Skip to content

Mathematics chapter 4.3: Factorization

উৎপাদকে বিশ্লেষণ

  • Mathematics
  • Textbook pages 62-68
  • 1 source
  • 50,697 characters of context

বীজগণিতের অন্যতম মৌলিক ও শক্তিশালী স্তম্ভ হলো উৎপাদকে বিশ্লেষণ (Factorization)। পাটিগণিতে যেমন কোনো যৌগিক সংখ্যাকে তার মৌলিক গুণনীয়কগুলোর গুণফলরূপে প্রকাশ করা হয় (যেমন: $১২ = ২ \times ২ \times ৩$), ঠিক তেমনই বীজগণিতে কোনো বহুপদী রাশিকে দুই বা ততোধিক সরলতর বীজগণিতীয় রাশির গুণফল আকারে প্রকাশ করার…

Study sheet: Factorization

Structured notes written from the textbook, with page references.

Contents22
  1. এক নজরে
  2. উৎপাদক নির্ণয়ের প্রধান পদ্ধতিসমূহের তুলনামূলক সারণি:
  3. শিখনফল
  4. মূল আলোচনা ও অ্যালগরিদম
  5. ১. মৌলিক সংজ্ঞা
  6. ২. উৎপাদকে বিশ্লেষণের মাস্টার ডিসিশন অ্যালগরিদম
  7. ৩. মধ্যপদ বিভাজন (Middle Term Breakup)-এর নিয়ম ও চিহ্নবিধি
  8. মূল পাঠ্যবইয়ের উদাহরণ ও অনুশীলনীর পুঙ্খানুপুঙ্খ সমাধান
  9. পাঠ্যবইয়ের উদাহরণসমূহ (Worked Examples 31-40)
  10. পাঠ্যবইয়ের কাজসমূহের সমাধান (Classwork Solutions)
  11. অনুশীলনী ৪.৩ এর পূর্ণাঙ্গ সমাধান (Exercise 4.3 Solutions: 1 to 44)
  12. সৃজনশীল প্রশ্নোত্তর (CQ)
  13. সৃজনশীল প্রশ্ন ১
  14. সৃজনশীল প্রশ্ন ২
  15. সৃজনশীল প্রশ্ন ৩
  16. সৃজনশীল প্রশ্ন ৪
  17. বহুনির্বাচনী প্রশ্নোত্তর (MCQ with Shortcut Tricks)
  18. সাধারণ ভুল ও সতর্কতা
  19. প্রধান ৫টি সতর্কবার্তা:
  20. দ্রুত ঝালাই
  21. অপরিহার্য উৎপাদক সূত্রের তালিকা:
  22. ৩ সেকেন্ডে মিডল টার্ম সাইন চেকার:

চতুর্থ অধ্যায় (অনুশীলনী ৪.৩) — উৎপাদকে বিশ্লেষণ

এক নজরে

বীজগণিতের অন্যতম মৌলিক ও শক্তিশালী স্তম্ভ হলো উৎপাদকে বিশ্লেষণ (Factorization)। পাটিগণিতে যেমন কোনো যৌগিক সংখ্যাকে তার মৌলিক গুণনীয়কগুলোর গুণফলরূপে প্রকাশ করা হয় (যেমন: ১২=২×২×৩১২ = ২ \times ২ \times ৩), ঠিক তেমনই বীজগণিতে কোনো বহুপদী রাশিকে দুই বা ততোধিক সরলতর বীজগণিতীয় রাশির গুণফল আকারে প্রকাশ করার প্রক্রিয়াকে বলা হয় উৎপাদকে বিশ্লেষণ।

