Mathematics chapter 14: Ratio, Similarity and Symmetry

অধ্যায় ১৪

অনুপাত, সদৃশতা ও প্রতিসমতা

(Ratio, Similarity and Symmetry)

দুইটি রাশির তুলনা করার জন্য এদের অনুপাত বিবেচনা করা হয়। অনুপাত নির্ণয়ের জন্য রাশি দুইটি একই এককে পরিমাপ করতে হয়। এ সম্পর্কে বীজগণিতে বিস্তারিত আলোচনা করা হয়েছে।

এ অধ্যায় শেষে শিক্ষার্থীরা—

▶ জ্যামিতিক অনুপাত সম্পর্কে ব্যাখ্যা করতে পারবে;

▶ রেখাংশের অন্তর্বিভক্তি ব্যাখ্যা করতে পারবে;

▶ অনুপাত সম্পর্কিত উপপাদ্যগুলো যাচাই ও প্রমাণ করতে পারবে;

▶ সদৃশতার অনুপাত সংক্রান্ত উপপাদ্যগুলো যাচাই ও প্রমাণ করতে পারবে;

▶ প্রতিসমতার ধারণা ব্যাখ্যা করতে পারবে;

▶ হাতে-কলমে বাস্তব উপকরণের সাহায্যে রেখা ও ঘূর্ণন প্রতিসমতা যাচাই করতে পারবে।

অনুপাত ও সমানুপাতের ধর্ম

(Properties of Ratio and Proportion)

$(i)$ $a : b = x : y$ এবং $c : d = x : y$ হলে, $a : b = c : d$

$(ii)$ $a : b = b : a$ হলে, $a = b$

$(iii)$ $a : b = x : y$ হলে, $b : a = y : x$ (ব্যস্তকরণ)

$(iv)$ $a : b = x : y$ হলে, $a : x = b : y$ (একান্তরকরণ)

$(v)$ $a : b = c : d$ হলে, $ad = bc$ (আড়গুণন)

$(vi)$ $a : b = x : y$ হলে, $a + b : b = x + y : y$ (যোজন)

এবং $a - b : b = x - y : y$ (বিয়োজন)

$(vii)$ $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ হলে, $\dfrac{a + b}{a - b} = \dfrac{c + d}{c - d}$ (যোজন ও বিয়োজন)

Printed page 267

জ্যামিতিক সমানুপাত (Geometric proportions)

আমরা ত্রিভুজক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে শিখেছি। এ থেকে দুটি প্রয়োজনীয় অনুপাতের ধারণা তৈরি করা যায়।

১. দুইটি ত্রিভুজক্ষেত্রের উচ্চতা সমান হলে, এদের ক্ষেত্রফল ও ভূমি সমানুপাতিক।

Figure

লেবেল: $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$, $h$, $a$, $d$ বর্ণনা: বাম পাশে ত্রিভুজ $ABC$, যার শীর্ষ $A$ থেকে ভূমি $BC$ এর ওপর লম্ব $h$ আঁকা এবং লম্বের পাদবিন্দু $BC$ এর ওপর চিহ্নিত, ভূমির দৈর্ঘ্য $a$। ডান পাশে ত্রিভুজ $DEF$, যার শীর্ষ $D$ থেকে ভূমি $EF$ এর ওপর লম্ব $h$ আঁকা, ভূমির দৈর্ঘ্য $d$।

মনে করি, ত্রিভুজক্ষেত্র $ABC$ ও $DEF$ এর ভূমি যথাক্রমে $BC = a,\ EF = d$ এবং উভয় ক্ষেত্রের উচ্চতা $h$।

সুতরাং, ত্রিভুজক্ষেত্র $ABC$ এর ক্ষেত্রফল $= \dfrac{1}{2} \times a \times h$, ত্রিভুজক্ষেত্র $DEF$ এর ক্ষেত্রফল $= \dfrac{1}{2} \times d \times h$

অতএব, ত্রিভুজক্ষেত্র $ABC$ এর ক্ষেত্রফল: ত্রিভুজক্ষেত্র $DEF$ এর ক্ষেত্রফল $= \dfrac{1}{2} \times a \times h : \dfrac{1}{2} \times d \times h = a : d = BC : EF$ ।

