Mathematics chapter 12: Simple Simultaneous Equations in Two Variables

অধ্যায় ১২

দুই চলকবিশিষ্ট সরল সহসমীকরণ

(Simple Simultaneous Equations in Two Variables)

গাণিতিক সমস্যা সমাধানের জন্য বীজগণিতের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ বিষয় হলো সমীকরণ। ষষ্ঠ ও সপ্তম শ্রেণিতে আমরা সরল সমীকরণের ধারণা পেয়েছি এবং কীভাবে এক চলকবিশিষ্ট সরল সমীকরণ সমাধান করতে হয় তা জেনেছি। অষ্টম শ্রেণিতে সরল সমীকরণ প্রতিস্থাপন ও অপনয়ন পদ্ধতিতে এবং লেখচিত্রের সাহায্যে সমাধান করেছি। কীভাবে বাস্তবভিত্তিক সমস্যার সরল সহসমীকরণ গঠন করে সমাধান করা হয় তাও শিখেছি। এ অধ্যায়ে সরল সহসমীকরণের ধারণা সম্প্রসারণ করা হয়েছে ও সমাধানের আরো নতুন পদ্ধতি সম্পর্কে আলোচনা করা হয়েছে। এ ছাড়াও এ অধ্যায়ে লেখচিত্রের সাহায্যে সমাধান ও বাস্তবভিত্তিক সমস্যার সহসমীকরণ গঠন ও সমাধান সম্পর্কে বিস্তারিত আলোচনা করা হয়েছে।

এ অধ্যায় শেষে শিক্ষার্থীরা—

▶ দুই চলকবিশিষ্ট সরল সহসমীকরণের সঙ্গতি যাচাই করতে পারবে;

▶ দুই চলকবিশিষ্ট দুইটি সমীকরণের পরস্পর নির্ভরশীলতা যাচাই করতে পারবে;

▶ সমাধানের আড়গুণন পদ্ধতি ব্যাখ্যা করতে পারবে;

▶ বাস্তবভিত্তিক গাণিতিক সমস্যার সহসমীকরণ গঠন করে সমাধান করতে পারবে;

▶ লেখচিত্রের সাহায্যে দুই চলকবিশিষ্ট সরল সহসমীকরণ সমাধান করতে পারবে।

সরল সহসমীকরণ

সরল সহসমীকরণ বলতে দুই চলকবিশিষ্ট দুইটি সরল সমীকরণকে বুঝায় যখন এদের একত্রে উপস্থাপন করা হয় এবং চলক দুইটি একই বৈশিষ্ট্যের হয়। আবার এরূপ দুইটি সমীকরণকে একত্রে সরল সমীকরণজোটও বলে। অষ্টম শ্রেণিতে আমরা এরূপ সমীকরণজোটের সমাধান করেছি ও বাস্তবভিত্তিক সমস্যার সহসমীকরণ গঠন করে সমাধান করতে শিখেছি। এ অধ্যায়ে এ সম্পর্কে আরো বিস্তারিত আলোচনা করা হয়েছে।

প্রথমে আমরা $2x+y=12$ সমীকরণটি বিবেচনা করি। এটি একটি দুই চলকবিশিষ্ট সরল সমীকরণ। সমীকরণটিতে বামপক্ষে $x$ ও $y$ এর এমন মান পাওয়া যাবে কি যাদের প্রথমটির দ্বিগুণের সাথে দ্বিতীয়টির

Printed page 225

যোগফল ডানপক্ষের $12$ এর সমান হয়, অর্থাৎ ঐ মান দুইটি দ্বারা সমীকরণটি সিদ্ধ হয়?

এখন, $2x+y=12$ সমীকরণটি থেকে নিচের ছকটি পূরণ করি:

সমীকরণটির অসংখ্য সমাধান আছে। তার মধ্যে চারটি সমাধান: $(-2,16)$, $(0,12)$, $(3,6)$, $(5,2)$।

আবার, অন্য একটি সমীকরণ $x-y=3$ নিয়ে নিচের ছকটি পূরণ করি:

সমীকরণটির অসংখ্য সমাধান আছে। তার মধ্যে চারটি সমাধান: $(-2,-5)$, $(0,-3)$, $(3,0)$, $(5,2)$।

যদি আলোচ্য সমীকরণ দুইটিকে একত্রে জোট হিসেবে ধরা হয়, তবে একমাত্র $(5,2)$ দ্বারা উভয় সমীকরণ যুগপৎ সিদ্ধ হয়। আর অন্য কোনো মান দ্বারা উভয় সমীকরণ যুগপৎ সিদ্ধ হবে না।

