Skip to content

Mathematics chapter 4.2: Algebraic Formulae - Cubes

বীজগণিতীয় সূত্রাবলি — ঘন

  • Mathematics
  • Textbook pages 55-62
  • 1 source
  • 36,758 characters of context

বীজগণিতের অন্যতম শক্তিশালী ও ভিত্তিপ্রস্তর শাখা হলো বীজগণিতীয় সূত্রাবলি ও এদের প্রয়োগ। অষ্টম শ্রেণির গণিত পাঠ্যবইয়ের চতুর্থ অধ্যায়ের ৪.২ অনুচ্ছেদটি ঘন সংবলিত সূত্রাবলি (Cube Identities), এদের জ্যামিতিক ও বীজগণিতীয় প্রতিপাদন, মান নির্ণয়ের অনুসিদ্ধান্ত এবং উৎপাদক ও গুণফল নির্ণয়ের সূত্রের ওপর…

Study sheet: Algebraic Formulae - Cubes

Structured notes written from the textbook, with page references.

Contents54
  1. এক নজরে
  2. এই অধ্যায়ের মূল আলোচ্য বিষয়সমূহ:
  3. শিখনফল
  4. মূল আলোচনা ও প্রতিপাদন
  5. ১. ঘন (Cube) কী? বীজগাণিতিক ও জ্যামিতিক ধারণা
  6. ২. মৌলিক ঘনসূত্রাবলি ও আরোহী প্রতিপাদন
  7. ৩. মান নির্ণয়ের অনুসিদ্ধান্তসমূহ
  8. ৪. গুণফল ও উৎপাদকের সূত্রাবলি (পাঠ্যবইয়ের ৪.৩ অনুচ্ছেদ)
  9. ৫. ত্রিপদী রাশির ঘনফল নির্ণয়ের কৌশল
  10. গুরুত্বপূর্ণ সূত্রাবলি ও অনুসিদ্ধান্ত ছক
  11. মূল পাঠ্যবইয়ের উদাহরণ ও কাজের পুঙ্খানুপুঙ্খ সমাধান
  12. উদাহরণ ১৬: 3x + 2y-এর ঘন নির্ণয় করো।
  13. উদাহরণ ১৭: 2a + 5b-এর ঘন নির্ণয় করো।
  14. উদাহরণ ১৮: m - 2n-এর ঘন নির্ণয় করো।
  15. উদাহরণ ১৯: 4x - 5y-এর ঘন নির্ণয় করো।
  16. উদাহরণ ২০: x + y - z-এর ঘন নির্ণয় করো।
  17. কাজ (পাঠ্যবই পৃষ্ঠা ৫৭): সূত্রের সাহায্যে ঘন নির্ণয় করো
  18. উদাহরণ ২১: সরল করো:
  19. উদাহরণ ২২: সরল করো:
  20. উদাহরণ ২৩: a + b = 3 এবং ab = 2 হলে, a3 + b3-এর মান নির্ণয় করো।
  21. উদাহরণ ২৪: x - y = 10 এবং xy = 30 হলে, x3 - y3-এর মান নির্ণয় করো।
  22. উদাহরণ ২৫: x + y = 4 হলে, x3 + y3 + 12xy-এর মান কত?
  23. উদাহরণ ২৬: a + 1a = 7 হলে, a3 + 1a3-এর মান নির্ণয় করো।
  24. উদাহরণ ২৭: m = 2 হলে, 27m3 + 54m2 + 36m + 3-এর মান নির্ণয় করো।