২. দুইটি ত্রিভুজক্ষেত্রের ভূমি সমান হলে, এদের ক্ষেত্রফল ও উচ্চতা সমানুপাতিক।

Figure

লেবেল: $A$, $B$, $C$, $P$, $h$, $b$, $D$, $E$, $F$, $Q$, $k$ বর্ণনা: বাম পাশে ত্রিভুজ $ABC$, যার শীর্ষ $A$ থেকে ভূমি $BC$ এর ওপর লম্ব $AP = h$ আঁকা। ডান পাশে ত্রিভুজ $DEF$, যার শীর্ষ $D$ থেকে ভূমি $EF$ এর ওপর লম্ব $DQ = k$ আঁকা; উভয় ত্রিভুজের ভূমি $b$।

মনে করি, ত্রিভুজক্ষেত্র $ABC$ ও $DEF$ এর উচ্চতা যথাক্রমে $AP = h,\ DQ = k$ এবং উভয় ক্ষেত্রের ভূমি $b$।

সুতরাং, ত্রিভুজক্ষেত্র $ABC$ এর ক্ষেত্রফল $= \dfrac{1}{2} \times b \times h$, ত্রিভুজক্ষেত্র $DEF$ এর ক্ষেত্রফল $= \dfrac{1}{2} \times b \times k$

অতএব, ত্রিভুজক্ষেত্র $ABC$ এর ক্ষেত্রফল: ত্রিভুজক্ষেত্র $DEF$ এর ক্ষেত্রফল $= \dfrac{1}{2} \times b \times h : \dfrac{1}{2} \times b \times k = h : k = AP : DQ$

Printed page 268

উপপাদ্য ২৮. ত্রিভুজের যেকোনো বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা ঐ ত্রিভুজের অপর বাহুদ্বয়কে বা এদের বর্ধিতাংশদ্বয়কে সমান অনুপাতে বিভক্ত করে।

বিশেষ নির্বচন: $ABC$ ত্রিভুজের $BC$ বাহুর সমান্তরাল $DE$ রেখাংশ $AB$ ও $AC$ বাহুদ্বয়কে (চিত্র-১) অথবা এদের বর্ধিতাংশদ্বয়কে (চিত্র-২) যথাক্রমে $D$ ও $E$ বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করতে হবে যে, $AD : DB = AE : EC$

অঙ্কন: $B$, $E$ এবং $C$, $D$ যোগ করি।

Figure

লেবেল: চিত্র-১: $A$, $D$, $E$, $B$, $C$; চিত্র-২: $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ বর্ণনা: চিত্র-১ এ ত্রিভুজ $ABC$ এর $AB$ ও $AC$ বাহুর ওপর $D$ ও $E$ বিন্দু, $DE$ রেখাংশ $BC$ এর সমান্তরাল; $B$, $E$ এবং $C$, $D$ যুক্ত। চিত্র-২ এ $AB$ ও $AC$ এর বর্ধিতাংশের ওপর $D$ ও $E$ বিন্দু, $DE$ রেখাংশ $BC$ এর সমান্তরাল; $B$, $E$ এবং $C$, $D$ যুক্ত।

প্রমাণ:

ধাপ ১. $\triangle ADE$ এবং $\triangle BDE$ একই উচ্চতাবিশিষ্ট

$\therefore \dfrac{\triangle ADE}{\triangle BDE} = \dfrac{AD}{DB}$ [একই উচ্চতাবিশিষ্ট ত্রিভুজসমূহের ক্ষেত্রফল ভূমির সমানুপাতিক]

ধাপ ২. $\triangle ADE$ এবং $\triangle DEC$ একই উচ্চতাবিশিষ্ট

$\therefore \dfrac{\triangle ADE}{\triangle DEC} = \dfrac{AE}{EC}$ [একই উচ্চতাবিশিষ্ট ত্রিভুজসমূহের ক্ষেত্রফল ভূমির সমানুপাতিক]

ধাপ ৩. কিন্তু $\triangle BDE = \triangle DEC$ [একই ভূমি $DE$ ও একই সমান্তরাল রেখাযুগলের মধ্যে অবস্থিত]

$\therefore \dfrac{\triangle ADE}{\triangle BDE} = \dfrac{\triangle ADE}{\triangle DEC}$