অষ্টম শ্রেণির গণিত পাঠ্যবইয়ের চতুর্থ অধ্যায়ের এই অংশে (অনুশীলনী ৪.৩) বীজগণিতীয় রাশির উৎপাদক নির্ণয়ের মৌলিক নিয়মসমূহ, দ্বিঘাত বহুপদীর মধ্যপদ বিভাজন (Middle Term Breakup) এর নিখুঁত অ্যালগরিদম, ঘন সম্পর্কিত সূত্রের প্রয়োগ এবং চলক প্রতিস্থাপন কৌশল বিস্তারিতভাবে আলোচিত হয়েছে।

mermaid
mindmap  root((উৎপাদকে বিশ্লেষণ<br>Factorization))    ১. সাধারণ গুণনীয়ক গ্রহণ      Common Factor বাইরে আনা      সুবিধামতো সাজিয়ে গ্রুপিং    ২. পূর্ণবর্গ আকারে প্রকাশ      a² + 2ab + b² = (a+b)²      a² - 2ab + b² = (a-b)²    ৩. বর্গের অন্তররূপে প্রকাশ      a² - b² = (a+b)(a-b)      ৩-১ গ্রুপিং ও বর্গ বিয়োগ    ৪. মধ্যপদ বিভাজন      x² + px + q আকার      ax² + bx + c আকার      চিহ্নের ৪টি মূল সূত্র    ৫. পূর্ণঘন আকারে প্রকাশ      a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = (a+b)³      a³ - 3a²b + 3ab² - b³ = (a-b)³    ৬. ঘনের যোগফল ও অন্তর      a³ + b³ = (a+b)(a²-ab+b²)      a³ - b³ = (a-b)(a²+ab+b²)      উচ্চতর ঘাত x⁶ - y⁶    ৭. চলক প্রতিস্থাপন      একজাতীয় জটিল পদকে নতুন চলক ধরা
Diagram source
mindmap
  root((উৎপাদকে বিশ্লেষণ<br>Factorization))
    ১. সাধারণ গুণনীয়ক গ্রহণ
      Common Factor বাইরে আনা
      সুবিধামতো সাজিয়ে গ্রুপিং
    ২. পূর্ণবর্গ আকারে প্রকাশ
      a² + 2ab + b² = (a+b)²
      a² - 2ab + b² = (a-b)²
    ৩. বর্গের অন্তররূপে প্রকাশ
      a² - b² = (a+b)(a-b)
      ৩-১ গ্রুপিং ও বর্গ বিয়োগ
    ৪. মধ্যপদ বিভাজন
      x² + px + q আকার
      ax² + bx + c আকার
      চিহ্নের ৪টি মূল সূত্র
    ৫. পূর্ণঘন আকারে প্রকাশ
      a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = (a+b)³
      a³ - 3a²b + 3ab² - b³ = (a-b)³
    ৬. ঘনের যোগফল ও অন্তর
      a³ + b³ = (a+b)(a²-ab+b²)
      a³ - b³ = (a-b)(a²+ab+b²)
      উচ্চতর ঘাত x⁶ - y⁶
    ৭. চলক প্রতিস্থাপন
      একজাতীয় জটিল পদকে নতুন চলক ধরা

উৎপাদক নির্ণয়ের প্রধান পদ্ধতিসমূহের তুলনামূলক সারণি:

পদ্ধতি নংপদ্ধতির নামসাধারণ বীজগণিতীয় রূপব্যবহৃত মূল সূত্র / কৌশলআদর্শ উদাহরণ
১সাধারণ গুণনীয়ক (Common Term)ma+mb+mcma + mb + mcm(a+b+c)m(a + b + c)6ab2−24a=6a(b2−4)6ab^2 - 24a = 6a(b^2 - 4)
২সুবিধামতো সাজিয়ে দলবদ্ধকরণ (Grouping)px−py+qx−qypx - py + qx - qyp(x−y)+q(x−y)=(x−y)(p+q)p(x - y) + q(x - y) = (x - y)(p + q)px−qy+qx−py=(x−y)(p+q)px - qy + qx - py = (x - y)(p + q)
৩পূর্ণ বর্গ (Perfect Square)x2±2xy+y2x^2 \pm 2xy + y^2(x±y)2=(x±y)(x±y)(x \pm y)^2 = (x \pm y)(x \pm y)x2+4xy+4y2=(x+2y)2x^2 + 4xy + 4y^2 = (x + 2y)^2
৪দুই বর্গের অন্তর (Difference of Squares)A2−B2A^2 - B^2(A+B)(A−B)(A + B)(A - B)4x2−y2=(2x+y)(2x−y)4x^2 - y^2 = (2x + y)(2x - y)
৫মধ্যপদ বিভাজন (Middle Term Breakup)x2+px+qx^2 + px + q
ax2+bx+cax^2 + bx + c		p=m+n,q=mnp = m + n, q = mn
b=r+s,ac=rsb = r + s, ac = rs		x2+7x+12=(x+3)(x+4)x^2 + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4)
2x2+11x+15=(2x+5)(x+3)2x^2 + 11x + 15 = (2x + 5)(x + 3)
৬ঘনের যোগফল ও অন্তর (Sum/Diff of Cubes)A3±B3A^3 \pm B^3(A±B)(A2∓AB+B2)(A \pm B)(A^2 \mp AB + B^2)8x3+27y3=(2x+3y)(4x2−6xy+9y2)8x^3 + 27y^3 = (2x + 3y)(4x^2 - 6xy + 9y^2)
৭পূর্ণ ঘন (Perfect Cube)a3±3a2b+3ab2±b3a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3(a±b)3=(a±b)(a±b)(a±b)(a \pm b)^3 = (a \pm b)(a \pm b)(a \pm b)8x3+36x2+54x+27=(2x+3)38x^3 + 36x^2 + 54x + 27 = (2x + 3)^3

শিখনফল

পাঠ্যবইয়ের পৃষ্ঠা ৬২-৬৮ এবং জাতীয় শিক্ষাক্রম অনুসারে এই অধ্যায় সমাপ্তির পর শিক্ষার্থীরা—

  • উৎপাদক (Factor) এবং উৎপাদকে বিশ্লেষণ (Factorization)-এর গাণিতিক ধারণা ও তাৎপর্য স্পষ্টভাবে ব্যাখ্যা করতে পারবে।
  • বীজগণিতীয় রাশিতে বিদ্যমান সাধারণ গুণনীয়ক (Common Factor) শনাক্ত করে তা বন্ধনীর বাইরে নিয়ে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে পারবে।
  • পদসমূহের সুবিধাজনক পুনর্বিন্যাস (Grouping Method) প্রয়োগ করে বহুপদী রাশির উৎপাদক বের করতে পারবে।
  • পূর্ণবর্গ রূপান্তরের মাধ্যমে a2±2ab+b2=(a±b)2a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2 সূত্র প্রয়োগ করতে পারবে।
  • a2−b2=(a+b)(a−b)a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) সূত্র ব্যবহার করে দুটি বর্গের অন্তররূপে প্রকাশিত যেকোনো দ্বিঘাত বা উচ্চ ঘাতের রাশির উৎপাদক নির্ণয় করতে পারবে।
  • a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) এবং a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) সূত্রের সাহায্যে দ্বিপদী ও বহুপদী রাশির উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে পারবে।
  • x2+px+qx^2 + px + q এবং ax2+bx+cax^2 + bx + c আকারের রাশির মধ্যপদ বিভাজন (Middle Term Breakup)-এর ৪টি চিহ্নবিধি সফলভাবে প্রয়োগ করতে পারবে।
  • চলক প্রতিস্থাপন (Substitution Method) প্রয়োগ করে চতুর্থ ঘাতের জটিল বীজগণিতীয় রাশিকে সরল দ্বিঘাত রাশিতে রূপান্তর করে সমাধান করতে পারবে।
  • উৎপাদকে বিশ্লেষণের মাধ্যমে বীজগণিতীয় ভগ্নাংশ, সমীকরণ এবং গ.সা.গু. ও ল.সা.গু. সংক্রান্ত সমস্যার সমাধান করতে পারবে।