  25. কাজ (পাঠ্যবই পৃষ্ঠা ৫৯)
  26. উদাহরণ ২৮: সূত্রের সাহায্যে (x2 + 2) ও (x4 - 2x2 + 4)-এর গুণফল নির্ণয় করো।
  27. উদাহরণ ২৯: সূত্রের সাহায্যে (4a - 5b) ও (16a2 + 20ab + 25b2)-এর গুণফল নির্ণয় করো।
  28. কাজ (পাঠ্যবই পৃষ্ঠা ৬০): সূত্রের সাহায্যে (2a + 3b) ও (4a2 - 6ab + 9b2)-এর গুণফল নির্ণয় করো।
  29. অনুশীলনী ৪.২ এর সম্পূর্ণ পুঙ্খানুপুঙ্খ সমাধান
  30. ১। সূত্রের সাহায্যে নিচের রাশিগুলোর ঘন নির্ণয় করো:
  31. ২। সরল করো:
  32. ৩। a + b = 8 এবং ab = 15 হলে, a3 + b3-এর মান কত?
  33. ৪। x + y = 2 হলে, দেখাও যে, x3 + y3 + 6xy = 8
  34. ৫। 2x + 3y = 13 এবং xy = 6 হলে, 8x3 + 27y3-এর মান নির্ণয় করো।
  35. ৬। p - q = 5, pq = 3 হলে, p3 - q3-এর মান নির্ণয় করো।
  36. ৭। x - 2y = 3 হলে, x3 - 8y3 - 18xy-এর মান নির্ণয় করো।
  37. ৮। 4x - 3 = 5 হলে, প্রমাণ করো যে, 64x3 - 27 - 180x = 125
  38. ৯। a = -3 এবং b = 2 হলে, 8a3 + 36a2b + 54ab2 + 27b3-এর মান নির্ণয় করো।
  39. ১০। a = 7 হলে, a3 + 6a2 + 12a + 1-এর মান নির্ণয় করো।
  40. ১১। x = 5 হলে, x3 - 12x2 + 48x - 64-এর মান কত?
  41. ১২। a2 + b2 = c2 হলে, প্রমাণ করো যে, a6 + b6 + 3a2b2c2 = c6
  42. ১৩। x + 1x = 4 হলে, প্রমাণ করো যে, x3 + 1x3 = 52
  43. ১৪। a - 1a = 5 হলে, a3 - 1a3-এর মান কত?
  44. ১৫। সূত্রের সাহায্যে গুণফল নির্ণয় করো:
  45. সৃজনশীল প্রশ্নোত্তর (Creative Questions - CQ)
  46. সৃজনশীল প্রশ্ন ১ (বোর্ড স্ট্যান্ডার্ড — চলক ও ভগ্নাংশীয় সম্পর্ক):
  47. সৃজনশীল প্রশ্ন ২ (ক্যাডেট কলেজ স্ট্যান্ডার্ড — তিন চলকের শর্তাধীন সম্পর্ক):
  48. সৃজনশীল প্রশ্ন ৩ (বোর্ড স্ট্যান্ডার্ড — ধারাবাহিক গুণফল ও সরলীকরণ):
  49. সৃজনশীল প্রশ্ন ৪ (উচ্চতর দক্ষতা — মিশ্র ঘাত ও প্রতিপাদন):
  50. বহুনির্বাচনী প্রশ্নোত্তর ও শর্টকাট কৌশল (MCQ & Shortcuts)
  51. ম্যাজিক শর্টকাট ফর্মুলা ছক
  52. বহুনির্বাচনী প্রশ্নাবলি (ব্যাখ্যাসহ)
  53. সাধারণ ভুল ও সতর্কতা
  54. দ্রুত ঝালাই

