Mathematics chapter 8.2: Quadrilaterals - Constructions

এক নজরে (At a Glance)

জ্যামিতিক অঙ্কন বা সম্পাদ্য হলো নির্দিষ্ট কিছু উপাত্তের ওপর ভিত্তি করে রুলার (স্কেল) ও পেন্সিল-কম্পাসের সাহায্যে নিখুঁত জ্যামিতিক চিত্র অঙ্কন করার পদ্ধতি। ত্রিভুজের ক্ষেত্রে তিনটি স্বাধীন উপাত্ত জানা থাকলে একটি নির্দিষ্ট ত্রিভুজ অঙ্কন করা যায়, কিন্তু চতুর্ভুজের ক্ষেত্রে চারটি বাহু দেওয়া থাকলেও কোনো নির্দিষ্ট চতুর্ভুজ আঁকা সম্ভব নয়। একটি নির্দিষ্ট চতুর্ভুজ আঁকার জন্য প্রয়োজনীয় শর্ত ও মূল বিষয়গুলো নিচে সংক্ষেপে তুলে ধরা হলো:

১. চতুর্ভুজের ১০টি উপাত্ত ও ৫টি অনন্য নিরপেক্ষ উপাত্তের প্রয়োজনীয়তা

একটি চতুর্ভুজের মোট উপাত্ত সংখ্যা ১০টি:

• বাহু (Sides): ৪টি ($AB, BC, CD, DA$)
• কোণ (Angles): ৪টি ($\angle A, \angle B, \angle C, \angle D$)
• কর্ণ (Diagonals): ২টি ($AC, BD$)

মৌলিক উপপাদ্যীয় ভিত্তি: একটি নির্দিষ্ট চতুর্ভুজ অঙ্কনের জন্য ৫টি অনন্য নিরপেক্ষ (Independent) উপাত্ত আবশ্যক।

গাণিতিক কারণ: যেকোনো একটি কর্ণ চতুর্ভুজটিকে দুইটি ত্রিভুজে বিভক্ত করে। প্রথম ত্রিভুজটি আঁকতে ৩টি উপাত্ত প্রয়োজন। কর্ণটি উভয় ত্রিভুজের সাধারণ বাহু হওয়ায় দ্বিতীয় ত্রিভুজটির ১টি বাহু ইতিমধ্যে নির্ধারিত থাকে; ফলে দ্বিতীয় ত্রিভুজটি সম্পূর্ণরূপে আঁকতে আরও মাত্র ২টি উপাত্ত প্রয়োজন হয়। সুতরাং মোট উপাত্ত প্রয়োজন $= ৩ + ২ = ৫$টি।

২. নির্দিষ্ট চতুর্ভুজ অঙ্কনের ৫টি আদর্শ ক্ষেত্র (সম্পাদ্য ১ – ৫)

সাধারণ যেকোনো চতুর্ভুজ নির্দিষ্টভাবে আঁকা যায় যদি নিম্নোক্ত ৫টি উপাত্তের যেকোনো একটি গুচ্ছ দেওয়া থাকে:

1. চারটি বাহু ও একটি কোণ (Four sides and one angle)
2. চারটি বাহু ও একটি কর্ণ (Four sides and one diagonal)
3. তিনটি বাহু ও দুইটি কর্ণ (Three sides and two diagonals)
4. তিনটি বাহু ও এদের অন্তর্ভুক্ত দুইটি কোণ (Three sides and two included angles)
5. দুইটি সন্নিহিত বাহু ও তিনটি কোণ (Two adjacent sides and three angles)

৩. বিশেষ চতুর্ভুজ ও প্রয়োজনীয় ন্যূনতম উপাত্তের সংখ্যা

বিশেষ চতুর্ভুজগুলোর নিজস্ব জ্যামিতিক ধর্মের (প্রতিসাম্য, সমকোণ, বাহুর সমতা ও সমান্তরালতা) কারণে ৫টির চেয়ে কম উপাত্ত দেওয়া থাকলেও যুক্তির সাহায্যে বাকি শর্তগুলো পূরণ হয়ে যায়:

শিখনফল (Learning Outcomes)

এই অধ্যায়টি মনোযোগ দিয়ে অধ্যয়ন ও অনুশীলন করার পর শিক্ষার্থীরা:

1. চতুর্ভুজ অঙ্কনের জন্য কয়টি এবং কী কী নিরপেক্ষ উপাত্ত প্রয়োজন তা নির্ভুলভাবে ব্যাখ্যা করতে পারবে।
2. ত্রিভুজ গঠন সংক্রান্ত অসমতা শর্ত ($a + b > c$) চতুর্ভুজ ও কর্ণের ক্ষেত্রে প্রয়োগ করে চতুর্ভুজ অঙ্কনযোগ্য কি না তা যাচাই করতে পারবে।
3. স্কেল ও পেন্সিল-কম্পাস ব্যবহার করে সম্পাদ্য ১ থেকে ৭ এর জ্যামিতিক ধাপগুলো নিখুঁতভাবে অঙ্কন করতে এবং অঙ্কনের নির্ভুল বিবরণ লিখতে পারবে।
4. বিশেষ চতুর্ভুজ—যেমন বর্গ, রম্বস, আয়ত, সামান্তরিক ও ট্রাপিজিয়াম—কম উপাত্ত দিয়ে যুক্তি প্রয়োগের মাধ্যমে আঁকতে পারবে।
5. পেন্সিল-কম্পাসের সাহায্যে যেকোনো কোণ (যেমন $15^\circ, 30^\circ, 45^\circ, 60^\circ, 75^\circ, 90^\circ, 105^\circ, 120^\circ$) চাঁদা ছাড়াই নির্ভুলভাবে সমদ্বিখণ্ডন ও সংযোগের মাধ্যমে আঁকতে পারবে।
6. ব্যবহারিক ও সৃজনশীল সমস্যা সমাধানে জ্যামিতিক অঙ্কনের ধাপ ও প্রমাণের যুক্তি উপস্থাপন করতে পারবে।

মূল আলোচনা ও সম্পাদ্যসমূহ (Core Theory & Constructions)

জ্যামিতিক অঙ্কনে প্রতিটি সম্পাদ্যের তিনটি প্রধান অংশ থাকে:

1. সাধারণ নির্বচন (General Enunciation): প্রতিজ্ঞার মূল বক্তব্য।
2. বিশেষ নির্বচন (Particular Enunciation): প্রদত্ত উপাত্তগুলোকে নির্দিষ্ট প্রতীক ($a, b, c, \angle x$ ইত্যাদি) দিয়ে প্রকাশ।
3. অঙ্কনের বিবরণ ও প্রমাণ (Steps of Construction and Proof): ধাপে ধাপে কম্পাস চালনার বিবরণ এবং জ্যামিতিক যুক্তির মাধ্যমে উদ্দিষ্ট চিত্রের সত্যতা প্রতিপাদন।

সম্পাদ্য ১: চারটি বাহু ও একটি কোণ দেওয়া থাকলে চতুর্ভুজ অঙ্কন

সাধারণ নির্বচন: কোনো চতুর্ভুজের চারটি বাহুর দৈর্ঘ্য ও একটি কোণ দেওয়া আছে। চতুর্ভুজটি আঁকতে হবে।

বিশেষ নির্বচন: মনে করি, একটি চতুর্ভুজের চারটি বাহুর দৈর্ঘ্য $a, b, c, d$ এবং $a$ ও $b$ বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ $\angle x$ দেওয়া আছে। চতুর্ভুজটি আঁকতে হবে।

প্রদত্ত উপাত্ত:a:  |------------------|b:  |-------------|c:  |-----------|d:  |----------------|       /      / \angle x ----+----------------

অঙ্কনের বিবরণ:

1. যেকোনো রশ্মি $BE$ থেকে বাহু $a$-এর সমান করে $BC = a$ রেখাংশ কেটে নিই।
2. $B$ বিন্দুতে রেখাংশ $BC$-এর ওপর প্রদত্ত $\angle x$-এর সমান করে $\angle CBF = \angle x$ আঁকি।
3. রশ্মি $BF$ থেকে বাহু $b$-এর সমান করে $BA = b$ অংশ কেটে নিই।
4. এখন, $A$ ও $C$ বিন্দুকে কেন্দ্র করে যথাক্রমে $c$ ও $d$-এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে $\angle ABC$-এর অভ্যন্তরে একই পাশে দুইটি বৃত্তচাপ আঁকি। বৃত্তচাপ দুইটি পরস্পর $D$ বিন্দুতে ছেদ করে।
5. $A, D$ এবং $C, D$ যোগ করি।

তাহলে, $ABCD$-ই উদ্দিষ্ট চতুর্ভুজ।

ASCII স্কেচ (সম্পাদ্য ১):           F          /        A*---------* D        / \       /     b /   \     / d      /     \   /     / \angle x \ /   B*---------* C ---------> E         a

প্রমাণ (Proof): অঙ্কন অনুসারে, $BC = a$, $BA = b$ এবং এদের অন্তর্ভুক্ত $\angle ABC = \angle x$। আবার, $A$ বিন্দু থেকে অঙ্কিত বৃত্তচাপের ব্যাসার্ধ $AD = c$ এবং $C$ বিন্দু থেকে অঙ্কিত বৃত্তচাপের ব্যাসার্ধ $CD = d$। সুতরাং চতুর্ভুজটির চারটি বাহু যথাক্রমে $b, a, d, c$ এবং অন্তর্ভুক্ত কোণ $\angle ABC = \angle x$ শর্ত পূরণ করে। অতএব, $ABCD$-ই নির্ণেয় চতুর্ভুজ। (প্রমাণিত)

সম্পাদ্য ২: চারটি বাহু ও একটি কর্ণ দেওয়া থাকলে চতুর্ভুজ অঙ্কন

সাধারণ নির্বচন: কোনো চতুর্ভুজের চারটি বাহু ও একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য দেওয়া আছে। চতুর্ভুজটি আঁকতে হবে।