অতএব, সমীকরণজোট $2x+y=12$ এবং $x-y=3$ এর সমাধান: $(x,y)=(5,2)$

কাজ: $x-2y+1=0$ ও $2x+y-3=0$ সমীকরণদ্বয়ের প্রত্যেকটির পাঁচটি করে সমাধান লিখ যেন তন্মধ্যে সাধারণ সমাধানটিও থাকে।

দুই চলকবিশিষ্ট সরল সহসমীকরণের সমাধান যোগ্যতা

ক) পূর্বের আলোচিত সমীকরণজোট $\left.\begin{aligned}2x+y&=12\\x-y&=3\end{aligned}\right\}$ এর অনন্য (একটি মাত্র) সমাধান পাওয়া গেছে। এরূপ সমীকরণজোটকে সমঞ্জস্য (consistent) বলা হয়। সমীকরণ দুইটির $x$ ও $y$ এর সহগ তুলনা করে (সহগের অনুপাত নিয়ে) পাই, $\dfrac{2}{1}\neq\dfrac{1}{-1}$, সমীকরণজোটটির একটি সমীকরণকে অন্যটির মাধ্যমে প্রকাশ করা যায় না। এ জন্য এরূপ সমীকরণকে পরস্পর অনির্ভরশীল (independent) সমীকরণজোট বলা হয়।

Printed page 226

সমঞ্জস্য ও পরস্পর অনির্ভরশীল সমীকরণজোটের ক্ষেত্রে অনুপাতগুলো সমান নয়। এক্ষেত্রে ধ্রুবকপদ তুলনা করার প্রয়োজন হয় না।

খ) এখন আমরা $\left.\begin{aligned}2x-y&=6\\4x-2y&=12\end{aligned}\right\}$ সমীকরণজোটটি বিবেচনা করি। এই দুইটি সমীকরণ সমাধান করা যাবে কি?

এখানে, ১ম সমীকরণটির উভয়পক্ষকে $2$ দ্বারা গুণ করলে ২য় সমীকরণটি পাওয়া যাবে। আবার, ২য় সমীকরণের উভয়পক্ষকে $2$ দ্বারা ভাগ করলে ১ম সমীকরণটি পাওয়া যাবে। অর্থাৎ, সমীকরণ দুইটি পরস্পর নির্ভরশীল।

আমরা জানি, ১ম সমীকরণটির অসংখ্য সমাধান আছে। কাজেই, ২য় সমীকরণটিরও ঐ একই অসংখ্য সমাধান আছে। এরূপ সমীকরণজোটকে সামঞ্জস্য ও পরস্পর নির্ভরশীল (dependent) সমীকরণজোট বলে। এরূপ সমীকরণজোটের অসংখ্য সমাধান আছে।

এখানে, সমীকরণ দুইটির $x$ ও $y$ এর সহগ এবং ধ্রুবক পদ তুলনা করে পাই, $\dfrac{2}{4}=\dfrac{-1}{-2}=\dfrac{6}{12}\left(=\dfrac{1}{2}\right)$

অর্থাৎ, সামঞ্জস্য ও পরস্পর নির্ভরশীল সমীকরণজোটের ক্ষেত্রে অনুপাতগুলো সমান হয়।

গ) এবারে আমরা $\left.\begin{aligned}2x+y&=12\\4x+2y&=5\end{aligned}\right\}$ সমীকরণজোটটি সমাধান করার চেষ্টা করি।

এখানে, ১ম সমীকরণটির উভয়পক্ষকে $2$ দ্বারা গুণ করে পাই, $4x+2y=24$

২য় সমীকরণটি, $4x+2y=5$

বিয়োগ করে পাই, $0=19$ যা অসম্ভব।

কাজেই বলতে পারি, এ ধরনের সমীকরণজোট সমাধান করা সম্ভব নয়। এরূপ সমীকরণজোট অসমঞ্জস্য (inconsistent) ও পরস্পর অনির্ভরশীল। এরূপ সমীকরণজোটের কোনো সমাধান নেই।

এখানে সমীকরণ দুইটির $x$ ও $y$ এর সহগ এবং ধ্রুবক পদ তুলনা করে পাই, $\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}\neq\dfrac{12}{5}$

অর্থাৎ, অসমঞ্জস্য ও পরস্পর অনির্ভরশীল সমীকরণজোটের ক্ষেত্রে চলকের সহগের অনুপাতগুলো ধ্রুবকের অনুপাতের সমান নয়।

সাধারণভাবে, $\left.\begin{aligned}a_1x+b_1y&=c_1\\a_2x+b_2y&=c_2\end{aligned}\right\}$ সমীকরণজোটটি নিয়ে নিচের ছকের মাধ্যমে দুইটি সরল সমীকরণের সমাধান যোগ্যতার শর্ত উল্লেখ করা হলো:

Printed page 227

এখন, যদি কোনো সমীকরণজোটে উভয় সমীকরণে ধ্রুবক পদ না থাকে, অর্থাৎ, $c_1=c_2=0$ হয়, তবে ছকের

$(i)$ অনুযায়ী $\dfrac{a_1}{a_2}\neq\dfrac{b_1}{b_2}$ হলে, সমীকরণজোট সর্বদা সমঞ্জস্য ও পরস্পর অনির্ভরশীল। সেক্ষেত্রে একটিমাত্র (অনন্য) সমাধান থাকবে।

$(ii)$ অনুযায়ী $\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2}$ হলে, সমীকরণজোট সমঞ্জস্য ও পরস্পর নির্ভরশীল। সেক্ষেত্রে অসংখ্য সমাধান থাকবে।

উদাহরণ ১. নিচের সমীকরণজোটগুলো সমঞ্জস্য/অসমঞ্জস্য, নির্ভরশীল/অনির্ভরশীল কিনা ব্যাখ্যা করো এবং এদের সমাধানের সংখ্যা নির্দেশ করো।

ক) $x+3y=1$ $2x+6y=2$

খ) $2x-5y=3$ $x+3y=1$

গ) $3x-5y=7$ $6x-10y=15$

সমাধান:

ক) প্রদত্ত সমীকরণজোট: $\left.\begin{aligned}x+3y&=1\\2x+6y&=2\end{aligned}\right\}$

$x$ এর সহগদ্বয়ের অনুপাত $\dfrac{1}{2}$

$y$ এর সহগদ্বয়ের অনুপাত $\dfrac{3}{6}$ বা $\dfrac{1}{2}$

ধ্রুবক পদদ্বয়ের অনুপাত $\dfrac{1}{2}$

$\therefore\ \dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$

অতএব, সমীকরণজোটটি সমঞ্জস্য ও পরস্পর নির্ভরশীল। সমীকরণজোটটির অসংখ্য সমাধান আছে।

Printed page 228

খ) প্রদত্ত সমীকরণজোট: $2x - 5y = 3$ $x + 3y = 1$

$x$ এর সহগদ্বয়ের অনুপাত $\dfrac{2}{1}$

$y$ এর সহগদ্বয়ের অনুপাত $\dfrac{-5}{3}$

আমরা পাই, $\dfrac{2}{1} \neq \dfrac{-5}{3}$

$\therefore$ সমীকরণজোটটি সমঞ্জস্য ও পরস্পর অনির্ভরশীল। সমীকরণজোটটির একটিমাত্র (অনন্য) সমাধান আছে।

গ) প্রদত্ত সমীকরণজোট: $3x - 5y = 7$ $6x - 10y = 15$

$x$ এর সহগদ্বয়ের অনুপাত $\dfrac{3}{6}$ বা $\dfrac{1}{2}$

$y$ এর সহগদ্বয়ের অনুপাত $\dfrac{-5}{-10}$ বা $\dfrac{1}{2}$

ধ্রুবক পদদ্বয়ের অনুপাত $\dfrac{7}{15}$

আমরা পাই, $\dfrac{3}{6} = \dfrac{-5}{-10} \neq \dfrac{7}{15}$

$\therefore$ সমীকরণজোটটি অসমঞ্জস্য ও পরস্পর অনির্ভরশীল। সমীকরণজোটটির কোনো সমাধান নেই।

কাজ: $x - 2y + 1 = 0$, $2x + y - 3 = 0$ সমীকরণজোটটি সমঞ্জস্য কি না, পরস্পর নির্ভরশীল কিনা যাচাই করো এবং সমীকরণজোটটির কয়টি সমাধান থাকতে পারে তা নির্দেশ করো।

অনুশীলনী ১২.১

নিচের সরল সহসমীকরণগুলো সমঞ্জস্য/অসমঞ্জস্য, পরস্পর নির্ভরশীল/অনির্ভরশীল কিনা যুক্তিসহ উল্লেখ করো এবং এগুলোর সমাধানের সংখ্যা নির্দেশ করো:

১. $x - y = 4$ $x + y = 10$

২. $2x + y = 3$ $4x + 2y = 6$

৩. $x - y - 4 = 0$ $3x - 3y - 10 = 0$

৪. $3x + 2y = 0$ $6x + 4y = 0$

৫. $3x + 2y = 0$ $9x - 6y = 0$

৬. $5x - 2y - 16 = 0$ $3x - \dfrac{6}{5}y = 2$

Printed page 229

৭. $-\dfrac{1}{2}x + y = -1$ $x - 2y = 2$

৮. $-\dfrac{1}{2}x - y = 0$ $x - 2y = 0$

৯. $-\dfrac{1}{2}x + y = -1$ $x + y = 5$

১০. $ax - cy = 0$ $cx - ay = c^2 - a^2$