চতুর্থ অধ্যায় (অনুশীলনী ৪.২) — বীজগণিতীয় সূত্রাবলি: ঘন

এক নজরে

বীজগণিতের অন্যতম শক্তিশালী ও ভিত্তিপ্রস্তর শাখা হলো বীজগণিতীয় সূত্রাবলি ও এদের প্রয়োগ। অষ্টম শ্রেণির গণিত পাঠ্যবইয়ের চতুর্থ অধ্যায়ের ৪.২ অনুচ্ছেদটি ঘন সংবলিত সূত্রাবলি (Cube Identities), এদের জ্যামিতিক ও বীজগণিতীয় প্রতিপাদন, মান নির্ণয়ের অনুসিদ্ধান্ত এবং উৎপাদক ও গুণফল নির্ণয়ের সূত্রের ওপর নিবেদিত।

বর্গ যেমন দ্বিমাত্রিক তলের ক্ষেত্রফল নির্দেশ করে, তেমনি ঘন মূলত ত্রিমাত্রিক জগতের আয়তন (Volume) পরিমাপের বীজগণিতীয় রূপ। এই অধ্যায়ে দ্বি-পদী ও ত্রি-পদী রাশির ঘনফল নির্ণয়, ঘনের সাহায্যে জটিল বীজগাণিতিক রাশির সরলীকরণ, প্রতিসম ও চক্র-ক্রমিক সম্পর্কের মান নির্ণয় এবং উৎপাদকে বিশ্লেষণের ভিত্তি নির্মিত হয়।

mermaid
mindmap  root((বীজগণিতীয় ঘনসূত্র<br>Cube Formulas))    ঘনফল নির্ণয়ের সূত্র      (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³      (a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³      ত্রিপদী রাশির ঘন {(a + b) + c}³    মান নির্ণয়ের অনুসিদ্ধান্ত      a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b)      a³ - b³ = (a - b)³ + 3ab(a - b)      বিপরীত ভগ্নাংশ x³ ± 1/x³    গুণফল ও উৎপাদকের সূত্র      a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)      a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)      ধারাবাহিক গুণফল রূপান্তর    ব্যবহারিক প্রয়োগক্ষেত্র      বীজগণিতীয় রাশির সরলীকরণ      শর্তাধীন মান নির্ণয় ও প্রমাণ      বাস্তব সমস্যা ও আয়তন পরিমাপ
Diagram source
mindmap
  root((বীজগণিতীয় ঘনসূত্র<br>Cube Formulas))
    ঘনফল নির্ণয়ের সূত্র
      (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
      (a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³
      ত্রিপদী রাশির ঘন {(a + b) + c}³
    মান নির্ণয়ের অনুসিদ্ধান্ত
      a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b)
      a³ - b³ = (a - b)³ + 3ab(a - b)
      বিপরীত ভগ্নাংশ x³ ± 1/x³
    গুণফল ও উৎপাদকের সূত্র
      a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)
      a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)
      ধারাবাহিক গুণফল রূপান্তর
    ব্যবহারিক প্রয়োগক্ষেত্র
      বীজগণিতীয় রাশির সরলীকরণ
      শর্তাধীন মান নির্ণয় ও প্রমাণ
      বাস্তব সমস্যা ও আয়তন পরিমাপ

এই অধ্যায়ের মূল আলোচ্য বিষয়সমূহ:

  1. দ্বিপদী রাশির ঘনফল নির্ণয়: (a+b)3(a+b)^3 এবং (a−b)3(a-b)^3-এর বীজগণিতীয় সম্প্রসারণ ও প্রতিপাদন।
  2. মান নির্ণয়ের অনুসিদ্ধান্ত: a3+b3a^3+b^3 এবং a3−b3a^3-b^3-এর মান নির্ণয় এবং পারস্পরিক রূপান্তর।
  3. ভগ্নাংশীয় রাশির ঘনফল: চলক ও তার গুণাত্মক বিপরীতের (xx ও 1x\frac{1}{x}) ঘনের মান নির্ণয়ের বিশেষ কৌশল।
  4. গুণফল ও উৎপাদকের সূত্র: (a+b)(a2−ab+b2)=a3+b3(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3 এবং (a−b)(a2+ab+b2)=a3−b3(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3-b^3-এর দ্বিমুখী প্রয়োগ।
  5. ত্রিপদী রাশির ঘন: (a+b+c)3(a+b+c)^3-কে দ্বিপদীতে রূপান্তর করে সম্প্রসারণ।
  6. সরলীকরণ: ঘনফলের সূত্রের বিপরীত প্রয়োগের মাধ্যমে জটিল বহুপদী রাশিকে একপদী বা সংক্ষিপ্ত রাশিতে সংকোচন।