ধাপ ৪. অতএব, $\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{AE}{EC}$

অর্থাৎ, $AD : DB = AE : EC$

অনুসিদ্ধান্ত ১. $ABC$ ত্রিভুজের $BC$ বাহুর সমান্তরাল কোনো রেখা যদি $AB$ ও $AC$ বাহুকে যথাক্রমে $D$ ও $E$ বিন্দুতে ছেদ করে, তবে $\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{AC}{AE}$ এবং $\dfrac{AB}{BD} = \dfrac{AC}{CE}$ হবে।

অনুসিদ্ধান্ত ২. ত্রিভুজের কোনো বাহুর মধ্যবিন্দু দিয়ে অঙ্কিত অপর এক বাহুর সমান্তরাল রেখা তৃতীয় বাহুকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

উপপাদ্য ২৮ এর বিপরীত প্রতিজ্ঞাও সত্য। অর্থাৎ কোনো সরলরেখা একটি ত্রিভুজের দুই বাহুকে অথবা এদের বর্ধিতাংশদ্বয়কে সমান অনুপাতে বিভক্ত করলে উক্ত সরলরেখা ত্রিভুজটির তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল হবে। নিচে প্রতিজ্ঞাটি প্রমাণ করা হলো।

Printed page 269

উপপাদ্য ২৯. কোনো সরলরেখা একটি ত্রিভুজের দুই বাহুকে অথবা তাদের বর্ধিতাংশদ্বয়কে সমান অনুপাতে বিভক্ত করলে উক্ত সরলরেখা ত্রিভুজটির তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল।

Figure

লেবেল: চিত্র-১: $A$, $D$, $E$, $B$, $C$; চিত্র-২: $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ বর্ণনা: চিত্র-১ এ ত্রিভুজ $ABC$ এর $AB$ ও $AC$ বাহুর ওপর $D$ ও $E$ বিন্দু, $DE$ রেখাংশ যুক্ত; $B$, $E$ এবং $C$, $D$ যুক্ত। চিত্র-২ এ $AB$ ও $AC$ এর বর্ধিতাংশের ওপর $D$ ও $E$ বিন্দু; $B$, $E$ এবং $C$, $D$ যুক্ত।

বিশেষ নির্বচন: $DE$ রেখাংশ $ABC$ ত্রিভুজের $AB$ ও $AC$ বাহুদ্বয়কে অথবা এদের বর্ধিতাংশদ্বয়কে সমান অনুপাতে বিভক্ত করেছে। অর্থাৎ $AD : DB = AE : EC$

প্রমাণ করতে হবে যে, $DE$ এবং $BC$ সমান্তরাল।

অঙ্কন: $B$, $E$ এবং $C$, $D$ যোগ করি।

প্রমাণ:

ধাপ ১. $\dfrac{\triangle ADE}{\triangle BDE} = \dfrac{AD}{DB}$ [ত্রিভুজ দুইটি একই উচ্চতাবিশিষ্ট]

এবং $\dfrac{\triangle ADE}{\triangle DEC} = \dfrac{AE}{EC}$ [ত্রিভুজ দুইটি একই উচ্চতাবিশিষ্ট]

ধাপ ২. কিন্তু $\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{AE}{EC}$ [স্বীকার]

ধাপ ৩. অতএব, $\dfrac{\triangle ADE}{\triangle BDE} = \dfrac{\triangle ADE}{\triangle DEC}$ [(1) এবং (2) থেকে]

$\therefore \triangle BDE = \triangle DEC$

ধাপ ৪. কিন্তু $\triangle BDE$ এবং $\triangle DEC$ একই ভূমি $DE$ এর একই পাশে অবস্থিত। সুতরাং তারা একই সমান্তরাল যুগলের মধ্যে অবস্থিত।

$\therefore BC$ ও $DE$ সমান্তরাল।

উপপাদ্য ৩০. ত্রিভুজের যেকোনো কোণের অন্তঃসমদ্বিখণ্ডক বিপরীত বাহুকে উক্ত কোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয়ের অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।

বিশেষ নির্বচন: মনে করি, $AD$ রেখাংশ $\triangle ABC$ এর অন্তঃস্থ $\angle A$ কোণকে সমদ্বিখণ্ডিত করে $BC$ বাহুকে $D$ বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করতে হবে যে, $BD : DC = BA : AC$