মূল আলোচনা ও অ্যালগরিদম

১. মৌলিক সংজ্ঞা

উৎপাদক বা গুণনীয়ক (Factor):

যদি কোনো বীজগণিতীয় রাশি দুই বা ততোধিক রাশির গুণফল হয়, তবে শেষোক্ত রাশিগুলোর প্রত্যেকটিকে প্রথম রাশির উৎপাদক বা গুণনীয়ক (Factor) বলা হয়।

  • উদাহরণ: a2−b2=(a+b)(a−b)a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)। এখানে (a+b)(a + b) এবং (a−b)(a - b) রাশি দুটি (a2−b2)(a^2 - b^2)-এর উৎপাদক।

উৎপাদকে বিশ্লেষণ (Factorization):

যখন কোনো বীজগণিতীয় রাশিকে সম্ভাব্য দুই বা ততোধিক সরলতর বীজগণিতীয় রাশির গুণফলরূপে প্রকাশ করা হয়, তখন একে উৎপাদকে বিশ্লেষণ বলা হয়।

  • উদাহরণ: x2+2x=x(x+2)x^2 + 2x = x(x + 2)। এখানে xx এবং (x+2)(x + 2) উৎপাদক এবং পুরো প্রক্রিয়াটি হলো উৎপাদকে বিশ্লেষণ।

২. উৎপাদকে বিশ্লেষণের মাস্টার ডিসিশন অ্যালগরিদম

পরীক্ষার হলে যেকোনো রাশি দেখার সাথে সাথে কোন পদ্ধতি প্রয়োগ করতে হবে, তা নিচের অ্যালগরিদম অনুসরণ করে সহজেই শনাক্ত করা যায়:

mermaid
flowchart TD    Start([প্রদত্ত বীজগণিতীয় রাশি]) --> Step1{সকল পদের মধ্যে সাধারণ গুণনীয়ক কমন আছে?}    Step1 -- হ্যাঁ --> TakeCommon[সর্বোচ্চ সাধারণ পদ কমন নিয়ে বন্ধনীর বাইরে আনো]    Step1 -- না --> CountTerms[পদসংখ্যা গণনা করো]    TakeCommon --> CountTerms        CountTerms --> TwoTerms[পদসংখ্যা = ২]    CountTerms --> ThreeTerms[পদসংখ্যা = ৩]    CountTerms --> FourTerms[পদসংখ্যা = ৪]    CountTerms --> CompoundTerms[যৌগিক বা দীর্ঘ বন্ধনীযুক্ত রাশি]
    TwoTerms --> Check2{বর্গ নাকি ঘন?}    Check2 -- বর্গের অন্তর --> DiffSq["a² - b² = (a + b)(a - b)"]    Check2 -- ঘনের যোগফল --> SumCube["a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)"]    Check2 -- ঘনের অন্তর --> DiffCube["a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)"]    Check2 -- উচ্চ ঘাত x⁶ - y⁶ --> Power6["প্রথমে বর্গের অন্তর (x³)² - (y³)²"]
    ThreeTerms --> Check3{পূর্ণবর্গ নাকি ট্রাইনোমিয়াল?}    Check3 -- a² ± 2ab + b² --> PerfSq["(a ± b)² = (a ± b)(a ± b)"]    Check3 -- x² + px + q --> MidTerm1["মিডল টার্ম: যোগফল p, গুণফল q"]    Check3 -- ax² + bx + c --> MidTerm2["মিডল টার্ম: যোগফল b, গুণফল ac"]
    FourTerms --> Check4{গ্রুপিং বিন্যাস কেমন?}    Check4 -- ২-২ গ্রুপিং --> Group22["২টি করে পদ কমন: px - py + qx - qy"]    Check4 -- ৩-১ বা ১-৩ গ্রুপিং --> Group31["পূর্ণবর্গ - বর্গ: (a ± b)² - c²"]    Check4 -- পূর্ণঘন --> PerfCube["a³ ± 3a²b + 3ab² ± b³ = (a ± b)³"]    Check4 -- কিউবিক স্প্লিট --> SplitCube["a³ - 3a²b + 3ab² - 2b³ = (a - b)³ - b³"]
    CompoundTerms --> Subst["একজাতীয় রাশিকে নতুন চলক ধরো (যেমন: A = x² - x)"]
    DiffSq --> CompleteCheck{কোনো উৎপাদক কি পুনরায় বিশ্লেষ্য?}    SumCube --> CompleteCheck    DiffCube --> CompleteCheck    Power6 --> CompleteCheck    PerfSq --> CompleteCheck    MidTerm1 --> CompleteCheck    MidTerm2 --> CompleteCheck    Group22 --> CompleteCheck    Group31 --> CompleteCheck    PerfCube --> CompleteCheck    SplitCube --> CompleteCheck    Subst --> CompleteCheck
    CompleteCheck -- হ্যাঁ --> ReFactor[পুনরায় উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো]    CompleteCheck -- না --> Finish([চূড়ান্ত ফলাফল])    ReFactor --> Finish
Diagram source
flowchart TD
    Start([প্রদত্ত বীজগণিতীয় রাশি]) --> Step1{সকল পদের মধ্যে সাধারণ গুণনীয়ক কমন আছে?}
    Step1 -- হ্যাঁ --> TakeCommon[সর্বোচ্চ সাধারণ পদ কমন নিয়ে বন্ধনীর বাইরে আনো]
    Step1 -- না --> CountTerms[পদসংখ্যা গণনা করো]
    TakeCommon --> CountTerms
    