শিখনফল

পাঠ্যক্রম ও পাঠ্যবইয়ের নির্দেশনা অনুযায়ী, এই অংশটি অধ্যয়নের পর শিক্ষার্থীরা—

  • বীজগাণিতিক ঘনফলের মৌলিক সূত্রাবলি (সূত্র ৫সূত্র\ ৫ ও সূত্র ৬সূত্র\ ৬) ব্যাখ্যা ও প্রতিপাদন করতে পারবে।
  • ঘনফলের জ্যামিতিক তাৎপর্য ও ত্রিমাত্রিক ব্লকের সমন্বয় অনুধাবন করতে পারবে।
  • ঘন সংবলিত সূত্রাবলি প্রয়োগ করে দ্বিপদী ও ত্রিপদী রাশির ঘন নির্ণয় করতে পারবে।
  • অনুসিদ্ধান্ত (অনুসিদ্ধান্ত ৭অনুসিদ্ধান্ত\ ৭ ও অনুসিদ্ধান্ত ৮অনুসিদ্ধান্ত\ ৮) ব্যবহার করে বীজগাণিতিক রাশির মান নির্ণয় ও প্রমাণ সম্পন্ন করতে পারবে।
  • গুণফল ও উৎপাদকের ঘনসূত্র (সূত্র ৭সূত্র\ ৭ ও সূত্র ৮সূত্র\ ৮) প্রয়োগ করে বীজগাণিতিক গুণফল দ্রুত ও নির্ভুলভাবে নির্ণয় করতে পারবে।
  • মাধ্যমিক ও বোর্ড পরীক্ষার সৃজনশীল প্রশ্ন (CQ) এবং বহুনির্বাচনী প্রশ্নের (MCQ) শর্টকাট সমাধান করতে সক্ষম হবে।

মূল আলোচনা ও প্রতিপাদন

১. ঘন (Cube) কী? বীজগাণিতিক ও জ্যামিতিক ধারণা

কোনো রাশিকে সেই রাশি দ্বারা পর পর তিনবার গুণ করলে যে গুণফল পাওয়া যায়, তাকে ঐ রাশির ঘন (Cube) বলা হয়। এবং মূল রাশিটিকে গুণফলের ঘনমূল (Cube Root) বলা হয়।

যেমন, aa একটি বীজগাণিতিক রাশি হলে: a×a×a=a3a \times a \times a = a^3 এখানে a3a^3 হলো aa-এর ঘন।

জ্যামিতিক তাৎপর্য (Geometric Interpretation):

একটি ঘনক (Cube)-এর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ এবং উচ্চতা প্রতিটি যদি (a+b)(a+b) একক হয়, তবে তার মোট আয়তন হবে (a+b)3(a+b)^3 ঘন একক। এই বৃহৎ ঘনকটিকে যদি aa ও bb অংশে বিভক্ত করা হয়, তবে এটি ৮টি স্বতন্ত্র ত্রিমাত্রিক ব্লকে বিভক্ত হয়:

  1. aa বাহুবিশিষ্ট ১টি ঘনক, যার আয়তন =a3= a^3
  2. bb বাহুবিশিষ্ট ১টি ঘনক, যার আয়তন =b3= b^3
  3. a×a×ba \times a \times b পরিমাপের ৩টি আয়তাকার ঘনবস্তু (স্ল্যাব), যাদের মোট আয়তন =3a2b= 3a^2b
  4. a×b×ba \times b \times b পরিমাপের ৩টি আয়তাকার রড বা দণ্ড, যাদের মোট আয়তন =3ab2= 3ab^2

সুতরাং সমগ্র ঘনকের আয়তন: (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3

২. মৌলিক ঘনসূত্রাবলি ও আরোহী প্রতিপাদন

সূত্র ৫: (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b)(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)

বীজগাণিতিক প্রমাণ: আমরা জানি, সূচকের নিয়ম অনুযায়ী: (a+b)3=(a+b)(a+b)2(a+b)^3 = (a+b)(a+b)^2

বর্গ নির্ণয়ের সূত্র অনুযায়ী আমরা জানি, (a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2।