অঙ্কন: $DA$ রেখাংশের সমান্তরাল করে $C$ বিন্দু দিয়ে $CE$ রেখাংশ অঙ্কন করি, যেন তা বর্ধিত $BA$ বাহুকে $E$ বিন্দুতে ছেদ করে।

Figure

লেবেল: $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ বর্ণনা: ত্রিভুজ $ABC$ এর $BC$ বাহুর ওপর $D$ বিন্দু; $AD$ রেখাংশ $\angle A$ কে সমদ্বিখণ্ডিত করে। $C$ বিন্দু থেকে $CE$ রেখাংশ $DA$ এর সমান্তরালভাবে আঁকা, যা বর্ধিত $BA$ কে $E$ বিন্দুতে ছেদ করে।

Printed page 270

প্রমাণ:

ধাপ ১. যেহেতু $DA \parallel CE$ এবং $BE$ এদের ছেদক [অঙ্কন]

$\angle AEC = \angle BAD$ [অনুরূপ কোণ]

আবার $DA \parallel CE$ এবং $AC$ এদের ছেদক

$\angle ACE = \angle CAD$ [একান্তর কোণ]

ধাপ ২. কিন্তু $\angle BAD = \angle CAD$ [স্বীকার]

$\therefore \angle AEC = \angle ACE$ সুতরাং $AC = AE$ [অধ্যায় ৬ উপপাদ্য ৮]

ধাপ ৩. আবার যেহেতু, $DA \parallel CE$ সুতরাং $\dfrac{BD}{DC} = \dfrac{BA}{AE}$ [ধাপ ২]

ধাপ ৪. কিন্তু $AE = AC$

$\therefore \dfrac{BD}{DC} = \dfrac{BA}{AC}$

উপপাদ্য ৩১. ত্রিভুজের যেকোনো বাহু অপর দুই বাহুর অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত হলে, বিভাগ বিন্দু থেকে বিপরীত শীর্ষ বিন্দু পর্যন্ত অঙ্কিত রেখাংশ উক্ত শীর্ষকোণের সমদ্বিখণ্ডক হবে।

বিশেষ নির্বচন: মনে করি, $ABC$ ত্রিভুজের $A$ বিন্দু থেকে অঙ্কিত $AD$ সরলরেখাংশ $BC$ বাহুকে $D$ বিন্দুতে এরূপে অন্তঃস্থভাবে বিভক্ত করেছে যে, $BD : DC = BA : AC$। প্রমাণ করতে হবে যে, $AD$ রেখাংশ $\angle BAC$ এর সমদ্বিখণ্ডক অর্থাৎ, $\angle BAD = \angle CAD$

অঙ্কন : $DA$ রেখাংশের সমান্তরাল করে $C$ বিন্দু দিয়ে $CE$ রেখাংশ অঙ্কন করি, যেন তা বর্ধিত $BA$ বাহুকে $E$ বিন্দুতে ছেদ করে।

Figure

লেবেল: $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ বর্ণনা: ত্রিভুজ $ABC$; $D$ বিন্দু $BC$ বাহুর ওপর; $AD$ রেখাংশ অঙ্কিত। $C$ বিন্দু দিয়ে $CE$ রেখাংশ অঙ্কিত, যা বর্ধিত $BA$ কে $E$ বিন্দুতে ছেদ করেছে।

প্রমাণ:

ধাপ ১. $\triangle BCE$ এর $DA \parallel CE$ [অঙ্কন]

$\therefore BA : AE = BD : DC$ [উপপাদ্য ২৮]

ধাপ ২. কিন্তু $BD : DC = BA : AC$ [স্বীকার]

$\therefore BA : AE = BA : AC$ [ধাপ ১ ও ধাপ ২ থেকে]

$\therefore AE = AC$

অতএব, $\angle ACE = \angle AEC$ [সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি সংলগ্ন কোণ দুইটি সমান]

ধাপ ৩. কিন্তু $\angle AEC = \angle BAD$ [অনুরূপ কোণ]

এবং $\angle ACE = \angle CAD$ [একান্তর কোণ]

Printed page 271

অতএব, $\angle BAD = \angle CAD$ [ধাপ ২ থেকে]

$\therefore AD$ রেখাংশ $\angle BAC$ এর সমদ্বিখণ্ডক।