Mathematics chapter 4.1: Algebraic Formulae - Squares

এক নজরে

বীজগণিতীয় প্রতীক দ্বারা প্রকাশিত যেকোনো সাধারণ নিয়ম বা সিদ্ধান্তকে বীজগণিতীয় সূত্র (Algebraic Formula) বলা হয়। বাস্তব জীবনে জমির পরিমাপ, ঘরবাড়ি নির্মাণ, ভৌতবিজ্ঞানের হিসাব-নিকাশ এবং যেকোনো দ্বিঘাত সম্পর্ক বিশ্লেষণে বর্গের সূত্রাবলি বীজগণিতের অন্যতম মৌলিক ভিত্তি।

সপ্তম শ্রেণিতে আমরা প্রথম চারটি সূত্র ও তাদের অনুসিদ্ধান্তের সঙ্গে পরিচিত হয়েছি। অষ্টম শ্রেণির এই ৪.১ অনুশীলনীতে আমরা সেই সূত্রাবলির গভীর জ্যামিতিক তাৎপর্য, দ্বিপদী ও ত্রিপদী রাশির বর্গ নির্ণয়, রাশিমালা সরলীকরণ, চলকের মান নির্ণয় এবং দুটি রাশির গুণফলকে বর্গের অন্তররূপে প্রকাশের বাস্তব কৌশল আয়ত্ত করব।

mindmap  root((বীজগণিতীয় সূত্রাবলি<br>বর্গ সংবলিত))    মৌলিক সূত্রাবলি      সূত্র ১: দ্বিপদী যোগফল (a+b)²      সূত্র ২: দ্বিপদী বিয়োগফল (a-b)²      সূত্র ৩: বর্গের অন্তর a² - b²      সূত্র ৪: সাধারণ পদ গুণফল (x+a)(x+b)      ত্রিপদী সূত্র: (a+b+c)²    গুরুত্বপূর্ণ অনুসিদ্ধান্ত      বর্গের যোগফল a²+b² এর দুটি রূপ      বর্গের রূপান্তর (a+b)² ও (a-b)²      2(a²+b²) ও 4ab সূত্র      দুটি বর্গের অন্তররূপে ab    ব্যবহারিক প্রয়োগ      দ্বিপদী ও ত্রিপদী রাশির বর্গ নির্ণয়      সংখ্যা রাশির দ্রুত বর্গ নির্ণয়      রাশিমালা সরলীকরণ      চলকের মান নির্ণয়      ভগ্নাংশীয় রাশির ঘাত সম্প্রসারণ x⁴+1/x⁴      বর্গের অন্তররূপে প্রকাশ

mindmap
  root((বীজগণিতীয় সূত্রাবলি<br>বর্গ সংবলিত))
    মৌলিক সূত্রাবলি
      সূত্র ১: দ্বিপদী যোগফল (a+b)²
      সূত্র ২: দ্বিপদী বিয়োগফল (a-b)²
      সূত্র ৩: বর্গের অন্তর a² - b²
      সূত্র ৪: সাধারণ পদ গুণফল (x+a)(x+b)
      ত্রিপদী সূত্র: (a+b+c)²
    গুরুত্বপূর্ণ অনুসিদ্ধান্ত
      বর্গের যোগফল a²+b² এর দুটি রূপ
      বর্গের রূপান্তর (a+b)² ও (a-b)²
      2(a²+b²) ও 4ab সূত্র
      দুটি বর্গের অন্তররূপে ab
    ব্যবহারিক প্রয়োগ
      দ্বিপদী ও ত্রিপদী রাশির বর্গ নির্ণয়
      সংখ্যা রাশির দ্রুত বর্গ নির্ণয়
      রাশিমালা সরলীকরণ
      চলকের মান নির্ণয়
      ভগ্নাংশীয় রাশির ঘাত সম্প্রসারণ x⁴+1/x⁴
      বর্গের অন্তররূপে প্রকাশ

প্রধান ধারণাসমূহ সংক্ষেপে:

1. দ্বিপদী রাশির বর্গ: $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$ — প্রথম পদের বর্গ $\pm$ দ্বিগুণ প্রথম পদ $\times$ দ্বিতীয় পদ $+$ দ্বিতীয় পদের বর্গ।
2. ত্রিপদী রাশির বর্গ: $(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$ — পদ তিনটির বর্গের সমষ্টি $+$ প্রতি জোড়ার গুণফলের দ্বিগুণ।
3. বর্গের বিয়োগফল (অন্তর): $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$।
4. সাধারণ পদযুক্ত গুণফল: $(x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab$।
5. মান নির্ণয়ের অনুসিদ্ধান্ত: $a^2+b^2 = (a+b)^2 - 2ab = (a-b)^2 + 2ab$।
6. সংযোগ অনুসিদ্ধান্ত: $(a+b)^2 = (a-b)^2 + 4ab$ এবং $(a-b)^2 = (a+b)^2 - 4ab$।
7. যুগ্ম অনুসিদ্ধান্ত: $2(a^2+b^2) = (a+b)^2 + (a-b)^2$ এবং $4ab = (a+b)^2 - (a-b)^2$।
8. বর্গের অন্তররূপে প্রকাশ: $ab = \left(\frac{a+b}{2}\right)^2 - \left(\frac{a-b}{2}\right)^2$।

শিখনফল

পাঠ্যবইয়ের ৪৭ পৃষ্ঠা অনুযায়ী এই অধ্যায় ও অনুচ্ছেদ সমাপ্তির পর শিক্ষার্থীরা—

• বীজগণিতীয় সূত্র কী তা সংজ্ঞায়িত ও ব্যাখ্যা করতে পারবে।
• দ্বিপদী ও ত্রিপদী রাশির বর্গের সূত্রাবলির জ্যামিতিক ব্যাখ্যা প্রদান করতে পারবে।
• বীজগণিতীয় সূত্র প্রয়োগ করে দ্বিপদী ও ত্রিপদী রাশির বর্গ নিখুঁতভাবে নির্ণয় করতে পারবে।
• সূত্রাবলি ব্যবহার করে বড় বড় রাশিমালা দ্রুত ও নির্ভুলভাবে সরলীকরণ করতে পারবে।
• অনুসিদ্ধান্তসমূহ প্রয়োগ করে বিভিন্ন বীজগণিতীয় রাশিমালার সাংখ্যিক মান বের করতে পারবে।
• যেকোনো দুটি বীজগণিতীয় রাশির গুণফলকে দুইটি রাশির বর্গের অন্তররূপে (Difference of two squares) প্রকাশ করতে পারবে।

মূল আলোচনা ও জ্যামিতিক প্রমাণ

১. বীজগণিতীয় সূত্র কী?

বীজগণিতে সংখ্যা বা পরিমাপ নির্দেশকারী প্রতীক বা চলক (যেমন: $a, b, c, x, y$) দ্বারা প্রকাশিত যেকোনো সাধারণ নিয়ম বা গাণিতিক অভেদকে বীজগণিতীয় সূত্র (Algebraic Formula) বলে। প্রতিটি সূত্র মূলত সকল বাস্তব মানের জন্য সত্য একটি স্বতঃসিদ্ধ সম্পর্ক (Identity বা অভেদ)।

২. দ্বিপদী রাশির বর্গের জ্যামিতিক প্রমাণ: $(a+b)^2$

মনে করি, একটি বড় বর্গক্ষেত্রের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য $(a+b)$। সুতরাং সম্পূর্ণ বর্গক্ষেত্রটির মোট ক্ষেত্রফল হবে: $\text{ক্ষেত্রফল} = (a+b) \times (a+b) = (a+b)^2$

এখন, বর্গক্ষেত্রটির প্রতিটি বাহুকে $a$ ও $b$ দুটি অংশে বিভক্ত করলে সম্পূর্ণ বর্গক্ষেত্রটি চারটি স্বতন্ত্র অংশে বিভক্ত হয়:

1. $a$ বাহুবিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্র, যার ক্ষেত্রফল $= a \times a = a^2$
2. $a$ দৈর্ঘ্য ও $b$ প্রস্থবিশিষ্ট একটি আয়তক্ষেত্র, যার ক্ষেত্রফল $= a \times b = ab$
3. $b$ দৈর্ঘ্য ও $a$ প্রস্থবিশিষ্ট আরেকটি আয়তক্ষেত্র, যার ক্ষেত্রফল $= b \times a = ab$
4. $b$ বাহুবিশিষ্ট একটি ছোট বর্গক্ষেত্র, যার ক্ষেত্রফল $= b \times b = b^2$

          <-------- a --------> <--- b --->       +-----------------------+-----------+  ^       |                       |           |  |       |                       |           |  |       |       a²              |    ab     |  a       |                       |           |  |       |                       |           |  |       +-----------------------+-----------+  v       |          ab           |    b²     |  b       +-----------------------+-----------+  v       <----------------- a + b ----------->

অতএব, সম্পূর্ণ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = চারটি খণ্ডের ক্ষেত্রফলের সমষ্টি: $(a+b)^2 = a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$

কথায়: দুইটি রাশির যোগফলের বর্গ = ১ম রাশির বর্গ $+ 2 \times$ ১ম রাশি $\times$ ২য় রাশি $+$ ২য় রাশির বর্গ।