বিশেষ নির্বচন: মনে করি, একটি চতুর্ভুজের চারটি বাহুর দৈর্ঘ্য $a, b, c, d$ এবং একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য $e$ দেওয়া আছে, যেখানে ত্রিভুজ গঠনের শর্তানুসারে $a + b > e$ এবং $c + d > e$। চতুর্ভুজটি আঁকতে হবে।

প্রদত্ত উপাত্ত:a: |--------------|       b: |----------|c: |------------|         d: |----------------|e (কর্ণ): |-----------------------|

অঙ্কনের বিবরণ:

1. যেকোনো রশ্মি $BE$ থেকে কর্ণ $e$-এর সমান করে $BD = e$ রেখাংশ কেটে নিই।
2. $B$ ও $D$ বিন্দুকে কেন্দ্র করে যথাক্রমে $a$ ও $b$-এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে রেখাংশ $BD$-এর একই পাশে দুইটি বৃত্তচাপ আঁকি। বৃত্তচাপদ্বয় পরস্পর $A$ বিন্দুতে ছেদ করে।
3. আবার, $B$ ও $D$ বিন্দুকে কেন্দ্র করে যথাক্রমে $d$ ও $c$-এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে $BD$-এর যে পাশে $A$ বিন্দু রয়েছে তার বিপরীত পাশে আরও দুইটি বৃত্তচাপ আঁকি। এই বৃত্তচাপদ্বয় পরস্পর $C$ বিন্দুতে ছেদ করে।
4. $A, B; A, D; B, C$ এবং $C, D$ যোগ করি।

তাহলে, $ABCD$-ই উদ্দিষ্ট চতুর্ভুজ।

ASCII স্কেচ (সম্পাদ্য ২):                 A                / \             a /   \ b              /     \            B*-------*D -----> E              \  e  /             d \   / c                \ /                 C

প্রমাণ: $\Delta ABD$-তে $AB = a, AD = b$ এবং $BD = e$। আবার $\Delta BCD$-তে $BC = d, CD = c$ এবং সাধারণ বাহু কর্ণ $BD = e$। উভয় ত্রিভুজ সংযুক্ত হয়ে $ABCD$ চতুর্ভুজ গঠন করে যার চারটি বাহু যথাক্রমে $a, b, c, d$ এবং কর্ণ $e$। অতএব, $ABCD$-ই নির্ণেয় চতুর্ভুজ। (প্রমাণিত)

সম্পাদ্য ৩: তিনটি বাহু ও দুইটি কর্ণ দেওয়া থাকলে চতুর্ভুজ অঙ্কন

সাধারণ নির্বচন: কোনো চতুর্ভুজের তিনটি বাহু ও দুইটি কর্ণের দৈর্ঘ্য দেওয়া আছে। চতুর্ভুজটি আঁকতে হবে।

বিশেষ নির্বচন: মনে করি, একটি চতুর্ভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য $a, b, c$ এবং দুইটি কর্ণের দৈর্ঘ্য $d, e$ দেওয়া আছে, যেখানে $a + b > e$। চতুর্ভুজটি আঁকতে হবে।

প্রদত্ত উপাত্ত:বাহুত্রয়: a, b, cকর্ণদ্বয়: d, e  (যেখানে d = AC, e = BD)

অঙ্কনের বিবরণ:

1. যেকোনো রশ্মি $BE$ থেকে কর্ণ $e$-এর সমান করে $BD = e$ রেখাংশ কেটে নিই।
2. $B$ ও $D$ বিন্দুকে কেন্দ্র করে যথাক্রমে $a$ ও $b$-এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে $BD$-এর একই পাশে দুইটি বৃত্তচাপ আঁকি। বৃত্তচাপদ্বয় পরস্পর $A$ বিন্দুতে ছেদ করে। ($A, B$ ও $A, D$ যোগ করলে $\Delta ABD$ গঠিত হলো)।
3. এখন, $D$ ও $A$ বিন্দুকে কেন্দ্র করে যথাক্রমে অপর বাহু $c$ এবং অপর কর্ণ $d$-এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে $BD$-এর যে পাশে $A$ রয়েছে তার বিপরীত পাশে দুইটি বৃত্তচাপ আঁকি। এরা পরস্পরকে $C$ বিন্দুতে ছেদ করে।
4. $B, C; C, D$ এবং $A, C$ যোগ করি।

তাহলে, $ABCD$-ই উদ্দিষ্ট চতুর্ভুজ।

ASCII স্কেচ (সম্পাদ্য ৩):                 A                /|\             a / | \ b              /  |  \            B*---|---*D -----> E              \  | e/                \| / c                 C                 (AC = d)

প্রমাণ: অঙ্কনানুসারে, $\Delta ABD$-এর $AB = a, AD = b, BD = e$। আবার $C$ বিন্দুর অবস্থান নির্ধারণে $CD = c$ এবং $AC = d$ নেওয়া হয়েছে। ফলে চতুর্ভুজের তিনটি বাহু $AB = a, AD = b, CD = c$ এবং দুইটি কর্ণ $BD = e$ ও $AC = d$ বিদ্যমান। অতএব, $ABCD$-ই নির্ণেয় চতুর্ভুজ। (প্রমাণিত)