = \dfrac{b}{c} = \dfrac{c}{d} = k$, যেখানে $k$ একটি সমানুপাতিক ধ্রুবক

$\therefore \dfrac{c}{d} = k$ বা, $c = dk$

$\dfrac{b}{c} = k$ বা, $b = ck = dk \cdot k = dk^2$

$\dfrac{a}{b} = k$ বা, $a = bk = dk^2 \cdot k = dk^3$

বামপক্ষ $= (a^2+b^2+c^2)(b^2+c^2+d^2)$

$= \{(dk^3)^2 + (dk^2)^2 + (dk)^2\}\{(dk^2)^2 + (dk)^2 + d^2\}$

$= (d^2k^6 + d^2k^4 + d^2k^2)(d^2k^4 + d^2k^2 + d^2)$

Printed page 215

$= d^2k^2(k^4+k^2+1) \cdot d^2(k^4+k^2+1)$

$= d^4k^2(k^4+k^2+1)^2$

ডানপক্ষ $= (ab+bc+cd)^2$

$= (dk^3 \cdot dk^2 + dk^2 \cdot dk + dk \cdot d)^2$

$= (d^2k^5 + d^2k^3 + d^2k)^2$

$= \{d^2k(k^4+k^2+1)\}^2$

$= d^4k^2(k^4+k^2+1)^2 =$ বামপক্ষ

$\therefore (a^2+b^2+c^2)(b^2+c^2+d^2) = (ab+bc+cd)^2$

গ) দেওয়া আছে, $x = \dfrac{10pq}{p+q}$

বা, $\dfrac{x}{5p} = \dfrac{2q}{p+q}$

বা, $\dfrac{x+5p}{x-5p} = \dfrac{2q+p+q}{2q-p-q}$ [যোজন-বিয়োজন করে]

বা, $\dfrac{x+5p}{x-5p} = \dfrac{p+3q}{q-p}$ ...(1)

আবার, $x = \dfrac{10pq}{p+q}$

বা, $\dfrac{x}{5q} = \dfrac{2p}{p+q}$

বা, $\dfrac{x+5q}{x-5q} = \dfrac{2p+p+q}{2p-p-q}$ [যোজন-বিয়োজন করে]

বা, $\dfrac{x+5q}{x-5q} = \dfrac{3p+q}{p-q}$ ...(2)

এখন (1) ও (2) নং যোগ করে পাই,

$\dfrac{x+5p}{x-5p} + \dfrac{x+5q}{x-5q} = \dfrac{p+3q}{q-p} + \dfrac{3p+q}{p-q} = \dfrac{p+3q}{q-p} - \dfrac{3p+q}{q-p}$

$= \dfrac{p+3q-3p-q}{q-p} = \dfrac{2q-2p}{q-p} = \dfrac{2(q-p)}{q-p} = 2$ [$\because q-p \neq 0$]

Printed page 216