৩. দ্বিপদী রাশির বিয়োগফলের বর্গের জ্যামিতিক প্রমাণ: $(a-b)^2$

মনে করি, একটি বৃহৎ বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য $a$। সুতরাং এর ক্ষেত্রফল $= a^2$। আমরা এর বাহু থেকে $b$ পরিমাণ দৈর্ঘ্য বাদ দিয়ে $(a-b)$ বাহুবিশিষ্ট একটি ছোট বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে চাই।

             <-------- a-b --------> <--- b --->          +-------------------------+-----------+  ^          |                         |           |  |          |                         |           |  |          |       (a - b)²          |  b(a - b) | a-b          |                         |           |  |          |                         |           |  |          +-------------------------+-----------+  v          |        b(a - b)         |    b²     |  b          +-------------------------+-----------+  v          <-------------------- a -------------->

চিত্রানুসারে:

• সম্পূর্ণ বর্গের ক্ষেত্রফল $= a^2$
• বাদ দিতে হবে: দুটি আয়তক্ষেত্র যাদের প্রত্যেকের ক্ষেত্রফল $b(a-b)$ এবং কোণার বর্গক্ষেত্র $b^2$
• অথবা, সম্পূর্ণ ক্ষেত্রফল $a^2$ থেকে দুটি $a \times b$ মাপের ফালি বাদ দিলে কোণার $b^2$ অংশটি দুইবার বাদ পড়ে যায়। ফলে একবার $b^2$ যোগ করতে হয়: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

বীজগণিতীয়ভাবে প্রতিপাদন: $(a-b)^2 = \{a + (-b)\}^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot (-b) + (-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

কথায়: দুইটি রাশির বিয়োগফলের বর্গ = ১ম রাশির বর্গ $- 2 \times$ ১ম রাশি $\times$ ২য় রাশি $+$ ২য় রাশির বর্গ।

৪. বর্গের অন্তরের সূত্র: $a^2 - b^2$

$(a+b)(a-b) = a(a-b) + b(a-b) = a^2 - ab + ab - b^2 = a^2 - b^2$ $\therefore a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$

কথায়: দুইটি রাশির বর্গের বিয়োগফল = রাশি দুইটির যোগফল $\times$ রাশি দুইটির বিয়োগফল।

৫. সাধারণ পদযুক্ত দ্বিপদী রাশির গুণফল: $(x+a)(x+b)$

$(x+a)(x+b) = x(x+b) + a(x+b) = x^2 + bx + ax + ab = x^2 + (a+b)x + ab$

কথায়: দুইটি দ্বিপদী রাশির প্রথম পদ একই হলে, তাদের গুণফল হবে: $(\text{সাধারণ পদের বর্গ}) + (\text{স্ব-স্ব চিহ্নযুক্ত দ্বিতীয় পদদ্বয়ের সমষ্টি}) \times (\text{সাধারণ পদ}) + (\text{দ্বিতীয় পদদ্বয়ের গুণফল})$।

৬. ত্রিপদী রাশির বর্গের জ্যামিতিক প্রমাণ: $(a+b+c)^2$

মনে করি, একটি বর্গক্ষেত্রের প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্য $(a+b+c)$। সম্পূর্ণ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $= (a+b+c)^2$। বাহুর বিভাজন অনুযায়ী সম্পূর্ণ বর্গটি $৩ \times ৩ = ৯$টি অংশে বিভক্ত হয়:

          <---- a ----> <---- b ----> <---- c ---->       +---------------+---------------+-----------+  ^       |               |               |           |  |       |      a²       |      ab       |    ac     |  a       |               |               |           |  |       +---------------+---------------+-----------+  v       |               |               |           |  |       |      ab       |      b²       |    bc     |  b       |               |               |           |  |       +---------------+---------------+-----------+  v       |               |               |           |  |       |      ac       |      bc       |    c²     |  c       |               |               |           |  |       +---------------+---------------+-----------+  v       <------------------ a + b + c -------------->

অংশগুলোর ক্ষেত্রফলের সমষ্টি: $a^2 + ab + ac + ab + b^2 + bc + ac + bc + c^2$ সাজিয়ে লিখলে পাই: $(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$

নিয়ম: ত্রিপদী রাশির বর্গ = তিনটি পদের পৃথক বর্গের সমষ্টি $+ 2 \times ($প্রতিটি যুগল পদের গুণফলের সমষ্টি$)$।

৭. মান নির্ণয়ের মৌলিক কৌশল ও অনুসিদ্ধান্তের উৎপত্তি