\therefore (a+b)^3 &= (a+b)(a^2 + 2ab + b^2) \\ &= a(a^2 + 2ab + b^2) + b(a^2 + 2ab + b^2) \\ &= (a^3 + 2a^2b + ab^2) + (a^2b + 2ab^2 + b^3) \\ &= a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \end{aligned}$$ আবার, মধ্যবর্তী দুটি পদ থেকে $3ab$ সাধারণ (common) নিলে পাই: $$a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)$$ $$\therefore (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b) \quad \text{[প্রমাণিত]}$$ > **Tip** > পদদ্বয়ের ঘাতের পরিবর্তন লক্ষ্য করো: প্রথম পদ $a$-এর ঘাত ক্রমান্বয়ে কমছে ($3 \to 2 \to 1 \to 0$) এবং দ্বিতীয় পদ $b$-এর ঘাত ক্রমান্বয়ে বাড়ছে ($0 \to 1 \to 2 \to 3$)। সহগগুলোর অনুপাত হলো $1 : 3 : 3 : 1$ (প্যাসকেলের ত্রিভুজের ৩য় সারি)। --- #### সূত্র ৬: $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 = a^3 - b^3 - 3ab(a-b)$ **বীজগাণিতিক প্রমাণ:** সূচকের নিয়ম অনুযায়ী: $$(a-b)^3 = (a-b)(a-b)^2$$ বর্গ নির্ণয়ের সূত্রানুযায়ী, $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$। $$\begin{aligned} \therefore (a-b)^3 &= (a-b)(a^2 - 2ab + b^2) \\ &= a(a^2 - 2ab + b^2) - b(a^2 - 2ab + b^2) \\ &= (a^3 - 2a^2b + ab^2) - (a^2b - 2ab^2 + b^3) \\ &= a^3 - 2a^2b + ab^2 - a^2b + 2ab^2 - b^3 \\ &= a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 \end{aligned}$$ মাঝের দুটি পদ থেকে $-3ab$ সাধারণ নিলে পাই: $$a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 = a^3 - b^3 - 3ab(a-b)$$ $$\therefore (a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 = a^3 - b^3 - 3ab(a-b) \quad \text{[প্রমাণিত]}$$ > **Warning** > চিহ্ন সংক্রান্ত সতর্কতা: $(a-b)^3$-এর বিস্তৃতিতে চিহ্নগুলো একান্তরভাবে পরিবর্তিত হয়: $+ , -, +, -$। অর্থাৎ $3ab^2$-এর আগে ধনাত্মক ($+$) চিহ্ন থাকে, কারণ $(-b)^2 = +b^2$। শিক্ষার্থীরা প্রায়ই ভুল করে $-3ab^2$ লিখে ফেলে! ---

৩. মান নির্ণয়ের অনুসিদ্ধান্তসমূহ

মান নির্ণয়ের সময় আমাদের ঘন রাশির সমষ্টি (a3+b3a^3+b^3) বা অন্তর (a3−b3a^3-b^3)-এর মান বের করতে হয়, যখন (a+b)(a+b) বা (a−b)(a-b) এবং গুণফল abab-এর মান প্রদত্ত থাকে।

অনুসিদ্ধান্ত ৭: a3+b3=(a+b)3−3ab(a+b)a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)

প্রতিপাদন: আমরা সূত্র ৫ থেকে জানি: (a+b)3=a3+b3+3ab(a+b)(a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b) উভয়পক্ষকে পক্ষান্তর করে পাই: (a+b)3−3ab(a+b)=a3+b3(a+b)^3 - 3ab(a+b) = a^3 + b^3 ∴a3+b3=(a+b)3−3ab(a+b)[প্রমাণিত]\therefore a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b) \quad \text{[প্রমাণিত]}

অনুসিদ্ধান্ত ৮: a3−b3=(a−b)3+3ab(a−b)a^3 - b^3 = (a-b)^3 + 3ab(a-b)

প্রতিপাদন: আমরা সূত্র ৬ থেকে জানি: (a−b)3=a3−b3−3ab(a−b)(a-b)^3 = a^3 - b^3 - 3ab(a-b) পক্ষান্তর করে পাই: (a−b)3+3ab(a−b)=a3−b3(a-b)^3 + 3ab(a-b) = a^3 - b^3 ∴a3−b3=(a−b)3+3ab(a−b)[প্রমাণিত]\therefore a^3 - b^3 = (a-b)^3 + 3ab(a-b) \quad \text{[প্রমাণিত]}

বিপরীত ভগ্নাংশের জন্য বিশেষ অনুসিদ্ধান্ত:

বীজগণিতে বহুল ব্যবহৃত রাশিমালা xx ও 1x\frac{1}{x}-এর ক্ষেত্রে ab=x⋅1x=1ab = x \cdot \frac{1}{x} = 1 হয়ে যায়। ফলে:

  1. x3+1x3=(x+1x)3−3(x+1x)x^3 + \frac{1}{x^3} = \left(x + \frac{1}{x}\right)^3 - 3\left(x + \frac{1}{x}\right)
  2. x3−1x3=(x−1x)3+3(x−1x)x^3 - \frac{1}{x^3} = \left(x - \frac{1}{x}\right)^3 + 3\left(x - \frac{1}{x}\right)

৪. গুণফল ও উৎপাদকের সূত্রাবলি (পাঠ্যবইয়ের ৪.৩ অনুচ্ছেদ)

যখন দুটি বীজগণিতীয় রাশির গুণফল একটি সরল ঘনের আকারে প্রকাশ করতে হয়, অথবা কোনো ঘন রাশিকে দুটি উৎপাদকের গুণফলরূপে প্রকাশ করতে হয়, তখন নিচের সূত্র দুটি ব্যবহৃত হয়।

সূত্র ৭: a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)

প্রতিপাদন (অনুসিদ্ধান্ত থেকে):

a^3 + b^3 &= (a+b)^3 - 3ab(a+b) \\ &= (a+b)\{(a+b)^2 - 3ab\} \quad \text{[$(a+b)$ সাধারণ নিয়ে]} \\ &= (a+b)(a^2 + 2ab + b^2 - 3ab) \\ &= (a+b)(a^2 - ab + b^2) \end{aligned}$$ **বিপরীতভাবে (সরাসরি গুণ করে প্রতিপাদন):** $$\begin{aligned} (a+b)(a^2 - ab + b^2) &= a(a^2 - ab + b^2) + b(a^2 - ab + b^2) \\ &= a^3 - a^2b + ab^2 + a^2b - ab^2 + b^3 = a^3 + b^3 \end{aligned}$$ $$\therefore (a+b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3 \quad \text{[প্রমাণিত]}$$ --- #### সূত্র ৮: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ **প্রতিপাদন (অনুসিদ্ধান্ত থেকে):** $$\begin{aligned} a^3 - b^3 &= (a-b)^3 + 3ab(a-b) \\ &= (a-b)\{(a-b)^2 + 3ab\} \quad \text{[$(a-b)$ সাধারণ নিয়ে]} \\ &= (a-b)(a^2 - 2ab + b^2 + 3ab) \\ &= (a-b)(a^2 + ab + b^2) \end{aligned}$$ **বিপরীতভাবে (সরাসরি গুণ করে প্রতিপাদন):** $$\begin{aligned} (a-b)(a^2 + ab + b^2) &= a(a^2 + ab + b^2) - b(a^2 + ab + b^2) \\ &= a^3 + a^2b + ab^2 - a^2b - ab^2 - b^3 = a^3 - b^3 \end{aligned}$$ $$\therefore (a-b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3 \quad \text{[প্রমাণিত]}$$ ---

৫. ত্রিপদী রাশির ঘনফল নির্ণয়ের কৌশল

ত্রিপদী রাশি যেমন (a+b+c)(a+b+c)-এর ঘন নির্ণয় করতে হলে প্রথম দুটি পদকে একটি একক ধরে দ্বিপদীতে রূপান্তর করতে হয়: (a+b+c)3={(a+b)+c}3(a+b+c)^3 = \{(a+b) + c\}^3

এখন দ্বিপদীর সূত্র প্রয়োগ করে:

\{(a+b)+c\}^3 &= (a+b)^3 + 3(a+b)^2 c + 3(a+b) c^2 + c^3 \\ &= (a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3) + 3(a^2 + 2ab + b^2)c + 3(a+b)c^2 + c^3 \\ &= a^3 + b^3 + c^3 + 3a^2b + 3ab^2 + 3a^2c + 6abc + 3b^2c + 3ac^2 + 3bc^2 \\ &= a^3 + b^3 + c^3 + 3(a+b)(b+c)(c+a) \end{aligned}$$ ---

Loading the rest of the chapter…

Textbook content © National Curriculum and Textbook Board (NCTB), Bangladesh. Shown for study.

Trusted resources

Official links checked by the Zntext team. Part of the context pack.