    CountTerms --> TwoTerms[পদসংখ্যা = ২]
    CountTerms --> ThreeTerms[পদসংখ্যা = ৩]
    CountTerms --> FourTerms[পদসংখ্যা = ৪]
    CountTerms --> CompoundTerms[যৌগিক বা দীর্ঘ বন্ধনীযুক্ত রাশি]

    TwoTerms --> Check2{বর্গ নাকি ঘন?}
    Check2 -- বর্গের অন্তর --> DiffSq["a² - b² = (a + b)(a - b)"]
    Check2 -- ঘনের যোগফল --> SumCube["a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)"]
    Check2 -- ঘনের অন্তর --> DiffCube["a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)"]
    Check2 -- উচ্চ ঘাত x⁶ - y⁶ --> Power6["প্রথমে বর্গের অন্তর (x³)² - (y³)²"]

    ThreeTerms --> Check3{পূর্ণবর্গ নাকি ট্রাইনোমিয়াল?}
    Check3 -- a² ± 2ab + b² --> PerfSq["(a ± b)² = (a ± b)(a ± b)"]
    Check3 -- x² + px + q --> MidTerm1["মিডল টার্ম: যোগফল p, গুণফল q"]
    Check3 -- ax² + bx + c --> MidTerm2["মিডল টার্ম: যোগফল b, গুণফল ac"]

    FourTerms --> Check4{গ্রুপিং বিন্যাস কেমন?}
    Check4 -- ২-২ গ্রুপিং --> Group22["২টি করে পদ কমন: px - py + qx - qy"]
    Check4 -- ৩-১ বা ১-৩ গ্রুপিং --> Group31["পূর্ণবর্গ - বর্গ: (a ± b)² - c²"]
    Check4 -- পূর্ণঘন --> PerfCube["a³ ± 3a²b + 3ab² ± b³ = (a ± b)³"]
    Check4 -- কিউবিক স্প্লিট --> SplitCube["a³ - 3a²b + 3ab² - 2b³ = (a - b)³ - b³"]

    CompoundTerms --> Subst["একজাতীয় রাশিকে নতুন চলক ধরো (যেমন: A = x² - x)"]

    DiffSq --> CompleteCheck{কোনো উৎপাদক কি পুনরায় বিশ্লেষ্য?}
    SumCube --> CompleteCheck
    DiffCube --> CompleteCheck
    Power6 --> CompleteCheck
    PerfSq --> CompleteCheck
    MidTerm1 --> CompleteCheck
    MidTerm2 --> CompleteCheck
    Group22 --> CompleteCheck
    Group31 --> CompleteCheck
    PerfCube --> CompleteCheck
    SplitCube --> CompleteCheck
    Subst --> CompleteCheck

    CompleteCheck -- হ্যাঁ --> ReFactor[পুনরায় উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো]
    CompleteCheck -- না --> Finish([চূড়ান্ত ফলাফল])
    ReFactor --> Finish

৩. মধ্যপদ বিভাজন (Middle Term Breakup)-এর নিয়ম ও চিহ্নবিধি

দ্বিঘাত বহুপদী রাশির উৎপাদকে বিশ্লেষণে মধ্যপদ বিভাজন একটি প্রধান কৌশল। পাঠ্যবইয়ের পৃষ্ঠা ৬৪-৬৬ এর আলোকে ধ্রুবপদ ও মধ্যপদের চিহ্নের ভিত্তিতে ৪টি ক্ষেত্র তৈরি হয়:

x2+px+q=(x+a)(x+b)  ⟹  p=a+b,q=abx^2 + px + q = (x + a)(x + b) \implies p = a + b, \quad q = ab

ক্ষেত্র নংধ্রুবপদ qq-এর চিহ্নমধ্যপদের সহগ pp-এর চিহ্নউৎপাদকদ্বয়ের চিহ্ন (aa ও bb)পরম মানের সম্পর্কগাণিতিক উদাহরণ ও ব্যাখ্যা
১++ (ধনাত্মক)++ (ধনাত্মক)উভয়ই ++ (ধনাত্মক)a>0,b>0a > 0, b > 0x2+5x+6=(x+2)(x+3)x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)
2×3=6,2+3=52 \times 3 = 6, 2 + 3 = 5
২++ (ধনাত্মক)−- (ঋণাত্মক)উভয়ই −- (ঋণাত্মক)a<0,b<0a < 0, b < 0x2−15x+54=(x−6)(x−9)x^2 - 15x + 54 = (x - 6)(x - 9)
(−6)×(−9)=54,−6−9=−15(-6) \times (-9) = 54, -6 - 9 = -15
৩−- (ঋণাত্মক)++ (ধনাত্মক)বিপরীত চিহ্ন (++ ও −-)বৃহত্তর সংখ্যাটি ++, ক্ষুদ্রতরটি −-x2+2x−15=(x+5)(x−3)x^2 + 2x - 15 = (x + 5)(x - 3)
5×(−3)=−15,5−3=25 \times (-3) = -15, 5 - 3 = 2
৪−- (ঋণাত্মক)−- (ঋণাত্মক)বিপরীত চিহ্ন (++ ও −-)বৃহত্তর সংখ্যাটি −-, ক্ষুদ্রতরটি ++x2−3x−28=(x−7)(x+4)x^2 - 3x - 28 = (x - 7)(x + 4)
(−7)×4=−28,−7+4=−3(-7) \times 4 = -28, -7 + 4 = -3

Important চিহ্নের গোল্ডেন রুলস: ১. ধ্রুবপদ ধনাত্মক (+q+q) হলে দুটি সংখ্যার চিহ্ন একই হবে (উভয়ই ++ অথবা উভয়ই −-)। মধ্যপদের চিহ্ন যা, উভয়ের চিহ্নও তা হবে। ২. ধ্রুবপদ ঋণাত্মক (−q-q) হলে সংখ্যা দুটির চিহ্ন পরস্পর বিপরীত হবে। এদের মধ্যে পরম মানে যেটি বড়, তার চিহ্ন হবে মধ্যপদের চিহ্নের হুবহু অনুরূপ!

Loading the rest of the chapter…

Textbook content © National Curriculum and Textbook Board (NCTB), Bangladesh. Shown for study.

Trusted resources

Official links checked by the Zntext team. Part of the context pack.